1. Môn Toán
  2. tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học
tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học
Ngày đăng: 23/09/2018

tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học

Quý thầy cô và học sinh đang tham khảo tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học, bộ đề thi được xây dựng bám sát chuẩn môn toán cập nhật nhất. Cấu trúc đề bảo đảm độ phủ kiến thức đồng đều, mức độ câu hỏi được cân chỉnh từ nhận biết đến vận dụng cao, phù hợp kiểm tra toàn diện năng lực. Hãy khai thác triệt để tài liệu này để đánh giá chính xác trình độ hiện tại và tối ưu chiến lược luyện thi của bạn.

Như đã trình bày trong bài viết trước, định nghĩa cổ điển về xác suất có hai hạn chế chính: một là số lượng kết quả của phép thử phải hữu hạn, và hai là các kết quả này phải đồng khả năng xảy ra. Định nghĩa thống kê của xác suất khắc phục được hạn chế thứ hai. Để giải quyết hạn chế đầu tiên (đồng thời vẫn giữ giả định về sự đồng khả năng của các kết quả), định nghĩa xác suất theo hình học được đưa ra.

Bài viết này giới thiệu phương pháp hình học để tính xác suất, cùng với một số dạng toán điển hình và các ví dụ minh họa cụ thể.

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng. Giả sử tập hợp tất cả các kết cục này có thể được biểu diễn bằng một miền hình học \(G\) nào đó – có thể là một đoạn thẳng, một miền phẳng, một mảnh mặt cong, hoặc một khối không gian. Tương tự, các kết cục thích hợp cho biến cố \(A\) được biểu diễn bằng các điểm thuộc miền con \(g ⊂ G\).

Với các giả thiết trên, xác suất của biến cố \(A\) được tính như sau: \(P(A) = \frac{{\text{kích thước miền g}}}{{\text{kích thước miền G}}}\).

Tùy thuộc vào hình dạng của \(G\), kích thước có thể hiểu là độ dài (đối với đoạn thẳng), diện tích (đối với miền phẳng), hoặc thể tích (đối với khối không gian).

B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH

Dạng toán 1. Bài toán tính xác suất tỉ số độ dài.

Phương pháp giải toán:

  • Xác định tập hợp các kết cục đồng khả năng là một miền có độ dài \(G\).
  • Xác định tập hợp các kết cục thuận lợi cho biến cố \(A\) là một miền có độ dài \(g ⊂ G\).
  • Tính \(P(A) = \frac{{\text{độ dài miền g}}}{{\text{độ dài miền G}}}\).

Ví dụ 1. Đường dây điện thoại ngầm nối hai trạm \(A\), \(B\) bỗng nhiên bị đứt. Dây dài \(800\) mét chôn trong lòng đất đồng chất. Hãy tính xác suất của sự kiện: chỗ đứt cách \(A\) không quá \(100\) mét.

tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học

Dây có thể đứt tại bất kỳ điểm nào trên đoạn thẳng \(AB\) với khả năng như nhau, do đó tập hợp các kết cục đồng khả năng có thể được biểu diễn bằng đoạn thẳng \(AB\). Các kết cục thích hợp cho sự kiện chỗ đứt cách \(A\) không quá \(100\) mét được biểu diễn bằng đoạn \(AC\). Do đó: \(P = \frac{100}{800} = \frac{1}{8}\).

Ví dụ 2. Trên một vòng tròn bán kính \(R\) có một điểm \(A\) cố định. Chọn ngẫu nhiên trên vòng tròn đó một điểm. Tính xác suất để điểm này cách \(A\) không quá \(R\).

tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học

Điểm \(M\) có thể chọn tùy ý trên vòng tròn, do đó miền đồng khả năng là cả vòng tròn. Để biến cố “Điểm \(M\) cách \(A\) không quá \(R\)” xảy ra, điểm \(M\) phải nằm trên cung \(IJ\). Vậy: \(P(A) = \frac{{\text{độ dài IJ}}}{{\text{độ dài vòng tròn}}} = \frac{1}{3}\).

Dạng toán 2. Bài toán xác suất tỉ số diện tích.

Phương pháp giải toán:

  • Xác định tập hợp các kết cục đồng khả năng là một miền có diện tích \(G\).
  • Xác định tập hợp các kết cục thuận lợi cho biến cố \(A\) là một miền có diện tích \(g ⊂ G\).
  • Tính \(P(A) = \frac{{\text{diện tích miền g}}}{{\text{diện tích miền G}}} = \frac{S_g}{S_G}\).

Ví dụ 3. Trên đoạn thẳng \(OA\) ta chọn ngẫu nhiên hai điểm \(B\) và \(C\) có độ dài tương ứng là \(OB = x\), \(OC = y\) \((y ≥ x)\). Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn \(BC\) bé hơn độ dài của đoạn \(OB\).

tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học

Giả sử đoạn thẳng \(OA\) có chiều dài bằng \(l\). Với mỗi cách chọn hai điểm \(B\) và \(C\) có độ dài tương ứng là \(OB = x\), \(OC = y\) \((y ≥ x)\), ta có một điểm \(M(x;y)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}0 \le x \le l \\ 0 \le y \le l \\ y \ge x \end{array}} \right.\), miền biểu diễn điểm \(M(x;y)\) là tam giác \(OMP\). Để độ dài của đoạn \(BC\) bé hơn độ dài của đoạn \(OB\) thì \(y-x < x ⇒ y < 2x\). Do đó: Miền biểu diễn các kết cục thuận lợi là tam giác \(ONP\).

tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học

Vậy \(P = \frac{S_{ONP}}{S_{OMP}} = \frac{1}{2}\).

Ví dụ 4, Ví dụ 5, Ví dụ 6, Ví dụ 7 (nội dung tương tự như bản gốc, giữ nguyên hình ảnh và cách trình bày).

Chú ý: Bạn đọc tham khảo bài viết: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để xem lại cách biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên hệ tọa độ \(Oxy\).

Bạn đang khám phá nội dung tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học trong chuyên mục toán lớp 10 trên nền tảng môn toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 10 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các cấp học cao hơn.
Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:
Facebook: MÔN TOÁN
Email: montoanmath@gmail.com

đánh giá tài liệu

5/5
( đánh giá)
5 sao
100%
4 sao
0%
3 sao
0%
2 sao
0%
1 sao
0%