Tỉ Số Lượng Giác Của Hai Góc Phụ Nhau: Lý Thuyết và Ứng Dụng (Toán 9)

Tỉ Số Lượng Giác Của Hai Góc Phụ Nhau: Toàn Tập Lý Thuyết & Bí Quyết Rút Gọn Biểu Thức

Giới thiệu: Khám phá "cặp bài trùng" trong lượng giác - "Phụ chéo"

Một câu hỏi khởi động tư duy

Nếu bạn biết giá trị của \[\sin(10^\circ)\], liệu bạn có thể ngay lập tức suy ra giá trị của \[\cos(80^\circ)\] mà không cần dùng đến máy tính không?

Câu trả lời là CÓ, và bí mật nằm trong mối quan hệ đặc biệt của "hai góc phụ nhau".

Đây không phải là một sự trùng hợp ngẫu nhiên. Trong thế giới của lượng giác, có những mối liên kết sâu sắc và thanh lịch, cho phép chúng ta thực hiện những bước nhảy vọt về tư duy. Mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau chính là một trong những "phép màu" như vậy.

>> Xem thêm: Toán lớp 9.

Tại sao mối quan hệ này lại quan trọng?

Là một trong những công cụ mạnh mẽ nhất để đơn giản hóa các biểu thức lượng giác phức tạp.

Khi đối mặt với một biểu thức chứa nhiều giá trị sin, cos, tan của các góc khác nhau, việc nhận ra các cặp góc phụ nhau và áp dụng tính chất này giống như việc tìm ra "chìa khóa" để tháo gỡ các nút thắt, đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất.

Giúp so sánh, tính toán giá trị lượng giác một cách nhanh chóng.

Nó cho phép ta biến đổi giữa sin và cos, tan và cot một cách linh hoạt, giúp việc so sánh và tính toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.

Là nền tảng để hiểu sâu hơn về bản chất và cấu trúc của các hàm số lượng giác.

Hiểu được mối quan hệ này giúp ta thấy được sự đối xứng và hài hòa bên trong hệ thống lượng giác, một bước đệm quan trọng cho việc học các khái niệm lượng giác cao cấp hơn ở bậc THPT.

Lộ trình bài viết: Từ trực quan hình học đến các ứng dụng đỉnh cao

Bài viết này sẽ dẫn dắt bạn đi từ định nghĩa gốc rễ, chứng minh mối quan hệ bằng nhiều cách, phân tích ý nghĩa tên gọi "Cosin", "Cotang", và cuối cùng là vận dụng vào giải các bài toán thực tế.

Với cấu trúc 80% nội dung tập trung vào lý thuyết chuyên sâu và 20% là các ví dụ minh họa, mục tiêu của bài viết là giúp bạn không chỉ thuộc lòng, mà còn làm chủ kiến thức này.

PHẦN 1: LÝ THUYẾT CHUYÊN SÂU - BẢN CHẤT CỦA SỰ "PHỤ NHAU"

1. Định nghĩa và nhận diện hai góc phụ nhau

1.1. Định nghĩa toán học

Hai góc được gọi là phụ nhau nếu tổng số đo của chúng bằng \[90^\circ\].

Nếu góc \[\alpha\] và góc \[\beta\] là hai góc phụ nhau thì \[\alpha+\beta=90^\circ\].

1.2. Nhận diện trong hình học

Cặp góc phụ nhau "kinh điển"

Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn luôn luôn phụ nhau. Đây chính là chìa khóa để chứng minh các mối quan hệ lượng giác.

Đây là một định lý cơ bản của hình học Euclid: tổng ba góc trong một tam giác bằng \[180^\circ\]. Nếu một góc bằng \[90^\circ\], thì tổng hai góc còn lại chắc chắn phải bằng \[90^\circ\].

Ví dụ trực quan

Nếu một góc là \[30^\circ\], góc phụ của nó là \[90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\].

Nếu một góc là \[x^\circ\], góc phụ của nó là \[(90−x)^\circ\].

2. Chứng minh mối quan hệ bằng nhiều phương pháp

Chúng ta sẽ tiếp cận chân lý từ hai con đường khác nhau: một con đường hình học trực quan và một con đường ngôn ngữ học sâu sắc.

2.1. Phương pháp 1: Dùng tam giác vuông (Cách chứng minh trực quan và cốt lõi nhất)

Bước 1: Dựng "sân khấu"

Xét tam giác ABC vuông tại A. Gọi \[\hat{B}=\alpha\] và \[\hat{C}=\beta\].

Ta luôn có \[\alpha+\beta=90^\circ\], vậy \[\alpha\] và \[\beta\] là hai góc phụ nhau.

Mọi mối quan hệ lượng giác của hai góc phụ nhau đều có thể được chứng minh trong "phòng thí nghiệm" hoàn hảo này.

Bước 2: Viết TSLG của góc \[\alpha\] (góc B)

Cạnh đối của \[\alpha\] là AC, cạnh kề là AB, cạnh huyền là BC.

\[\sin\alpha = \frac{AC}{BC}\]

\[\cos\alpha = \frac{AB}{BC}\]

\[\tan\alpha = \frac{AC}{AB}\]

\[\cot\alpha = \frac{AB}{AC}\]

Bước 3: Viết TSLG của góc \[\beta\] (góc C)

Chú ý quan trọng: Bây giờ, cạnh đối của \[\beta\] lại là AB, cạnh kề là AC.

Đây là bước ngoặt của chứng minh. Vai trò "Đối-Kề" đã được hoán đổi.

\[\sin\beta = \frac{AB}{BC}\]

\[\cos\beta = \frac{AC}{BC}\]

\[\tan\beta = \frac{AB}{AC}\]

\[\cot\beta = \frac{AC}{AB}\]

Bước 4: So sánh và "vỡ òa"

So sánh kết quả từ Bước 2 và Bước 3, ta thấy:

\[\sin\alpha=\cos\beta\] (vì cùng bằng \[\frac{AC}{BC}\])

\[\cos\alpha=\sin\beta\] (vì cùng bằng \[\frac{AB}{BC}\])

\[\tan\alpha=\cot\beta\] (vì cùng bằng \[\frac{AC}{AB}\])

\[\cot\alpha=\tan\beta\] (vì cùng bằng \[\frac{AB}{AC}\])

Chứng minh này cho thấy mối quan hệ "phụ chéo" không phải là một sự trùng hợp, mà là một hệ quả tất yếu của việc hoán đổi vai trò "Đối-Kề" giữa hai góc nhọn trong một tam giác vuông.

2.2. Phương pháp 2: Phân tích từ tên gọi (Hiểu sâu bản chất)

Giải mã tiền tố "Co-"

Trong tiếng Anh, "Co-" là viết tắt của "Complementary", nghĩa là "phụ".

Các nhà toán học khi đặt tên cho các tỉ số lượng giác đã khéo léo cài cắm mối quan hệ này ngay trong tên gọi của chúng.

Phân tích từng tên gọi

Cosine (Cosin): Là viết tắt của "Complementary's Sine". Nghĩa là, Cosin của một góc chính là Sin của góc phụ với nó.

Vậy, \[\cos(\alpha)\] theo định nghĩa tên gọi chính là \[\sin(\text{góc phụ của } \alpha)\] hay \[\sin(90^\circ - \alpha)\].

Cotangent (Cotang): Là viết tắt của "Complementary's Tangent". Nghĩa là, Cotang của một góc chính là Tang của góc phụ với nó.

Tương tự, \[\cot(\alpha)\] chính là \[\tan(90^\circ - \alpha)\].

Cosecant (Cosec): Là "Complementary's Secant". (Giới thiệu thêm cho học sinh khá giỏi).

Secant là nghịch đảo của Cosin (\[\sec\alpha = 1/\cos\alpha\]). Tương tự, Cosecant là nghịch đảo của Sin. Mối quan hệ này cũng tuân theo quy tắc "Co-": Cosecant của một góc bằng Secant của góc phụ với nó.

Hiểu được điều này giúp ta nhớ công thức một cách tự nhiên mà không cần học vẹt.

3. Phát biểu định lý và các hệ quả quan trọng

3.1. Định lý tổng quát

Nếu hai góc \[\alpha\] và \[\beta\] phụ nhau (\[\alpha+\beta=90^\circ\]), ta có các hệ thức sau (còn gọi là công thức "phụ chéo"):

\[\sin\alpha=\cos\beta=\cos(90^\circ−\alpha)\]

\[\cos\alpha=\sin\beta=\sin(90^\circ−\alpha)\]

\[\tan\alpha=\cot\beta=\cot(90^\circ−\alpha)\]

\[\cot\alpha=\tan\beta=\tan(90^\circ−\alpha)\]

3.2. Hệ quả và ứng dụng trong biến đổi

Biến đổi một TSLG thành TSLG của góc phụ

Ví dụ: Ta có thể biến đổi \[\cos75^\circ\] thành \[\sin(90^\circ−75^\circ)=\sin15^\circ\].

Đây là kỹ năng cơ bản nhất, cho phép ta quy đổi các TSLG khác loại về cùng một loại để so sánh hoặc rút gọn.

Nền tảng cho các đẳng thức quan trọng

Chứng minh \[\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\] (với \[\alpha,\beta\] phụ nhau).

• Cách làm: Vì \[\alpha, \beta\] phụ nhau, ta có \[\sin\beta = \cos\alpha\]. Thay vào biểu thức, ta được: \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\] Theo hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, biểu thức này luôn bằng \[1\]. (Điều phải chứng minh).

Ứng dụng trong so sánh

Để so sánh hai TSLG khác loại (ví dụ sin và cos), ta có thể dùng công thức phụ chéo để đưa chúng về cùng một loại rồi so sánh.

Ví dụ, để so sánh \[\sin 40^\circ\] và \[\cos 60^\circ\], ta đổi \[\cos 60^\circ = \sin 30^\circ\]. Bây giờ bài toán trở thành so sánh \[\sin 40^\circ\] và \[\sin 30^\circ\], việc này đơn giản hơn nhiều.

PHẦN 2: BÀI TẬP VẬN DỤNG CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Dạng 1: Tính toán, rút gọn biểu thức

Ví dụ 1

Tính giá trị biểu thức \[A=\sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 70^\circ + \sin^2 80^\circ\] mà không dùng máy tính.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhận diện các cặp góc phụ nhau.

Ta thấy \[10^\circ+80^\circ=90^\circ\] và \[20^\circ+70^\circ=90^\circ\].

Bước 2: Áp dụng công thức phụ chéo.

\[\sin 80^\circ = \cos 10^\circ \implies \sin^2 80^\circ = \cos^2 10^\circ\]. \[\sin 70^\circ = \cos 20^\circ \implies \sin^2 70^\circ = \cos^2 20^\circ\].

Bước 3: Thay thế và nhóm các số hạng.

\[A = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ + \cos^2 10^\circ\] \[A = (\sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ) + (\sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ)\]

Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức \[\sin^2x+\cos^2x=1\] và kết luận.

\[A = 1 + 1 = 2\].

Ví dụ 2 (Kinh điển)

Rút gọn biểu thức \[B=\tan 5^\circ \cdot \tan 10^\circ \cdot \tan 15^\circ \cdot \dots \cdot \tan 85^\circ\].

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Ghép cặp các số hạng có góc phụ nhau.

Nhận thấy tích có \[(85-5)/5 + 1 = 17\] số hạng. Số hạng ở giữa là \[\tan 45^\circ\]. \[B = (\tan 5^\circ \cdot \tan 85^\circ) \cdot (\tan 10^\circ \cdot \tan 80^\circ) \cdot \dots \cdot \tan 45^\circ\]

Bước 2: Biến đổi TSLG.

\[\tan 85^\circ = \cot 5^\circ\]; \[\tan 80^\circ = \cot 10^\circ\]; ...

Bước 3: Thay thế và tính giá trị mỗi cặp.

Mỗi cặp có dạng \[\tan x \cdot \cot x = 1\]. Ví dụ: \[\tan 5^\circ \cdot \tan 85^\circ = \tan 5^\circ \cdot \cot 5^\circ = 1\].

Bước 4: Kết luận.

Tất cả các cặp trong biểu thức đều có tích bằng \[1\]. Số hạng ở giữa là \[\tan 45^\circ = 1\]. Vậy \[B = 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 = 1\].

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác

Ví dụ 3

Không dùng máy tính, hãy so sánh \[\cos 32^\circ\] và \[\sin 55^\circ\].

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đưa về cùng một loại TSLG (ví dụ: sin).

Áp dụng công thức phụ chéo: \[\cos 32^\circ = \sin(90^\circ − 32^\circ) = \sin 58^\circ\]. Bài toán trở thành so sánh \[\sin 58^\circ\] và \[\sin 55^\circ\].

Bước 2: So sánh các góc.

Ta có \[58^\circ > 55^\circ\].

Bước 3: Kết luận dựa trên tính đồng biến/nghịch biến.

Vì trong khoảng \[(0^\circ, 90^\circ)\], hàm sin đồng biến (góc lớn hơn thì sin lớn hơn), nên \[\sin 58^\circ > \sin 55^\circ\]. Vậy \[\cos 32^\circ > \sin 55^\circ\].

Tổng kết và Lời khuyên

Sơ đồ tư duy "Phụ Chéo"

Một sơ đồ trực quan hóa 4 công thức chính và mối liên hệ qua lại, giúp ghi nhớ nhanh.

• Góc phụ nhau: \[\alpha + \beta = 90^\circ\]
  • \[\sin \alpha \longleftrightarrow \cos \beta\]
  • \[\tan \alpha \longleftrightarrow \cot \beta\]
• Ghi nhớ: Các hàm có tiền tố "Co-" (Cosin, Cotang) chính là các hàm "phụ" của các hàm còn lại.

Những lỗi sai thường gặp

Nhầm lẫn "phụ chéo": \[\sin\alpha=\sin\beta\] (SAI).

Sửa lại: Phải là sin góc này bằng cosin góc kia.

Quên điều kiện hai góc phải phụ nhau.

Luôn kiểm tra tổng hai góc có bằng 90° hay không trước khi áp dụng công thức.

Lời khuyên để làm chủ kiến thức

Khi gặp một biểu thức phức tạp, hãy đi tìm các cặp góc có tổng bằng 90° đầu tiên.

Đây thường là bước đi chiến lược đầu tiên và hiệu quả nhất để "phá băng" bài toán.

Luôn cố gắng đưa các TSLG khác loại về cùng một loại (sin hoặc tan) để dễ so sánh và rút gọn.

Đây là một kỹ năng biến đổi cơ bản. Việc quy về cùng một loại TSLG giúp đơn giản hóa vấn đề và dễ dàng áp dụng các tính chất đã biết.

>> Xem thêm: Toán học.