Công thức Phương trình Elip: Toàn tập về Hình Elip từ A-Z [Kèm Ví dụ & Ứng dụng]

Công thức Phương trình Elip: Toàn tập về Hình Elip từ A-Z [Kèm Ví dụ & Ứng dụng]

Chào mừng bạn đến với hướng dẫn đầy đủ và chi tiết nhất về công thức phương trình elip. Nếu bạn từng ngước nhìn bầu trời đêm và tự hỏi về quỹ đạo của các hành tinh, hay đơn giản là chiêm ngưỡng vẻ đẹp hài hòa của một sân vận động, một chiếc gương soi, bạn đã và đang tương tác với một trong những hình dạng cơ bản và quyến rũ nhất của vũ trụ: hình elip. Bài viết này sẽ là kim chỉ nam, dẫn dắt bạn đi từ những khái niệm sơ khai nhất đến những ứng dụng đáng kinh ngạc trong thực tiễn. Dù bạn là học sinh, sinh viên hay chỉ là người yêu toán học, hãy cùng nhau bắt đầu hành trình khám phá thế giới kỳ diệu của elip.

Xem thêm: Toán 10.

PHẦN 1: KHÁM PHÁ THẾ GIỚI CỦA HÌNH ELIP

Trước khi đi sâu vào những con số và phương trình, chúng ta cần xây dựng một nền tảng vững chắc và một sự hứng thú thực sự với đối tượng nghiên cứu. Phần đầu tiên này sẽ giới thiệu elip một cách trực quan, kể câu chuyện về lịch sử của nó và định nghĩa các khái niệm cốt lõi nhất.

Giới thiệu: Elip là gì và vì sao hình dạng này có mặt ở khắp mọi nơi?

Hãy dành một chút thời gian để quan sát thế giới xung quanh. Bạn sẽ ngạc nhiên khi nhận ra hình elip xuất hiện ở khắp mọi nơi, trong những bối cảnh quen thuộc nhất. Đó là quỹ đạo duyên dáng của Trái Đất khi quay quanh Mặt Trời. Đó là hình dạng của một sân vận động lớn, nơi hàng chục ngàn người cùng hướng về một tâm điểm. Khi bạn nghiêng một chiếc cốc chứa nước, bề mặt chất lỏng bạn thấy chính là một hình elip. Ngay cả một chiếc gương soi hình oval thanh lịch treo trên tường cũng là một ứng dụng của elip.

Elip thường được xem là một đường conic "hoàn hảo", là biểu tượng của sự hài hòa, chu kỳ và chuyển động vĩnh cửu trong vũ trụ. Không giống như đường thẳng vươn tới vô tận hay đường tròn với sự đối xứng tuyệt đối, elip mang trong mình một sự cân bằng tinh tế giữa hai tâm điểm, tạo nên một hình dạng vừa quen thuộc lại vừa bí ẩn. Vẻ đẹp của nó không chỉ nằm ở hình dáng mà còn ở những tính chất toán học và vật lý sâu sắc ẩn chứa bên trong.

Vai trò của elip là không thể thiếu trong vô số lĩnh vực. Thiên văn học dùng nó để mô tả vũ trụ. Kiến trúc sư sử dụng nó để tạo ra những không gian độc đáo và có âm học tuyệt vời. Kỹ sư ứng dụng nó trong thiết kế cơ khí và quang học. Thậm chí các nghệ sĩ cũng tìm thấy nguồn cảm hứng từ đường cong mềm mại của nó. Trong bài viết toàn tập này, chúng tôi hứa hẹn sẽ đưa bạn vào một hành trình khám phá trọn vẹn về elip, từ việc nắm vững lý thuyết, giải các bài tập một cách tự tin, cho đến việc kinh ngạc trước những ứng dụng thực tế của nó.

Lịch sử Hình Elip: Từ nhát cắt Conic đến Định luật Kepler

Câu chuyện về elip bắt đầu từ thời Hy Lạp cổ đại, nơi những bộ óc vĩ đại đã đặt nền móng cho hình học. Một trong những nhân vật nổi bật nhất là Apollonius của Perga (khoảng 262–190 TCN), người được mệnh danh là "Nhà hình học vĩ đại". Trong công trình đồ sộ "Conics" của mình, Apollonius đã chỉ ra rằng nếu ta dùng một mặt phẳng để cắt một hình nón, tùy thuộc vào góc cắt, ta có thể tạo ra ba loại đường cong đặc biệt. Khi mặt phẳng cắt xiên qua tất cả các đường sinh của hình nón, giao tuyến tạo thành một đường cong khép kín, và ông gọi nó là "ellipsis", trong tiếng Hy Lạp có nghĩa là "thiếu hụt", liên quan đến một tính chất hình học của nó so với parabol và hyperbol.

