THCS
THCS
Bài viết này cung cấp hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, chương "Khái niệm về khối đa diện". Các bài giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo ví dụ minh họa giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.
Lời giải:
Gọi số các mặt của đa diện là \(n\) (\(n \in Z\), \(n \ge 4\)). Vì mỗi mặt của khối đa diện có ba cạnh và mỗi cạnh chỉ là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của nó sẽ là: \(\frac{{3n}}{2}.\)
Vì số cạnh phải là số tự nhiên, nên ta có \(3n\) chia hết cho \(2\), từ đây ta suy ra \(n\) chia hết cho \(2.\)
Ví dụ. Hình chóp tam giác (tứ diện).
Nhận xét: Bài giải này trình bày một cách logic, sử dụng tính chất cơ bản của đa diện để chứng minh. Ví dụ minh họa trực quan giúp học sinh dễ dàng hình dung.
Bài 2. Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.
Lời giải:
Giả sử tổng số đỉnh của khối đa diện là \(n\) (\({n \ge 4}\), \({n \in {N^*}}\)) và các đỉnh là: \({A_1}\), \({A_2}\), \({A_3}\) … \({A_n}.\) Gọi số mặt của đa diện chứa đỉnh \({A_i}\) là \(2{m_i} + 1\) \( \Rightarrow \) số cạnh \({A_i}\) là \(2{m_i} + 1.\) Vì mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của khối đa diện là:
\(c = \frac{{2{m_1} + 1 + 2{m_2} + 1 + \ldots + 2{m_u} + 1}}{2}\) \((i = \overline {1,n} ;m \in {N^*}).\)
\( = \frac{{2\left( {{m_1} + {m_2} + \ldots + {m_n}} \right) + n}}{2}\) \( = {m_1} + {m_2} + \ldots + {m_n} + \frac{n}{2}.\)
Vì \(c\) nguyên nên \(\frac{n}{2}\) nguyên hay \(n\) là số chẵn.
Ví dụ: khối chóp tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Bài giải này có cách tiếp cận chặt chẽ, sử dụng ký hiệu toán học để biểu diễn các yếu tố của đa diện. Tuy nhiên, phần giải thích có thể được làm rõ hơn để học sinh dễ theo dõi hơn.
Bài 3. Chia một khối lập phương thành năm khối tứ diện.
Lời giải:
Ta có khối lập phương:
Ta chia khối lập phương thành năm khối tứ diện sau:
\(A’ABD\); \(C’BCD\); \(BA’B’C’\); \(DA’C’D’\); \(BDA’C’.\)
Nhận xét: Bài giải này ngắn gọn, trực quan nhờ có hình minh họa. Học sinh có thể dễ dàng hình dung cách chia khối lập phương.
Bài 4. Chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau.
Lời giải:
Ta chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau sau đây:
\(BB’A’C’\); \(A’ACB\); \(BCA’C’\); \(CA’D’C’\); \(DACD’\); \(AD’A’C.\)
Nhận xét: Tương tự bài 3, bài giải này trực quan và dễ hiểu. Tuy nhiên, việc cung cấp thêm hình minh họa sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính bằng nhau của các khối tứ diện.
Ưu điểm chung:
