100+ Bài Tập Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông (Toán 9, Có Lời Giải)

100+ Bài Tập Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông (Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao) Có Lời Giải Chi Tiết

Giới thiệu: "Học đi đôi với hành" - Chinh phục hệ thức lượng qua bài tập

Trong hình học lớp 9, chương I về Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một trong những chương quan trọng và chứa nhiều công thức nhất. Việc chỉ đọc và ghi nhớ lý thuyết là không đủ để có thể áp dụng một cách linh hoạt và chính xác. Chìa khóa duy nhất để làm chủ hoàn toàn chuyên đề này chính là luyện tập, luyện tập và luyện tập.

>> Xem thêm: Giải toán 9.

Tại sao luyện tập lại là chìa khóa để làm chủ chuyên đề này?

Hệ thức lượng có nhiều công thức, dễ gây nhầm lẫn nếu chỉ học lý thuyết suông.

Bạn có thể thuộc lòng 5 hệ thức lượng, nhưng khi đối mặt với một bài toán cụ thể, bạn sẽ lúng túng không biết nên dùng công thức nào trước, công thức nào sau. Chỉ có việc va chạm với các dạng bài tập khác nhau mới giúp bạn xây dựng được phản xạ và tư duy chiến lược.

Việc giải bài tập giúp nhận dạng nhanh các yếu tố trong tam giác và áp dụng đúng công thức cho từng trường hợp.

Mỗi bài tập giống như một tình huống. Càng giải quyết nhiều tình huống, bạn càng trở nên "nhạy bén" hơn trong việc nhìn ra mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết và các yếu tố cần tìm, từ đó chọn ra "vũ khí" (công thức) phù hợp nhất để giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng.

Bài viết này không chỉ cung cấp công thức, mà là một "phòng tập gym" cho tư duy hình học của bạn.

Cấu trúc bài viết: Kho bài tập khổng lồ và lời giải chi tiết

Phần 1: Tóm lược nhanh toàn bộ lý thuyết và các lỗi sai cần tránh.

Phần này đóng vai trò như một tờ "công thức bí kíp" để bạn có thể tham khảo nhanh trước khi bước vào "phòng tập".

Phần 2 (Trọng tâm): Hệ thống bài tập được phân loại theo từng dạng, có lời giải siêu chi tiết theo từng bước, giúp bạn tự học và kiểm tra kết quả.

Đây là phần chính của bài viết, chiếm 80% nội dung, cung cấp một kho bài tập đồ sộ được phân loại một cách khoa học từ dễ đến khó, từ cơ bản đến ứng dụng.

PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ MẸO GHI NHỚ

1. Sơ đồ tư duy các yếu tố trong tam giác vuông

Nhận diện các "nhân vật"

Xét \[\triangle ABC\] vuông tại A, đường cao AH.

Cạnh huyền: \[a\] (đoạn BC)

Cạnh góc vuông: \[b,c\] (đoạn AC, AB)

Đường cao: \[h\] (đoạn AH)

Hình chiếu: \[b',c'\] (đoạn HC, HB)

2. Bảng tổng hợp nhanh 5 hệ thức lượng "bất hủ"

Công thức và khẩu quyết ghi nhớ

HTL 1: \[b^2=a \cdot b'\]; \[c^2=a \cdot c'\] (Bình phương cạnh góc vuông bằng huyền nhân chiếu)

HTL 2: \[h^2=b' \cdot c'\] (Bình phương cao bằng tích hai chiếu)

HTL 3: \[b \cdot c = a \cdot h\] (Tích hai cạnh góc vuông bằng huyền nhân cao)

HTL 4: \[\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\] (Nghịch đảo bình phương cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông)

HTL 5 (Pytago): \[a^2=b^2+c^2\] (Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông)

3. Ba lỗi sai kinh điển khi làm bài tập và cách phòng tránh

Lỗi 1: Áp dụng sai công thức, nhầm lẫn các đoạn thẳng.

• Khắc phục: Trước khi áp dụng, hãy đọc lại "khẩu quyết" và chỉ đúng các đoạn thẳng tương ứng trên hình vẽ.

Lỗi 2: Tính toán sai, đặc biệt là với các số chứa căn.

• Khắc phục: Sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra lại các phép tính phức tạp.

Lỗi 3: Không đọc kỹ đề, nhầm lẫn giữa hình chiếu và cạnh góc vuông.

• Khắc phục: Luôn vẽ hình rõ ràng và điền các thông số của đề bài vào hình trước khi giải.