Trong gần 2000 năm, elip chủ yếu được nghiên cứu như một đối tượng toán học thuần túy. Cho đến tận thế kỷ 17, một bước ngoặt vĩ đại đã xảy ra. Nhà thiên văn học người Đức Johannes Kepler, sau khi phân tích vô số dữ liệu quan sát cần mẫn của người thầy Tycho Brahe, đã phát hiện ra một sự thật chấn động. Ông nhận ra rằng các hành tinh không di chuyển theo quỹ đạo hình tròn hoàn hảo như quan niệm của Aristotle và Ptolemy đã thống trị suốt nhiều thế kỷ. Thay vào đó, chúng di chuyển theo quỹ đạo hình elip, với Mặt Trời nằm ở một trong hai tiêu điểm. Khám phá này, được gói gọn trong Định luật 1 của Kepler, đã thay đổi hoàn toàn nhận thức của con người về cấu trúc và sự vận hành của vũ trụ.

Định nghĩa Hình học Chính xác của Elip

Để làm việc với elip, chúng ta cần một định nghĩa toán học chính xác. Định nghĩa này không chỉ là nền tảng cho mọi công thức mà còn vô cùng trực quan và dễ hình dung.

Định nghĩa theo tập hợp điểm (Phương pháp "Dây và Đinh")

Hãy tưởng tượng bạn có hai cái đinh, một vòng dây và một cây bút. Bạn đóng hai cái đinh xuống một tấm bảng tại hai vị trí cố định \[F_1\] và \[F_2\]. Sau đó, bạn luồn vòng dây qua hai cái đinh và dùng đầu bút chì căng vòng dây đó ra. Khi bạn di chuyển bút chì xung quanh hai cái đinh trong khi luôn giữ cho dây căng, đầu bút chì sẽ vạch ra một đường cong khép kín hoàn hảo. Đường cong đó chính là một hình elip.

Từ hình ảnh trực quan này, chúng ta có định nghĩa toán học cốt lõi: Định nghĩa: Elip là tập hợp các điểm \[M\] trong mặt phẳng sao cho tổng các khoảng cách từ điểm \[M\] đến hai điểm cố định \[F_1\] và \[F_2\] (gọi là tiêu điểm) là một hằng số không đổi (ký hiệu là \[2a\]). Hằng số này phải lớn hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm (\[2c\]).

Công thức toán học cho định nghĩa này là: [MF_1 + MF_2 = 2a] Trong đó \[F_1, F_2\] là hai tiêu điểm và \[2a\] là độ dài của sợi dây trong thí nghiệm "dây và đinh".

Các thuật ngữ nền tảng của Elip

Để đọc hiểu và làm việc với các công thức phương trình elip, bạn cần nắm vững các thuật ngữ sau đây. Chúng là từ vựng cơ bản trong ngôn ngữ của elip.

• Tiêu điểm (Foci): Là hai điểm cố định \[F_1\] và \[F_2\] trong định nghĩa. Mọi thuộc tính của elip đều xoay quanh hai điểm này. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm là \[2c\].

• Trục lớn (Major Axis): Là đoạn thẳng dài nhất có thể vẽ bên trong elip, nó đi qua cả tâm và hai tiêu điểm. Đoạn thẳng này nối hai đỉnh xa nhau nhất của elip. Độ dài của trục lớn chính là hằng số \[2a\].

• Trục bé (Minor Axis): Là đoạn thẳng ngắn nhất đi qua tâm và nối hai cạnh đối diện của elip theo chiều rộng. Trục bé vuông góc với trục lớn tại tâm. Độ dài của trục bé là \[2b\].

• Đỉnh (Vertices): Elip có 4 đỉnh, là bốn giao điểm của elip với trục lớn và trục bé. Có 2 đỉnh trên trục lớn và 2 đỉnh trên trục bé.

