1. Môn Toán
  2. Kinh Nghiệm Học Tập Môn Toán
  3. Dạng Toán Toán 11 Cánh Diều & Cách Giải Chi Tiết Từng Dạng

Dạng Toán Toán 11 Cánh Diều & Cách Giải Chi Tiết Từng Dạng

Tổng hợp các dạng toán thường gặp trong SGK Toán 11 Cánh Diều và phương pháp giải chi tiết. Nắm vững từng dạng để ôn tập hiệu quả, làm bài tốt các bài tập SGK.

Các Dạng Toán Thường Gặp Trong SGK Toán 11 Cánh Diều & Cách Giải Chi Tiết Từng Dạng: Làm Chủ Bài Tập SGK

SGK Toán 11 Cánh Diều được biên soạn theo Chương trình GDPT 2018 với cách tiếp cận chú trọng vào phát triển năng lực và ứng dụng thực tiễn. Sách bao gồm nhiều chuyên đề quan trọng, mỗi chuyên đề lại có đa dạng các dạng bài tập khác nhau, từ nhận biết đơn giản đến vận dụng, vận dụng cao, thường được lồng ghép qua các tình huống hoặc vấn đề thực tiễn.

Để học tốt Toán 11 theo SGK Cánh Diều và làm chủ các bài tập trong sách, việc nhận diện được các dạng toán thường gặp và nắm vững phương pháp giải cho từng dạng là vô cùng quan trọng. Điều này giúp bạn không bị bỡ ngỡ khi gặp bài tập mới và có định hướng giải quyết rõ ràng.

Bài viết này sẽ tổng hợp và phân loại các dạng toán thường gặp trong SGK Toán 11 Cánh Diều theo từng chương/chủ đề chính, đồng thời cung cấp phương pháp giải chi tiết cho mỗi dạng, giúp bạn làm bài tập SGK hiệu quả và tự tin hơn.

Dạng Toán Toán 11 Cánh Diều & Cách Giải Chi Tiết Từng Dạng

Đặc Điểm Dạng Toán Trong SGK Toán 11 Cánh Diều

Bài tập trong SGK Toán 11 Cánh Diều có những đặc điểm nổi bật:

  • Gắn kết thực tiễn: Nhiều bài tập được đặt trong bối cảnh thực tế, đòi hỏi học sinh phải chuyển hóa từ ngôn ngữ đời thường sang ngôn ngữ toán học.
  • Đa dạng mức độ: Có đủ các mức độ từ Nhận biết, Thông hiểu (thường ở phần "Luyện tập") đến Vận dụng, Vận dụng cao (thường ở phần "Vận dụng").
  • Phát triển năng lực: Bài tập không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn rèn luyện các năng lực như tư duy logic, mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề, giao tiếp toán học.
  • Kết hợp kiến thức: Một số bài tập vận dụng có thể yêu cầu kết hợp kiến thức từ nhiều phần khác nhau hoặc từ các môn học khác (ví dụ: Lý, Hóa, Sinh, Địa).

Phân Loại và Phương pháp Giải Các Dạng Toán Thường Gặp (Theo Chương/Chủ Đề)

Dưới đây là phân loại các dạng toán thường gặp theo cấu trúc chương của SGK Toán 11 Cánh Diều và phương pháp giải cho từng dạng:

Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

  • Kiến thức trọng tâm: Hàm số lượng giác (TXĐ, TXG, chu kỳ, đồ thị, tính chẵn lẻ, đồng biến/nghịch biến); công thức lượng giác; phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp. \[ TXĐ \] \[ TXG \]
  • Các dạng toán thường gặp:
    • Dạng 1: Tìm tập xác định (TXĐ), tập giá trị (TXG) của hàm số lượng giác.
      • Phương pháp giải: Dựa vào điều kiện xác định của hàm tan, cot (mẫu khác \[ 0 \] ), điều kiện của biểu thức dưới căn bậc chẵn (không âm). Sử dụng tập giá trị của \[ \sin x, \cos x \] là \[ \[-1; 1\] \] để tìm tập giá trị của hàm số liên quan (biến đổi đại số, sử dụng min/max của tam thức bậc hai). \[ 0 \] \[ \sin x, \cos x \] \[ \[-1; 1\] \]
      • Lưu ý: Cẩn thận với các hàm số lượng giác có biểu thức bên trong phức tạp.
    • Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, chu kỳ của hàm số lượng giác.
      • Phương pháp giải: Tính tính chẵn lẻ: so sánh \[ f(-x) \] với \[ f(x) \] và \[ -f(x) \] . Tính tuần hoàn, chu kỳ: dựa vào định nghĩa \[ f(x+T) = f(x) \] và chu kỳ cơ sở của \[ \sin x, \cos x \] là \[ 2\pi \] , \[ \tan x, \cot x \] là \[ \pi \] . Chu kỳ của hàm \[ y = f(ax+b) \] là \[ T_0/|a| \] (với \[ T_0 \] là chu kỳ cơ sở của \[ f(x) \] ). \[ f(-x) \] \[ f(x) \] \[ -f(x) \] \[ f(x+T) = f(x) \] \[ \sin x, \cos x \] \[ 2\pi \] \[ \tan x, \cot x \] \[ \pi \] \[ y = f(ax+b) \] \[ T_0/|a| \] \[ T_0 \] \[ f(x) \]
      • Lưu ý: Cẩn thận khi hàm số chứa trị tuyệt đối hoặc bậc chẵn của hàm lượng giác (ví dụ: \[ \sin^2 x \] có chu kỳ \[ \pi \] ). \[ \sin^2 x \] \[ \pi \]
    • Dạng 3: Sử dụng công thức biến đổi lượng giác để rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức.
      • Phương pháp giải: Áp dụng linh hoạt các công thức lượng giác (đã học lớp \[ 10 \] và 11 ) để biến đổi một vế bằng vế còn lại, hoặc biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức, hoặc biến đổi biểu thức cần rút gọn về dạng đơn giản. \[ 10 \] 11
      • Lưu ý: Nắm vững tất cả các công thức và chọn công thức phù hợp cho từng bài toán.
    • Dạng 4: Giải phương trình lượng giác.
      • Phương pháp giải: Đưa về phương trình cơ bản ( \[ \sin x = m \] , \[ \cos x = m \] ,...), hoặc các dạng đặc biệt (đẳng cấp, đối xứng, phương trình \[ a \sin x + b \cos x = c \] ,...). Sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đơn giản hóa phương trình. \[ \sin x = m \] \[ \cos x = m \] \[ a \sin x + b \cos x = c \]
      • Lưu ý: Đặt điều kiện xác định (nếu có tan, cot). Biện luận số nghiệm trên một khoảng.
    • Dạng 5: Bài toán thực tế liên quan đến hàm số, phương trình lượng giác.
      • Phương pháp giải: Đọc kỹ đề bài, mô hình hóa bài toán về dạng hàm số hoặc phương trình lượng giác. Giải quyết bài toán toán học, sau đó diễn giải kết quả trong ngữ cảnh thực tế.
      • Lưu ý: Hiểu rõ ý nghĩa các đại lượng trong mô hình toán học.