PHẦN 2: KHO BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI SIÊU CHI TIẾT

Ký hiệu sử dụng: \[\triangle ABC\] vuông tại A, đường cao AH, trừ khi có ghi chú khác.

Dạng 1: Bài tập áp dụng trực tiếp Hệ thức 1 (\[b^2=ab'\], \[c^2=ac'\])

Bài tập 1.1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết cạnh huyền BC = 10cm và hình chiếu BH = 3.6cm. Tính độ dài cạnh góc vuông AB.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích đề và xác định công thức.

• Đề cho cạnh huyền \[a=10\] và hình chiếu \[c'=3.6\].
• Yêu cầu tính cạnh góc vuông \[c\].
• Công thức liên quan trực tiếp là \[c^2=a \cdot c'\].

Bước 2: Áp dụng công thức và tính toán.

• Ta có: \[AB^2 = BC \cdot BH = 10 \cdot 3.6 = 36\].
• Suy ra \[AB = \sqrt{36} = 6\] cm.

Bước 3: Kết luận.

• Vậy độ dài cạnh góc vuông AB là 6 cm.

Bài tập 1.2

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết cạnh góc vuông AC = 12cm và cạnh huyền BC = 15cm. Tính hình chiếu CH.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích đề và xác định công thức.

• Đề cho cạnh góc vuông \[b=12\] và cạnh huyền \[a=15\]. Yêu cầu tính hình chiếu \[b'\].
• Công thức liên quan là \[b^2=a \cdot b'\].

Bước 2: Áp dụng công thức và tính toán.

• Ta có: \[AC^2 = BC \cdot CH \implies 12^2 = 15 \cdot CH\].
• \[144 = 15 \cdot CH \implies CH = \frac{144}{15} = 9.6\] cm.

Bước 3: Kết luận.

• Vậy độ dài hình chiếu CH là 9.6 cm.

Dạng 2: Bài tập áp dụng trực tiếp Hệ thức 2 (\[h^2=b'c'\])

Bài tập 2.1

Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MI. Biết hình chiếu IN = 4cm và IP = 9cm. Tính chiều cao MI.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích đề và xác định công thức.

• Đề cho 2 hình chiếu \[c'=4\] và \[b'=9\]. Yêu cầu tính đường cao \[h\].
• Công thức áp dụng là \[h^2=b' \cdot c'\].

Bước 2: Áp dụng công thức và tính toán.

• Ta có: \[MI^2 = IN \cdot IP = 4 \cdot 9 = 36\].
• Suy ra \[MI = \sqrt{36} = 6\] cm.

Bước 3: Kết luận.

• Vậy chiều cao MI là 6 cm.

Bài tập 2.2

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 12cm. Biết hình chiếu BH = 9cm. Tính độ dài hình chiếu CH và cạnh huyền BC.

Lời giải chi tiết:

• Tính CH:
  • Áp dụng \[h^2 = b'c'\]: \[AH^2 = BH \cdot CH \implies 12^2 = 9 \cdot CH\].
  • \[144 = 9 \cdot CH \implies CH = \frac{144}{9} = 16\] cm.

• Tính BC:
  • Cạnh huyền \[BC = BH + CH = 9 + 16 = 25\] cm.

• Kết luận: Hình chiếu CH dài 16 cm và cạnh huyền BC dài 25 cm.

Dạng 3: Bài tập áp dụng Hệ thức 3 và 4 (\[bc=ah\], \[\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\])

Bài tập 3.1

Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài 6cm và 8cm. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh huyền.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Dùng hệ thức \[\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\].

• Ta có: \[\frac{1}{h^2} = \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} = \frac{1}{36} + \frac{1}{64} = \frac{16+9}{576} = \frac{25}{576}\].
• Suy ra \[h^2 = \frac{576}{25} \implies h = \sqrt{\frac{576}{25}} = \frac{24}{5} = 4.8\] cm.

Cách 2: Dùng hệ thức \[b \cdot c = a \cdot h\].

• Trước tiên dùng Pytago tính cạnh huyền: \[a = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\] cm.
• Áp dụng \[b \cdot c = a \cdot h \implies 6 \cdot 8 = 10 \cdot h\].
• Suy ra \[h = \frac{48}{10} = 4.8\] cm.

Kết luận: Đường cao dài 4.8 cm.

Bài tập 3.2

Cho tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là 12cm, một cạnh góc vuông là 15cm. Tính độ dài cạnh góc vuông còn lại.