• Tâm (Center): Là trung điểm của trục lớn và cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm. Tâm \[O\] là tâm đối xứng của elip.

PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP

Đây chính là phần trọng tâm của bài viết, nơi chúng ta sẽ đi sâu vào "trái tim" toán học của elip. Chúng ta sẽ cùng nhau xây dựng phương trình từ định nghĩa, phân tích chi tiết các tham số và tìm hiểu hai dạng phương trình chính tắc phổ biến nhất.

Xây dựng Phương trình Chính tắc của Elip (Tâm tại Gốc tọa độ O(0,0))

Làm thế nào để chuyển đổi định nghĩa hình học \[MF_1 + MF_2 = 2a\] thành một phương trình đại số với \[x\] và \[y\]? Câu trả lời nằm ở việc lựa chọn một hệ tọa độ phù hợp. Ta sẽ chọn hệ trục tọa độ Descartes \[Oxy\] sao cho tâm của elip trùng với gốc tọa độ \[O(0,0)\].

Giả sử trục lớn của elip nằm trên trục \[Ox\]. Khi đó, hai tiêu điểm sẽ có tọa độ là \[F_1(-c, 0)\] và \[F_2(c, 0)\]. Gọi \[M(x, y)\] là một điểm bất kỳ thuộc elip. Theo định nghĩa, ta có: \[MF_1 + MF_2 = 2a\]. Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm, ta có: \[\sqrt{(x - (-c))^2 + (y - 0)^2} + \sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2} = 2a\] \[\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a\] Đây là một phương trình khá phức tạp. Để đơn giản hóa, chúng ta thực hiện một loạt các phép biến đổi đại số: chuyển một căn thức sang vế phải, bình phương hai vế, rút gọn, rồi lại tiếp tục cô lập căn thức còn lại và bình phương một lần nữa. Sau một chuỗi biến đổi cẩn thận, phương trình sẽ trở thành: [(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)] Trong tam giác \[MF_1F_2\], ta có \[MF_1 + MF_2 > F_1F_2\], tức là \[2a > 2c\] hay \[a > c\]. Do đó \[a^2 > c^2\] và \[a^2 - c^2 > 0\]. Ta đặt một hằng số mới \[b^2 = a^2 - c^2\] (với \[b>0\]). Thay vào phương trình trên, ta được: [b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2] Cuối cùng, chia cả hai vế cho \[a^2b^2\] (vì \[a,b \neq 0\]), ta thu được phương trình chính tắc của elip.

Dạng 1: Elip Ngang (Trục lớn nằm trên trục Ox)

Đây là dạng elip mà bạn sẽ gặp thường xuyên nhất trong các bài toán. Trục lớn của nó nằm ngang theo trục \[Ox\], tạo ra một hình elip "bẹt" theo chiều ngang.

Công thức phương trình

Phương trình chính tắc của một elip có tâm tại gốc tọa độ \[O(0,0)\] và trục lớn nằm trên trục \[Ox\] là: \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]

Giải mã các tham số a, b, c

Hiểu rõ ý nghĩa của ba "con số vàng" \[a, b, c\] là chìa khóa để làm chủ elip.

• \[a\]: Nửa độ dài trục lớn. \[a^2\] là mẫu số nằm dưới \[x^2\] trong dạng elip này. Về mặt hình học, \[a\] là khoảng cách từ tâm \[O\] đến mỗi đỉnh trên trục lớn.

• \[b\]: Nửa độ dài trục bé. \[b^2\] là mẫu số nằm dưới \[y^2\]. \[b\] là khoảng cách từ tâm \[O\] đến mỗi đỉnh trên trục bé.

• \[c\]: Nửa khoảng cách giữa hai tiêu điểm (tiêu cự). \[c\] là khoảng cách từ tâm \[O\] đến mỗi tiêu điểm.

Quy tắc quan trọng: Đối với elip, ta luôn có \[a > b > 0\]. Do đó, \[a^2\] luôn là mẫu số lớn hơn trong hai mẫu số của phương trình chính tắc. Mối liên hệ then chốt giữa chúng, xuất phát từ định nghĩa \[b^2 = a^2 - c^2\], là: [c^2 = a^2 - b^2] Đây là điều hoàn toàn trái ngược với hyperbol (\[c^2 = a^2 + b^2\]). Trong elip, \[a\] (nửa trục lớn) luôn là cạnh huyền của một tam giác vuông đặc biệt có hai cạnh góc vuông là \[b\] và \[c\].

Bảng tổng hợp các thuộc tính của Elip Ngang

Ý nghĩa của tâm sai \[e\]: Tâm sai \[e = c/a\] là một chỉ số đo độ "dẹt" của elip. Vì \[c < a\] nên \[e\] luôn nằm trong khoảng \[(0, 1)\]. Khi \[e\] tiến gần đến 0 (\[c\] rất nhỏ), elip sẽ càng "tròn" hơn. Khi \[e\] tiến gần đến 1 (\[c\] gần bằng \[a\]), elip sẽ càng "dẹt" ra.

Dạng 2: Elip Đứng (Trục lớn nằm trên trục Oy)

Khi trục lớn của elip nằm dọc theo trục \[Oy\], chúng ta có một elip "đứng". Hình dạng này cao hơn là rộng.

Công thức phương trình

Phương trình chính tắc của một elip có tâm tại gốc tọa độ \[O(0,0)\] và trục lớn nằm trên trục \[Oy\] là: \[\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\]

Nhận biết sự khác biệt

Điểm khác biệt duy nhất nhưng cực kỳ quan trọng là vị trí của \[a^2\]. Quy tắc \[a^2\] là mẫu số lớn hơn vẫn không đổi. Tuy nhiên, trong trường hợp này, \[a^2\] nằm dưới \[y^2\], điều này cho chúng ta biết rằng trục lớn (trục dài hơn) nằm trên trục \[Oy\]. Biến nào có mẫu số lớn hơn thì trục lớn nằm trên trục tương ứng của biến đó. Mối liên hệ \[c^2 = a^2 - b^2\] và ý nghĩa của các tham số \[a, b, c\] vẫn được giữ nguyên.

Bảng tổng hợp các thuộc tính của Elip Đứng

Mối quan hệ giữa Elip và Hình tròn

Hình tròn không phải là một hình hoàn toàn khác biệt, mà nó chính là một trường hợp đặc biệt và hoàn hảo nhất của elip. Hãy xem xét điều gì sẽ xảy ra khi trục lớn và trục bé của elip có độ dài bằng nhau.

Khi đó, ta có \[a = b\]. Hãy xem xét hệ thức \[c^2 = a^2 - b^2\]. Nếu \[a=b\], thì: \[c^2 = a^2 - a^2 = 0 \implies c = 0\] Điều này có nghĩa là khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm bằng 0. Nói cách khác, hai tiêu điểm \[F_1\] và \[F_2\] đã chập lại làm một và trùng ngay tại tâm \[O\]. Phương trình của elip \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\] bây giờ có thể được viết lại là: [x^2 + y^2 = a^2] Đây chính xác là phương trình của một đường tròn có tâm tại \[O(0,0)\] và bán kính \[R=a\]. Vì vậy, một đường tròn chỉ là một elip có tâm sai \[e = c/a = 0/a = 0\].

PHẦN 3: KỸ NĂNG THỰC HÀNH VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELIP

Lý thuyết là nền tảng, nhưng kỹ năng áp dụng mới thực sự giúp bạn chinh phục các bài toán. Phần này sẽ cung cấp cho bạn hướng dẫn chi tiết về cách vẽ đồ thị và phương pháp giải các dạng bài tập elip kinh điển.

Hướng dẫn Vẽ đồ thị Elip chuẩn xác trong 5 bước đơn giản

Vẽ một elip không hề khó nếu bạn làm theo các bước sau. Chúng ta sẽ lấy một ví dụ cụ thể để minh họa: Vẽ đồ thị của elip có phương trình \[16x^2 + 25y^2 = 400\].

Bước 1: Đưa phương trình về dạng chính tắc. Mục tiêu là làm cho vế phải của phương trình bằng \[1\]. Để làm điều này, ta chia cả hai vế cho \[400\]: \[\frac{16x^2}{400} + \frac{25y^2}{400} = \frac{400}{400}\] Rút gọn các phân số, ta được phương trình chính tắc: [\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1]

Bước 2: Xác định \[a^2\], \[b^2\] để tìm \[a, b\]. Theo quy tắc, \[a^2\] là mẫu số lớn hơn.

• \[a^2 = 25 \implies a = 5\]

• \[b^2 = 16 \implies b = 4\]

Bước 3: Xác định elip là dạng đứng hay ngang. Vì \[a^2 = 25\] (mẫu số lớn hơn) nằm dưới \[x^2\], đây là một elip ngang. Trục lớn sẽ nằm trên trục \[Ox\].

Bước 4: Xác định tọa độ 4 đỉnh.

• Đỉnh trên trục lớn (\[Ox\]): \[A_1(-a, 0) = (-5, 0)\] và \[A_2(a, 0) = (5, 0)\].

• Đỉnh trên trục bé (\[Oy\]): \[B_1(0, -b) = (0, -4)\] và \[B_2(0, b) = (0, 4)\]. Hãy chấm 4 điểm này lên hệ trục tọa độ.

Bước 5: Vẽ một đường cong mượt mà, khép kín đi qua 4 đỉnh. Bắt đầu từ một đỉnh bất kỳ, hãy vẽ một đường cong trơn, đối xứng, đi qua cả 4 điểm đã xác định để tạo thành một hình elip hoàn chỉnh.

(Tùy chọn) Bước 6: Xác định vị trí tiêu điểm. Để bản vẽ đầy đủ hơn, ta có thể tìm tiêu điểm: \[c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9 \implies c = 3\]. Vì đây là elip ngang, tiêu điểm nằm trên trục \[Ox\]: \[F_1(-3, 0)\] và \[F_2(3, 0)\].

Các dạng bài tập kinh điển về Phương trình Elip và phương pháp giải

Dưới đây là 3 dạng bài tập phổ biến nhất bạn sẽ gặp, cùng với phương pháp giải chi tiết.

Dạng 1: Lập phương trình chính tắc của Elip

• Phương pháp: Từ các dữ kiện của bài toán, hãy tìm ra giá trị của \[a^2\] và \[b^2\]. Sau đó xác định xem elip là ngang hay đứng để đặt \[a^2\], \[b^2\] vào đúng vị trí dưới \[x^2\] hay \[y^2\].

• Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 20 và độ dài trục bé bằng 12.

  • Giải: Độ dài trục lớn \[2a = 20 \implies a = 10 \implies a^2 = 100\].

  • Độ dài trục bé \[2b = 12 \implies b = 6 \implies b^2 = 36\].

  • Bài toán không nói rõ elip đứng hay ngang, ta mặc định là elip ngang. Phương trình là: \[\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1\].

• Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm \[F_1(0, -4)\] và một đỉnh trên trục lớn là \[A_2(0, 5)\].

  • Giải: Vì tiêu điểm và đỉnh đều nằm trên trục \[Oy\], đây là elip đứng.

  • Từ tiêu điểm \[F_1(0, -4)\], ta có \[c = 4\].

  • Từ đỉnh \[A_2(0, 5)\], ta có \[a = 5\].

  • Ta tìm \[b^2\]: \[b^2 = a^2 - c^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9\].

  • Phương trình elip đứng là \[\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\]. Vậy phương trình cần tìm là: \[\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1\].

• Ví dụ 3: Lập phương trình chính tắc của elip có tâm sai \[e = \frac{4}{5}\] và elip đi qua điểm \[M(0, 3)\].

  • Giải: Elip đi qua \[M(0, 3)\], đây là một điểm trên trục \[Oy\]. Vậy đây là một đỉnh của elip.

  • Nếu \[M\] là đỉnh trên trục lớn, \[a=3\]. Khi đó \[c = e \cdot a = \frac{4}{5} \cdot 3 = \frac{12}{5}\]. \[b^2 = a^2 - c^2 = 9 - \frac{144}{25} = \frac{81}{25}\]. Phương trình là: \[\frac{x^2}{81/25} + \frac{y^2}{9} = 1\].

  • Nếu \[M\] là đỉnh trên trục bé, \[b=3\]. Khi đó \[a^2 = b^2 + c^2 = 9 + (ea)^2 = 9 + (\frac{4}{5}a)^2 = 9 + \frac{16}{25}a^2\]. Suy ra \[\frac{9}{25}a^2 = 9 \implies a^2 = 25 \implies a=5\]. Trường hợp này hợp lệ.

  • Vậy phương trình elip cần tìm là (dạng ngang): \[\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\].

Dạng 2: Xác định thuộc tính của Elip từ phương trình cho trước

• Ví dụ: Cho elip \[(E): \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1\]. Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai.

