các bài toán chứng minh đẳng thức hình học

Trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, việc chứng minh đẳng thức hình học – bao gồm chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ – là một yêu cầu thường gặp. Dạng toán này không chỉ kiểm tra kiến thức về các định lý, tính chất hình học mà còn đánh giá khả năng tư duy logic, phân tích và vận dụng linh hoạt của thí sinh.

Để đạt hiệu quả cao trong giải quyết các bài toán về đẳng thức hình học, học sinh cần rèn luyện khả năng quan sát nhanh nhạy, xác định chính xác các yếu tố liên quan và lựa chọn phương pháp chứng minh phù hợp. Việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau sẽ giúp củng cố kiến thức, phát triển kỹ năng và xây dựng sự tự tin khi đối mặt với các bài toán thực tế.

PHẦN 1. LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU

1. Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau. Đây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng nhất. Cần xác định các trường hợp bằng nhau của tam giác (c-g-c, g-c-g, c-g-c) và chứng minh các yếu tố tương ứng của hai tam giác thỏa mãn một trong các trường hợp đó.
2. Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt.
   • Hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau. Các cạnh của tam giác đều bằng nhau.
   • Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt: hình thang cân (hai cạnh bên bằng nhau), hình bình hành (hai cạnh đối song song và bằng nhau), hình chữ nhật (hai cạnh đối song song và bằng nhau, đường chéo bằng nhau), hình vuông (bốn cạnh bằng nhau, đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau), hình thoi (bốn cạnh bằng nhau).
3. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt.
   • Sử dụng tính chất đường trung tuyến (đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác), đường trung tuyến của tam giác vuông (bằng nửa cạnh huyền), đường trung bình trong tam giác (song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ba), các đường đồng quy trong tam giác đặc biệt (trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp).
   • Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
   • Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng bằng nhau.
   • Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng.
   • Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai đường xiên bằng nhau.
4. Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn.
   • Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm trong đường tròn thì bằng nhau.
   • Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau tại một điểm thì có độ dài bằng nhau.
   • Sử dụng quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn.
5. Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian.
   • Dùng tính chất bắc cầu: Nếu AB = CD và CD = EF thì AB = EF.
   • Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
   • Chứng minh hai đoạn thẳng cùng nghiệm đúng một hệ thức.
   • Đường thẳng song song cách đều.
   • Sử dụng tính chất của các đẳng thức, hai phân số bằng nhau.
   • Sử dụng kiến thức về diện tích.
   • Sử dụng bình phương của chúng bằng nhau (có thể sử dụng định lí Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn để đưa về bình phương của chúng bằng nhau).

B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng.
2. Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.
3. Đường trung bình của tam giác.
4. Định lý Talet và hệ quả.
5. Tính chất đường phân giác của tam giác.
6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác.
7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.

PHẦN 2. BÀI TẬP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG