Công thức Đổi Cơ số Logarit: Chìa khóa Vạn năng Mở mọi Bài toán Logarit

Công thức Đổi Cơ số Logarit: Chìa khóa Vạn năng Mở mọi Bài toán Logarit

Chào mừng bạn đến với hướng dẫn toàn diện nhất về một trong những công cụ mạnh mẽ và thiết yếu nhất trong thế giới logarit: công thức đổi cơ số. Nếu bạn đã từng cảm thấy bối rối trước những bài toán logarit với các cơ số khác nhau, hay loay hoay không biết làm thế nào để tính toán một giá trị logarit "lạ" trên chiếc máy tính quen thuộc, thì bài viết này chính là dành cho bạn. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá "chìa khóa vạn năng" này, từ việc hiểu tại sao nó lại cần thiết, cách chứng minh chặt chẽ, cho đến việc khai phá toàn bộ sức mạnh của nó qua các ứng dụng và dạng bài tập then chốt.

Học thêm: Toán 11.

PHẦN 1: NHẬP MÔN - VÌ SAO CHÚNG TA CẦN ĐỔI CƠ SỐ?

Trước khi đi vào công thức, điều quan trọng là phải hiểu được bối cảnh và nhu cầu thực tế mà nó giải quyết. Tại sao việc "đổi cơ số" lại là một kỹ năng nền tảng? Phần này sẽ làm sáng tỏ "nỗi đau" mà mọi người học toán đều từng trải qua và giới thiệu công thức đổi cơ số như một vị cứu tinh.

Giới thiệu: "Nút thắt" lớn nhất khi làm việc với Logarit

Hãy tưởng tượng một tình huống rất thực tế: bạn đang ngồi trong phòng thi hoặc đang làm bài tập, trên tay là một chiếc máy tính khoa học thông dụng như Casio hay Vinacal. Bạn nhìn vào các nút bấm và thấy rất rõ nút log và nút ln. Nút log đại diện cho logarit cơ số 10, trong khi nút ln đại diện cho logarit cơ số e. Vậy một câu hỏi lớn được đặt ra: làm thế nào để bạn tính được giá trị chính xác của \[\log_2(8)\], giá trị xấp xỉ của \[\log_7(100)\], hay bất kỳ một logarit nào khác với một cơ số "lạ" mà máy tính không có nút bấm trực tiếp?

Đây chính là "nút thắt" lớn nhất khi làm việc với logarit trong thực tế. Sự giới hạn của các công cụ tính toán phổ biến và sự ưu tiên cho các cơ số chuẩn đã vô tình tạo ra một rào cản. Chúng ta không thể cộng, trừ, hay so sánh các logarit có cơ số khác nhau một cách dễ dàng. Làm thế nào để phá vỡ rào cản này và làm cho mọi logarit đều trở nên "bình đẳng" và có thể tính toán được?

Câu trả lời nằm ở Công thức Đổi Cơ số. Nó chính là vị cứu tinh, một công cụ toán học thanh lịch cho phép chúng ta biểu diễn một logarit ở một cơ số bất kỳ thông qua các logarit ở một cơ số mới, thường là các cơ số "quen thuộc" như 10 và e. Nói cách khác, nó là cây cầu nối giúp chúng ta đi từ những vùng đất xa lạ về miền đất thân quen, nơi mọi công cụ đều sẵn có.

Lịch sử ngắn gọn về Logarit và sự thống trị của Cơ số 10 và Cơ số e

Để hiểu tại sao cơ số 10 và e lại được ưu ái đến vậy, chúng ta cần nhìn lại lịch sử. Logarit được phát minh vào đầu thế kỷ 17 bởi nhà toán học người Scotland John Napier. Mục đích ban đầu của ông là tạo ra một công cụ giúp đơn giản hóa các phép tính nhân, chia, lũy thừa khổng lồ trong lĩnh vực thiên văn học. Tuy nhiên, phiên bản logarit của ông hơi khác so với hiện tại.

Chính nhà toán học người Anh Henry Briggs đã hợp tác với Napier và phát triển logarit thập phân, tức là logarit cơ số 10. Tại sao cơ số 10 lại được chọn? Câu trả lời rất đơn giản: nó tương thích hoàn hảo với hệ đếm thập phân (hệ cơ số 10) mà loài người đã và đang sử dụng. Việc tính toán \[\log(100) = \log(10^2) = 2\] hay \[\log(0.001) = \log(10^{-3}) = -3\] trở nên cực kỳ trực quan. Sự tương thích này đã giúp logarit cơ số 10 trở thành công cụ tính toán tiêu chuẩn trong khoa học và kỹ thuật suốt hàng trăm năm.

Mặt khác, cơ số e (\[e \approx 2.71828...\]) lại có một nguồn gốc hoàn toàn khác. Nó không được "chọn" vì tính tiện lợi trong tính toán thủ công, mà nó "tự xuất hiện" trong các quá trình của tự nhiên. Hằng số e là giới hạn của \[(1 + 1/n)^n\] khi \[n\] tiến tới vô cùng, mô tả các quá trình tăng trưởng liên tục. Nó là nền tảng của các mô hình tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ, tính lãi kép liên tục. Trong giải tích, đạo hàm của \[e^x\] là chính nó, và đạo hàm của \[\ln(x)\] là \[1/x\], khiến nó trở thành "cơ số của tự nhiên".

Chính vì sự thống trị của hai cơ số này trong cả tính toán thực hành và lý thuyết khoa học, chúng đã được tích hợp sẵn vào mọi công cụ tính toán. Do đó, nhu cầu quy đổi mọi logarit với cơ số bất kỳ về hai dạng chuẩn này là một nhu cầu tất yếu và vô cùng quan trọng.

PHẦN 2: CÔNG THỨC CỐT LÕI VÀ CHỨNG MINH

Đây là phần trung tâm của bài viết, nơi chúng ta sẽ phát biểu chính xác công thức, phân tích từng thành phần và quan trọng nhất là chứng minh nó một cách rõ ràng. Hiểu được chứng minh sẽ giúp bạn nắm vững bản chất thay vì chỉ học thuộc lòng.

Phát biểu Công thức Chuyển đổi Cơ số Logarit

Trước hết, chúng ta cần đảm bảo các điều kiện tồn tại của logarit được thỏa mãn. Điều kiện: Cho \[a, b, c\] là các số thực dương, và cơ số \[a \neq 1\], \[c \neq 1\].

Khi đó, công thức đổi cơ số được phát biểu như sau:

Công thức Chuyển đổi Cơ số Logarit: \[ \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \]

Hãy cùng "giải phẫu" công thức này:

\[a\]: Là cơ số ban đầu (cơ số cũ) mà chúng ta muốn thay đổi.
\[b\]: Là biểu thức dưới dấu logarit (argument).
\[c\]: Là cơ số mới mà chúng ta muốn chuyển về. \[c\] có thể là bất kỳ số dương nào khác 1, tùy thuộc vào mục đích của bài toán.

Hai dạng ứng dụng phổ biến nhất

Trong thực tế, chúng ta thường chọn cơ số mới \[c\] là 10 hoặc \[e\] để có thể sử dụng máy tính cầm tay.

Chuyển sang cơ số 10 (logarit thập phân - \[\log\]): \[ \log_a(b) = \frac{\log(b)}{\log(a)} \] Đây là công thức bạn sẽ dùng nhiều nhất để bấm máy tính.
Chuyển sang cơ số e (logarit tự nhiên - \[\ln\]): \[ \log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} \] Công thức này cực kỳ hữu ích trong việc biến đổi và rút gọn các biểu thức logarit, cũng như trong các bài toán giải tích cao cấp.

Mẹo ghi nhớ công thức

Nhiều học sinh thường nhầm lẫn vị trí của \[a\] và \[b\] ở vế phải. Có một mẹo ghi nhớ rất đơn giản và trực quan: Hãy nhìn vào biểu thức ban đầu \[\log_a(b)\]. Ta thấy \[b\] ở "phía trên" và \[a\] ở "phía dưới". Công thức đổi cơ số sẽ giữ nguyên thứ tự này: "Log của phần trên chia cho log của phần dưới" Tức là \[\frac{\log_c(\text{phần trên})}{\log_c(\text{phần dưới})} = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\].

Chứng minh Công thức Đổi cơ số: Hiểu tận gốc rễ vấn đề

Tại sao công thức này lại đúng? Việc tự mình đi qua các bước chứng minh sẽ giúp bạn củng cố kiến thức về định nghĩa logarit và không bao giờ quên công thức này. Dưới đây là một chứng minh đại số chi tiết và mạch lạc.

Bước 1: Đặt ẩn phụ dựa trên định nghĩa logarit. Đặt \[y = \log_a(b)\]. Mục tiêu của chúng ta là chứng minh \[y = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\].

Bước 2: Chuyển từ dạng logarit về dạng lũy thừa. Theo định nghĩa của logarit, \[y = \log_a(b)\] tương đương với: \[a^y = b\]

Bước 3: Tác động cơ số mới vào hai vế. Bây giờ, chúng ta sẽ lấy logarit cơ số \[c\] (cơ số mới mà ta muốn chuyển đến) cho cả hai vế của phương trình \[a^y = b\]: \[\log_c(a^y) = \log_c(b)\]

Bước 4: Sử dụng công thức logarit của một lũy thừa. Áp dụng công thức \[\log_x(y^z) = z \cdot \log_x(y)\] cho vế trái của phương trình trên, ta đưa số mũ \[y\] ra ngoài: \[y \cdot \log_c(a) = \log_c(b)\]

Bước 5: Giải tìm y. Từ phương trình trên, để tìm \[y\], ta chỉ cần chia cả hai vế cho \[\log_c(a)\] (chúng ta có thể chia vì \[a \neq 1 \implies \log_c(a) \neq 0\]): \[y = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\]

Bước 6: Kết luận. Ở Bước 1, chúng ta đã đặt \[y = \log_a(b)\]. Ở Bước 5, chúng ta đã chứng minh \[y = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\]. Từ hai điều này, ta suy ra điều phải chứng minh: \[\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\] Như bạn thấy, phép chứng minh này hoàn toàn logic và chỉ dựa trên các định nghĩa và tính chất cơ bản nhất của logarit. Việc hiểu rõ nó sẽ giúp bạn tự tin hơn rất nhiều khi sử dụng công thức.

PHẦN 3: "BUNG LỤA" SỨC MẠNH CỦA CÔNG THỨC

Lý thuyết là nền tảng, nhưng sức mạnh thực sự của một công thức nằm ở khả năng ứng dụng của nó. Phần này sẽ tập trung vào các kỹ năng thực tế, từ việc tính toán trên máy tính đến việc giải quyết các bài toán phức tạp.

Ứng dụng 1 (Quan trọng nhất): Tính mọi Logarit bằng Máy tính cầm tay

Đây là ứng dụng trực tiếp và hữu ích nhất trong học tập và thi cử. Công thức đổi cơ số cho phép bạn tính giá trị của bất kỳ logarit nào chỉ với hai nút log và ln.

\[Chèn hình ảnh minh họa\]: Một bức ảnh chụp cận cảnh các nút "log" và "ln" trên máy tính Casio FX-580VN X hoặc Vinacal 680EX Plus.

Hướng dẫn chi tiết: Để tính \[\log_a(b)\], bạn có hai cách bấm tương đương:

Sử dụng cơ số 10: Bấm log(b) ÷ log(a) =
Sử dụng cơ số e: Bấm ln(b) ÷ ln(a) =

Ví dụ 1: Tính \[\log_2(16)\] (một giá trị có thể nhẩm được).

Cách bấm 1: log 1 6 ) ÷ log 2 ) =
Cách bấm 2: ln 1 6 ) ÷ ln 2 ) =
Kết quả: Màn hình sẽ hiển thị số \[4\].

Ví dụ 2: Tính giá trị xấp xỉ của \[\log_5(89)\].

Cách bấm: log 8 9 ) ÷ log 5 ) =
Kết quả: Màn hình sẽ hiển thị một số thập phân vô hạn không tuần hoàn, xấp xỉ \[2.78886...\].

Lưu ý quan trọng: Các dòng máy tính khoa học đời mới (như Casio FX-580VN X) đã có sẵn nút bấm \[\log_{\square}(\square)\] cho phép bạn nhập trực tiếp cơ số và biểu thức. Mặc dù tiện lợi, việc hiểu và thành thạo công thức đổi cơ số gốc vẫn là cực kỳ cần thiết, vì nó là nền tảng cho các phép biến đổi đại số phức tạp hơn, chứ không chỉ dừng lại ở việc bấm máy tính.

Ứng dụng 2: Rút gọn và Biến đổi các Biểu thức Logarit phức tạp

Khi một bài toán xuất hiện nhiều logarit với các cơ số khác nhau, nó có thể trông rất đáng sợ. Chiến lược chung để giải quyết những bài toán này là: đưa tất cả về một cơ số chung. Cơ số chung này thường là cơ số nhỏ nhất xuất hiện trong bài, hoặc đơn giản là cơ số \[e\] (\[\ln\]) để tiện cho việc triệt tiêu.

Ví dụ kinh điển: Rút gọn biểu thức \[A = \log_2(3) \cdot \log_3(4) \cdot \log_4(5) \cdot \dots \cdot \log_{31}(32)\].

Phân tích: Biểu thức này là một chuỗi các tích logarit với cơ số và biểu thức "nối đuôi" nhau.
Chiến lược: Ta sẽ dùng công thức đổi cơ số để đưa tất cả về cùng một cơ số, ví dụ như cơ số \[e\] (dùng \[\ln\]).
Biến đổi: \[ A = \frac{\ln(3)}{\ln(2)} \cdot \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \cdot \frac{\ln(5)}{\ln(4)} \cdot \dots \cdot \frac{\ln(32)}{\ln(31)} \]
Triệt tiêu: Bây giờ ta thấy một sự triệt tiêu dây chuyền tuyệt đẹp. \[\ln(3)\] ở tử của phân số thứ nhất sẽ triệt tiêu cho \[\ln(3)\] ở mẫu của phân số thứ hai. Tương tự, \[\ln(4)\] triệt tiêu cho \[\ln(4)\], và cứ thế tiếp tục. \[ A = \frac{\cancel{\ln(3)}}{\ln(2)} \cdot \frac{\cancel{\ln(4)}}{\cancel{\ln(3)}} \cdot \frac{\cancel{\ln(5)}}{\cancel{\ln(4)}} \cdot \dots \cdot \frac{\ln(32)}{\cancel{\ln(31)}} \]
Sau khi triệt tiêu, chỉ còn lại \[\ln(2)\] ở mẫu của số hạng đầu tiên và \[\ln(32)\] ở tử của số hạng cuối cùng. \[ A = \frac{\ln(32)}{\ln(2)} \]
Kết quả: Sử dụng công thức đổi cơ số theo chiều ngược lại, ta có \[A = \log_2(32) = \log_2(2^5) = 5\].
Kết luận: Giá trị của biểu thức phức tạp trên chỉ đơn giản là \[5\].

Khai phá các Hệ quả và Công thức biến thể "cực mạnh"

Từ công thức đổi cơ số gốc, chúng ta có thể suy ra nhiều hệ quả và công thức biến thể khác, giúp giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng hơn.

Hệ quả 1: Công thức Nghịch đảo

Công thức: \[\log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)}\] (với \[b \neq 1\])

Chứng minh: Trong công thức gốc \[\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\], ta chọn cơ số mới \[c = b\]. Khi đó, \[\log_a(b) = \frac{\log_b(b)}{\log_b(a)} = \frac{1}{\log_b(a)}\] (vì \[\log_b(b)=1\]).
Ý nghĩa: Công thức này cho phép ta "đảo ngược" cơ số và biểu thức dưới dấu logarit, với giá trị là nghịch đảo của nhau.
Ví dụ: \[\log_2(8) = 3\] và \[\log_8(2) = \log_8(8^{1/3}) = 1/3\].

Hệ quả 2: Công thức Lũy thừa ở cơ số

Công thức: \[\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b)\]

Chứng minh: Sử dụng công thức đổi cơ số, ta đưa về cơ số \[a\]. \[\log_{a^n}(b) = \frac{\log_a(b)}{\log_a(a^n)} = \frac{\log_a(b)}{n \cdot \log_a(a)} = \frac{\log_a(b)}{n \cdot 1} = \frac{1}{n}\log_a(b)\].
Ý nghĩa: Số mũ ở cơ số có thể được đưa ra ngoài với giá trị nghịch đảo \[1/n\].
Ví dụ: \[\log_4(16) = \log_{2^2}(16) = \frac{1}{2}\log_2(16) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\].