  • Giải:

  • Đây là elip ngang vì \[100 > 36\] và \[100\] nằm dưới \[x^2\].

  • \[a^2 = 100 \implies a = 10\]. \[b^2 = 36 \implies b = 6\].

  • \[c^2 = a^2 - b^2 = 100 - 36 = 64 \implies c = 8\].

  • Đỉnh trên trục lớn: \[A_1(-10, 0), A_2(10, 0)\].

  • Đỉnh trên trục bé: \[B_1(0, -6), B_2(0, 6)\].

  • Tiêu điểm: \[F_1(-8, 0), F_2(8, 0)\].

  • Tiêu cự: \[2c = 16\].

  • Tâm sai: \[e = \frac{c}{a} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\].

Dạng 3: Bài toán tìm điểm trên Elip thỏa mãn điều kiện hình học

• Ví dụ: Tìm trên elip \[(E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\] những điểm \[M\] sao cho \[M\] nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông (\[\angle F_1MF_2 = 90^\circ\]).

  • Giải:

  • Từ phương trình, ta có \[a=5, b=3 \implies c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{25-9}=4\].

  • Hai tiêu điểm là \[F_1(-4, 0)\] và \[F_2(4, 0)\].

  • Gọi \[M(x, y)\] là điểm cần tìm. Vì \[\angle F_1MF_2 = 90^\circ\], tam giác \[F_1MF_2\] vuông tại \[M\].

  • Áp dụng định lý Pythagoras: \[MF_1^2 + MF_2^2 = F_1F_2^2\].

  • \[MF_1^2 = (x+4)^2 + y^2\]. \[MF_2^2 = (x-4)^2 + y^2\]. \[F_1F_2^2 = (8)^2 = 64\].

  • Thay vào ta có: \[(x+4)^2 + y^2 + (x-4)^2 + y^2 = 64\].

  • \[x^2+8x+16+y^2 + x^2-8x+16+y^2 = 64 \implies 2x^2+2y^2+32=64 \implies x^2+y^2 = 16\].

  • Điểm \[M\] vừa phải thuộc elip, vừa phải thuộc đường tròn \[x^2+y^2=16\]. Ta giải hệ phương trình: \[\begin{cases} \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \\ x^2+y^2 = 16 \end{cases}\]

  • Từ (2) suy ra \[y^2 = 16 - x^2\]. Thay vào (1): \[\frac{x^2}{25} + \frac{16-x^2}{9} = 1\].

  • Giải phương trình này ta được \[9x^2 + 25(16-x^2) = 225 \implies -16x^2 = -175 \implies x^2 = \frac{175}{16}\].

  • \[x = \pm \frac{5\sqrt{7}}{4}\].

  • \[y^2 = 16 - x^2 = 16 - \frac{175}{16} = \frac{81}{16} \implies y = \pm \frac{9}{4}\].

  • Vậy có 4 điểm thỏa mãn: \[(\pm \frac{5\sqrt{7}}{4}, \pm \frac{9}{4})\].

PHẦN 4: ELIP TRONG THẾ GIỚI THỰC

Toán học không chỉ nằm trên trang giấy. Phần này sẽ mở rộng kiến thức của bạn, kết nối các công thức elip với những ứng dụng đầy cảm hứng trong khoa học, kỹ thuật và đời sống thường ngày.

Mở rộng: Phương trình Elip với tâm bất kỳ I(h, k)

Thực tế, không phải elip nào cũng có tâm tại gốc tọa độ. Khi tâm elip được tịnh tiến đến một điểm \[I(h, k)\], phương trình của nó cũng thay đổi một cách có quy luật. Ta chỉ cần thay \[x\] bằng \[(x-h)\] và \[y\] bằng \[(y-k)\].

• Elip ngang (trục lớn song song Ox): \[\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\]

• Elip đứng (trục lớn song song Oy): \[\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1\]

Kỹ thuật "Hoàn thành bình phương" để nhận dạng Elip

Khi gặp một phương trình bậc hai tổng quát, ta có thể dùng kỹ thuật hoàn thành bình phương để đưa nó về dạng chuẩn.

• Ví dụ: Nhận dạng và tìm tâm của elip \[9x^2+4y^2-18x+16y-11=0\].