Chương II: Dãy số

  • Kiến thức trọng tâm: Định nghĩa dãy số; Cấp số cộng (CSC); Cấp số nhân (CSN).
  • Các dạng toán thường gặp:
    • Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số cho bởi công thức tổng quát hoặc truy hồi.
      • Phương pháp giải: Thay giá trị \[ n \] vào công thức tổng quát \[ u_n \] . Sử dụng công thức truy hồi để tính số hạng sau từ số hạng trước. \[ n \] \[ u_n \]
      • Lưu ý: Cẩn thận khi tính toán theo công thức truy hồi, dễ sai sót tích lũy.
    • Dạng 2: Xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số.
      • Phương pháp giải: Xét hiệu \[ u_{n+1} - u_n \] để xét tính tăng/giảm. Tìm cận trên, cận dưới để xét tính bị chặn. \[ u_{n+1} - u_n \]
      • Lưu ý: Cẩn thận khi xét dấu hiệu hoặc bất phương trình.
    • Dạng 3: Xác định các yếu tố của cấp số cộng, cấp số nhân ( \[ u_1, d, q, n, u_n, S_n \] ) khi biết các thông tin khác. \[ u_1, d, q, n, u_n, S_n \]
      • Phương pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản của CSC ( \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] , \[ S_n = \frac{n}{2}(u_1+u_n) \] ) và CSN ( \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] , \[ S_n = u_1 \frac{1-q^n}{1-q} \] ), tính chất ( \[ 2u_k = u_{k-1}+u_{k+1} \] , \[ u_k^2 = u_{k-1} u_{k+1} \] ). Lập hệ phương trình (thường theo \[ u_1 \] và \[ d \] hoặc \[ u_1 \] và \[ q \] ) và giải. \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] \[ S_n = \frac{n}{2}(u_1+u_n) \] \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] \[ S_n = u_1 \frac{1-q^n}{1-q} \] \[ 2u_k = u_{k-1}+u_{k+1} \] \[ u_k^2 = u_{k-1} u_{k+1} \] \[ u_1 \] \[ d \] \[ u_1 \] \[ q \]
      • Lưu ý: Phân biệt rõ công thức CSC và CSN. Cẩn thận với điều kiện \[ q \ne 1 \] trong công thức tổng CSN. \[ q \ne 1 \]
    • Dạng 4: Chứng minh một dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân.
      • Phương pháp giải: Chứng minh hiệu \[ u_{n+1} - u_n \] là hằng số (CSC) hoặc tỉ số \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} \] là hằng số (CSN, với \[ u_n \ne 0 \] ). \[ u_{n+1} - u_n \] \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} \] \[ u_n \ne 0 \]
      • Lưu ý: Cẩn thận với các trường hợp đặc biệt (ví dụ: CSN có \[ u_1 = 0 \] hoặc \[ q = 0 \] ). \[ u_1 = 0 \] \[ q = 0 \]
    • Dạng 5: Bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng, cấp số nhân.
      • Phương pháp giải: Mô hình hóa bài toán về dạng CSC hoặc CSN. Xác định \[ u_1, d \] hoặc \[ u_1, q \] và áp dụng công thức để giải quyết yêu cầu bài toán. \[ u_1, d \] \[ u_1, q \]
      • Lưu ý: Đọc kỹ đề bài để xác định đúng đâu là số hạng đầu, đâu là công sai/công bội, và đâu là số hạng cần tìm hay tổng cần tính.

Chương III: Giới hạn

  • Kiến thức trọng tâm: Giới hạn dãy số; giới hạn hàm số (tại điểm, tại vô cực); các định lý về giới hạn; các dạng vô định và cách khử; hàm số liên tục.
  • Các dạng toán thường gặp:
    • Dạng 1: Tính giới hạn của dãy số ( \[ \lim u_n \] ). \[ \lim u_n \]
      • Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của \[ n \] . Sử dụng định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, căn; định lý kẹp. \[ n \]
      • Lưu ý: Cẩn thận với dấu của vô cực.
    • Dạng 2: Tính giới hạn của hàm số tại điểm ( \[ \lim_{x \to x_0} f(x) \] ) và tại vô cực ( \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) \] ). \[ \lim_{x \to x_0} f(x) \] \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) \]
      • Phương pháp giải: Thay trực tiếp \[ x \] vào biểu thức (nếu hàm số liên tục tại điểm đó). Nhận dạng các dạng vô định ( \[ \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty \] ) và áp dụng phương pháp khử tương ứng (phân tích nhân tử, nhân liên hợp, chia cho bậc cao nhất, thêm bớt). Xét giới hạn một bên ( \[ x \to x_0^+ \] , \[ x \to x_0^- \] ) khi cần. \[ x \] \[ \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty \] \[ x \to x_0^+ \] \[ x \to x_0^- \]
      • Lưu ý: Cẩn thận khi có căn bậc chẵn (điều kiện xác định). Cẩn thận với dấu khi tính giới hạn tại vô cực có chứa căn bậc chẵn.
    • Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số.
      • Phương pháp giải: Xét tính liên tục tại một điểm \[ x_0 \] (kiểm tra \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \] ). Xét tính liên tục trên một khoảng (hàm đa thức, phân thức, lượng giác, căn thức liên tục trên tập xác định của chúng). \[ x_0 \] \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \]
      • Lưu ý: Đối với hàm cho bởi nhiều biểu thức, cần xét tính liên tục tại các điểm "nối" giữa các biểu thức đó.
    • Dạng 4: Bài toán giới hạn, liên tục có tham số.
      • Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện liên tục hoặc giá trị giới hạn đã biết để lập phương trình (thường có chứa tham số) và giải.
      • Lưu ý: Kết hợp kỹ năng giải phương trình, bất phương trình với các bước tính giới hạn.

Chương IV: Đạo hàm

  • Kiến thức trọng tâm: Định nghĩa đạo hàm; quy tắc tính đạo hàm; đạo hàm hàm cơ bản, hàm hợp; ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm; đạo hàm cấp cao.
  • Các dạng toán thường gặp:
    • Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa.
      • Phương pháp giải: Áp dụng công thức định nghĩa đạo hàm ( \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] hoặc \[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \] ). Tính giới hạn tương ứng. \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] \[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]
      • Lưu ý: Dạng bài này thường dùng để làm quen với định nghĩa.
    • Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số bằng quy tắc.
      • Phương pháp giải: Áp dụng thành thạo các quy tắc đạo hàm (tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp) và công thức đạo hàm các hàm cơ bản.
      • Lưu ý: Cẩn thận khi áp dụng quy tắc chuỗi cho hàm hợp (xác định đúng "hàm trong"). Cẩn thận với dấu.
    • Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
      • Phương pháp giải: Xác định hoành độ tiếp điểm \[ x_0 \] . Tính tung độ \[ y_0 = f(x_0) \] . Tính hệ số góc tiếp tuyến \[ k = f'(x_0) \] . Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] . Cần xác định \[ x_0 \] từ các điều kiện khác nhau (tại điểm, biết hệ số góc, đi qua điểm ngoài đồ thị). \[ x_0 \] \[ y_0 = f(x_0) \] \[ k = f'(x_0) \] \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] \[ x_0 \]
      • Lưu ý: Phân biệt rõ các dạng bài viết phương trình tiếp tuyến và phương pháp tìm \[ x_0 \] tương ứng. Kiểm tra điều kiện song song, vuông góc (tích hệ số góc bằng \[ -1 \] ). \[ x_0 \] \[ -1 \]
    • Dạng 4: Bài toán vật lý liên quan đến đạo hàm.
      • Phương pháp giải: Vận tốc tức thời là đạo hàm của hàm quãng đường theo thời gian \[ v(t) = s'(t) \] . Gia tốc là đạo hàm của hàm vận tốc theo thời gian \[ a(t) = v'(t) \] . \[ v(t) = s'(t) \] \[ a(t) = v'(t) \]
      • Lưu ý: Hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm trong vật lý.
    • Dạng 5: Bài toán đạo hàm có tham số.
      • Phương pháp giải: Tính đạo hàm theo quy tắc (biểu thức đạo hàm sẽ chứa tham số). Sử dụng các điều kiện bài toán để lập phương trình hoặc bất phương trình chứa tham số và giải.
      • Lưu ý: Kết hợp kỹ năng giải phương trình, bất phương trình với kỹ năng tính đạo hàm.

