Hàm Số Bậc Nhất Lớp 9: Lý Thuyết, Cách Vẽ Đồ Thị & Bài Tập (A-Z)

Hàm Số Bậc Nhất (Toán 9): Toàn Tập Lý Thuyết, Cách Vẽ Đồ Thị và Các Dạng Bài Tập

Hàm số bậc nhất là một trong những chuyên đề trọng tâm và nền tảng nhất trong chương trình Đại số toán 9. Việc nắm vững kiến thức về hàm số bậc nhất không chỉ giúp các em học sinh đạt điểm cao trong các bài kiểm tra mà còn là tiền đề để chinh phục các nội dung phức tạp hơn như hàm số bậc hai, hệ phương trình và nhiều khái niệm khác ở cấp THPT.

Bài viết này sẽ là một cẩm nang toàn diện, cung cấp cho bạn mọi thứ cần biết về hàm số bậc nhất: từ định nghĩa, tính chất, cách vẽ đồ thị siêu chi tiết, cho đến các dạng bài tập thường gặp nhất trong các kỳ thi. Hãy cùng bắt đầu hành trình làm chủ kiến thức quan trọng này!

Phần 1: Lý Thuyết Cốt Lõi Về Hàm Số Bậc Nhất

Trước khi đi vào thực hành, chúng ta cần xây dựng một nền tảng lý thuyết vững chắc.

1.1. Định nghĩa Chuẩn

Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: \[y = ax + b\] trong đó a và b là các số thực cho trước và điều kiện bắt buộc là \[a \ne 0\].

x được gọi là biến số.
y được gọi là hàm số của x.
a được gọi là hệ số góc.
b được gọi là tung độ gốc.

Tại sao a phải khác 0? Đây là một câu hỏi rất quan trọng để hiểu bản chất. Nếu \[a = 0\], công thức hàm số trở thành \[y = 0 \cdot x + b\] hay \[y = b\]. Đây là một hàm số hằng. Đồ thị của nó là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành, không còn là hàm số bậc nhất nữa.

Ví dụ về hàm số bậc nhất:

\[y = 2x - 3\] (với \[a=2, b=-3\])
\[y = -x + 5\] (với \[a=-1, b=5\])
\[y = \frac{1}{2}x\] (với \[a=\frac{1}{2}, b=0\])

1.2. Tính Chất Biến Thiên

Hàm số bậc nhất \[y = ax + b\] có tính chất biến thiên (đồng biến hoặc nghịch biến) rất rõ ràng trên toàn bộ tập xác định \[\mathbb{R}\], phụ thuộc hoàn toàn vào dấu của hệ số góc a.

Nếu \[a > 0\]: Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
- Điều này có nghĩa là khi giá trị của biến x tăng lên, giá trị của hàm số y cũng tăng lên.
- Ví dụ: Hàm số \[y = 3x + 1\] có \[a=3 > 0\] nên là hàm số đồng biến.
Nếu \[a < 0\]: Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
- Điều này có nghĩa là khi giá trị của biến x tăng lên, giá trị của hàm số y lại giảm đi.
- Ví dụ: Hàm số \[y = -2x + 7\] có \[a=-2 < 0\] nên là hàm số nghịch biến.

Tính chất này ảnh hưởng trực tiếp đến "dáng điệu" của đồ thị, như chúng ta sẽ thấy ở phần sau.

Phần 2: Đồ Thị Của Hàm Số Bậc Nhất - Trực Quan Hóa Công Thức

Một trong những kỹ năng quan trọng nhất là biểu diễn hàm số bậc nhất trên mặt phẳng tọa độ.

2.1. Đồ thị là gì?

Tính chất: Đồ thị của hàm số bậc nhất \[y = ax + b\] (với \[a \ne 0\]) là một đường thẳng. Đường thẳng này:

Cắt trục tung (Oy) tại điểm có tung độ bằng b.

Song song với đường thẳng \[y = ax\] (khi \[b \ne 0\]) hoặc trùng với đường thẳng \[y = ax\] (khi \[b = 0\]).

Đường thẳng này còn được gọi là đường thẳng (d): y = ax + b.

2.2. Hướng Dẫn Cách Vẽ Đồ Thị (Chi Tiết Từng Bước)

Để vẽ một đường thẳng, chúng ta chỉ cần xác định được hai điểm phân biệt mà nó đi qua. Cách làm đơn giản và chính xác nhất là tìm giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ Ox và Oy.

Xét hàm số \[y = 2x - 4\]:

Bước 1: Tìm giao điểm với trục tung (Oy)

Cho \[x = 0\].
Thay vào công thức hàm số: \[y = 2 \cdot 0 - 4 = -4\].
Vậy, đồ thị cắt trục Oy tại điểm A có tọa độ \[A(0; -4)\].

Bước 2: Tìm giao điểm với trục hoành (Ox)

Cho \[y = 0\].
Thay vào công thức hàm số: \[0 = 2x - 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\].
Vậy, đồ thị cắt trục Ox tại điểm B có tọa độ \[B(2; 0)\].

Bước 3: Vẽ đường thẳng

Trên hệ trục tọa độ Oxy, xác định hai điểm A và B vừa tìm được.
Dùng thước kẻ, vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Đường thẳng này chính là đồ thị của hàm số \[y = 2x - 4\].

Trường hợp đặc biệt: b = 0 (Hàm số \[y = ax\]) Khi \[b=0\], đồ thị hàm số sẽ luôn đi qua gốc tọa độ \[O(0; 0)\]. Vì vậy, ta không thể tìm giao điểm với hai trục (vì chúng đều là điểm O).

Cách vẽ:
1. Điểm thứ nhất chắc chắn là gốc tọa độ \[O(0; 0)\].
2. Để tìm điểm thứ hai, ta cho x một giá trị bất kỳ khác 0 (thường chọn \[x=1\]) rồi tính y.
- Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số \[y = -3x\].
  - Đồ thị đi qua \[O(0; 0)\].
  - Cho \[x = 1 \Rightarrow y = -3 \cdot 1 = -3\]. Ta được điểm thứ hai là \[C(1; -3)\].
  - Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm O và C.

Phần 3: Phân Tích Sâu Hơn Về Các Hệ Số a và b

Hiểu được ý nghĩa của a và b sẽ giúp bạn có cái nhìn sâu sắc hơn về hành vi của đường thẳng.

3.1. Hệ số góc a - Quyết định độ dốc

Hệ số a được gọi là hệ số góc vì nó quyết định góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương của trục Ox.

a > 0 (Hàm đồng biến): Đường thẳng "đi lên" từ trái sang phải. Góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương trục Ox là một góc nhọn. a càng lớn, đường thẳng càng dốc, góc càng lớn.
a < 0 (Hàm nghịch biến): Đường thẳng "đi xuống" từ trái sang phải. Góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương trục Ox là một góc tù. Giá trị tuyệt đối của a (\[|a|\]) càng lớn, đường thẳng càng dốc.

Công thức tính hệ số góc khi biết góc \[\alpha\]: Nếu \[\alpha\] là góc tạo bởi đường thẳng \[y = ax + b\] và trục Ox thì: \[a = \tan(\alpha)\]

3.2. Tung độ gốc b - Quyết định vị trí cắt trục tung

Hệ số b được gọi là tung độ gốc. Ý nghĩa của nó rất đơn giản: b là tung độ của giao điểm giữa đường thẳng và trục tung Oy.

Nếu \[b > 0\], đường thẳng cắt Oy ở phần dương (phía trên gốc tọa độ).
Nếu \[b < 0\], đường thẳng cắt Oy ở phần âm (phía dưới gốc tọa độ).
Nếu \[b = 0\], đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Phần 4: Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng

Xét hai đường thẳng \[(d): y = ax + b\] và \[(d'): y = a'x + b'\]. Ta có thể xác định vị trí tương đối của chúng chỉ bằng cách so sánh các hệ số.

Song song: \[(d) // (d') \iff \begin{cases} a = a' \\ b \ne b' \end{cases}\]
- (Cùng hệ số góc, khác tung độ gốc)
Trùng nhau: \[(d) \equiv (d') \iff \begin{cases} a = a' \\ b = b' \end{cases}\]
- (Cùng hệ số góc, cùng tung độ gốc)
Cắt nhau: \[(d) \text{ cắt } (d') \iff a \ne a'\]
- (Chỉ cần hệ số góc khác nhau)
Vuông góc (trường hợp đặc biệt của cắt nhau): \[(d) \perp (d') \iff a \cdot a' = -1\]
- (Tích hai hệ số góc bằng -1)

Phần 5: Các Dạng Bài Tập Thường Gặp và Phương Pháp Giải

Dưới đây là tổng hợp các dạng bài tập quan trọng nhất bạn cần nắm vững.

Dạng 1: Nhận dạng hàm số và tìm điều kiện

Phương pháp: Dựa vào định nghĩa \[y=ax+b\] với \[a \ne 0\].

Ví dụ: Tìm m để hàm số \[y = (m-3)x + 5\] là hàm số bậc nhất.

Giải:
- Hàm số đã có dạng \[y=ax+b\] với \[a = m-3\] và \[b=5\].
- Để hàm số là hàm số bậc nhất, điều kiện là \[a \ne 0\].
- \[\Rightarrow m-3 \ne 0 \iff m \ne 3\].
- Vậy với \[m \ne 3\] thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

Dạng 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến

Phương pháp: Dựa vào dấu của hệ số góc a.

Ví dụ: Tìm m để hàm số \[y = (5-m)x - 1\] nghịch biến.

Giải:
- Hệ số góc \[a = 5-m\].
- Để hàm số nghịch biến, điều kiện là \[a < 0\].
- \[\Rightarrow 5-m < 0 \iff m > 5\].
- Vậy với \[m > 5\] thì hàm số nghịch biến.

Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng

Đây là dạng toán quan trọng, yêu cầu viết lại công thức \[y = ax + b\] khi biết một vài điều kiện.

a) Biết hệ số góc a và đi qua điểm \[M(x_0, y_0)\]

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm \[A(1; 3)\].

Giải:
- Phương trình đường thẳng (d) có dạng \[y = ax + b\].
- Vì hệ số góc bằng 2 nên \[a=2\]. Phương trình trở thành \[y = 2x + b\].
- Vì (d) đi qua \[A(1; 3)\], ta thay tọa độ điểm A vào phương trình: \[3 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow 3 = 2 + b \Rightarrow b = 1\].
- Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \[y = 2x + 1\].

b) Đi qua hai điểm \[A(x_1, y_1)\] và \[B(x_2, y_2)\]

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \[A(1; 2)\] và \[B(2; 5)\].

Giải:
- Gọi phương trình đường thẳng (d) là \[y = ax + b\].
- Vì (d) đi qua A và B nên tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình. Ta có hệ: \[\begin{cases} 2 = a \cdot 1 + b \\ 5 = a \cdot 2 + b \end{cases} \iff \begin{cases} a + b = 2 \\ 2a + b = 5 \end{cases}\]
- Trừ vế theo vế hai phương trình, ta được \[(2a+b) - (a+b) = 5 - 2 \Rightarrow a = 3\].
- Thay \[a=3\] vào phương trình đầu tiên: \[3 + b = 2 \Rightarrow b = -1\].
- Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \[y = 3x - 1\].

Dạng 4: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

Phương pháp: Lập phương trình hoành độ giao điểm.

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của \[(d_1): y = 2x + 1\] và \[(d_2): y = -x + 4\].

Giải:
- Phương trình hoành độ giao điểm của \[(d_1)\] và \[(d_2)\] là: \[2x + 1 = -x + 4\]
- \[\Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1\]
- Với \[x=1\], thay vào phương trình của \[(d_1)\] (hoặc \[(d_2)\]) để tìm y: \[y = 2 \cdot 1 + 1 = 3\]
- Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là \[M(1; 3)\].

Phần 6: Lời Kết

Hàm số bậc nhất là một nội dung kiến thức tuy đơn giản nhưng lại vô cùng quan trọng. Việc hiểu sâu sắc từ định nghĩa, tính chất, ý nghĩa của các hệ số đến việc vẽ đồ thị và giải quyết các dạng toán liên quan sẽ giúp bạn có một lợi thế rất lớn. Hãy nhớ rằng, chìa khóa để thành thạo bất kỳ dạng toán nào cũng là nắm vững lý thuyết gốc và thực hành thường xuyên.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp một cái nhìn tổng quan, chi tiết và dễ hiểu, giúp bạn tự tin hơn trên con đường chinh phục môn Toán.