Tìm Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Chứa Căn: Bí Quyết & Phương Pháp Toán 9

1. Lời mở đầu: Tầm quan trọng của việc tìm GTLN, GTNN trong Toán học

Trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở cấp THCS và THPT, các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức luôn là một dạng toán hấp dẫn nhưng cũng đầy thử thách. Khi kết hợp với biểu thức chứa căn bậc hai, độ phức tạp của chúng càng tăng lên, đòi hỏi sự kết hợp linh hoạt giữa kiến thức về căn thức, bất đẳng thức và kỹ năng biến đổi đại số. Đây là dạng bài thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi chuyên và các bài toán phân loại cao.

Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về các phương pháp hiệu quả nhất để tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn, từ những kỹ thuật cơ bản đến các phương pháp nâng cao. Chúng ta sẽ cùng khám phá những bí quyết để bạn không chỉ giải được bài toán mà còn hiểu sâu sắc bản chất, từ đó tự tin chinh phục mọi thách thức!

>> Xem thêm: Toán lớp 9.

2. Kiến thức nền tảng: Ôn lại những khái niệm cốt lõi

Để tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn, bạn cần nắm vững:

• Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của căn bậc hai:
  • Biểu thức \[\sqrt{A}\] xác định khi và chỉ khi \[A \ge 0\].
  • Nếu căn ở mẫu, biểu thức dưới căn phải dương chặt (\[A > 0\]).
  • Việc tìm ĐKXĐ là bước bắt buộc đầu tiên để xác định phạm vi giá trị của biến.
• Hằng đẳng thức quan trọng: Với mọi số thực \[A\], \[\sqrt{A^2} = |A|\].
  • Nhớ rằng \[|A| \ge 0\] và \[|A| \ge A\], \[|A| \ge -A\].
• Các phép biến đổi cơ bản của căn thức: Nhân, chia, đưa thừa số vào/ra dấu căn, trục căn thức ở mẫu.
• Tính chất của bình phương: Với mọi số thực \[X\], ta luôn có \[X^2 \ge 0\]. Dấu "\[=\]" xảy ra khi \[X = 0\].

3. Các phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn

Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào cấu trúc của biểu thức.

3.1. Phương pháp 1: Đưa về dạng bình phương không âm

Đây là phương pháp cơ bản và rất hiệu quả, đặc biệt với các biểu thức có dạng tam thức bậc hai đối với căn.

• Nguyên tắc: Biến đổi biểu thức về dạng \[\[F(x) = (\sqrt{G(x)} \pm a)^2 + b\]\] hoặc \[\[F(x) = - (\sqrt{G(x)} \pm a)^2 + b\]\].
  • Nếu có dạng \[\[(\sqrt{G(x)} \pm a)^2 + b\]\]: Vì \[\[(\sqrt{G(x)} \pm a)^2 \ge 0\]\], nên \[F(x) \ge b\]. GTNN là \[b\], đạt được khi \[\sqrt{G(x)} \pm a = 0\].
  • Nếu có dạng \[\[ - (\sqrt{G(x)} \pm a)^2 + b\]\]: Vì \[\[ - (\sqrt{G(x)} \pm a)^2 \le 0\]\], nên \[F(x) \le b\]. GTLN là \[b\], đạt được khi \[\sqrt{G(x)} \pm a = 0\].
• Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức \[A = x - 4\sqrt{x} + 7\] (với \[x \ge 0\]).
  • ĐKXĐ: \[x \ge 0\].
  • Biến đổi biểu thức: \[ A = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} + 2^2 + 3 \] \[ A = (\sqrt{x} - 2)^2 + 3 \]
  • Vì \[( \sqrt{x} - 2 )^2 \ge 0\] với mọi \[x \ge 0\].
  • Do đó, \[A \ge 3\].
  • GTNN của \[A\] là 3.
  • Dấu "\[=\]" xảy ra khi \[\sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4\].
  • Giá trị \[x = 4\] thỏa mãn ĐKXĐ.
  • Vậy, GTNN của biểu thức \[A\] là 3 khi \[x = 4\].
• Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức \[B = -x + 6\sqrt{x} - 5\] (với \[x \ge 0\]).
  • ĐKXĐ: \[x \ge 0\].
  • Biến đổi biểu thức: \[ B = - (x - 6\sqrt{x} + 5) \] \[ B = - ((\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} + 3^2 - 4) \] \[ B = - ((\sqrt{x} - 3)^2 - 4) \] \[ B = - (\sqrt{x} - 3)^2 + 4 \]
  • Vì \[( \sqrt{x} - 3 )^2 \ge 0\], nên \[ - (\sqrt{x} - 3 )^2 \le 0\].
  • Do đó, \[B \le 4\].
  • GTLN của \[B\] là 4.
  • Dấu "\[=\]" xảy ra khi \[\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9\].
  • Giá trị \[x = 9\] thỏa mãn ĐKXĐ.
  • Vậy, GTLN của biểu thức \[B\] là 4 khi \[x = 9\].

3.2. Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tổng các số không âm

• Nguyên tắc: Nếu biểu thức là tổng của các số không âm (ví dụ: các căn thức), thì tổng đó sẽ đạt GTNN khi các số hạng đạt GTNN.
• Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức \[C = \sqrt{x - 2} + \sqrt{y - 3} + 5\] (với \[x \ge 2, y \ge 3\]).
  • ĐKXĐ: \[x \ge 2, y \ge 3\].
  • Vì \[\sqrt{x - 2} \ge 0\] và \[\sqrt{y - 3} \ge 0\] với mọi \[x \ge 2, y \ge 3\].
  • Do đó, \[C \ge 0 + 0 + 5 = 5\].
  • GTNN của \[C\] là 5.
  • Dấu "\[=\]" xảy ra khi: \[ \begin{cases} \sqrt{x - 2} = 0 \Rightarrow x = 2 \ \sqrt{y - 3} = 0 \Rightarrow y = 3 \end{cases} \]
  • Các giá trị \[x = 2, y = 3\] thỏa mãn ĐKXĐ.
  • Vậy, GTNN của biểu thức \[C\] là 5 khi \[x = 2, y = 3\].

3.3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ (dạng tam thức bậc hai)

Phương pháp này thường áp dụng khi biểu thức có dạng \[ax + b\sqrt{x} + c\] hoặc các dạng phức tạp hơn nhưng có thể đưa về tam thức bậc hai của một ẩn phụ.

• Nguyên tắc: Đặt \[t = \sqrt{x}\] (với điều kiện \[t \ge 0\]), hoặc một ẩn phụ khác phù hợp. Biểu thức sẽ trở thành một hàm số bậc hai của \[t\]. Sau đó, tìm GTLN/GTNN của hàm số bậc hai này trên tập giá trị của \[t\].
• Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức \[D = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3}\] (với \[x \ge 0, x \ne 9\]).
  • ĐKXĐ: \[x \ge 0, x \ne 9\].
  • Đặt \[t = \sqrt{x}\]. Vì \[x \ge 0, x \ne 9\] nên \[t \ge 0, t \ne 3\].
  • Biểu thức trở thành: \[D = \frac{t - 2}{t - 3}\].
  • Biến đổi để tách hằng số: \[ D = \frac{t - 3 + 1}{t - 3} = \frac{t - 3}{t - 3} + \frac{1}{t - 3} = 1 + \frac{1}{t - 3} \]
  • Để tìm GTNN của \[D\], ta cần tìm GTNN của \[\frac{1}{t - 3}\].
  • Vì \[t \ge 0, t \ne 3\], ta xét hai trường hợp của \[t - 3\]:
    • Trường hợp 1: \[t - 3 > 0 \Rightarrow t > 3\]. Khi đó, \[\frac{1}{t - 3} > 0\].
      • Giá trị \[t - 3\] càng lớn, \[\frac{1}{t - 3}\] càng nhỏ.
      • Khi \[t \to +\infty\], \[\frac{1}{t - 3} \to 0\]. Không có GTNN trong trường hợp này.
    • Trường hợp 2: \[t - 3 < 0 \Rightarrow 0 \le t < 3\]. Khi đó, \[\frac{1}{t - 3} < 0\].
      • Giá trị \[t - 3\] càng gần 0 (tức là \[t\] càng gần 3), \[\frac{1}{t - 3}\] càng âm lớn (tức là giá trị của nó càng nhỏ).
      • Không có GTNN cụ thể trong trường hợp này vì có thể tiến rất gần \[- \infty\].
  • Tuy nhiên, nếu đề bài cho thêm điều kiện về khoảng của \[x\] (ví dụ \[0 \le x \le 4\]), thì \[0 \le t \le 2\], khi đó \[t - 3\] sẽ thuộc \[-3 \le t - 3 \le -1\].
    • Trong trường hợp \[-3 \le t - 3 \le -1\], thì \[\frac{1}{t - 3}\] sẽ thuộc \[\[-\frac{1}{1}, -\frac{1}{3}\]\], tức là \[\[ -1 \le \frac{1}{t - 3} \le -\frac{1}{3} \]\].
    • Khi đó GTNN của \[\frac{1}{t - 3}\] là \[-1\], đạt được khi \[t - 3 = -1 \Rightarrow t = 2\].
    • Suy ra GTNN của \[D = 1 + (-1) = 0\], đạt được khi \[t = 2 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4\].
  • Kết luận (có điều kiện khoảng): GTNN của \[D\] là 0 khi \[x = 4\].

3.4. Phương pháp 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

Phương pháp này rất mạnh cho các biểu thức có dạng tổng và tích liên quan đến căn bậc hai.

• Nguyên tắc: Với hai số không âm \[a, b\], ta có \[\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}\] hay \[a + b \ge 2\sqrt{ab}\]. Dấu "\[=\]" xảy ra khi \[a = b\].
• Áp dụng:
  • Biến đổi biểu thức để tạo ra các cặp số hạng có tích là hằng số hoặc một biểu thức đơn giản.
  • Thêm bớt số hạng để áp dụng Cauchy.
• Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức \[E = x + \frac{4}{\sqrt{x}}\] (với \[x > 0\]).
  • ĐKXĐ: \[x > 0\].
  • Biểu thức có dạng tổng, nhưng để áp dụng Cauchy thì tích phải là hằng số. Ta có \[x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\].
  • Tách \[x\] thành \[\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\] hoặc \[\sqrt{x}\] thành \[\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{\sqrt{x}}{2}\].
  • Viết lại: \[E = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{4}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}\].
  • Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \[\sqrt{x}\] và \[\frac{4}{\sqrt{x}}\]: \[ \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} \ge 2\sqrt{\sqrt{x} \cdot \frac{4}{\sqrt{x}}} \] \[ \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} \ge 2\sqrt{4} \] \[ \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} \ge 2 \cdot 2 \] \[ \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} \ge 4 \]
  • GTNN của \[E\] là 4.
  • Dấu "\[=\]" xảy ra khi \[\sqrt{x} = \frac{4}{\sqrt{x}} \Rightarrow x = 4\].
  • Giá trị \[x = 4\] thỏa mãn ĐKXĐ.
  • Vậy, GTNN của biểu thức \[E\] là 4 khi \[x = 4\].

3.5. Phương pháp 5: Sử dụng tính chất của hàm số đồng biến/nghịch biến trên đoạn

Phương pháp này thường áp dụng khi biến \[x\] bị giới hạn trong một khoảng cụ thể.

• Nguyên tắc:
  • Nếu hàm số \[y = f(x)\] đồng biến trên đoạn \[\[a; b\]\], thì GTNN là \[f(a)\] và GTLN là \[f(b)\].
  • Nếu hàm số \[y = f(x)\] nghịch biến trên đoạn \[\[a; b\]\], thì GTNN là \[f(b)\] và GTLN là \[f(a)\].
• Ví dụ 6: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức \[F = \sqrt{x + 1} - 2\] với \[0 \le x \le 3\].
  • ĐKXĐ: \[x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1\]. Điều kiện cho sẵn \[0 \le x \le 3\] thỏa mãn ĐKXĐ.
  • Xét hàm số \[y = \sqrt{t}\]. Hàm này đồng biến khi \[t \ge 0\].
  • Xét hàm số \[f(x) = \sqrt{x + 1}\]. Khi \[x\] tăng thì \[x+1\] tăng, do đó \[\sqrt{x+1}\] tăng.
  • Suy ra, hàm số \[F = \sqrt{x + 1} - 2\] là hàm đồng biến trên đoạn \[\[0; 3\]\].
  • GTNN của \[F\] đạt được tại \[x = 0\]: \[F_{min} = \sqrt{0 + 1} - 2 = 1 - 2 = -1\].
  • GTLN của \[F\] đạt được tại \[x = 3\]: \[F_{max} = \sqrt{3 + 1} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0\].
  • Vậy, GTNN của \[F\] là \[-1\] khi \[x = 0\], GTLN của \[F\] là 0 khi \[x = 3\].