Chương V: Tổ hợp và xác suất

  • Kiến thức trọng tâm: Quy tắc cộng, nhân; hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; nhị thức Newton; xác suất biến cố; quy tắc cộng, nhân xác suất.
  • Các dạng toán thường gặp:
    • Dạng 1: Bài toán đếm sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân.
      • Phương pháp giải: Phân tích hành động thành các trường hợp (rời nhau - dùng quy tắc cộng) hoặc các bước liên tiếp (dùng quy tắc nhân).
      • Lưu ý: Đọc kỹ đề bài để phân biệt "hoặc" (cộng) và "và" (nhân).
    • Dạng 2: Bài toán đếm sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
      • Phương pháp giải: Phân tích bài toán: Có sắp xếp thứ tự không? Có sử dụng tất cả phần tử không? Dựa vào đó để chọn P, A, C phù hợp. \[ P \] \[ A \] \[ C \]
      • Lưu ý: Phân biệt rõ P, A, C - đây là sai lầm phổ biến nhất (dùng sơ đồ quyết định). Cẩn thận với các ràng buộc (ví dụ: chữ số đầu khác \[ 0 \] , xếp cạnh nhau, không xếp cạnh nhau). \[ 0 \]
    • Dạng 3: Bài toán khai triển Nhị thức Newton và các bài toán liên quan.
      • Phương pháp giải: Áp dụng công thức khai triển ( \[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^{n-k} y^k \] ). Tìm hệ số của một số hạng, tìm số hạng chứa lũy thừa của \[ x \] hoặc \[ y \] cho trước, tính tổng các hệ số... \[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^{n-k} y^k \] \[ x \] \[ y \]
      • Lưu ý: Nắm vững công thức nhị thức và tính chất của hệ số tổ hợp.
    • Dạng 4: Tính xác suất của biến cố bằng định nghĩa cổ điển.
      • Phương pháp giải: Bước 1: Xác định không gian mẫu \[ \Omega \] và tính số phần tử \[ |\Omega| \] (sử dụng các công thức đếm). Bước 2: Xác định biến cố \[ A \] và tính số phần tử \[ |A| \] (sử dụng các công thức đếm). Bước 3: Tính xác suất \[ P(A) = |A|/|\Omega| \] . \[ \Omega \] \[ |\Omega| \] \[ A \] \[ |A| \] \[ P(A) = |A|/|\Omega| \]
      • Lưu ý: Xác định đúng không gian mẫu là quan trọng nhất. Phân tích biến cố thành các trường hợp rời nhau nếu cần.
    • Dạng 5: Sử dụng các quy tắc cộng, nhân xác suất.
      • Phương pháp giải: Xác định các biến cố thành phần, biến cố hợp, biến cố giao. Áp dụng công thức \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] (nếu A, B xung khắc), \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] (nếu A, B bất kỳ), \[ P(A \cap B) = P(A)P(B|A) \] (công thức nhân chung), \[ P(A \cap B) = P(A)P(B) \] (nếu A, B độc lập). \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A \cap B) = P(A)P(B|A) \] \[ P(A \cap B) = P(A)P(B) \]
      • Lưu ý: Phân biệt rõ khi nào dùng quy tắc cộng, quy tắc nhân. Phân biệt biến cố xung khắc và độc lập.
    • Dạng 6: Bài toán thực tế liên quan đến xác suất.
      • Phương pháp giải: Mô hình hóa bài toán về dạng bài toán đếm hoặc bài toán xác suất. Áp dụng các công thức và quy tắc để giải.
      • Lưu ý: Chú trọng việc chuyển hóa ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ toán học.

