Cấp Số Nhân (Toán 11): Toàn Tập Công Thức, Chứng Minh & Ứng Dụng A-Z

Cấp Số Nhân: Toàn Tập Công Thức, Chứng Minh & Các Ứng Dụng "Thay Đổi Thế Giới"

Giới thiệu: Từ bài toán hạt thóc trên bàn cờ đến Lãi suất kép

Câu chuyện về sức mạnh của sự nhân rộng

Một nhà thông thái yêu cầu nhà vua thưởng cho mình số hạt thóc đặt trên bàn cờ theo quy luật: ô thứ nhất 1 hạt, ô thứ hai 2 hạt, ô thứ ba 4 hạt,... cứ thế nhân đôi đến ô thứ 64. Nhà vua đồng ý ngay vì nghĩ rằng phần thưởng quá nhỏ bé.

Thoạt nhìn, yêu cầu có vẻ khiêm tốn. Nhưng khi các quan cận thần bắt đầu tính toán, họ đã phải kinh hoàng. Số thóc ở các ô cuối cùng lớn đến mức không thể tưởng tượng nổi.

Kết quả, toàn bộ số thóc trong vương quốc cũng không đủ để trả thưởng. Câu chuyện này minh họa một cách kinh điển cho sức mạnh khủng khiếp của sự tăng trưởng theo cấp số nhân.

Dãy số các hạt thóc trên bàn cờ \[(1, 2, 4, 8, 16,...)\] chính là một Cấp số nhân. Nó cho thấy rằng những thứ bắt đầu nhỏ bé nhưng tăng trưởng theo một tỷ lệ cố định có thể nhanh chóng trở nên khổng lồ.

Xem thêm: Toán 11.

Tại sao Cấp số nhân lại quan trọng?

Nó là mô hình toán học cho mọi quá trình tăng trưởng hoặc suy giảm theo một tỷ lệ không đổi.

Nếu Cấp số cộng mô tả sự thay đổi tuyến tính (cộng thêm một lượng không đổi), thì Cấp số nhân mô tả sự thay đổi theo hàm mũ (nhân với một tỷ lệ không đổi). Đây là hai mô hình tăng trưởng cơ bản nhất trong tự nhiên và xã hội.

Từ việc tính lãi suất kép trong tài chính, sự phát triển dân số, sự phân rã phóng xạ trong vật lý hạt nhân, cho đến cách virus lan truyền, cấp số nhân là công cụ không thể thiếu để mô tả và dự báo thế giới.

Hiểu về cấp số nhân là hiểu về cách thế giới vận hành, từ những khoản đầu tư nhỏ nhất đến những quá trình vĩ đại nhất của vũ trụ.

Lộ trình bài viết: Khám phá trọn vẹn thế giới cấp số nhân

Bài viết này sẽ dẫn dắt bạn từ định nghĩa cơ bản, cách "xây dựng" các công thức, khám phá khái niệm kỳ thú về "tổng vô hạn", và vận dụng chúng để giải quyết các bài toán thực tế.

Với cấu trúc 80% nội dung tập trung vào lý thuyết chuyên sâu và 20% là các ví dụ minh họa, mục tiêu của bài viết là giúp bạn không chỉ học thuộc lòng, mà còn làm chủ kiến thức này một cách sâu sắc và bền vững.

PHẦN 1: LÝ THUYẾT CHUYÊN SÂU - "GIẢI PHẪU" CẤP SỐ NHÂN

1. Định nghĩa và các yếu tố cơ bản

1.1. Cấp số nhân là gì?

Định nghĩa chính thức

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một hằng số không đổi q.

Công thức truy hồi: \[u_{n+1}=u_n \cdot q\] với \[n \in \mathbb{N}^*\].

Các thành phần cốt lõi

Một cấp số nhân được xác định duy nhất bởi hai yếu tố nền tảng:

Số hạng đầu (\[u_1\]): Giá trị khởi điểm của dãy số.