  1. Nhóm các số hạng theo \[x\] và \[y\]: \[(9x^2-18x) + (4y^2+16y) = 11\].

  2. Đặt thừa số chung: \[9(x^2-2x) + 4(y^2+4y) = 11\].

  3. Hoàn thành bình phương: \[9(x^2-2x+1) + 4(y^2+4y+4) = 11 + 9(1) + 4(4)\]. \[9(x-1)^2 + 4(y+2)^2 = 36\].

  4. Chia cho vế phải: \[\frac{9(x-1)^2}{36} + \frac{4(y+2)^2}{36} = 1 \implies \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1\].

  • Đây là một elip đứng với tâm tại \[I(1, -2)\], \[a=3, b=2\].

Vẻ đẹp và sự thông thái của Elip trong Khoa học và Đời sống

Thiên văn học: Định luật Kepler và quỹ đạo các hành tinh

Đây là ứng dụng vĩ đại và nổi tiếng nhất của elip. Định luật 1 của Kepler phát biểu rằng: Mọi hành tinh trong Hệ Mặt Trời đều chuyển động theo quỹ đạo hình elip, với Mặt Trời nằm tại một trong hai tiêu điểm. Điều này có nghĩa là khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời không phải lúc nào cũng không đổi. Điểm trên quỹ đạo mà hành tinh ở gần Mặt Trời nhất gọi là điểm cận nhật, và điểm ở xa nhất gọi là điểm viễn nhật. Chính hình dạng elip này đã giải thích được sự thay đổi vận tốc của các hành tinh khi chúng di chuyển trên quỹ đạo.

Kiến trúc & Âm học: Hiệu ứng "Phòng Thì Thầm" (Whispering Gallery)

Elip có một tính chất phản xạ quang học và âm học cực kỳ đặc biệt: Mọi tia (sóng âm, ánh sáng) phát ra từ một tiêu điểm sẽ phản xạ trên thành elip và hội tụ chính xác tại tiêu điểm còn lại. Hiệu ứng này được ứng dụng để tạo ra các "Phòng Thì Thầm". Trong một căn phòng có trần nhà hình vòm elip, nếu một người đứng ở một tiêu điểm và thì thầm, thì một người khác đứng ở tiêu điểm còn lại có thể nghe thấy rõ ràng, dù họ ở rất xa nhau và những người đứng ở vị trí khác không nghe thấy gì. Các công trình nổi tiếng có hiệu ứng này bao gồm Nhà thờ St Paul ở London và National Statuary Hall trong Tòa nhà Quốc hội Hoa Kỳ.

Y học: Tán sỏi Thận

Tính chất hội tụ của elip đã cứu sống rất nhiều người thông qua một kỹ thuật y học gọi là tán sỏi ngoài cơ thể bằng sóng xung kích (Lithotripsy). Bệnh nhân được đặt trong một thiết bị có gương phản xạ hình elip. Một máy phát sóng xung kích năng lượng cao được đặt tại một tiêu điểm của gương. Sóng này sẽ lan truyền, phản xạ trên bề mặt gương và hội tụ toàn bộ năng lượng vào tiêu điểm còn lại. Các bác sĩ sẽ điều chỉnh để viên sỏi thận của bệnh nhân nằm chính xác tại tiêu điểm hội tụ này. Năng lượng của sóng xung kích sẽ phá vỡ viên sỏi thành những mảnh vụn nhỏ để chúng có thể tự thoát ra ngoài theo đường tự nhiên mà không cần phẫu thuật xâm lấn.

Kỹ thuật và Nghệ thuật

Trong kỹ thuật cơ khí, người ta thiết kế các bánh răng hình elip để tạo ra các chuyển động quay không đều có chủ đích. Trong đời sống, hình elip được ưa chuộng trong thiết kế đồ nội thất như bàn, gương, và trong kiến trúc với các mái vòm, cửa sổ hình elip, mang lại vẻ đẹp mềm mại và sang trọng. Rất nhiều logo thương hiệu nổi tiếng (như Toyota, Ford) cũng được xây dựng dựa trên hình elip, biểu trưng cho sự toàn diện, năng động và toàn cầu.

Xem thêm: Môn Toán.

PHẦN 5: TỔNG KẾT VÀ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP

Chúng ta đã đi qua một hành trình dài và thú vị. Phần cuối cùng này sẽ hệ thống lại những kiến thức quan trọng nhất và giải đáp những thắc mắc thường gặp để bạn có thể tự tin làm chủ hoàn toàn phương trình elip.

