giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: ôn tập chương ii

Bài viết này cung cấp hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của chương "Ôn tập chương II" trong sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản. Nội dung bao gồm cả phần tự luận và trắc nghiệm, giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán về các chủ đề liên quan đến hình nón, hình trụ và mặt cầu.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) cùng thuộc một mặt cầu và \(\widehat {ACB} = {90^0}\). Khẳng định nào đúng?

a) Đường tròn qua \(A\), \(B\), \(C\) nằm trên mặt cầu.

b) \(AB\) là đường kính của mặt cầu.

c) \(AB\) không phải là đường kính của mặt cầu.

d) \(AB\) là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và \((ABC)\).

Lời giải:

• Khẳng định a: Đúng.
• Khẳng định d: Đúng.

Bài 2. Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AD \bot (ABC)\) và \(BD \bot BC\). Biết \(AB = AD = a\). Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón khi quay \(BDA\) quanh \(AB\).

Lời giải:

Khi quay \(BDA\) quanh \(AB\) ta được mặt nón đỉnh \(B\), đường sinh \(BD\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AD \bot (ABC)}\\ {BC \bot BD} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BC \bot AD}\\ {BC \bot BD} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot BA\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(\widehat {BAC} < {90^0}\) và mặt đáy của mặt nón không nằm trên \((ACD)\).

\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 \).

\({S_{xq}} = \pi r.l\) \( = \pi .AD.BD = \pi {a^2}\sqrt 2 \).

\(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h\) \( = \frac{1}{3}\pi .A{D^2}.AB = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\).

Bài 3. Chứng minh hình chóp có các mặt bên bằng nhau nội tiếp được trong mặt cầu.

Lời giải:

Gọi \(O\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt đáy. Do các cạnh bên bằng nhau nên \(O\) cách đều các đỉnh của đa giác đáy. Đáy là đa giác nội tiếp đường tròn tâm \(O\) và nhận \(SO\) làm trục.

Gọi \(I\) là giao điểm của \(SO\) và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. \(I\) cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp một đoạn \(r = SI\).

Vậy hình chóp luôn nội tiếp một mặt cầu \(S(I;r)\).

Bài 4. Hình chóp \(SABC\) có mặt cầu tiếp xúc các cạnh bên \(SA\), \(SB\), \(SC\) và tiếp xúc ba cạnh \(AB\), \(BC\), \(CA\) tại trung điểm mỗi cạnh. Chứng minh hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Lời giải:

Giả sử mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với các cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\) tại \(Q\), \(R\), \(L\) và tiếp xúc với \(AB\), \(BC\), \(CA\) tại các trung điểm \(M\), \(N\), \(P\).

\(SQ\), \(SR\), \(SL\) là tiếp tuyến của \((S)\) kẻ từ \(S\) nên: \(SQ = SR = SL = a\).

\(AQ = AM = AP = b\).

\(BM = BR = BN = c\).

\(CN = CP = CL = d\).

\(M\), \(N\), \(P\) là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CA\), suy ra:

\(AP = PC \Rightarrow b = d\).

\(AM = BM \Rightarrow b = c\).

\( \Rightarrow AB = BC = CA\) \( = 2b = 2c = 2d\).

\(\Delta ABC\) là tam giác đều \((1)\).

\(SA = a + b\), \(SB = a + c\), \(SC = a + d\).

Suy ra \(SA = SB = SC\) \((2)\).

Từ \((1)\) và \((2)\) ta có \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều.

Bài 5. Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \((BCD)\).

a) Chứng minh \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Tính \(AH\).

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao \(AH\).

Lời giải:

a) Xét ba tam giác \(AHB\), \(AHC\), \(AHD\) có chung cạnh \(AH\) và \(AB = AC = AD = a\) \( \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD\).

\( \Rightarrow HB = HC = HD\) hay \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\).

\(\Delta BCD\) là tam giác đều và \(BM\) là trung trực của \(\Delta BCD\) nên \(BM\) cũng là trung tuyến.

\( \Rightarrow BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow BH = \frac{2}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác vuông \(ABH\): \(AH = \sqrt {A{B^2} – B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

b) Hình trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp \(\Delta BCD\) và chiều cao \(AH\) thì bán kính hình trụ là: \(r = BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

\({S_{xq}} = 2\pi .r.AH\) \( = 2\pi .\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( = \frac{{2\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\).