Công bội (\[q\] - common ratio): Hằng số nhân không đổi, là "ADN" của cấp số nhân, quyết định tốc độ và chiều hướng phát triển của dãy.

1.2. Phân biệt Cấp số nhân và Cấp số cộng

Khác biệt về bản chất

Cấp số cộng: Tăng trưởng tuyến tính (cộng thêm). Đồ thị là đường thẳng.

Mỗi bước, giá trị tăng thêm một lượng không đổi.

Cấp số nhân: Tăng trưởng theo hàm mũ (nhân với). Đồ thị là đường cong mũ.

Mỗi bước, giá trị được nhân lên một tỷ lệ không đổi. Điều này dẫn đến sự bùng nổ hoặc suy giảm rất nhanh chóng.

1.3. Phân loại Cấp số nhân dựa vào công bội q

Giả sử số hạng đầu \[u_1 > 0\].

**\[q>1\]: Dãy số tăng (ví dụ: \[3, 6, 12, 24...\]). Đây là trường hợp tăng trưởng bùng nổ.

\[q=1\]: Dãy số không đổi (\[3, 3, 3, 3...\]).

**\[0<q<1\]: Dãy số giảm (ví dụ: \[16, 8, 4, 2...\]). Đây là trường hợp suy giảm, tiến dần về 0.

\[q<0\]: Dãy số đan dấu (ví dụ: \[2, -4, 8, -16...\]). Dãy số không tăng, không giảm mà đổi dấu liên tục.

2. Công thức Số hạng tổng quát \[u_n\]: Tìm giá trị ở một vị trí bất kỳ

2.1. Quá trình suy luận logic

Phân tích từ định nghĩa

\[u_2=u_1 \cdot q = u_1 \cdot q^{2−1}\]

\[u_3=u_2 \cdot q = (u_1 \cdot q) \cdot q = u_1 \cdot q^2 = u_1 \cdot q^{3−1}\]

\[u_4=u_3 \cdot q = (u_1 \cdot q^2) \cdot q = u_1 \cdot q^3 = u_1 \cdot q^{4−1}\]

Rút ra quy luật

Số hạng thứ n (\[u_n\]) sẽ bằng số hạng đầu (\[u_1\]) nhân với công bội q lũy thừa (\[n−1\]).

Để đi từ \[u_1\] đến \[u_n\], ta cần thực hiện \[(n-1)\] lần "nhân", mỗi lần nhân với \[q\].

2.2. Phát biểu và Chứng minh công thức

Công thức tổng quát

\[u_n = u_1 \cdot q^{n−1}\]

Chứng minh bằng Quy nạp toán học

Bước 1 (Cơ sở): Với \[n=1\], \[u_1 = u_1 \cdot q^{1−1} = u_1 \cdot q^0 = u_1\]. Mệnh đề đúng.

Bước 2 (Giả thiết quy nạp): Giả sử mệnh đề đúng với \[n=k \ge 1\], tức là \[u_k = u_1 \cdot q^{k−1}\].

Bước 3 (Chứng minh): Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \[n=k+1\], tức là \[u_{k+1} = u_1 \cdot q^k\].

Thật vậy, theo định nghĩa cấp số nhân, ta có \[u_{k+1} = u_k \cdot q\]. Thay giả thiết quy nạp vào, ta được: \[u_{k+1} = (u_1 \cdot q^{k-1}) \cdot q = u_1 \cdot q^{(k-1)+1} = u_1 \cdot q^k\]. (Điều phải chứng minh).

3. Công thức tính Tổng n số hạng đầu \[S_n\]

3.1. Trường hợp đặc biệt: \[q=1\]

Khi \[q=1\], tất cả các số hạng đều bằng \[u_1\].

\[S_n = u_1+u_1+\dots+u_1\] (n lần) \[= n \cdot u_1\].

