Cấp Số Cộng (Toán 11): Toàn Tập Công Thức, Chứng Minh & Các Dạng Bài Tập
Hướng dẫn chi tiết từ A-Z về cấp số cộng lớp 11. Phân tích sâu định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, công thức tính tổng và các dạng bài tập có lời giải.
Cấp Số Cộng: Toàn Tập Công Thức, Chứng Minh & Các Dạng Bài Tập Từ A-Z
Giới thiệu: Giai thoại về thần đồng Gauss và sự ra đời của một công thức vĩ đại
Câu chuyện về Carl Friedrich Gauss và bài toán tính tổng từ 1 đến 100
Khi còn là một cậu học sinh tiểu học, Gauss đã khiến thầy giáo kinh ngạc khi tính nhẩm tổng các số từ 1 đến 100 chỉ trong vài giây, trong khi cả lớp còn đang loay hoay cộng từng số.
Câu chuyện kể rằng, để cả lớp có việc làm, thầy giáo đã ra một bài toán tưởng chừng rất tốn thời gian: tính tổng các số nguyên từ 1 đến 100. Chỉ vài khoảnh khắc sau, cậu bé Gauss đã đưa ra đáp án chính xác là 5050. Cậu đã làm thế nào? Cậu không cộng từng số. Cậu nhận ra một quy luật đẹp đẽ: nếu ghép số đầu tiên (1) với số cuối cùng (100), ta được tổng là 101. Ghép số thứ hai (2) với số kế cuối (99), ta cũng được tổng là 101. Cứ tiếp tục như vậy, sẽ có 50 cặp, mỗi cặp có tổng là 101. Kết quả là \[50 \times 101 = 5050\].
Phương pháp của Gauss không phải là phép màu, mà là sự thấu hiểu sâu sắc bản chất của một dãy số đặc biệt - Cấp số cộng. Câu chuyện này chính là cánh cửa hoàn hảo để chúng ta bước vào thế giới của cấp số cộng.
>> Xem thêm: Toán 11.
Tại sao Cấp số cộng lại quan trọng?
Nó là mô hình toán học cho mọi sự tăng trưởng hoặc suy giảm đều đặn trong tự nhiên và cuộc sống.
Bản chất của cấp số cộng là sự thay đổi tuyến tính, một quy luật cực kỳ phổ biến.
Từ việc tính lương tăng hằng năm, tính tiền tiết kiệm, cho đến việc sắp xếp các vật thể theo một quy luật... cấp số cộng xuất hiện ở khắp mọi nơi.
Một nhân viên có mức lương khởi điểm và mỗi năm được tăng một khoản cố định. Một vận động viên chạy mỗi ngày một quãng đường dài hơn ngày hôm trước một cự ly không đổi. Số ghế ở mỗi hàng trong một sân vận động được xếp hơn kém nhau một số lượng nhất định. Tất cả đều là những mô hình của cấp số cộng.
Lộ trình bài viết: Từ bản chất đến ứng dụng
Bài viết này sẽ không chỉ đưa cho bạn công thức. Chúng ta sẽ cùng nhau "xây dựng" nên các công thức từ định nghĩa gốc, tìm hiểu các tính chất đặc trưng, và vận dụng chúng để giải quyết các bài toán từ cơ bản đến thực tế.
Với cấu trúc 80% nội dung tập trung vào lý thuyết chuyên sâu và 20% là các ví dụ minh họa, mục tiêu của bài viết là giúp bạn không chỉ học thuộc lòng, mà còn làm chủ kiến thức này một cách sâu sắc và bền vững.
PHẦN 1: LÝ THUYẾT CHUYÊN SÂU - "GIẢI PHẪU" CẤP SỐ CỘNG
1. Định nghĩa và các thành phần cơ bản
1.1. Cấp số cộng là gì?
Định nghĩa chính thức
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Công thức truy hồi: \[u_{n+1} = u_n + d\] với \[n \in \mathbb{N}^*\].
Các thành phần "bất biến"
Một cấp số cộng được xác định duy nhất bởi hai yếu tố:
Số hạng đầu (\[u_1\]): Điểm xuất phát của dãy số.
Công sai (\[d\] - common difference): Hằng số không đổi, là "linh hồn" của cấp số cộng, quyết định sự thay đổi của dãy số.
1.2. Phân loại Cấp số cộng dựa vào công sai d
Dấu của công sai \[d\] quyết định hoàn toàn xu hướng của dãy số.
Khi \[d>0\]
Cấp số cộng là một dãy số tăng. Ví dụ: \[2, 5, 8, 11...\] (\[d=3\]).
Khi \[d<0\]
Cấp số cộng là một dãy số giảm. Ví dụ: \[10, 8, 6, 4...\] (\[d=−2\]).
Khi \[d=0\]
Cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng bằng nhau). Ví dụ: \[7, 7, 7, 7...\] (\[d=0\]).
2. Công thức Số hạng tổng quát \[u_n\]: Tìm một số hạng bất kỳ
Làm thế nào để tìm số hạng thứ 100 mà không cần liệt kê 99 số hạng đầu tiên? Công thức số hạng tổng quát cho phép chúng ta làm điều đó.
2.1. Quá trình suy luận và xây dựng công thức
Phân tích quy luật từ các số hạng đầu
Theo định nghĩa, ta có:
\[u_2 = u_1 + d\]
\[u_3 = u_2 + d = (u_1 + d) + d = u_1 + 2d\]
\[u_4 = u_3 + d = (u_1 + 2d) + d = u_1 + 3d\]
\[u_5 = u_4 + d = (u_1 + 3d) + d = u_1 + 4d\]
Nhận ra quy luật
Số hạng thứ n (\[u_n\]) sẽ bằng số hạng đầu (\[u_1\]) cộng với (\[n−1\]) lần công sai d.
Ta thấy rằng để đi từ \[u_1\] đến \[u_n\], ta cần thực hiện \[(n-1)\] "bước nhảy", mỗi bước nhảy có độ dài là \[d\].
2.2. Phát biểu và chứng minh công thức
Công thức tổng quát
\[u_n = u_1 + (n−1)d\]
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học (dành cho bạn đọc muốn tìm hiểu sâu)
Bước 1 (Cơ sở): Với \[n=1\], \[u_1 = u_1 + (1−1)d = u_1\]. Mệnh đề đúng.
Bước 2 (Giả thiết quy nạp): Giả sử mệnh đề đúng với \[n=k \ge 1\], tức là \[u_k = u_1 + (k−1)d\].
Bước 3 (Chứng minh): Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \[n=k+1\]. Tức là \[u_{k+1} = u_1 + kd\].
Thật vậy, \[u_{k+1} = u_k + d = \[u_1 + (k−1)d\] + d = u_1 + kd−d+d = u_1 + kd\]. (đpcm).
Chứng minh bằng quy nạp đã khẳng định tính đúng đắn của công thức cho mọi số tự nhiên \[n \ge 1\].
3. Công thức tính Tổng n số hạng đầu \[S_n\]: Sức mạnh của sự đối xứng
Đây chính là lúc chúng ta quay lại với tư duy thiên tài của Gauss.
3.1. Suy luận theo phương pháp của Gauss
Quay lại bài toán của Gauss: \[S=1+2+3+...+100\]
Bước 1: Viết tổng theo chiều ngược lại: \[S=100+99+98+...+1\].
Bước 2: Cộng hai dòng lại với nhau, vế theo vế:
\[2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(100+1)\]
\[2S=101+101+101+...+101\] (Có đúng 100 số 101).
Bước 3: \[2S=100⋅101 \implies S=\frac{100⋅101}{2}=5050\].
Áp dụng phương pháp này cho cấp số cộng tổng quát
\[S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n\]
\[S_n = u_n + u_{n-1} + \dots + u_1\]
\[2S_n = (u_1+u_n) + (u_2+u_{n-1}) + \dots + (u_n+u_1)\]
Ta luôn có \[u_k + u_{n−k+1} = u_1 + u_n\]. Do đó, có n cặp tổng như vậy.
Chứng minh nhỏ: \[u_k + u_{n-k+1} = \[u_1 + (k-1)d\] + \[u_1 + (n-k)d\] = 2u_1 + (n-1)d\]. Mặt khác, \[u_1 + u_n = u_1 + \[u_1 + (n-1)d\] = 2u_1 + (n-1)d\]. Vậy \[u_k + u_{n-k+1} = u_1 + u_n\].
\[2S_n=n(u_1+u_n)\].
3.2. Hai dạng công thức tính tổng cần nhớ
Dạng 1: Khi biết số hạng đầu và số hạng cuối
\[S_n = \frac{n(u_1+u_n)}{2}\]
Ý nghĩa: Tổng của n số hạng đầu bằng trung bình cộng của số hạng đầu và cuối, nhân với số lượng số hạng.
Đây là công thức trực tiếp từ phương pháp của Gauss.
Dạng 2: Khi biết số hạng đầu và công sai
Thay \[u_n=u_1+(n−1)d\] vào công thức trên, ta được:
\[S_n = \frac{n\[u_1+u_1+(n−1)d\]}{2} = \frac{n\[2u_1+(n−1)d\]}{2}\]
Đây là công thức mạnh và được sử dụng thường xuyên nhất vì nó chỉ yêu cầu các thông tin cơ bản nhất của một cấp số cộng là \[u_1\], \[d\] và \[n\].
4. Tính chất đặc trưng của các số hạng
4.1. Định lý về trung bình cộng
Phát biểu
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng liền kề nó.
\[u_k = \frac{u_{k−1}+u_{k+1}}{2}\] với \[k \ge 2\].
Chứng minh
Ta có \[u_{k−1}=u_k−d\] và \[u_{k+1}=u_k+d\].
Suy ra \[u_{k−1}+u_{k+1}=(u_k−d)+(u_k+d)=2u_k \implies u_k=\frac{u_{k−1}+u_{k+1}}{2}\].
4.2. Hệ quả và ứng dụng
Điều kiện để ba số lập thành cấp số cộng
Ba số a,b,c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi \[a+c=2b\].
Đây là một công cụ rất hữu ích để kiểm tra hoặc thiết lập mối quan hệ giữa ba số hạng liên tiếp.
PHẦN 2: BÀI TẬP VẬN DỤNG CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dạng 1: Tìm các yếu tố cơ bản của Cấp số cộng
Ví dụ 1.1
Cho một cấp số cộng \[(u_n)\] có \[u_1=−5\] và \[d=3\]. Hãy tìm số hạng thứ 20 (\[u_{20}\]) và tổng của 20 số hạng đầu tiên (\[S_{20}\]).
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tìm \[u_{20}\].
- Áp dụng công thức số hạng tổng quát: \[u_{20} = u_1 + (20−1)d = −5 + 19 \cdot 3 = −5+57=52\].
Bước 2: Tìm \[S_{20}\].
- Cách 1: Dùng công thức \[S_n = \frac{n(u_1+u_n)}{2}\]. \[S_{20} = \frac{20(u_1+u_{20})}{2} = 10(−5+52) = 10 \cdot 47 = 470\].
- Cách 2: Dùng công thức \[S_n = \frac{n\[2u_1+(n−1)d\]}{2}\]. \[S_{20} = \frac{20\[2(−5)+(20−1)3\]}{2} = 10\[−10+57\] = 10 \cdot 47 = 470\].
Kết luận: \[u_{20}=52\] và \[S_{20}=470\].
Dạng 2: Xác định Cấp số cộng khi biết các yếu tố gián tiếp
Ví dụ 2.1
Tìm số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng \[(u_n)\] biết rằng \[u_5=19\] và \[u_9=35\].
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập hệ phương trình theo \[u_1\] và \[d\].
- Ta có: \[u_5=u_1+4d=19\]. (1)
- Ta có: \[u_9=u_1+8d=35\]. (2)
Bước 2: Giải hệ phương trình.
- Lấy (2) trừ (1) vế theo vế: \[(u_1+8d)−(u_1+4d)=35−19 \implies 4d=16 \implies d=4\].
- Thế \[d=4\] vào (1): \[u_1+4(4)=19 \implies u_1+16=19 \implies u_1=3\].
Kết luận: Số hạng đầu là \[u_1=3\] và công sai là \[d=4\].
Dạng 3: Bài toán ứng dụng thực tế
Ví dụ 3.1
Một rạp hát có 30 hàng ghế. Hàng ghế đầu tiên có 20 ghế. Mỗi hàng ghế sau có nhiều hơn hàng ghế ngay trước nó 2 ghế. Hỏi rạp hát có tổng cộng bao nhiêu ghế?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mô hình hóa bài toán.
- Số ghế ở mỗi hàng tạo thành một cấp số cộng với:
- Số hạng đầu (hàng 1): \[u_1=20\].
- Công sai: \[d=2\].
- Số lượng hàng ghế: \[n=30\].
Bước 2: Xác định yêu cầu.
- Bài toán yêu cầu tính tổng số ghế, tức là tính \[S_{30}\].
Bước 3: Áp dụng công thức và tính toán.
- Sử dụng công thức tính tổng dạng 2: \[S_{30} = \frac{30\[2u_1+(30−1)d\]}{2} = 15\[2(20)+29(2)\] = 15\[40+58\] = 15 \cdot 98 = 1470\].
Kết luận: Rạp hát có tổng cộng 1470 ghế.
Tổng kết và Lời khuyên
Sơ đồ tư duy về Cấp số cộng
- Cấp số cộng (CSC)
- Đặc trưng bởi: \[u_1\] và \[d\].
- Tính chất: \[u_k = \frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\].
- Công cụ tìm số hạng: \[u_n = u_1+(n-1)d\].
- Công cụ tính tổng:
- \[S_n = \frac{n(u_1+u_n)}{2}\]
- \[S_n = \frac{n\[2u_1+(n-1)d\]}{2}\]
Những lỗi sai thường gặp
Nhầm lẫn giữa \[u_n\] và \[n\].
\[u_n\] là giá trị của số hạng thứ n, còn \[n\] là vị trí (số thứ tự) của số hạng đó.
Sai sót trong công thức \[u_n=u_1+(n−1)d\].
Lỗi phổ biến là viết thành \[u_n=u_1+nd\]. Hãy nhớ số lần cộng d luôn ít hơn vị trí của số hạng 1 đơn vị.
Lời khuyên để làm chủ kiến thức
Với các bài toán thực tế, bước quan trọng nhất là đọc kỹ đề để xác định chính xác đâu là \[u_1\], đâu là \[d\] và đâu là \[n\].
Luôn cố gắng hiểu bản chất cách chứng minh công thức, đặc biệt là phương pháp của Gauss, để không bao giờ quên công thức tính tổng.
>> Xem thêm: Học Toán Online.
