Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn (Lớp 9): Toàn Tập Lý Thuyết A-Z

Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn (Lớp 9): Toàn Tập Lý Thuyết & Ứng Dụng

Giới thiệu: Giải mã "ngôn ngữ" của các góc và cạnh trong tam giác vuông

Từ thuở sơ khai, con người đã luôn ngước nhìn lên bầu trời và khao khát đo lường những thứ vượt xa tầm với: chiều cao của một ngọn núi, khoảng cách đến mặt trăng, hay đường đi của các vì sao. Làm thế nào để làm được điều đó khi không thể dùng thước đo trực tiếp? Câu trả lời nằm trong một nhánh toán học đầy quyền năng và vẻ đẹp: Lượng giác học (Trigonometry), và trái tim của nó chính là các tỉ số lượng giác của góc nhọn.

>> Xem thêm: Giải Toán 9.

Tỉ số lượng giác là gì và tại sao nó lại quan trọng?

Từ những bài toán đo đạc cổ đại...

Cách người Ai Cập, Hy Lạp cổ đại tính chiều cao kim tự tháp, khoảng cách đến các vì sao chỉ với một cây gậy và các góc.

Các nhà toán học cổ đại như Thales, Eratosthenes đã nhận ra một quy luật kỳ diệu: có một mối quan hệ không đổi giữa các góc và tỉ lệ độ dài các cạnh trong một tam giác vuông. Chỉ bằng cách đo bóng của một cây gậy và góc của mặt trời, họ có thể suy ra chiều cao của những kim tự tháp khổng lồ. Tỉ số lượng giác chính là sự hệ thống hóa của mối quan hệ bất biến và mạnh mẽ này.

...Đến công cụ không thể thiếu trong khoa học hiện đại

Ứng dụng trong vật lý (phân tích lực), kỹ thuật (thiết kế), đồ họa máy tính (xử lý hình ảnh 3D), và hàng hải.

Ngày nay, tỉ số lượng giác là ngôn ngữ cơ bản của khoa học và kỹ thuật. Một kỹ sư dùng nó để thiết kế một cây cầu vững chắc, một nhà vật lý dùng nó để phân tích các vector lực, một lập trình viên dùng nó để xoay các vật thể trong không gian 3D, và một người đi biển dùng nó để xác định phương hướng.

Lộ trình bài viết: Từ định nghĩa gốc đến giải quyết bài toán thực tế

Cam kết cung cấp kiến thức sâu, bản chất, dễ hiểu và một hệ thống bài tập logic giúp bạn làm chủ hoàn toàn chuyên đề này.

Bài viết này được cấu trúc với 80% nội dung tập trung vào việc xây dựng và luận giải cơ sở lý thuyết, giúp bạn hiểu "tại sao" đằng sau mỗi công thức. 20% còn lại là các ví dụ minh họa được lựa chọn cẩn thận để làm sáng tỏ cho lý thuyết đó.

PHẦN 1: LÝ THUYẾT CHUYÊN SÂU

1. Nền tảng cần nắm vững: Tam giác vuông và các cạnh

Mọi tỉ số lượng giác của góc nhọn đều được định nghĩa trong bối cảnh của một tam giác vuông.

1.1. Ôn tập các khái niệm trong tam giác vuông

Xác định đúng các cạnh

Cạnh huyền: Cạnh lớn nhất, đối diện góc vuông.

Cạnh góc vuông: Hai cạnh tạo thành góc vuông.

1.2. Quy ước "Đối - Kề" theo một góc nhọn

Đây là quy ước cốt lõi để xác định đúng tỉ số lượng giác.

"Đối" và "Kề" không phải là thuộc tính cố định của một cạnh, mà nó mang tính tương đối tùy thuộc vào góc nhọn mà chúng ta đang xét.

Xét góc \[\alpha\]:

Cạnh đối: Cạnh nằm đối diện với góc \[\alpha\].

Cạnh kề: Cạnh góc vuông còn lại, nằm kề góc \[\alpha\].

