phương pháp giải toán min – max và bất đẳng thức – đặng thành nam

Cuốn sách "Phương pháp giải bài toán Min – Max và Bất đẳng thức" của tác giả Đặng Thành Nam là một tài liệu chuyên sâu và hệ thống, dày 734 trang, dành cho học sinh, sinh viên và những người yêu thích toán học, đặc biệt là lĩnh vực bất đẳng thức và tối ưu hóa. Cuốn sách không chỉ cung cấp các kiến thức nền tảng mà còn đi sâu vào các kỹ thuật giải quyết bài toán phức tạp, giúp người đọc nâng cao khả năng tư duy logic và sáng tạo.

Cấu trúc nội dung của sách được chia thành bốn chương chính, mỗi chương tập trung vào một nhóm phương pháp và kỹ thuật cụ thể:

1. Chương 1: Bất đẳng thức và các kỹ thuật cơ bản
• Chủ đề 1: Kỹ thuật biến đổi tương đương – nền tảng quan trọng để đơn giản hóa và giải quyết bất đẳng thức.
• Chủ đề 2: Kỹ thuật minh phản chứng – phương pháp chứng minh gián tiếp hiệu quả, đặc biệt khi các phương pháp trực tiếp gặp khó khăn.
• Chủ đề 3: Kỹ thuật quy nạp toán học – công cụ mạnh mẽ để chứng minh các mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên.
• Chủ đề 4: Kỹ thuật miền giá trị – xác định giới hạn của biểu thức, giúp đánh giá và so sánh các giá trị.
• Chủ đề 5: Kỹ thuật sử dụng nguyên lí Diricle – ứng dụng nguyên lí này để chứng minh sự tồn tại của các phần tử thỏa mãn điều kiện nhất định.
• Chủ đề 6: Kỹ thuật tam thức bậc hai – phân tích và sử dụng tính chất của tam thức bậc hai để giải quyết bất đẳng thức.
• Chủ đề 7: Kỹ thuật đánh giá bất đẳng thức tích phân – sử dụng tích phân để đánh giá và so sánh các giá trị.
2. Chương 2: Bất đẳng thức và phương pháp tiếp cận
• Chủ đề 1: Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM cơ bản – ứng dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
• Chủ đề 2: Kỹ thuật ghép cặp trong chứng minh đẳng thức AM-GM – kỹ thuật nâng cao để chứng minh các đẳng thức liên quan đến AM-GM.
• Chủ đề 3: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số – mở rộng ứng dụng của AM-GM trong các bài toán phức tạp.
• Chủ đề 4: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz – công cụ mạnh mẽ để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
• Chủ đề 5: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức – ứng dụng Cauchy-Schwarz trong các bài toán liên quan đến phân thức.
• Chủ đề 6: Kỹ thuật tham số hóa – sử dụng tham số để đơn giản hóa và giải quyết bài toán.
• Chủ đề 7: Bất đẳng thức Holder và ứng dụng – giới thiệu và ứng dụng bất đẳng thức Holder trong giải toán.
• Chủ đề 8: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Chebyshev – ứng dụng bất đẳng thức Chebyshev để chứng minh bất đẳng thức.
• Chủ đề 9: Bất đẳng thức Bernoulli và ứng dụng – giới thiệu và ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli trong giải toán.
3. Chương 3: Phương trình hàm số trong giải toán bất đẳng thức và cực trị
• Chủ đề 1-3: Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu cho bài toán cực trị và bất đẳng thức với một, hai và ba biến số – ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết bài toán.
• Chủ đề 4: Kỹ thuật sử dụng tính thuần nhất – phân tích và sử dụng tính thuần nhất của biểu thức để giải quyết bài toán.
• Chủ đề 5: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến – ứng dụng bất đẳng thức tiếp tuyến để đánh giá và so sánh các giá trị.
• Chủ đề 6: Kỹ thuật khảo sát hàm nhiều biến – phương pháp khảo sát hàm số nhiều biến để tìm cực trị và giải quyết bất đẳng thức.
• Chủ đề 7: Kỹ thuật sử dụng tính chất của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai – ứng dụng tính chất của nhị thức và tam thức bậc hai để giải quyết bài toán.
• Chủ đề 8: Bất đẳng thức phụ đáng chú ý và áp dụng giải đề thi tuyển sinh – giới thiệu các bất đẳng thức phụ thường gặp và ứng dụng trong giải đề thi.
• Chủ đề 9: Bài toán chọn lọc bất đẳng thức và cực trị ba biến – tập hợp các bài toán chọn lọc để rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán phức tạp.
4. Chương 4: Số phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác
• Chủ đề 1: Kỹ thuật lượng giác hóa – sử dụng hàm lượng giác để biến đổi và giải quyết bất đẳng thức.
• Chủ đề 2: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Schur – giới thiệu và ứng dụng bất đẳng thức Schur trong giải toán.
• Chủ đề 3: Kỹ thuật dồn biến – kỹ thuật nâng cao để giải quyết các bài toán bất đẳng thức phức tạp.

Đánh giá và nhận xét:

Cuốn sách là một nguồn tài liệu tham khảo quý giá cho những ai muốn nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán bất đẳng thức và cực trị. Điểm mạnh của cuốn sách nằm ở sự hệ thống hóa các phương pháp và kỹ thuật, cùng với các ví dụ minh họa phong phú và đa dạng. Các chủ đề được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu, giúp người đọc dễ dàng nắm bắt và áp dụng vào thực tế. Đặc biệt, việc phân loại các kỹ thuật theo từng chương giúp người đọc có thể dễ dàng tìm kiếm và lựa chọn phương pháp phù hợp với từng bài toán cụ thể. Tuy nhiên, do tính chất chuyên sâu của nội dung, cuốn sách có thể đòi hỏi người đọc phải có kiến thức nền tảng vững chắc về toán học.