THCS
THCS
Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập về Mặt trụ, hình trụ và khối trụ trong sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, bao gồm phần "Câu hỏi và bài tập" và phần "Luyện tập". Tài liệu này cung cấp lời giải cụ thể, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 11. Chứng minh rằng hình tròn xoay có vô số mặt phẳng đối xứng.
Lời giải:
Giả sử \(H\) là hình tròn xoay có trục \(\Delta .\) Lấy một điểm \(M \in H\) và gọi \(M’\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(\Delta \) thì \(MM’\) là đường kính của đường tròn \(\left( {{C_M}} \right)\) nên \(M’ \in H.\) Từ đó suy ra \(\Delta \) là trục đối xứng của \(H.\) Mọi mặt phẳng \((P)\) đi qua \(\Delta \) đều là mặt phẳng đối xứng của \(H.\) Thật vậy, nếu \(M \in H\) và \(M’\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \((P)\) thì \(M’\) cũng nằm trên đường tròn \({C_M}\) nên \(M’ \in H.\)
Nhận xét: Bài toán này giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính đối xứng của hình tròn xoay, một khái niệm quan trọng trong chương trình hình học không gian. Cách chứng minh sử dụng tính chất của phép đối xứng trục và đối xứng mặt phẳng, kết hợp với định nghĩa của hình tròn xoay.
Bài 12. Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên các hình tròn xoay:
a) Sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.
b) Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.
Lời giải:
a) Hình sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư gọi là hình trụ.
b) Hình sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh gọi là khối trụ.
Nhận xét: Bài tập này củng cố định nghĩa về hình trụ và khối trụ thông qua hình ảnh trực quan về sự quay của hình chữ nhật. Giúp học sinh phân biệt rõ ràng giữa hình trụ (chỉ bao gồm bề mặt) và khối trụ (bao gồm cả phần bên trong).
Bài 13. Cho đường tròn \((O;R)\) nằm trong mặt phẳng \((P).\) Tìm tập hợp các điểm \(M\) trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên \((P)\) luôn nằm trên đường tròn đã cho.
Lời giải:
Gọi \(\Delta \) là trục của đường tròn \((O;R).\)
Nếu điểm \(M\) có hình chiếu \(M’\) nằm trên \((O;R)\) thì \(MM’//\Delta \) và khoảng cách từ \(M’\) tới \(\Delta \) bằng \(M’O = R.\)
Vậy tập hợp các điểm \(M\) như thế là mặt trụ có trục là \(\Delta \) và có bán kính bằng \(R.\)
Nhận xét: Bài này đòi hỏi học sinh phải có khả năng hình dung tốt trong không gian. Lời giải dựa trên việc xác định mối quan hệ giữa điểm \(M\) và hình chiếu của nó, từ đó suy ra tập hợp các điểm \(M\) tạo thành mặt trụ.
Bài 14. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của một mặt cầu song song với một đường thẳng cố định nằm trên một mặt trụ xác định.
Lời giải:
Cho mặt cầu \(S(O;R)\) và đường thẳng \(d\) (Hình vẽ). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(d.\) Giả sử \(l\) là tiếp tuyến của mặt cầu và \(l//d\) thì \(l//\Delta \) và \(l\) cách \(\Delta \) một khoảng không đổi \(R.\) Vậy \(l\) nằm trên mặt trụ có trục là \(\Delta \) và có bán kính bằng \(R.\)
Nhận xét: Bài toán này liên kết giữa mặt cầu và mặt trụ, đòi hỏi học sinh phải nắm vững tính chất của tiếp tuyến mặt cầu và mối quan hệ song song trong không gian. Lời giải ngắn gọn, chặt chẽ, dựa trên việc chứng minh khoảng cách từ tiếp tuyến đến trục \(\Delta\) là không đổi.
Bài 15. Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh \(2R.\)
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ.
c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
Lời giải:
Theo bài ra ta có hình trụ có bán kính đáy bằng \(R\) và đường sinh bằng \(2R.\) Từ đó suy ra:
a) \({S_{xq}} = 2\pi R.2R = 4\pi {R^2}.\)
b) \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{{\rm{đáy}}}}\) \( = 4\pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 6\pi {R^2}.\)
b) \(V = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3}.\)
c) Lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ \(T\) là lăng trụ đứng có cạnh bên bằng \(2R\) và có đáy là hình vuông có cạnh \(R\sqrt 2 \) nên có thể tích: \({V_{LT}} = 2{R^2}.2R = 4{R^3}.\)
Nhận xét: Bài tập này là một ví dụ điển hình về việc áp dụng công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ. Yêu cầu tính thêm thể tích lăng trụ nội tiếp giúp học sinh ôn lại kiến thức về lăng trụ và mối liên hệ giữa các hình khối.
Bài 16. Một hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(R\sqrt 3 .\)
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ.
c) Cho hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa \(AB\) và trục của hình trụ bằng \({30^0}.\) Tính khoảng cách giữa \(AB\) và trục của hình trụ.
Lời giải:
a) Diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}.\)
Diện tích toàn phần của hình trụ: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{{\rm{đáy}}}}\) \( = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\pi {R^2}\) \( = 2(\sqrt 3 + 1)\pi {R^2}.\)
b) Thể tích của khối trụ: \({V_T} = \pi {R^2}.R\sqrt 3 = \sqrt 3 \pi {R^3}.\)
c)
Theo giả thiết \(OA = O’B = R.\)
Gọi \(AA’\) là đường sinh của hình trụ thì \(O’A’ = R\), \(AA’ = R\sqrt 3 \) và góc \(\widehat {BAA’} = {30^0}.\)
Vì \(OO’//\left( {ABA’} \right)\) nên khoảng cách giữa \(OO’\) và mặt phẳng \((ABA’)\) bằng khoảng cách giữa \(OO’\) và \(AB.\)
Gọi \(H\) là trung điểm \(BA’\) thì khoảng cách đó bằng \(O’H.\)
Tam giác \(BA’A\) vuông tại \(A’\) nên: \(BA’ = AA’.\tan {30^0}\) \( = R\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = R.\)
Vậy \(BA’O’\) là tam giác đều và do đó: \(O’H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.\)
Nhận xét: Câu hỏi này kiểm tra khả năng áp dụng công thức và kỹ năng giải toán hình học không gian phức tạp. Việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và trục hình trụ đòi hỏi học sinh phải biết cách dựng hình phụ và sử dụng các kiến thức về tam giác đều, tam giác vuông.