3.2. Chứng minh công thức cho trường hợp \[q \ne 1\]

Kỹ thuật "nhân và trừ" kinh điển

Đây là một kỹ thuật biến đổi đại số rất thanh lịch và hiệu quả.

Bước 1: Viết biểu thức của \[S_n\]: \[S_n=u_1+u_1q+u_1q^2+\dots+u_1q^{n−1}\] (1).

Bước 2: Nhân cả hai vế với \[q\]: \[qS_n=u_1q+u_1q^2+u_1q^3+\dots+u_1q^n\] (2).

Bước 3: Lấy (2) trừ (1) vế theo vế:

\[qS_n−S_n = (u_1q+\dots+u_1q^n) − (u_1+\dots+u_1q^{n−1})\].

Bước 4: Rút gọn các số hạng triệt tiêu.

Hầu hết các số hạng ở giữa đều bị triệt tiêu, chỉ còn lại số hạng đầu tiên của vế trừ và số hạng cuối cùng của vế bị trừ.

\[S_n(q−1) = u_1q^n − u_1 = u_1(q^n−1)\].

Công thức cuối cùng

\[S_n = u_1 \frac{q^n−1}{q−1} = u_1 \frac{1−q^n}{1−q}\]

4. Cấp số nhân lùi vô hạn: Khái niệm về sự hội tụ

Đây là một trong những ý tưởng kỳ diệu và phản trực giác nhất trong toán học: làm thế nào ta có thể tính tổng của vô hạn các số hạng?

4.1. Thế nào là "lùi vô hạn"?

Định nghĩa

Là một cấp số nhân có vô số phần tử và công bội q có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 (\[|q|<1\]).

Tại sao lại "lùi"?

Vì khi \[|q|<1\], mỗi số hạng tiếp theo sẽ có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số hạng trước, và dãy số sẽ "lùi" dần về 0.

Ví dụ: \[8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, \dots\]

4.2. Tại sao có thể tính tổng của vô hạn số hạng?

Xét giới hạn của \[S_n\] khi \[n \to \infty\]

Ta có \[S_n = \frac{u_1(1−q^n)}{1−q} = \frac{u_1}{1−q} − \frac{u_1}{1−q} \cdot q^n\].

Khi \[n\] trở nên vô cùng lớn và \[|q|<1\], thì giá trị của \[q^n\] sẽ tiến gần đến 0.

Ví dụ: \[(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\], \[(\frac{1}{2})^{10} \approx \frac{1}{1000}\], \[(\frac{1}{2})^{100} \to 0\].

Do đó, phần \[\frac{u_1}{1−q} \cdot q^n\] sẽ tiến về 0.

Khi đó, tổng \[S_n\] sẽ tiến dần đến một giá trị hữu hạn.

4.3. Công thức tính tổng

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

\[S = \frac{u_1}{1−q}\] (với điều kiện \[|q|<1\]).

5. Tính chất đặc trưng của các số hạng

5.1. Định lý về trung bình nhân

Phát biểu

Trong một cấp số nhân, bình phương của một số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng tích của hai số hạng liền kề nó.

\[u_k^2=u_{k−1} \cdot u_{k+1}\] với \[k \ge 2\].

• Chứng minh: \[u_{k-1} \cdot u_{k+1} = (u_1 q^{k-2}) \cdot (u_1 q^k) = u_1^2 q^{2k-2} = (u_1 q^{k-1})^2 = u_k^2\].

Hệ quả

Ba số a,b,c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi \[a \cdot c = b^2\].

PHẦN 2: BÀI TẬP VẬN DỤNG CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Dạng 1: Tìm các yếu tố cơ bản của Cấp số nhân

Ví dụ 1.1

Cho một cấp số nhân \[(u_n)\] có \[u_1=2\] và công bội \[q=3\]. Tìm số hạng thứ 6 (\[u_6\]) và tổng của 6 số hạng đầu tiên (\[S_6\]).

