Bài Tập Tổng Hợp Căn Bậc Hai Toán 9 Có Lời Giải Chi Tiết (Ôn Thi Lớp 10)

1. Lời mở đầu: Vì sao cần luyện tập bài tập tổng hợp căn bậc hai?

Căn bậc hai là một trong những chuyên đề cốt lõi và quan trọng nhất của chương trình Toán 9 sgk, đồng thời cũng là "điểm nóng" trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để thực sự làm chủ kiến thức này, việc chỉ nắm vững lý thuyết là chưa đủ; bạn cần phải luyện tập và thành thạo các dạng bài tập tổng hợp căn bậc hai có lời giải chi tiết. Các bài tập này không chỉ giúp bạn củng cố kiến thức mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic, kỹ năng biến đổi đại số linh hoạt và sự cẩn thận trong tính toán.

Bài viết này sẽ tổng hợp các dạng bài tập căn bậc hai phổ biến nhất trong Toán 9, từ rút gọn biểu thức, giải phương trình, so sánh đến các bài toán tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất và chứng minh, kèm theo lời giải chi tiết từng bước. Đây sẽ là cẩm nang hữu ích giúp bạn ôn tập toàn diện và tự tin chinh phục mọi thử thách liên quan đến căn bậc hai!

2. Ôn lại kiến thức trọng tâm về Căn bậc hai

Trước khi đi vào các bài tập, hãy cùng điểm lại những kiến thức quan trọng nhất về căn bậc hai:

• Điều kiện xác định (ĐKXĐ):
  • Biểu thức \[\sqrt{A}\] xác định (có nghĩa) khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn \[A\] không âm. \[ \sqrt{A} \text{ xác định } \Leftrightarrow A \ge 0 \]
  • Nếu căn nằm ở mẫu số (ví dụ: \[\frac{1}{\sqrt{B}}\]), thì \[B > 0\].
• Hằng đẳng thức cơ bản:
  • Với mọi số thực \[A\], ta có: \[\sqrt{A^2} = |A|\].
  • Lưu ý đặc biệt đến dấu giá trị tuyệt đối:
    • Nếu \[A \ge 0\], thì \[|A| = A\].
    • Nếu \[A < 0\], thì \[|A| = -A\].
• Các phép biến đổi cơ bản:
  • Nhân các căn thức: \[\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} = \sqrt{A \cdot B}\] (với \[A \ge 0, B \ge 0\]).
  • Chia các căn thức: \[\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A}{B}}\] (với \[A \ge 0, B > 0\]).
  • Đưa thừa số ra/vào dấu căn: \[\sqrt{A^2 B} = |A|\sqrt{B}\] (với \[B \ge 0\]).
  • Trục căn thức ở mẫu:
    • Dạng \[\frac{A}{\sqrt{B}}\]: nhân cả tử và mẫu với \[\sqrt{B}\] (với \[B > 0\]). \[ \frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A\sqrt{B}}{B} \]
    • Dạng \[\frac{A}{\sqrt{B} \pm \sqrt{C}}\]: nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp (\[\sqrt{B} \mp \sqrt{C}\]) (với \[B \ge 0, C \ge 0\] và mẫu khác 0). \[ \frac{A}{\sqrt{B} + \sqrt{C}} = \frac{A(\sqrt{B} - \sqrt{C})}{B - C} \]
• Căn bậc ba:
  • Căn bậc ba của số \[a\] là số \[x\] sao cho \[x^3 = a\], ký hiệu \[\sqrt[3]{a}\].
  • Căn bậc ba luôn xác định với mọi số thực \[A\]: \[\sqrt[3]{A^3} = A\].

3. Các dạng bài tập tổng hợp căn bậc hai phổ biến (kèm lời giải chi tiết)

Dạng 1: Rút gọn biểu thức chứa căn

Đây là dạng bài tập cơ bản và thường xuất hiện trong hầu hết các đề thi.

• Phương pháp:

  1. Tìm ĐKXĐ của biểu thức.
  2. Phân tích các số dưới dấu căn thành tích của một số chính phương và một số khác để đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
  3. Thực hiện các phép nhân, chia, trục căn thức ở mẫu.
  4. Quy đồng mẫu số (nếu có các phân thức) và thực hiện phép cộng, trừ.
  5. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn (thường dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \[\[X-Y = (\sqrt{X}-\sqrt{Y})(\sqrt{X}+\sqrt{Y})\]\] hoặc đặt nhân tử chung).

• Bài tập ví dụ 1: Cho biểu thức \[P = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - \sqrt{x}}\] a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức \[P\]. b) Tính giá trị của \[P\] khi \[x = 9\].

• Lời giải chi tiết: a) Tìm ĐKXĐ: * Các căn bậc hai có nghĩa: \[\sqrt{x}\] có nghĩa khi \[x \ge 0\]. * Các mẫu số khác 0: * \[\sqrt{x} - 1 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 1 \Rightarrow x \ne 1\] * \[\sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\] * \[\frac{\sqrt{x} + 1}{x - \sqrt{x}}\] có mẫu số \[x - \sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 0\] và \[\sqrt{x} - 1 \ne 0\]. * Kết hợp các điều kiện, ta có ĐKXĐ: \[x > 0\] và \[x \ne 1\].

  Rút gọn biểu thức \[P\]: * Rút gọn từng ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \] * Rút gọn phần chia: \[ \frac{\sqrt{x} + 1}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \] * Thực hiện phép chia: \[ P = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \] \[ P = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 1} \] \[ P = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \] * Vậy, biểu thức rút gọn là \[P = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}\].

  b) Tính giá trị của \[P\] khi \[x = 9\]: * Kiểm tra \[x = 9\] có thỏa mãn ĐKXĐ không: \[9 > 0\] và \[9 \ne 1\] (thỏa mãn). * Thay \[x = 9\] vào biểu thức \[P\] đã rút gọn: \[ P = \frac{1}{\sqrt{9} + 1} = \frac{1}{3 + 1} = \frac{1}{4} \] * Vậy, khi \[x = 9\], \[P = \frac{1}{4}\].

Dạng 2: Giải phương trình chứa căn

• Phương pháp:

  1. Đặt ĐKXĐ cho các biểu thức dưới dấu căn và các biểu thức ở mẫu (nếu có).
  2. Chuyển vế để đưa phương trình về một trong các dạng cơ bản (ví dụ: \[\sqrt{f(x)} = c\], \[\sqrt{f(x)} = g(x)\], \[\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\]).
  3. Bình phương hai vế (có điều kiện đi kèm nếu vế không chứa căn là biểu thức có biến).
  4. Giải phương trình thu được.
  5. Đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ (và các điều kiện phụ nếu có) để loại nghiệm ngoại lai.

• Bài tập ví dụ 2: Giải phương trình \[\sqrt{x^2 - 4x + 4} = 5\].

• Lời giải chi tiết:

  1. ĐKXĐ: \[x^2 - 4x + 4 \ge 0\].
     • Ta nhận thấy \[x^2 - 4x + 4\] là hằng đẳng thức \[(x - 2)^2\].
     • \[(x - 2)^2 \ge 0\] luôn đúng với mọi giá trị của \[x\].
     • Vậy, ĐKXĐ là mọi \[x \in \mathbb{R}\].
  2. Viết lại phương trình: \[\sqrt{(x - 2)^2} = 5\].
  3. Áp dụng hằng đẳng thức \[\sqrt{A^2} = |A|\]: \[|x - 2| = 5\].
  4. Giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối:
     • Trường hợp 1: \[x - 2 = 5 \Leftrightarrow x = 7\].
     • Trường hợp 2: \[x - 2 = -5 \Leftrightarrow x = -3\].
  5. Kiểm tra nghiệm: Cả \[x = 7\] và \[x = -3\] đều thỏa mãn ĐKXĐ (mọi \[x \in \mathbb{R}\]).
  • Vậy, tập nghiệm của phương trình là \[S = {-3; 7}\].

Dạng 3: So sánh các biểu thức chứa căn

• Phương pháp:

  1. Bình phương hai vế (nếu cả hai vế không âm): Nếu \[A, B \ge 0\], thì \[A > B \Leftrightarrow A^2 > B^2\].
  2. Đưa thừa số vào trong căn: Để so sánh \[\[a\sqrt{b}\]\] và \[\[c\sqrt{d}\]\] (với \[a, c \ge 0\]), đưa về \[\sqrt{a^2b}\] và \[\sqrt{c^2d}\] rồi so sánh các giá trị dưới dấu căn.
  3. Sử dụng số trung gian: So sánh cả hai biểu thức với một số thứ ba.
  4. Trừ hai biểu thức: Xét hiệu \[A - B\]. Nếu \[A - B > 0\], thì \[A > B\]. Nếu \[A - B < 0\], thì \[A < B\]. Nếu \[A - B = 0\], thì \[A = B\].

• Bài tập ví dụ 3: So sánh \[2\sqrt{5}\] và \[\sqrt{21}\].

• Lời giải chi tiết:

  • Cả hai số đều dương. Ta có thể bình phương hai vế.
  • \[(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20\].
  • \[(\sqrt{21})^2 = 21\].
  • Vì \[20 < 21\], nên \[(2\sqrt{5})^2 < (\sqrt{21})^2\].
  • Suy ra, \[2\sqrt{5} < \sqrt{21}\].

Dạng 4: Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (GTNN, GTLN)

• Phương pháp:

  1. Rút gọn biểu thức (nếu cần).
  2. Sử dụng kỹ thuật tách hằng số và biểu thức có biến, hoặc áp dụng bất đẳng thức (ví dụ: Cauchy, Bunhiacopxki - tùy mức độ phức tạp).
  3. Chú ý đến ĐKXĐ để giới hạn tập giá trị của biến.

• Bài tập ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A = x - 2\sqrt{x} + 3\] (với \[x \ge 0\]).

• Lời giải chi tiết:

  • ĐKXĐ: \[x \ge 0\].
  • Biểu thức \[A\] có dạng giống hằng đẳng thức: \[ A = x - 2\sqrt{x} + 3 \] \[ A = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x} + 1 + 2 \] \[ A = (\sqrt{x} - 1)^2 + 2 \]
  • Vì \[( \sqrt{x} - 1 )^2 \ge 0\] với mọi \[x \ge 0\].
  • Nên \[A = (\sqrt{x} - 1)^2 + 2 \ge 0 + 2 = 2\].
  • Giá trị nhỏ nhất của \[A\] là 2.
  • Dấu "\[=\]" xảy ra khi \[\sqrt{x} - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1\].
  • Giá trị \[x = 1\] thỏa mãn ĐKXĐ \[x \ge 0\].
  • Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A\] là 2, đạt được khi \[x = 1\].

Dạng 5: Các bài toán tổng hợp và chứng minh

• Phương pháp: Kết hợp linh hoạt các kỹ năng rút gọn, giải phương trình, sử dụng hằng đẳng thức, tính chất của căn bậc hai và các kiến thức đại số khác.

• Bài tập ví dụ 5: Cho biểu thức \[Q = \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} + \frac{x + 1}{\sqrt{x}}\] a) Rút gọn biểu thức \[Q\]. b) Tìm \[x\] để \[Q = \sqrt{x}\].

• Lời giải chi tiết: a) ĐKXĐ: * \[x \ge 0\] để các căn có nghĩa. * \[x - \sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\] và \[x \ne 1\]. * \[x + \sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\] (vì \[\sqrt{x} + 1 > 0\] với \[x \ge 0\]). * \[\sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\]. * Kết hợp ĐKXĐ: \[x > 0\] và \[x \ne 1\].