Thực hành nhanh: Xác định cạnh đối, kề của góc B và góc C trong tam giác ABC vuông tại A.

• Xét góc B:
  • Cạnh đối: \[AC\]
  • Cạnh kề: \[AB\]
  • Cạnh huyền: \[BC\]
• Xét góc C:
  • Cạnh đối: \[AB\]
  • Cạnh kề: \[AC\]
  • Cạnh huyền: \[BC\] Ta thấy rằng, cạnh đối của góc này chính là cạnh kề của góc kia. Đây là một quan sát quan trọng.

2. Định nghĩa chi tiết 4 Tỉ Số Lượng Giác

2.1. Sin (sinus) - Tỉ số của "Đối trên Huyền"

Công thức định nghĩa

\[\sin\alpha = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}}\]

Ý nghĩa và bản chất

Sin thể hiện "mức độ vươn cao" của góc nhọn. Góc càng lớn, cạnh đối càng dài (khi cạnh huyền không đổi), và sin của góc đó càng lớn.

Hãy tưởng tượng một chiếc thang có độ dài không đổi dựa vào tường. Khi bạn tăng góc của thang so với mặt đất (tăng \[\alpha\]), chiều cao mà thang đạt được trên tường (cạnh đối) sẽ tăng lên. Tỉ số giữa chiều cao này và chiều dài thang chính là sin của góc đó. Giá trị của sin luôn nằm trong khoảng \[(0, 1)\] đối với góc nhọn.

2.2. Cos (cosinus) - Tỉ số của "Kề trên Huyền"

Công thức định nghĩa

\[\cos\alpha = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}}\]

Ý nghĩa và bản chất

Cos thể hiện "mức độ vươn xa" của góc nhọn. Góc càng lớn, cạnh kề càng ngắn lại (khi cạnh huyền không đổi), và cos của góc đó càng nhỏ.

Cũng với chiếc thang đó, khi bạn tăng góc \[\alpha\], khoảng cách từ chân thang đến tường (cạnh kề) sẽ ngắn lại. Tỉ số giữa khoảng cách này và chiều dài thang chính là cos của góc đó.

2.3. Tan (tangent) - Tỉ số của "Đối trên Kề"

Công thức định nghĩa

\[\tan\alpha = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}}\]

Ý nghĩa và bản chất

Tan thể hiện "độ dốc" của cạnh huyền so với cạnh kề. Góc càng lớn, độ dốc càng cao, và tan của góc đó càng lớn.

Đây là một khái niệm cực kỳ quan trọng. Trong nhiều lĩnh vực, tan của một góc chính là "hệ số góc" hay "độ dốc" (slope). Một con đường có góc dốc \[30^\circ\] sẽ có độ dốc là \[\tan(30^\circ)\]. Khi góc tăng dần đến \[90^\circ\], độ dốc tăng đến vô cùng.

2.4. Cot (cotangent) - Tỉ số của "Kề trên Đối"

Công thức định nghĩa

\[\cot\alpha = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh đối}}\]

Ý nghĩa và bản chất

Cot là nghịch đảo của tan, thể hiện "độ trải ngang" của góc. Góc càng lớn, cot của góc đó càng nhỏ.

2.5. Mẹo ghi nhớ "Thần chú"

Các câu thần chú phổ biến

Để ghi nhớ các tỉ số này một cách dễ dàng, học sinh Việt Nam thường dùng các câu sau:

Cách 1: Sin đi học (Đối/Huyền), Cos không hư (Kề/Huyền), Tang đoàn kết (Đối/Kề), Cot kết đoàn (Kề/Đối).

Cách 2: Sao đi học (S-Đ/H), Cứ khóc hoài (C-K/H), Thôi đừng khóc (T-Đ/K), Có kẹo đây (C-K/Đ).

3. Các tính chất và hằng đẳng thức lượng giác quan trọng

Các tỉ số lượng giác không phải là những đại lượng độc lập mà có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.