Lời giải chi tiết:

• Tìm \[u_6\]: Áp dụng \[u_n=u_1 \cdot q^{n−1} \implies u_6=2 \cdot 3^{6−1}=2 \cdot 3^5=2 \cdot 243=486\].
• Tìm \[S_6\]: Áp dụng \[S_n=u_1 \frac{q^n−1}{q−1} \implies S_6=2 \frac{3^6−1}{3−1}=2 \frac{729−1}{2}=728\].

Dạng 2: Bài toán ứng dụng thực tế (Lãi suất kép)

Ví dụ 2.1

Anh B gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi suất kép, với lãi suất 6%/năm. Hỏi sau 5 năm, tổng số tiền anh B nhận được là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mô hình hóa.

• Số tiền sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân.
• Số tiền ban đầu (coi là \[u_0\]) = 200 triệu. Số tiền sau năm thứ nhất là \[u_1\].
• Sau mỗi năm, số tiền được nhân với \[1 + 0.06 = 1.06\]. Vậy công bội \[q=1.06\].
• Số tiền sau \[n\] năm là \[U_n = U_0 \cdot q^n\].

Bước 2: Tính toán.

• Số tiền sau 5 năm là \[U_5 = 200 \cdot (1.06)^5 \approx 200 \cdot (1.3382) \approx 267.65\] triệu đồng.

Dạng 3: Bài toán Cấp số nhân lùi vô hạn

Ví dụ 3.1

Một hình vuông có cạnh bằng 1. Nối trung điểm 4 cạnh của hình vuông đó ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục làm như vậy, ta được một dãy các hình vuông lồng vào nhau vô hạn. Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông đó.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm diện tích các hình vuông.

• Diện tích hình vuông 1: \[S_1=1^2=1\].
• Cạnh hình vuông 2 là đường chéo của một hình vuông nhỏ có cạnh 1/2. Độ dài cạnh là \[\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]. Diện tích \[S_2=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}\].
• Tương tự, ta thấy diện tích hình vuông sau bằng một nửa diện tích hình vuông trước.

Bước 2: Nhận diện cấp số nhân.

• Dãy diện tích \[(1, 1/2, 1/4, ... )\] là một CSN lùi vô hạn với \[u_1=1\] và \[q=1/2\].

Bước 3: Áp dụng công thức và kết luận.

• Tổng diện tích: \[S=\frac{u_1}{1−q}=\frac{1}{1−1/2}=2\].

Tổng kết và Lời khuyên

Sơ đồ tư duy về Cấp số nhân

• Cấp số nhân (CSN)
  • Đặc trưng bởi: \[u_1\] và \[q\].
  • Tính chất: \[u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}\].
  • Công cụ tìm số hạng: \[u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\].
  • Công cụ tính tổng:
    • Hữu hạn (\[q \ne 1\]): \[S_n = u_1 \frac{q^n-1}{q-1}\]
    • Lùi vô hạn (\[|q|<1\]): \[S = \frac{u_1}{1-q}\]

Những lỗi sai thường gặp

Nhầm lẫn công bội q với công sai d.

Đây là lỗi cơ bản nhất, nhầm lẫn giữa hai loại dãy số.

Áp dụng công thức tính tổng CSN lùi vô hạn khi \[|q| \ge 1\].

Công thức này chỉ đúng khi dãy số "hội tụ" về 0.

Sai sót trong tính toán lũy thừa, đặc biệt với số mũ lớn.

Cần sử dụng máy tính cẩn thận.

Lời khuyên

Luôn xác định đúng \[u_1\] và \[q\] trước khi làm bài.

Với bài toán thực tế, hãy viết ra vài số hạng đầu để nhận diện đúng quy luật và các yếu tố của cấp số nhân.

Việc này giúp bạn kiểm tra xem mô hình của mình (cộng hay nhân) có đúng với tình huống thực tế hay không.

Xem thêm: Website Học Toán.