\(V = \pi .{r^2}.AH\) \( = \pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) \( \Rightarrow V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{9}\).

Bài 6. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Từ tâm \(O\) của hình vuông dựng đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \((ABCD)\). Trên \(\Delta \) lấy \(S\) sao cho \(OS = \frac{a}{2}\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\). Tính diện tích và thể tích khối cầu.

Lời giải:

\(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông \(ABCD\) nên đường thẳng \(\Delta \) là trục của đường tròn đó.

Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng trung trực của cạnh \(SA\), khi đó \(IS = IA = IB = IC = ID = r\) hay mặt cầu \(S(I;r)\) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).

\(\Delta SMI\) đồng dạng \(\Delta SOA\).

\( \Rightarrow \frac{{SI}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SO}}\) \( \Leftrightarrow SI = \frac{{SA.SM}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}}\) (trong đó \(S{A^2} = O{A^2} + S{O^2}\) \( = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + \frac{{{a^2}}}{4}\) \( = \frac{{3{a^2}}}{4}\)).

Bán kính \(r = SI = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{a}{2}}} = \frac{{3a}}{4}\).

Diện tích mặt cầu \(S(I;r)\) là: \(S = 4\pi {r^2} = \frac{{9\pi {a^2}}}{4}\).

Thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{{9\pi {a^3}}}{{16}}\).

Bài 7. Cho hình trụ có bán kính \(r\), trục \(OO’ = 2r\) và mặt cầu đường kính \(OO’\).

a) So sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh mặt trụ.

b) So sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi .r.h = 4\pi {r^2}\).

Diện tích mặt cầu bán kính \(r\): \(S = 4\pi .{r^2}\).

Vậy diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh hình trụ bằng nhau.

b) Thể tích khối trụ: \({V_T} = \pi .{r^2}.h = 2\pi {r^3}\).

Thể tích khối cầu: \({V_C} = \frac{4}{3}\pi {r^3}\) \( \Rightarrow \frac{{{V_T}}}{{{V_C}}} = \frac{{2\pi {r^3}}}{{\frac{4}{3}\pi {r^3}}} = \frac{3}{2}\).