Chương VI: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

  • Kiến thức trọng tâm: Tọa độ điểm, vector; các phép toán tọa độ; phương trình đường thẳng; phương trình đường tròn; vị trí tương đối; khoảng cách.
  • Các dạng toán thường gặp:
    • Dạng 1: Tính toán tọa độ điểm, vector và các phép toán.
      • Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính tọa độ vector \[ \vec{AB} = (x_B-x_A; y_B-y_A) \] ; công thức tọa độ trung điểm, trọng tâm; công thức cộng, trừ vector, nhân vector với số bằng tọa độ; tính tích vô hướng bằng tọa độ \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v \] . \[ \vec{AB} = (x_B-x_A; y_B-y_A) \] \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v \]
      • Lưu ý: Cẩn thận với dấu khi tính tọa độ vector.
    • Dạng 2: Chứng minh các tính chất hình học sử dụng tọa độ.
      • Phương pháp giải: Chuyển bài toán hình học về tọa độ. Sử dụng tọa độ để tính độ dài đoạn thẳng, tọa độ điểm, vector, tích vô hướng... để chứng minh các tính chất (ví dụ: chứng minh tam giác vuông bằng tích vô hướng hai vector cạnh góc vuông bằng \[ 0 \] ). \[ 0 \]
      • Lưu ý: Cần nắm vững điều kiện về tọa độ cho các tính chất hình học.
    • Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng.
      • Phương pháp giải: Xác định vector pháp tuyến hoặc vector chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng để lập phương trình. Lập phương trình từ các điều kiện khác (đi qua 2 điểm, song song/vuông góc với đường thẳng khác, biết hệ số góc...).
      • Lưu ý: Phân biệt rõ vector pháp tuyến và vector chỉ phương, công thức phương trình tương ứng.
    • Dạng 4: Lập phương trình đường tròn.
      • Phương pháp giải: Xác định tâm \[ I(a, b) \] và bán kính \[ R \] . Áp dụng công thức \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \] . Xác định tâm và bán kính từ các điều kiện khác (đi qua 3 điểm, tâm thuộc đường thẳng, tiếp xúc đường thẳng...). \[ I(a, b) \] \[ R \] \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \]
      • Lưu ý: Nhớ điều kiện để phương trình \[ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \] là phương trình đường tròn ( \[ a^2 + b^2 - c > 0 \] ). \[ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \] \[ a^2 + b^2 - c > 0 \]
    • Dạng 5: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, đường thẳng và đường tròn.
      • Phương pháp giải: Vị trí tương đối hai đường thẳng: xét hệ phương trình. Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn: so sánh khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng với bán kính ( \[ d(I, \Delta) \] vs \[ R \] ). \[ d(I, \Delta) \] \[ R \]
      • Lưu ý: Nắm chắc công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Chương VII: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

  • Kiến thức trọng tâm: Định nghĩa, phương trình chính tắc, các yếu tố (tiêu điểm, đỉnh, trục, tâm sai, tiệm cận - Hypebol, đường chuẩn - Parabol) của Elip, Hypebol, Parabol. (Mở rộng) Phương trình tiếp tuyến, vị trí tương đối.
  • Các dạng toán thường gặp:
    • Dạng 1: Xác định các yếu tố từ phương trình chính tắc.
      • Phương pháp giải: Đưa phương trình về dạng chính tắc (nếu cần). Xác định các tham số \[ a, b, c, p \] và áp dụng công thức tính tọa độ tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục, tâm sai, phương trình tiệm cận/đường chuẩn. \[ a, b, c, p \]
      • Lưu ý: Phân biệt rõ công thức giữa Elip, Hypebol, Parabol. Cẩn thận với trường hợp Elip/Hypebol có tiêu điểm trên trục Oy.
    • Dạng 2: Lập phương trình chính tắc khi biết các yếu tố.
      • Phương pháp giải: Từ các thông tin đã cho (tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục, tâm sai, đi qua điểm...), lập hệ phương trình (thường theo \[ a, b, c \] hoặc \[ p \] ) và giải để tìm các tham số cần thiết, sau đó viết phương trình chính tắc. \[ a, b, c \] \[ p \]
      • Lưu ý: Nắm vững mối liên hệ giữa \[ a, b, c \] cho từng loại conic ( \[ a^2 = b^2 + c^2 \] cho Elip, \[ c^2 = a^2 + b^2 \] cho Hypebol). \[ a, b, c \] \[ a^2 = b^2 + c^2 \] \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
    • Dạng 3: (Mở rộng) Viết phương trình tiếp tuyến của conic.
      • Phương pháp giải: Áp dụng công thức tiếp tuyến tại điểm thuộc conic \[ \frac{x x_0}{a^2} \pm \frac{y y_0}{b^2} = 1 \] (Elip/Hypebol), \[ y y_0 = p(x + x_0) \] (Parabol). Hoặc sử dụng điều kiện tiếp xúc ( \[ A^2 a^2 + B^2 b^2 = C^2 \] cho Elip, \[ A^2 a^2 - B^2 b^2 = C^2 \] cho Hypebol) để giải bài toán tìm tiếp tuyến biết hệ số góc hoặc đi qua điểm ngoài. \[ \frac{x x_0}{a^2} \pm \frac{y y_0}{b^2} = 1 \] \[ y y_0 = p(x + x_0) \] \[ A^2 a^2 + B^2 b^2 = C^2 \] \[ A^2 a^2 - B^2 b^2 = C^2 \]
      • Lưu ý: Cẩn thận với dấu trong công thức tiếp tuyến và điều kiện tiếp xúc của Hypebol.
    • Dạng 4: (Mở rộng) Xét vị trí tương đối của đường thẳng và conic.
      • Phương pháp giải: Thay phương trình đường thẳng vào phương trình conic để được phương trình bậc hai. Xét số nghiệm của phương trình bậc hai ( \[ \Delta > 0 \] : 2 điểm chung, \[ \Delta = 0 \] : tiếp xúc, \[ \Delta < 0 \] : không cắt). Cẩn thận với Hypebol (có thể cắt tại 1 điểm nếu song song tiệm cận). \[ \Delta > 0 \] \[ 2 \] \[ \Delta = 0 \] \[ \Delta < 0 \]
      • Lưu ý: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai tùy thuộc vào hệ số của \[ x^2 \] hoặc \[ y^2 \] có bằng \[ 0 \] không. \[ x^2 \] \[ y^2 \] \[ 0 \]