3.6. Phương pháp 6: Đánh giá bằng khoảng giá trị

• Nguyên tắc: Ước lượng hoặc biến đổi để giới hạn được khoảng giá trị của biểu thức.
• Ví dụ 7: Tìm GTLN của biểu thức \[G = \sqrt{x - 1} + \sqrt{5 - x}\] (với \[1 \le x \le 5\]).
  • ĐKXĐ: \[1 \le x \le 5\].
  • Bình phương biểu thức \[G\] (vì \[G \ge 0\]): \[ G^2 = (\sqrt{x - 1} + \sqrt{5 - x})^2 \] \[ G^2 = (x - 1) + (5 - x) + 2\sqrt{(x - 1)(5 - x)} \] \[ G^2 = 4 + 2\sqrt{-x^2 + 6x - 5} \]
  • Để \[G^2\] đạt GTLN, ta cần \[\sqrt{-x^2 + 6x - 5}\] đạt GTLN.
  • Xét tam thức \[-x^2 + 6x - 5\]. Đặt \[y = -x^2 + 6x - 5\]. \[ y = - (x^2 - 6x + 5) \] \[ y = - (x^2 - 6x + 9 - 4) \] \[ y = - ((x - 3)^2 - 4) \] \[ y = - (x - 3)^2 + 4 \]
  • Vì \[(x - 3)^2 \ge 0\], nên \[-(x - 3)^2 \le 0\].
  • Do đó, \[y \le 4\].
  • Max của \[y\] là 4, đạt được khi \[x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\].
  • Khi đó, \[G^2_{max} = 4 + 2\sqrt{4} = 4 + 2 \cdot 2 = 8\].
  • GTLN của \[G\] là \[\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\].
  • Dấu "\[=\]" xảy ra khi \[x = 3\].
  • Vậy, GTLN của \[G\] là \[2\sqrt{2}\] khi \[x = 3\].

4. Những lỗi thường gặp và cách khắc phục

• Quên đặt ĐKXĐ: Dẫn đến việc tìm ra giá trị của biến không hợp lệ.
  • Khắc phục: Luôn đặt ĐKXĐ là bước đầu tiên.
• Không kiểm tra dấu của các vế khi bình phương: Chỉ được bình phương khi cả hai vế không âm. Nếu không, kết quả có thể sai.
  • Khắc phục: Đặt điều kiện phụ cho vế không chứa căn (hoặc vế còn lại) phải không âm trước khi bình phương.
• Sai lầm trong việc phân tích bình phương: Biến đổi \[\sqrt{A^2} = A\] thay vì \[|A|\].
  • Khắc phục: Nhớ kỹ \[\sqrt{A^2} = |A|\] và xét dấu của \[A\] khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sai điều kiện: Cauchy chỉ áp dụng cho các số không âm.
  • Khắc phục: Luôn kiểm tra điều kiện của các số hạng trước khi áp dụng.
• Quên tìm điều kiện dấu "\[=\]" xảy ra: Đây là phần quan trọng để xác định giá trị của biến khi biểu thức đạt GTLN/GTNN.
  • Khắc phục: Luôn tìm điều kiện này và đối chiếu với ĐKXĐ.

5. Bài tập vận dụng và mẹo giải nhanh

• Phân loại biểu thức: Nhận diện dạng của biểu thức để chọn phương pháp phù hợp.
• Thành thạo hằng đẳng thức: Đặc biệt là \[(a \pm b)^2\] và \[A^2 - B^2\].
• Sử dụng máy tính Casio để kiểm tra: Có thể dùng chức năng TABLE hoặc MODE 7 (đối với một số máy tính) để khảo sát giá trị của biểu thức trên một khoảng, từ đó ước lượng GTLN/GTNN và kiểm tra kết quả tự luận.
• Luyện tập đa dạng: Làm nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
• Học từ lời giải: Sau khi đã thử sức, hãy tham khảo lời giải chi tiết để học hỏi cách biến đổi và tư duy.

6. Kết luận: Vững vàng GTLN, GTNN - Nâng tầm tư duy Toán học

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn là một chuyên đề thú vị và là thách thức lớn, giúp bạn nâng cao tư duy Toán học. Việc nắm vững các phương pháp từ biến đổi về dạng bình phương, đặt ẩn phụ, sử dụng bất đẳng thức Cauchy đến việc đánh giá khoảng giá trị, cùng với sự cẩn trọng trong từng bước biến đổi và kiểm tra điều kiện, sẽ là chìa khóa để bạn chinh phục mọi bài toán.

Hãy xem đây là cơ hội để rèn luyện sự tỉ mỉ, khả năng phân tích và lập luận chặt chẽ. Bằng sự kiên trì luyện tập, bạn chắc chắn sẽ làm chủ được dạng toán này và đạt được những thành công mới trong môn Toán!