Như đã trình bày trong bài viết trước, định nghĩa cổ điển về xác suất có hai hạn chế chính: một là số lượng kết quả của phép thử phải hữu hạn, và hai là các kết quả này phải đồng khả năng xảy ra. Định nghĩa thống kê của xác suất khắc phục được hạn chế thứ hai. Để giải quyết hạn chế đầu tiên (đồng thời vẫn giữ giả định về sự đồng khả năng của các kết quả), định nghĩa xác suất theo hình học được đưa ra.
Bài viết này giới thiệu phương pháp hình học để tính xác suất, cùng với một số dạng toán điển hình và các ví dụ minh họa cụ thể.
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng. Giả sử tập hợp tất cả các kết cục này có thể được biểu diễn bằng một miền hình học \(G\) nào đó – có thể là một đoạn thẳng, một miền phẳng, một mảnh mặt cong, hoặc một khối không gian. Tương tự, các kết cục thích hợp cho biến cố \(A\) được biểu diễn bằng các điểm thuộc miền con \(g ⊂ G\).
Với các giả thiết trên, xác suất của biến cố \(A\) được tính như sau: \(P(A) = \frac{{\text{kích thước miền g}}}{{\text{kích thước miền G}}}\).
Tùy thuộc vào hình dạng của \(G\), kích thước có thể hiểu là độ dài (đối với đoạn thẳng), diện tích (đối với miền phẳng), hoặc thể tích (đối với khối không gian).
B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH
Dạng toán 1. Bài toán tính xác suất tỉ số độ dài.
Phương pháp giải toán:
Ví dụ 1. Đường dây điện thoại ngầm nối hai trạm \(A\), \(B\) bỗng nhiên bị đứt. Dây dài \(800\) mét chôn trong lòng đất đồng chất. Hãy tính xác suất của sự kiện: chỗ đứt cách \(A\) không quá \(100\) mét.
Dây có thể đứt tại bất kỳ điểm nào trên đoạn thẳng \(AB\) với khả năng như nhau, do đó tập hợp các kết cục đồng khả năng có thể được biểu diễn bằng đoạn thẳng \(AB\). Các kết cục thích hợp cho sự kiện chỗ đứt cách \(A\) không quá \(100\) mét được biểu diễn bằng đoạn \(AC\). Do đó: \(P = \frac{100}{800} = \frac{1}{8}\).
Ví dụ 2. Trên một vòng tròn bán kính \(R\) có một điểm \(A\) cố định. Chọn ngẫu nhiên trên vòng tròn đó một điểm. Tính xác suất để điểm này cách \(A\) không quá \(R\).
Điểm \(M\) có thể chọn tùy ý trên vòng tròn, do đó miền đồng khả năng là cả vòng tròn. Để biến cố “Điểm \(M\) cách \(A\) không quá \(R\)” xảy ra, điểm \(M\) phải nằm trên cung \(IJ\). Vậy: \(P(A) = \frac{{\text{độ dài IJ}}}{{\text{độ dài vòng tròn}}} = \frac{1}{3}\).
Dạng toán 2. Bài toán xác suất tỉ số diện tích.
Phương pháp giải toán:
Ví dụ 3. Trên đoạn thẳng \(OA\) ta chọn ngẫu nhiên hai điểm \(B\) và \(C\) có độ dài tương ứng là \(OB = x\), \(OC = y\) \((y ≥ x)\). Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn \(BC\) bé hơn độ dài của đoạn \(OB\).
Giả sử đoạn thẳng \(OA\) có chiều dài bằng \(l\). Với mỗi cách chọn hai điểm \(B\) và \(C\) có độ dài tương ứng là \(OB = x\), \(OC = y\) \((y ≥ x)\), ta có một điểm \(M(x;y)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}0 \le x \le l \\ 0 \le y \le l \\ y \ge x \end{array}} \right.\), miền biểu diễn điểm \(M(x;y)\) là tam giác \(OMP\). Để độ dài của đoạn \(BC\) bé hơn độ dài của đoạn \(OB\) thì \(y-x < x ⇒ y < 2x\). Do đó: Miền biểu diễn các kết cục thuận lợi là tam giác \(ONP\).
Vậy \(P = \frac{S_{ONP}}{S_{OMP}} = \frac{1}{2}\).
Ví dụ 4, Ví dụ 5, Ví dụ 6, Ví dụ 7 (nội dung tương tự như bản gốc, giữ nguyên hình ảnh và cách trình bày).
Chú ý: Bạn đọc tham khảo bài viết: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để xem lại cách biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên hệ tọa độ \(Oxy\).