Lời giải chi tiết:

• Gọi đường cao là \[h=12\], cạnh góc vuông đã biết là \[b=15\]. Cần tìm \[c\].
• Áp dụng hệ thức 4: \[\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\].
• \[\frac{1}{12^2} = \frac{1}{15^2} + \frac{1}{c^2} \implies \frac{1}{144} = \frac{1}{225} + \frac{1}{c^2}\].
• \[\frac{1}{c^2} = \frac{1}{144} - \frac{1}{225} = \frac{225-144}{144 \cdot 225} = \frac{81}{32400} = \frac{1}{400}\].
• Suy ra \[c^2 = 400 \implies c = 20\] cm.
• Kết luận: Cạnh góc vuông còn lại dài 20 cm.

Dạng 4: Bài tập tổng hợp - Phối hợp nhiều hệ thức

Bài tập 4.1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 15cm, BH = 9cm. Tính AC, BC, AH, CH.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính cạnh huyền BC.

• Áp dụng HTL 1: \[AB^2 = BC \cdot BH \implies 15^2 = BC \cdot 9\].
• \[225 = BC \cdot 9 \implies BC = \frac{225}{9} = 25\] cm.

Bước 2: Tính hình chiếu CH.

• \[CH = BC - BH = 25 - 9 = 16\] cm.

Bước 3: Tính cạnh góc vuông AC.

• Áp dụng HTL 1: \[AC^2 = BC \cdot CH = 25 \cdot 16 = 400\].
• Suy ra \[AC = \sqrt{400} = 20\] cm.

Bước 4: Tính đường cao AH.

• Áp dụng HTL 2: \[AH^2 = BH \cdot CH = 9 \cdot 16 = 144\].
• Suy ra \[AH = \sqrt{144} = 12\] cm.
• (Kiểm tra lại bằng HTL 3: \[AB \cdot AC = 15 \cdot 20 = 300\]. \[BC \cdot AH = 25 \cdot 12 = 300\]. Đúng!)

Kết luận: \[BC=25\text{cm}\], \[CH=16\text{cm}\], \[AC=20\text{cm}\], \[AH=12\text{cm}\].

Bài tập 4.2

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết tỉ số hai cạnh góc vuông \[\frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}\] và cạnh huyền BC = 15cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của chúng trên cạnh huyền.

Lời giải chi tiết:

• Bước 1: Tìm AB, AC.
  • Đặt \[AB = 3k\], thì \[AC = 4k\] (với \[k>0\]).
  • Áp dụng Pytago: \[AB^2+AC^2 = BC^2 \implies (3k)^2 + (4k)^2 = 15^2\].
  • \[9k^2 + 16k^2 = 225 \implies 25k^2 = 225 \implies k^2 = 9 \implies k = 3\].
  • Vậy \[AB = 3 \cdot 3 = 9\] cm và \[AC = 4 \cdot 3 = 12\] cm.

• Bước 2: Tìm hình chiếu BH, CH.
  • Áp dụng HTL 1: \[AB^2 = BC \cdot BH \implies 9^2 = 15 \cdot BH \implies 81 = 15 \cdot BH \implies BH = 5.4\] cm.
  • \[CH = BC - BH = 15 - 5.4 = 9.6\] cm.

• Kết luận: \[AB=9\text{cm}\], \[AC=12\text{cm}\], \[BH=5.4\text{cm}\], \[CH=9.6\text{cm}\].

Dạng 5: Bài toán thực tế ứng dụng hệ thức lượng

Bài tập 5.1: "Cái cây và bóng của nó"

Một cái cây vuông góc với mặt đất. Tại một thời điểm, bóng của nó trên mặt đất dài 8m. Cùng lúc đó, một cây cọc cao 1.5m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 2m. Tính chiều cao của cây.

Lời giải chi tiết:

• Phân tích: Đây là bài toán về hai tam giác vuông đồng dạng. Góc tạo bởi tia nắng và mặt đất ở hai vị trí là như nhau.
• Mô hình hóa:
  • Gọi chiều cao cây là \[H\], bóng cây là \[L=8\].
  • Chiều cao cọc là \[h=1.5\], bóng cọc là \[l=2\].
  • Ta có hai tam giác vuông đồng dạng.

• Áp dụng tỉ lệ: \[\frac{\text{Chiều cao cây}}{\text{Bóng cây}} = \frac{\text{Chiều cao cọc}}{\text{Bóng cọc}}\] \[\frac{H}{8} = \frac{1.5}{2}\]
• Tính toán: \[H = \frac{8 \cdot 1.5}{2} = 6\] m.
• Kết luận: Cây cao 6 mét.

Bài tập 5.2: "Con dốc và cây cầu"

Một con dốc thẳng dài 250m từ chân dốc lên đến đỉnh dốc. Biết rằng đỉnh dốc cao hơn chân dốc 70m theo phương thẳng đứng. Tính độ dài hình chiếu của con dốc trên mặt đất.

Lời giải chi tiết:

• Mô hình hóa: Con dốc, chiều cao và hình chiếu của nó tạo thành một tam giác vuông.
  • Cạnh huyền (chiều dài con dốc) = 250m.
  • Một cạnh góc vuông (chiều cao) = 70m.
  • Cần tìm cạnh góc vuông còn lại (hình chiếu).

• Áp dụng Pytago:
  • Gọi hình chiếu là \[x\].
  • \[x^2 + 70^2 = 250^2\]
  • \[x^2 = 250^2 - 70^2 = 62500 - 4900 = 57600\].
  • \[x = \sqrt{57600} = 240\] m.

• Kết luận: Hình chiếu của con dốc trên mặt đất dài 240 mét.

Bài tập 5.3: "Chiếc thang an toàn"

Một chiếc thang dài 13m được đặt dựa vào một bức tường thẳng đứng. Để đảm bảo an toàn, chân thang phải được đặt cách chân tường một khoảng 5m. Hỏi, với cách đặt đó, điểm cao nhất của thang trên tường cách mặt đất bao nhiêu mét?

Lời giải chi tiết:

• Bước 1: Mô hình hóa bài toán.

  • Ta có thể mô hình hóa tình huống này bằng một tam giác vuông \[ABC\] vuông tại \[A\].
  • \[A\] là điểm chân tường trên mặt đất.
  • \[B\] là vị trí đặt chân thang trên mặt đất.
  • \[C\] là điểm cao nhất của thang dựa vào tường.
  • Chiều dài chiếc thang chính là cạnh huyền \[BC = 13\] m.
  • Khoảng cách từ chân thang đến chân tường là cạnh góc vuông \[AB = 5\] m.
  • Chiều cao mà thang đạt được trên tường là cạnh góc vuông còn lại \[AC\], đây là đại lượng chúng ta cần tìm.

• Bước 2: Phân tích và lựa chọn công thức.

  • Ta đã biết độ dài cạnh huyền và một cạnh góc vuông.
  • Ta cần tìm độ dài cạnh góc vuông còn lại.
  • Công cụ mạnh nhất và trực tiếp nhất trong trường hợp này là Định lý Pytago (Hệ thức lượng 5).

• Bước 3: Áp dụng công thức và tính toán.

  • Theo định lý Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]
  • Thay số liệu vào: \[ 5^2 + AC^2 = 13^2 \] \[ 25 + AC^2 = 169 \] \[ AC^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ AC = \sqrt{144} = 12 \] m.

• Bước 4: Kết luận.

  • Vậy, với cách đặt thang đó, điểm cao nhất của thang trên tường cách mặt đất 12 mét.

Bài tập 5.4: "Thả diều"

Bạn An đang thả diều, đoạn dây diều từ tay bạn đến con diều dài 100m. Tại thời điểm đó, tia nắng mặt trời chiếu xuống vuông góc với mặt đất, tạo ra bóng của con diều trên mặt đất ngay dưới chân bạn An. Dây diều tạo với phương nằm ngang một góc \[60^\circ\]. Hỏi con diều đang ở độ cao bao nhiêu so với mặt đất? (Giả sử dây diều được căng thẳng và tay bạn An cầm dây diều cách mặt đất 1.5m).

Lời giải chi tiết:

• Bước 1: Mô hình hóa bài toán.

  • Ta mô hình hóa bằng một tam giác vuông \[ABC\] vuông tại \[C\].
  • \[A\] là vị trí tay của bạn An.
  • \[B\] là vị trí con diều trên trời.
  • \[C\] là hình chiếu của con diều trên đường thẳng nằm ngang đi qua tay bạn An.
  • Độ dài dây diều là cạnh huyền \[AB = 100\] m.
  • Góc tạo bởi dây diều và phương nằm ngang chính là góc nâng \[\angle BAC = 60^\circ\].
  • Độ cao của diều so với tầm tay của An là cạnh đối \[BC\].
  • Chiều cao thực tế của diều so với mặt đất sẽ bằng \[BC\] cộng với \[1.5\] m.

• Bước 2: Phân tích và lựa chọn công thức.