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II

A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1. Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh \(a\). \(S\) là diện tích xung quanh hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông \(ABCD\) và \(A’B’C’D’\). Diện tích \(S\) là: (A) \({\pi {a^2}.}\) (B) \({\pi {a^2}\sqrt 2 .}\) (C) \({\pi {a^2}\sqrt 3 .}\) (D) \({\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}.}\)
2. Gọi \(S\) là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh bởi đoạn thẳng \(AC’\) của hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh \(b\) khi quay xung quanh trục \(AA’\). Diện tích \(S\) là: (A) \(\pi {b^2}.\) (B) \(\pi {b^2}\sqrt 2 .\) (C) \(\pi {b^2}\sqrt 3 .\) (D) \(\pi {b^2}\sqrt 6 .\)
3. Hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(SA\) vuông góc với \((ABC)\) và có \(SA = a\), \(AB = b\), \(AC = c\). Mặt cầu đi qua các đỉnh \(S\), \(A\), \(B\), \(C\) có bán kính \(r\) bằng: (A) \(\frac{{2(a + b + c)}}{3}.\) (B) \(2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\) (C) \(\frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\) (D) \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)
4. Cho hai điểm cố định \(A\), \(B\) và một điểm \(M\) di động trong không gian nhưng luôn thỏa mãn điều kiện \(\widehat {MAB} = \alpha \) với \({0^0} < \alpha < {90^0}\). Khi đó \(M\) thuộc mặt nào: (A) Mặt nón. (B) Mặt trụ. (C) Mặt cầu. (D) Mặt phẳng.
5. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là: (A) \(0.\) (B) \(1.\) (C) \(2.\) (D) Vô số.
6. Đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu: (A) Hình chóp tam giác (tứ diện). (B) Hình chóp ngũ giác đều. (C) Hình chóp tứ giác. (D) Hình hộp chữ nhật.
7. Tứ diện \(ABCD\) có \(AD \bot (ABC)\) và \(BD \bot BC\). Khi quay các cạnh quanh trục \(AB\) có bao nhiêu hình nón được tạo thành? (A) \(1.\) (B) \(2.\) (C) \(3.\) (D) \(4.\)
8. Hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh \(a\). Hình nón có đỉnh là tâm hình vuông \(ABCD\) và đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông \(A’B’C’D’\). Diện tích xung quanh của hình nón đó là: (A) \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}.\) (B) \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}.\) (C) \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}.\) (D) \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 6 }}{2}.\)
9. Tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\) quay xung quanh đường cao \(AH\) tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là: (A) \({\pi {a^2}.}\) (B) \({2\pi {a^2}.}\) (C) \({\frac{1}{2}\pi {a^2}.}\) (D) \({\frac{3}{4}\pi {a^2}.}\)
10. Mệnh đề nào sai? (A) Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng. (B) Mọi hình chóp luôn luôn nội tiếp trong mặt cầu. (C) Có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau. (D) Luôn luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhau cùng nằm trên một mặt nón.
11. Hình trụ có bán kính đáy \(r\). \(O\) và \(O’\) là tâm hai đáy với \(OO’ = 2r\). Mặt cầu \((S)\) tiếp xúc hai đáy tại \(O\) và \(O’\). Mệnh đề nào sai? (A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh hình trụ. (B) Diện tích mặt cầu bằng \(\frac{2}{3}\) diện tích toàn phần hình trụ. (C) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{3}{4}\) thể tích khối trụ. (D) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{2}{3}\) thể tích khối trụ.
12. Hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước \(a\), \(b\), \(c\). Bán kính \(r\) của mặt cầu bằng: (A) \(\frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\) (B) \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\) (C) \(\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} .\) (D) \(\frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{3}.\)
13. Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt hình lập phương cạnh \(a\). Thể tích khối trụ là: (A) \(\frac{1}{2}{a^3}\pi .\) (B) \(\frac{1}{4}{a^3}\pi .\) (C) \(\frac{1}{3}{a^3}\pi .\) (D) \({a^3}\pi .\)
14. Hình tứ diện đều cạnh \(a\) có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy hình nón. Diện tích xung quanh hình nón là: (A) \(\frac{1}{2}\pi {a^2}\sqrt 3 .\) (B) \(\frac{1}{3}\pi {a^2}\sqrt 2 .\) (C) \(\frac{1}{3}\pi {a^2}\sqrt 3 .\) (D) \(\pi {a^2}\sqrt 3 .\)
15. Mệnh đề nào sai? (A) Có một mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện bất kì. (B) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp đều. (C) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp. (D) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật.
16. Bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng \(3\) lần đường kính quả bóng bàn. \({S_1}\) là tổng diện tích \(3\) quả bóng bàn, \({S_2}\) là diện tích xung quanh hình trụ. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng: (A) \(1.\) (B) \(2.\) (C) \(1,5.\) (D) \(1,2.\)
17. Xếp \(7\) viên bi có cùng bán kính vào lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với \(6\) viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh tiếp xúc các đường sinh của lọ. Diện tích đáy lọ hình trụ là: (A) \({16\pi {r^2}.}\) (B) \({18\pi {r^2}.}\) (C) \({9\pi {r^2}.}\) (D) \({36{\pi ^2}.}\)
18. Ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nằm trên một mặt cầu, biết \(\widehat {ACB} = {90^0}\). Khẳng định nào đúng? (A) \(AB\) là đường kính của mặt cầu. (B) Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác \(ABC\). (C) Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\). (D) Mặt phẳng \((ABC)\) cắt mặt cầu theo một giao tuyến là đường tròn lớn.

B. ĐÁP ÁN

• 1: B
• 2: D
• 3: C
• 4: A
• 5: D
• 6: C
• 7: B
• 8: C
• 9: C
• 10: B
• 11: C
• 12: A
• 13: B
• 14: B
• 15: C
• 16: A
• 17: C
• 18: B

Đánh giá và Nhận xét:

Ưu điểm:

• Chi tiết và dễ hiểu: Lời giải được trình bày một cách chi tiết, rõ ràng, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và hiểu được phương pháp giải cho từng bài toán.
• Đầy đủ các dạng bài: Bài viết bao quát nhiều dạng bài tập khác nhau trong chương trình Hình học 12, từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh làm quen và nắm vững kiến thức.
• Có cả tự luận và trắc nghiệm: Nội dung bao gồm cả phần giải chi tiết các bài tập tự luận và đáp án cho các câu hỏi trắc nghiệm, giúp học sinh ôn tập toàn diện.
• Hình ảnh minh họa: Các hình vẽ minh họa trực quan giúp học sinh dễ hình dung và hiểu rõ hơn về bài toán.