Bài 2. Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thống kê, trung vị và tứ phân vị là những số đặc trưng quan trọng giúp mô tả xu thế trung tâm của một mẫu số liệu. Đặc biệt, khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, việc tính toán các giá trị này đòi hỏi một số kỹ thuật nhất định. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính trung vị và tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo.

1. Khái niệm về mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm là một tập hợp các dữ liệu được chia thành các khoảng hoặc lớp. Mỗi lớp được xác định bởi một khoảng giá trị và tần số tương ứng, cho biết số lượng dữ liệu thuộc về khoảng đó.

2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Trung vị là giá trị nằm ở giữa mẫu số liệu khi được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:

Tính tổng tần số N của mẫu số liệu.
Xác định vị trí trung vị: Nếu N là số lẻ, trung vị là giá trị thứ (N+1)/2. Nếu N là số chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị thứ N/2 và (N/2)+1.
Tìm lớp chứa trung vị: Xác định lớp mà vị trí trung vị nằm trong khoảng tần số tích lũy của lớp đó.
Tính trung vị theo công thức:

Trung vị = x_i + [(N/2) - F_i-1] / f_i * Δx_i

Trong đó:

x_i là trung điểm của lớp chứa trung vị.
F_i-1 là tần số tích lũy của lớp trước lớp chứa trung vị.
f_i là tần số của lớp chứa trung vị.
Δx_i là khoảng lớp của lớp chứa trung vị.

3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Tứ phân vị là các giá trị chia mẫu số liệu thành bốn phần bằng nhau. Có ba tứ phân vị: Q₁ (tứ phân vị thứ nhất), Q₂ (tứ phân vị thứ hai - trùng với trung vị), và Q₃ (tứ phân vị thứ ba).

Cách tính tứ phân vị tương tự như tính trung vị, chỉ khác ở vị trí cần tìm:

Q₁: Vị trí là N/4
Q₂: Vị trí là N/2 (trùng với trung vị)
Q₃: Vị trí là 3N/4

Công thức tính tứ phân vị cũng tương tự công thức tính trung vị, chỉ thay đổi vị trí trung vị bằng vị trí của tứ phân vị cần tính.

4. Ví dụ minh họa

Giả sử ta có mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Khoảng giá trị	Tần số (f_i)	Tần số tích lũy (F_i)
[10, 20)	5	5
[20, 30)	10	15
[30, 40)	15	30
[40, 50)	20	50

Tổng tần số N = 50.

Tính trung vị (Q₂): Vị trí trung vị là N/2 = 25. Lớp chứa trung vị là [30, 40) vì F₂ = 15 < 25 ≤ F₃ = 30. Trung điểm của lớp [30, 40) là x₃ = (30+40)/2 = 35. Trung vị = 35 + [(50/2) - 15] / 15 * 10 = 35 + 10/15 * 10 = 41.67.

Tính Q₁: Vị trí Q₁ là N/4 = 12.5. Lớp chứa Q₁ là [20, 30). Q₁ = 25 + [(50/4) - 5] / 10 * 10 = 32.5.

Tính Q₃: Vị trí Q₃ là 3N/4 = 37.5. Lớp chứa Q₃ là [40, 50). Q₃ = 45 + [(3*50/4) - 30] / 20 * 10 = 45 + 7.5/20 * 10 = 48.75.

5. Ứng dụng của trung vị và tứ phân vị

Trung vị và tứ phân vị được sử dụng rộng rãi trong thống kê để:

Mô tả sự phân bố của dữ liệu.
So sánh các bộ dữ liệu khác nhau.
Phát hiện các giá trị ngoại lệ.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách tính trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!