  • Ta đã biết cạnh huyền và một góc nhọn.
  • Ta cần tìm cạnh góc vuông đối diện với góc nhọn đã biết.
  • Mối liên hệ "Đối - Huyền - Góc đối" gợi ý ta sử dụng Tỉ số lượng giác Sin (hoặc Hệ thức về cạnh và góc tương ứng).

• Bước 3: Áp dụng công thức và tính toán.

  • Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC: \[ \text{Cạnh đối} = \text{Cạnh huyền} \times \sin(\text{góc đối}) \] \[ BC = AB \cdot \sin(\angle BAC) \] \[ BC = 100 \cdot \sin(60^\circ) \]
  • Sử dụng giá trị lượng giác của góc đặc biệt: \[\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]. \[ BC = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} \] m.
  • Tính chiều cao thực tế của diều: \[ \text{Chiều cao} = BC + 1.5 = 50\sqrt{3} + 1.5 \]

• Bước 4: Kết luận.

  • Ta có \[50\sqrt{3} \approx 50 \times 1.732 = 86.6\] m.
  • Chiều cao thực tế \[\approx 86.6 + 1.5 = 88.1\] m.
  • Vậy, con diều đang ở độ cao khoảng 88.1 mét so với mặt đất.

Bài tập 5.5: "Đo chiều cao Kim tự tháp"

Để đo chiều cao của Kim tự tháp Cheops ở Ai Cập, một nhà toán học đo bóng của kim tự tháp trên mặt đất. Ông xác định được khoảng cách từ tâm của đáy hình vuông của kim tự tháp đến một điểm đo trên mặt đất là 115m. Tại điểm đó, ông đo được góc nâng từ mặt đất đến đỉnh kim tự tháp là 52°. Tính chiều cao của kim tự tháp lúc đó.

Lời giải chi tiết:

• Bước 1: Mô hình hóa bài toán.

  • Ta mô hình hóa bài toán bằng một tam giác vuông \[OPH\] vuông tại \[O\].
  • \[O\] là tâm của đáy hình vuông (chân đường cao của kim tự tháp).
  • \[P\] là đỉnh của kim tự tháp.
  • \[H\] là điểm đo trên mặt đất.
  • Chiều cao của kim tự tháp là cạnh góc vuông \[OP\].
  • Khoảng cách từ tâm đến điểm đo là cạnh góc vuông \[OH = 115\] m.
  • Góc nâng từ điểm đo đến đỉnh là \[\angle OHP = 52^\circ\].

• Bước 2: Phân tích và lựa chọn công thức.

  • Ta đã biết một cạnh góc vuông (\[OH\], là cạnh kề với góc \[52^\circ\]).
  • Ta cần tìm cạnh góc vuông còn lại (\[OP\], là cạnh đối với góc \[52^\circ\]).
  • Mối liên hệ "Đối - Kề - Góc đối" gợi ý ta sử dụng Tỉ số lượng giác Tan.

• Bước 3: Áp dụng công thức và tính toán.

  • Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông OPH: \[ \text{Cạnh đối} = \text{Cạnh kề} \times \tan(\text{góc đối}) \] \[ OP = OH \cdot \tan(\angle OHP) \] \[ OP = 115 \cdot \tan(52^\circ) \]
  • Dùng máy tính để tính giá trị của \[\tan(52^\circ) \approx 1.28\]. \[ OP \approx 115 \cdot 1.28 \approx 147.2 \] m.

• Bước 4: Kết luận.

  • Vậy, chiều cao của kim tự tháp Cheops được đo là khoảng 147.2 mét. (Lưu ý: Chiều cao thực tế ban đầu của kim tự tháp là khoảng 146.7m, kết quả của chúng ta khá gần với thực tế!)

Tổng kết và Lời khuyên khi giải bài tập

Checklist 4 bước để giải quyết mọi bài toán hệ thức lượng

Bước 1: Vẽ hình rõ ràng, điền đủ các yếu tố đã biết.

Bước 2: Xác định yếu tố cần tìm.

Bước 3: Tìm hệ thức liên hệ trực tiếp giữa yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm.

Bước 4: Thế số, tính toán cẩn thận và kết luận.

Luyện tập thêm để thành thạo

Gợi ý các nguồn tham khảo và các dạng bài nâng cao như bài toán cực trị hình học, bài toán chứng minh.

Để nâng cao, hãy tìm các bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của một độ dài hoặc một tỉ số trong tam giác, hoặc các bài toán chứng minh các đẳng thức hình học phức tạp hơn dựa trên 5 hệ thức lượng cơ bản này.