  Rút gọn biểu thức \[Q\]: * Phân tích tử và mẫu của từng phân số: * \[\frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^3 - 1^3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}\] (với \[x \ne 1\]) * \[\frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^3 + 1^3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{(\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}\] * Thay vào biểu thức \[Q\]: \[ Q = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - \frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} + \frac{x + 1}{\sqrt{x}} \] \[ Q = \frac{(x + \sqrt{x} + 1) - (x - \sqrt{x} + 1) + (x + 1)}{\sqrt{x}} \] \[ Q = \frac{x + \sqrt{x} + 1 - x + \sqrt{x} - 1 + x + 1}{\sqrt{x}} \] \[ Q = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \] \[ Q = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}} \] * Vậy, biểu thức rút gọn là \[Q = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}}\].

  b) Tìm \[x\] để \[Q = \sqrt{x}\]: * Ta có phương trình: \[\frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}\]. * ĐKXĐ: \[x > 0\] và \[x \ne 1\]. * Nhân \[\sqrt{x}\] lên hai vế (vì \[\sqrt{x} \ne 0\]): \[ (\sqrt{x} + 1)^2 = (\sqrt{x})^2 \] \[ x + 2\sqrt{x} + 1 = x \] \[ 2\sqrt{x} + 1 = 0 \] \[ 2\sqrt{x} = -1 \] * Phương trình này vô nghiệm vì \[\sqrt{x} \ge 0\] nên \[2\sqrt{x} \ge 0\], không thể bằng \[-1\]. * Vậy, không có giá trị \[x\] nào thỏa mãn yêu cầu.

4. Bí quyết luyện tập hiệu quả và tránh sai lầm thường gặp

• Luôn đặt ĐKXĐ trước tiên: Đây là nguyên tắc vàng. Quên ĐKXĐ là sai sót nghiêm trọng.
• Thành thạo hằng đẳng thức: Đặc biệt là \[\sqrt{A^2} = |A|\] và \[\[A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\]\].
• Cẩn thận với dấu: Khi khai căn, rút gọn, biến đổi, đặc biệt là khi có biểu thức chứa biến.
• Luyện tập các phép biến đổi xuôi và ngược:
  • Xuôi: Từ biểu thức phức tạp sang đơn giản.
  • Ngược: Từ biểu thức đơn giản suy nghĩ cách biến đổi để giải phương trình (ví dụ: \[x = (\sqrt{x})^2\]).
• Sử dụng máy tính Casio để kiểm tra: Sau khi giải tự luận, bạn có thể nhập biểu thức vào máy tính (với một giá trị \[x\] cụ thể) để kiểm tra kết quả rút gọn hoặc nghiệm phương trình.
• Giải đề thi các năm trước: Làm quen với cấu trúc đề và các dạng bài thường xuất hiện trong kỳ thi.

5. Kết luận: Vững vàng với căn bậc hai - Sẵn sàng cho kỳ thi

Bài tập tổng hợp căn bậc hai trong môn Toán 9 là một thử thách nhưng cũng là cơ hội để bạn củng cố và nâng cao kỹ năng đại số của mình. Thông qua việc luyện tập đa dạng các dạng bài từ rút gọn, giải phương trình, so sánh đến tìm GTNN/GTLN, bạn sẽ không chỉ nắm vững kiến thức mà còn phát triển tư duy logic và sự tỉ mỉ.

Hãy kiên trì, chăm chỉ và luôn chú ý đến những lưu ý quan trọng. Khi đã vững vàng với căn bậc hai, bạn sẽ tự tin hơn rất nhiều khi đối mặt với các bài toán khó và sẵn sàng chinh phục thành công kỳ thi quan trọng sắp tới!