3.1. Mối quan hệ giữa các tỉ số

Mối quan hệ giữa Tan, Cot, Sin và Cos

Chứng minh: \[\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]

\[ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\text{Đối/Huyền}}{\text{Kề/Huyền}} = \frac{\text{Đối}}{\text{Huyền}} \cdot \frac{\text{Huyền}}{\text{Kề}} = \frac{\text{Đối}}{\text{Kề}} = \tan\alpha \]

Chứng minh: \[\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\]

Chứng minh hoàn toàn tương tự.

Hệ quả: \[\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1\]

\[ \tan\alpha \cdot \cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1 \]

Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản (Pytago trong lượng giác)

Chứng minh: \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\] (sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông có cạnh huyền bằng 1).

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. \[ \sin^2B + \cos^2B = \left(\frac{AC}{BC}\right)^2 + \left(\frac{AB}{BC}\right)^2 = \frac{AC^2 + AB^2}{BC^2} \] Theo định lý Pytago, \[AC^2 + AB^2 = BC^2\]. Do đó: \[ \sin^2B + \cos^2B = \frac{BC^2}{BC^2} = 1 \]

Hệ quả: \[1+\tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\] và \[1+\cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}\].

Chứng minh: Chia cả hai vế của \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\] cho \[\cos^2\alpha\] (với \[\cos\alpha \ne 0\]) ta được hệ quả thứ nhất. Chia cho \[\sin^2\alpha\] ta được hệ quả thứ hai.

3.2. Tính chất của hai góc phụ nhau

Định lý

Nếu hai góc \[\alpha\] và \[\beta\] phụ nhau (\[\alpha+\beta=90^\circ\]) thì:

\[\sin\alpha=\cos\beta\] (sin góc này bằng cosin góc kia)

\[\tan\alpha=\cot\beta\] (tan góc này bằng cotan góc kia)

• Chứng minh: Trong tam giác vuông ABC, hai góc B và C là phụ nhau. Ta có: \[ \sin B = \frac{AC}{BC} \] \[ \cos C = \frac{AC}{BC} \] Vậy \[\sin B = \cos C\]. Các trường hợp khác chứng minh tương tự.

Ý nghĩa và ứng dụng

Giúp rút gọn các biểu thức phức tạp, cho phép chuyển đổi giữa các tỉ số lượng giác một cách linh hoạt.

3.3. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Bảng giá trị cho các góc 30°, 45°, 60°

Hướng dẫn cách dựng hình để tìm ra các giá trị này (dùng tam giác đều và tam giác vuông cân).

• Góc 45°: Dựng tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng 1. Cạnh huyền sẽ là \[\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\]. Từ đó suy ra các tỉ số.
• Góc 30° và 60°: Dựng tam giác đều có cạnh bằng 2. Kẻ đường cao, đường cao này cũng là đường trung tuyến. Ta sẽ có một tam giác vuông với các cạnh là 1, \[\sqrt{3}\] và 2, cùng các góc 30°, 60°, 90°. Từ đó suy ra các tỉ số.

4. Mở rộng: Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

4.1. Phát biểu các hệ thức

"Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:"

Cạnh huyền nhân với sin góc đối.

Cạnh huyền nhân với cosin góc kề.

Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối.

Cạnh góc vuông kia nhân với cotan góc kề.

4.2. Ý nghĩa

Đây chính là nền tảng của bài toán "Giải tam giác vuông", cho phép tìm các yếu tố còn lại của tam giác khi biết hai yếu tố (trong đó có ít nhất một cạnh).

Các hệ thức này thực chất chỉ là việc viết lại các công thức định nghĩa tỉ số lượng giác dưới một dạng khác để tiện cho việc tính toán cạnh. Ví dụ, từ \[\sin B = \frac{b}{a}\], ta suy ra \[b = a \cdot \sin B\].

PHẦN 2: BÀI TẬP VÍ DỤ VÀ ỨNG DỤNG

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác và cạnh

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm.

a) Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

b) Từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C mà không cần tính toán lại.