Chương VIII: Quan hệ song song trong không gian

  • Kiến thức trọng tâm: Vị trí tương đối của đường/đường, đường/mặt, mặt/mặt; điều kiện song song; giao tuyến, giao điểm; thiết diện.
  • Các dạng toán thường gặp:
    • Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
      • Phương pháp giải: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.
      • Lưu ý: Hai điểm chung có thể đã cho hoặc cần phải tìm bằng cách xét giao điểm của đường thẳng nằm trong mặt phẳng này với mặt phẳng kia.
    • Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
      • Phương pháp giải: Tìm đường thẳng phụ nằm trong mặt phẳng và cắt đường thẳng đã cho. Hoặc tìm mặt phẳng phụ chứa đường thẳng đã cho và tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ với mặt phẳng đã cho. Giao điểm của đường thẳng đã cho với giao tuyến đó chính là giao điểm cần tìm.
      • Lưu ý: Chọn đường/mặt phụ phù hợp để việc tìm giao tuyến/giao điểm đơn giản.
    • Dạng 3: Chứng minh đường thẳng song song đường thẳng, đường thẳng song song mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
      • Phương pháp giải: Áp dụng các định lý và hệ quả (ví dụ: hai đường thẳng cùng song song đường thứ ba thì song song với nhau; đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì song song với mặt phẳng đó; hai mặt phẳng chứa hai cặp đường thẳng cắt nhau và song song với nhau thì song song). Sử dụng tính chất của hình lăng trụ, hình chóp có các cạnh song song.
      • Lưu ý: Vẽ hình chính xác giúp quan sát và định hướng chứng minh.
    • Dạng 4: Xác định thiết diện của hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng.
      • Phương pháp giải: Tìm các giao điểm của mặt phẳng cắt với các cạnh của hình. Nối các giao điểm nằm trong cùng một mặt của hình để được thiết diện là một đa giác.
      • Lưu ý: Mở rộng mặt phẳng cắt hoặc các mặt của hình nếu cần để tìm đủ giao điểm. Xác định rõ các giao tuyến trên từng mặt của hình.

