giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập về dạng lượng giác của số phức và ứng dụng trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm cả phần "Câu hỏi và Bài tập" và phần "Luyện tập". Bài viết này không chỉ cung cấp đáp án mà còn đi sâu vào phân tích phương pháp giải, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 27. Tìm dạng lượng giác của các số phức \(\overline z \), \( – z\), \(\frac{1}{z}\), \(Kz\) \((K \in {R^*})\) trong các trường hợp sau:

• a) \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) \((r /> 0)\).
• b) \(z = 1 + i\sqrt 3 \).

Lời giải:

a) Phân tích và biến đổi sử dụng các tính chất của số phức liên hợp, số đối, số nghịch đảo và phép nhân với một số thực. Đặc biệt, lưu ý đến sự thay đổi của acgumen khi nhân với số thực âm.

b) Chuyển số phức về dạng lượng giác bằng cách xác định môđun và acgumen, sau đó áp dụng các kết quả từ câu a.

Ưu điểm: Lời giải trình bày rõ ràng từng bước biến đổi, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và hiểu được cách áp dụng các công thức.

Bài 28. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

• a) \(1 – i\sqrt 3 \), \(1 + i\), \((1 – i\sqrt 3 )(1 + i)\), \(\frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i}}\).
• b) \(2i(\sqrt 3 – i)\).
• c) \(\frac{1}{{2 + 2i}}\).
• d) \(z = \sin \varphi + i\cos \varphi \) \((\varphi \in R)\).

Lời giải:

a) Biến đổi từng số phức về dạng lượng giác. Sử dụng công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác để giải quyết các biểu thức phức tạp.

b) Thực hiện phép nhân, sau đó chuyển về dạng lượng giác.

c) Trục căn thức ở mẫu, sau đó chuyển về dạng lượng giác.

d) Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi về dạng \(r(\cos \theta + i\sin \theta )\).

Ưu điểm: Bài giải minh họa cách chuyển đổi các số phức khác nhau về dạng lượng giác, bao gồm cả các phép toán phức tạp như nhân và chia.

Bài 29. Dùng công thức khai triển nhị thức Newton \({(1 + i)^{19}}\) và công thức Moivre để tính: \(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – \ldots \ldots + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}\).

Lời giải:

Khai triển \({(1 + i)^{19}}\) bằng nhị thức Newton, sau đó sử dụng công thức Moivre để biểu diễn \({(1 + i)^{19}}\) dưới dạng lượng giác. So sánh phần thực của hai biểu thức để tìm giá trị cần tính.

Ưu điểm: Bài giải kết hợp hai công cụ mạnh mẽ là nhị thức Newton và công thức Moivre, thể hiện sự linh hoạt trong việc giải toán số phức.

Bài 30. Cho \(M\), \(M’\) lần lượt biểu diễn \(z = 3 + i\), \(z’ = (3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i\).

• a) Tính \(\frac{{z’}}{z}\).
• b) Chứng minh hiệu acgumen của \(z’\) và \(z\) là một số đo của góc lượng giác \((OM;OM’).\) Tính số đo đó.

Lời giải:

a) Thực hiện phép chia số phức.

b) Tính cosin của góc \((OM,OM’)\) bằng tích vô hướng. Sử dụng kết quả câu a để tính hiệu acgumen, sau đó so sánh với kết quả tính góc để chứng minh.

Ưu điểm: Bài giải kết hợp kiến thức về số phức và hình học, giúp học sinh hiểu rõ mối liên hệ giữa hai lĩnh vực này.

Bài 31. Cho \(w = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i)\) và \(\varepsilon = \frac{1}{2}( – 1 + i\sqrt 3 )\).

• a) Chứng minh \({z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}\), \({z_1} = {z_0}\varepsilon \), \({z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}\) là nghiệm của \({z^3} – w = 0\).
• b) Biểu diễn hình học các số phức \({z_0}\), \({z_1}\), \({z_2}\).

Lời giải:

a) Thay từng số phức vào phương trình và chứng minh nó thỏa mãn. Sử dụng công thức Moivre để tính lũy thừa của số phức dưới dạng lượng giác.

b) Vẽ các điểm trên mặt phẳng phức.

Ưu điểm: Bài giải minh họa cách kiểm tra một số phức có phải là nghiệm của một phương trình hay không và cách biểu diễn số phức trên mặt phẳng.

LUYỆN TẬP

Bài 32. Sử dụng công thức Moivre để tính \(\sin 4\varphi \) và \(\cos 4\varphi \) theo lũy thừa của \(\sin \varphi \) và \(\cos \varphi \).

Lời giải:

Khai triển \({(\cos \varphi + i\sin \varphi )^4}\) bằng công thức Moivre và khai triển đại số. Đồng nhất phần thực và phần ảo để tìm công thức cho \(\sin 4\varphi \) và \(\cos 4\varphi \).

Ưu điểm: Bài giải giúp học sinh rèn luyện kỹ năng sử dụng công thức Moivre và khai triển đại số.

Bài 33. Tính: \({(\sqrt 3 – i)^6}\), \({\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}}\), \({\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}\).

Lời giải:

Chuyển từng số phức về dạng lượng giác, sau đó sử dụng công thức Moivre để tính lũy thừa.

Ưu điểm: Bài giải cung cấp các ví dụ thực tế về việc áp dụng công thức Moivre để tính lũy thừa của số phức.

Bài 34. Cho \(w = – \frac{1}{2}(1 + i\sqrt 3 )\). Tìm số nguyên dương \(n\) để \({w^n}\) là số thực. Hỏi có số nguyên dương \(m\) nào để \({w^m}\) là số ảo?

Lời giải:

Chuyển \(w\) về dạng lượng giác, sau đó sử dụng công thức Moivre để tìm \({w^n}\). Biện luận điều kiện để \({w^n}\) là số thực hoặc số ảo.

Ưu điểm: Bài giải giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa số phức và số thực, số ảo.

Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức \(z\) và căn bậc hai của \(z\) trong các trường hợp sau:

• a) \(|z| = 3\) và một acgumen của \(iz\) là \(\frac{{5\pi }}{4}\).
• b) \(|z| = \frac{1}{3}\) và một acgumen của \(\frac{{\overline z }}{{1 + i}}\) là \(\frac{{ – 3\pi }}{4}\).

Lời giải:

Sử dụng các giả thiết để tìm môđun và acgumen của \(z\). Sử dụng công thức tìm căn bậc hai của số phức để tìm căn bậc hai của \(z\).

Ưu điểm: Bài giải giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tìm dạng lượng giác của số phức và căn bậc hai của nó.

Bài 36. Viết dưới dạng lượng giác các số phức:

• a) \(1 – i\tan \frac{\pi }{5}\).
• b) \(\tan \frac{{5\pi }}{8} + i\).
• c) \(1 – \cos \varphi – i\sin \varphi \) (\(\varphi \in R\), \(\varphi \ne k2\pi \), \(k \in Z\)).

Lời giải:

Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và đưa về dạng lượng giác.

Ưu điểm: Bài giải cung cấp các ví dụ về cách chuyển đổi các biểu thức lượng giác phức tạp về dạng lượng giác của số phức.