Hướng dẫn giải:

• Dùng Pytago tính BC: \[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\] cm.
• Áp dụng định nghĩa tính TSLG góc B: \[\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\] \[\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\] \[\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\] \[\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]
• Dùng tính chất hai góc phụ nhau để suy ra TSLG của góc C: Vì B và C là hai góc phụ nhau: \[\sin C = \cos B = \frac{3}{5}\] \[\cos C = \sin B = \frac{4}{5}\] \[\tan C = \cot B = \frac{3}{4}\] \[\cot C = \tan B = \frac{4}{3}\]

Dạng 2: Dựng góc khi biết một tỉ số lượng giác

Ví dụ 2

Dựng góc nhọn \[\alpha\] biết \[\tan\alpha=\frac{3}{4}\].

Hướng dẫn các bước dựng hình:

• Bước 1: Dựng góc vuông \[xOy\].
• Bước 2: Trên tia \[Ox\], lấy điểm A sao cho \[OA = 4\] đơn vị.
• Bước 3: Trên tia \[Oy\], lấy điểm B sao cho \[OB = 3\] đơn vị.
• Bước 4: Nối A và B. Góc \[\angle OAB\] (góc tại A) chính là góc \[\alpha\] cần dựng vì \[\tan(\angle OAB) = \frac{\text{Đối}}{\text{Kề}} = \frac{OB}{OA} = \frac{3}{4}\].

Dạng 3: Chứng minh và rút gọn biểu thức

Ví dụ 3

Rút gọn biểu thức: \[A=(1−\cos\alpha)(1+\cos\alpha)−\sin^2\alpha+5\].

Hướng dẫn giải:

• Dùng hằng đẳng thức: \[(1−\cos\alpha)(1+\cos\alpha)=1−\cos^2\alpha\].
• Thay \[1−\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\]: Biểu thức trở thành \[A = \sin^2\alpha - \sin^2\alpha + 5\].
• Rút gọn và được kết quả cuối cùng là 5.

Dạng 4: Bài toán ứng dụng thực tế

Ví dụ 4

Một chiếc thang dài 5m đặt dựa vào tường. Góc tạo bởi chân thang và mặt đất là 65°. Hỏi chiều cao mà thang đạt được trên tường là bao nhiêu mét?

Bước 1: Mô hình hóa. Vẽ tam giác vuông ABC (A là chân tường, B là chân thang, C là đỉnh thang trên tường).

Bước 2: Phân tích. Cạnh huyền \[BC = 5\]m, góc \[\hat{B} = 65^\circ\]. Cần tìm cạnh đối \[AC\].

Bước 3: Giải. Dùng hệ thức về cạnh và góc: \[AC=BC \cdot \sin B = 5 \cdot \sin 65^\circ\].

Bước 4: Kết luận. Bấm máy tính: \[5 \cdot \sin 65^\circ \approx 4.53\]. Vậy chiều cao thang đạt được là khoảng \[4.53\] mét.

Tổng kết và Lời khuyên

Sơ đồ tư duy tổng hợp toàn bộ kiến thức

Để hệ thống hóa toàn bộ kiến thức đã học, bạn có thể hình dung qua một sơ đồ tư duy logic như sau:

• Điểm xuất phát: TAM GIÁC VUÔNG (ABC, vuông tại A)
  • Các yếu tố:
    • Cạnh Huyền (\[BC\])
    • Cạnh Góc Vuông (\[AB\], \[AC\])
  • Xét một GÓC NHỌN \[\alpha\] (ví dụ: \[\hat{B}\])
    • Quy ước:
      • Cạnh Đối: \[AC\]
      • Cạnh Kề: \[AB\]
    • Suy ra 4 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC:
      • \[\sin B = \frac{\text{Đối}}{\text{Huyền}} = \frac{AC}{BC}\]
      • \[\cos B = \frac{\text{Kề}}{\text{Huyền}} = \frac{AB}{BC}\]
      • \[\tan B = \frac{\text{Đối}}{\text{Kề}} = \frac{AC}{AB}\]
      • \[\cot B = \frac{\text{Kề}}{\text{Đối}} = \frac{AB}{AC}\]
    • Từ đó dẫn đến các TÍNH CHẤT & HỆ THỨC:
      • Mối liên hệ cơ bản:
        • \[\tan B = \frac{\sin B}{\cos B}\]
        • \[\tan B \cdot \cot B = 1\]
      • Hằng đẳng thức Pytago:
        • \[\sin^2 B + \cos^2 B = 1\]
      • Quan hệ với góc phụ \[\hat{C}\]:
        • \[\sin B = \cos C\]
        • \[\cos B = \sin C\]
        • \[\tan B = \cot C\]
    • Và các ỨNG DỤNG:
      • Hệ thức về cạnh và góc:
        • \[AC = BC \cdot \sin B\]
        • \[AB = BC \cdot \cos B\]
        • \[AC = AB \cdot \tan B\]
      • Giải tam giác vuông.
      • Giải các bài toán thực tế.

Những sai lầm phổ biến và cách khắc phục

Nhầm lẫn giữa cạnh Đối và Kề.

Đây là sai lầm cơ bản và nguy hiểm nhất, nó sẽ làm cho mọi tính toán sau đó đều sai.

Cách khắc phục: Luôn đặt bút vào góc đang xét để xác định.

Khi bạn cần tìm tỉ số lượng giác của góc B, hãy đặt đầu bút chì của bạn vào đỉnh B.

• Cạnh góc vuông mà bút chì của bạn không chạm vào chính là cạnh Đối (AC).
• Cạnh góc vuông mà bút chì của bạn đang chạm vào chính là cạnh Kề (AB). Thực hiện thao tác đơn giản này mỗi lần sẽ giúp bạn tạo thành một phản xạ chính xác.

Áp dụng sai tính chất góc phụ (sin góc này bằng sin góc kia).

Học sinh thường nhớ nhầm thành \[\sin B = \sin C\].

Cách khắc phục: Đọc kỹ "thần chú" - sin thành cos, tan thành cot.

Hãy nhớ rằng hai góc phụ nhau có các tỉ số lượng giác "chéo" nhau: sin của góc này bằng cosin của góc kia, tan của góc này bằng cotan của góc kia. Chữ "co" (trong cos, cot) chính là viết tắt của "complementary" (phụ nhau).

Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio để tính toán và kiểm tra

Máy tính bỏ túi là một công cụ đắc lực, nhưng phải được sử dụng đúng cách.

• Quan trọng nhất: Kiểm tra chế độ góc. Trước khi bấm bất cứ gì, hãy nhìn lên góc trên của màn hình. Nếu bạn thấy chữ D (Degree - Độ), bạn đang ở đúng chế độ. Nếu bạn thấy chữ R (Radian) hay G (Gradian), kết quả của bạn sẽ sai hoàn toàn.
  • Cách chuyển sang chế độ Độ (D) trên máy Fx-580VNX: Nhấn SHIFT -> MENU -> 2 (Đơn vị góc) -> 1 (Độ).

Cách bấm các phím sin, cos, tan.

Để tính \[\sin(30^\circ)\], bạn chỉ cần bấm phím sin, nhập 30, đóng ngoặc ), và nhấn =. Kết quả sẽ là \[\frac{1}{2}\].

Cách tìm góc khi biết tỉ số lượng giác (dùng SHIFT sin/cos/tan).

Đây là chức năng ngược lại. Ví dụ, bạn biết \[\sin \alpha = 0.5\] và cần tìm góc \[\alpha\].

• Bạn sẽ bấm: SHIFT -> sin (lúc này màn hình hiện ra \[\sin^{-1}(\]) -> nhập 0.5 -> ) -> =.
• Kết quả sẽ là 30. Vậy góc \[\alpha\] là \[30^\circ\].