Chương IX: Quan hệ vuông góc trong không gian. Khoảng cách và góc

  • Kiến thức trọng tâm: Quan hệ vuông góc (đường/đường, đường/mặt, mặt/mặt); xác định và tính khoảng cách; xác định và tính góc.
  • Các dạng toán thường gặp:
    • Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc đường thẳng, đường thẳng vuông góc mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.
      • Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa, điều kiện vuông góc (ví dụ: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó). Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt (hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình chóp đều...). Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
      • Lưu ý: Nắm vững các định lý và phương pháp chứng minh vuông góc.
    • Dạng 2: Tính khoảng cách.
      • Phương pháp giải:
        • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Dựng đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng, tính độ dài đoạn vuông góc đó. Có thể sử dụng công thức nếu có tọa độ (nâng cao).
        • Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Lấy điểm bất kỳ trên đường thẳng, tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng.
        • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Lấy điểm bất kỳ trên mặt phẳng này, tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng kia.
        • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài; hoặc sử dụng phương pháp mặt phẳng song song; hoặc sử dụng phương pháp vector (nâng cao).
      • Lưu ý: Xác định đúng đoạn vuông góc thể hiện khoảng cách. Kỹ năng dựng hình chiếu là quan trọng.
    • Dạng 3: Tính góc.
      • Phương pháp giải:
        • Góc giữa hai đường thẳng: Xác định góc giữa hai vector chỉ phương của chúng hoặc góc giữa hai đường thẳng cắt nhau và song song với hai đường thẳng đã cho.
        • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó.
        • Góc giữa hai mặt phẳng: Xác định giao tuyến. Lấy điểm bất kỳ trên giao tuyến, dựng hai đường thẳng trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại điểm đó. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vừa dựng.
      • Lưu ý: Xác định đúng góc cần tính (giá trị từ \[ 0^\circ \] đến \[ 90^\circ \] đối với góc giữa đường thẳng-đường thẳng, đường thẳng-mặt phẳng, mặt phẳng-mặt phẳng). \[ 0^\circ \] \[ 90^\circ \]

Chiến Lược Luyện Tập Các Dạng Toán Với SGK Cánh Diều

  • Học lý thuyết đi đôi với ví dụ: Đọc kỹ phần "Hình thành kiến thức" và xem các ví dụ minh họa trong SGK.
  • Làm hết bài tập phần "Luyện tập": Các bài tập này thường là cơ bản, giúp bạn củng cố ngay kiến thức vừa học.
  • Tập trung vào bài tập phần "Vận dụng": Đây là các bài tập gắn với thực tiễn và yêu cầu vận dụng tổng hợp, rất quan trọng để phát triển năng lực.
  • Sử dụng Vở bài tập/Sách bài tập: Nguồn bài tập bổ sung theo từng dạng rất hữu ích.
  • Luyện tập theo dạng: Sau khi học lý thuyết, tìm thêm bài tập theo từng dạng (đã phân loại ở trên) để rèn luyện kỹ năng giải cho dạng đó.

Sử Dụng Công Cụ Hỗ Trợ Giải Toán

  • Máy tính Casio fx-580VN X: Hỗ trợ tính toán (tổ hợp \[ C_n^k \] , chỉnh hợp \[ A_n^k \] , giới hạn tại điểm \[ \lim_{x \to x_0} \] , đạo hàm tại điểm \[ f'(x_0) \] ), giúp tiết kiệm thời gian và kiểm tra kết quả. \[ C_n^k \] \[ A_n^k \] \[ \lim_{x \to x_0} \] \[ f'(x_0) \]
  • Desmos/GeoGebra: Tuyệt vời để vẽ đồ thị hàm số, minh họa các khái niệm giải tích. GeoGebra 3D giúp vẽ hình không gian để trực quan hóa bài toán.

Kết Luận

Làm chủ các dạng toán thường gặp trong SGK Toán 11 Cánh Diều là chìa khóa để bạn học tốt môn Toán và làm bài kiểm tra hiệu quả. Bằng cách nhận diện từng dạng bài theo phân loại đã trình bày và áp dụng đúng phương pháp giải tương ứng, kết hợp với việc luyện tập đều đặn các bài tập trong SGK và tài liệu bổ trợ, bạn sẽ từng bước nâng cao khả năng giải toán của mình.

Hãy bắt đầu phân loại và luyện tập các dạng toán theo chương trình SGK Toán 11 Cánh Diều ngay hôm nay. Chúc bạn ôn tập thành công và tự tin chinh phục các bài tập khó! 11

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

BÀI VIẾT MỚI NHẤT