Bảng tóm tắt kiến thức vàng về Phương trình Elip

Checklist công thức quan trọng nhất:

• Định nghĩa: \[MF_1 + MF_2 = 2a\]

• Hệ thức \[a,b,c\]: \[a^2 = b^2 + c^2\] (hay \[c^2 = a^2 - b^2\])

• Tâm sai: \[e = c/a\] (\[0 < e < 1\])

Giải đáp các câu hỏi thường gặp (FAQ)

1. Làm sao để biết đâu là \[a^2\], đâu là \[b^2\] trong phương trình elip? Rất đơn giản: Trong phương trình chính tắc của elip, \[a^2\] luôn luôn là mẫu số lớn hơn. Biến (\[x^2\] hay \[y^2\]) mà \[a^2\] nằm dưới sẽ cho biết trục lớn nằm trên trục tọa độ tương ứng.

2. Tâm sai của elip càng gần 0 thì sao? Càng gần 1 thì sao?

• Khi \[e \to 0\]: \[c \to 0\], hai tiêu điểm chập vào tâm. Elip càng trở nên "tròn" hơn. Khi \[e = 0\], elip trở thành đường tròn.

• Khi \[e \to 1\]: \[c \to a\], hai tiêu điểm tiến ra rất gần các đỉnh. Elip càng trở nên "dẹt" và dài ra.

3. Tiêu điểm của elip có ý nghĩa vật lý gì? Tiêu điểm là những vị trí cực kỳ quan trọng. Trong vũ trụ, đó là vị trí của Mặt Trời đối với các hành tinh. Trong âm học và quang học, đó là vị trí nguồn phát và điểm hội tụ của sóng. Trong y học, đó là vị trí đặt máy phát sóng và vị trí của viên sỏi cần tán.

4. Phân biệt phương trình Elip và Hyperbol nhanh nhất? Nhìn vào dấu giữa hai số hạng \[x^2\] và \[y^2\]. Nếu là dấu cộng (+), đó là elip. Nếu là dấu trừ (-), đó là hyperbol. Đây là cách phân biệt nhanh và chính xác nhất.

5. Công thức tính diện tích hình elip là gì? Đây là một kiến thức bonus thú vị. Diện tích của hình elip được tính bằng công thức rất đẹp: \[S = \pi ab\]. Khi \[a=b=R\] (trường hợp hình tròn), công thức trở thành \[S = \pi R^2\], hoàn toàn quen thuộc!

Tài liệu tham khảo và Bài tập rèn luyện thêm

Để rèn luyện thêm, bạn có thể tìm đọc Sách giáo khoa Hình học 10 (Nâng cao), hoặc truy cập các trang web học toán uy tín như Khan Academy, VietJack, TOANMATH.com.

Bài tập tự luyện:

1. Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và độ dài trục lớn bằng 10.

2. Cho elip \[(E): x^2 + 4y^2 = 4\]. Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và tâm sai.

3. Lập phương trình elip đi qua hai điểm \[M(1, \frac{2\sqrt{2}}{3})\] và \[N(2, \frac{\sqrt{5}}{3})\].

4. Chứng minh rằng trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp một elip cho trước, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất khi các cạnh của nó song song với các trục của elip.

5. Cho elip \[(E): \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\]. Tìm điểm \[M\] trên \[(E)\] sao cho \[MF_1\] là ngắn nhất, dài nhất.

Đáp án:

1. \[\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\]

2. Đưa về dạng chính tắc: \[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1\]. Đỉnh \[(\pm 2, 0), (0, \pm 1)\]; Tiêu điểm \[(\pm \sqrt{3}, 0)\]; Tâm sai \[e=\frac{\sqrt{3}}{2}\].

3. \[\frac{x^2}{9} + y^2 = 1\].

4. Đây là bài toán chứng minh, hướng dẫn: gọi đỉnh hcn là \[(x,y)\], diện tích là \[S=4xy\], dùng bđt Cauchy.

5. \[MF_1\] ngắn nhất khi \[M\] trùng đỉnh \[A_1(-4,0)\] (giá trị \[a-c=4-\sqrt{7}\]), dài nhất khi \[M\] trùng đỉnh \[A_2(4,0)\] (giá trị \[a+c=4+\sqrt{7}\]).