chuyên đề cực trị hình học 9

Tài liệu này là một hướng dẫn chuyên sâu về phương pháp giải bài toán cực trị trong Hình học 9, với độ dài 21 trang. Đây là một chủ đề quan trọng, thường xuất hiện trong các đề thi Toán 9 nâng cao và các kỳ tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán.

A – Phương pháp giải bài toán cực trị hình học

1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học

Bài toán cực trị hình học tập trung vào việc tìm kiếm các hình thỏa mãn một tính chất nhất định, trong đó một đại lượng cụ thể (như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, diện tích) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Các bài toán này thường được trình bày dưới các dạng sau:

• a) Bài toán về dựng hình: Yêu cầu xác định vị trí của một yếu tố hình học để đạt được giá trị cực trị của một đại lượng nào đó.
  
  Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn, hãy xác định vị trí của dây đi qua P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.
• b) Bài toán về chứng minh: Yêu cầu chứng minh một khẳng định liên quan đến giá trị cực trị của một đại lượng hình học.
  
  Ví dụ: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.
• c) Bài toán về tính toán: Yêu cầu tính toán giá trị cực trị của một đại lượng hình học dựa trên các thông số đã cho.
  
  Ví dụ: Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h. Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.

2. Hướng giải bài toán cực trị hình học

Để giải bài toán cực trị, cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm giá trị lớn nhất:
   • Chứng minh rằng với mọi vị trí của hình H trên miền D, giá trị của biểu thức f luôn nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số m (f ≤ m).
   • Xác định vị trí cụ thể của hình H trên miền D sao cho f = m.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất:
   • Chứng minh rằng với mọi vị trí của hình H trên miền D, giá trị của biểu thức f luôn lớn hơn hoặc bằng một hằng số m (f ≥ m).
   • Xác định vị trí cụ thể của hình H trên miền D sao cho f = m.

3. Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học

Có hai phương pháp chính để trình bày lời giải:

• Cách 1: Chỉ ra một hình cụ thể thỏa mãn tính chất của đề bài, sau đó chứng minh rằng mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng cần tìm cực trị kém hơn (hoặc lớn hơn) so với hình đã chỉ ra.
• Cách 2: Biến đổi tương đương các điều kiện để đại lượng cần tìm đạt cực trị, thông qua việc tìm kiếm các đại lượng khác đạt cực trị, cho đến khi trả lời được câu hỏi của đề bài.

B – Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học

• Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.
• Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc.
• Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn.
• Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai.
• Sử dụng bất đẳng thức Cô-si.
• Sử dụng tỉ số lượng giác.

C – Bài tập cực trị hình học 9 có lời giải chi tiết

Đánh giá và nhận xét:

Tài liệu này cung cấp một cái nhìn tổng quan và hệ thống về phương pháp giải bài toán cực trị trong Hình học 9. Việc phân loại bài toán thành các dạng dựng hình, chứng minh và tính toán giúp người học dễ dàng tiếp cận và lựa chọn phương pháp phù hợp. Hướng dẫn giải bài toán và cách trình bày lời giải rõ ràng, dễ hiểu. Danh sách các kiến thức thường dùng là một nguồn tham khảo hữu ích. Việc có lời giải chi tiết cho các bài tập sẽ giúp người học củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.