Hệ quả 3: Công thức Lũy thừa ở cả cơ số và biểu thức

Công thức: \[\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n} \log_a(b)\]

Chứng minh: Kết hợp công thức logarit của một lũy thừa và Hệ quả 2. \[\log_{a^n}(b^m) = m \cdot \log_{a^n}(b) = m \cdot \left(\frac{1}{n} \log_a(b)\right) = \frac{m}{n}\log_a(b)\].
Ý nghĩa: "Mũ trên chia mũ dưới". Số mũ của biểu thức bên trên được đưa ra ngoài tử số, số mũ của cơ số bên dưới được đưa ra ngoài mẫu số. Đây là công thức rút gọn cực kỳ mạnh.
Ví dụ: Rút gọn \[A = \log_8(128)\]. \[A = \log_{2^3}(2^7) = \frac{7}{3}\log_2(2) = \frac{7}{3}\].

Ứng dụng 3: Giải phương trình và bất phương trình Logarit chứa nhiều cơ số

Đây là dạng toán vận dụng cao, đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn của các công thức. Phương pháp luận chung là: đưa tất cả về cùng một cơ số, sau đó sử dụng các phương pháp giải cơ bản như đặt ẩn phụ, mũ hóa, hoặc so sánh.

Ví dụ giải phương trình: Giải phương trình \[\log_2(x) + \log_4(x) + \log_{16}(x) = 7\] (Điều kiện: \[x>0\]).

Phân tích: Các cơ số là \[2, 4=2^2, 16=2^4\]. Ta sẽ đưa tất cả về cơ số \[2\].
Biến đổi: \[\log_2(x) + \log_{2^2}(x) + \log_{2^4}(x) = 7\] \[\log_2(x) + \frac{1}{2}\log_2(x) + \frac{1}{4}\log_2(x) = 7\]
Đặt ẩn phụ: Đặt \[t = \log_2(x)\]. Phương trình trở thành: \[t + \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}t = 7\] \[(\frac{4+2+1}{4})t = 7 \implies \frac{7}{4}t = 7 \implies t = 4\]
Giải tìm x: \[\log_2(x) = 4 \iff x = 2^4 = 16\].
Kết luận: Giá trị \[x=16\] thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là \[x=16\].

Ví dụ giải bất phương trình: Giải bất phương trình \[\log_3(x+1) > \log_9(4)\]. (Điều kiện: \[x+1>0 \iff x>-1\]).

Phân tích: Hai cơ số là 3 và 9. Ta đưa về cơ số 3.
Biến đổi: \[\log_9(4) = \log_{3^2}(2^2) = \frac{2}{2}\log_3(2) = \log_3(2)\].
Bất phương trình trở thành: \[\log_3(x+1) > \log_3(2)\].
Vì cơ số \[3>1\] (hàm đồng biến), ta có thể bỏ logarit và giữ nguyên chiều: \[x+1 > 2 \iff x > 1\].
Kết luận: Kết hợp với điều kiện \[x>-1\], tập nghiệm của bất phương trình là \[x>1\].

PHẦN 4: TẦM ẢNH HƯỞNG VƯƠN XA KHỎI LỚP HỌC

Công thức đổi cơ số không chỉ là một công cụ giải toán. Nó là nền tảng cho nhiều khái niệm quan trọng trong khoa học máy tính và các ngành khoa học ứng dụng khác.

Tại sao Công thức Đổi cơ số lại quan trọng trong Khoa học Máy tính?

Trong khoa học máy tính, khi phân tích hiệu quả của một thuật toán, các nhà khoa học thường sử dụng ký hiệu "Big O" (O-lớn) để mô tả độ phức tạp thuật toán khi kích thước đầu vào tăng lên. Một số thuật toán hiệu quả nhất, như tìm kiếm nhị phân (binary search), có độ phức tạp logarit, ký hiệu là \[O(\log n)\].

Một câu hỏi có thể nảy ra: \[O(\log_2 n)\] có khác gì \[O(\ln n)\] hay \[O(\log_{10} n)\] không? Câu trả lời là không, chúng được coi là tương đương nhau về bậc tăng trưởng. Lý do toán học đằng sau chính là công thức đổi cơ số. Ví dụ, ta có: \[\log_2(n) = \frac{\ln(n)}{\ln(2)}\] Ở đây, \[\frac{1}{\ln(2)}\] chỉ là một hằng số. Trong phân tích độ phức tạp Big O, các hằng số nhân vào sẽ được bỏ qua. Do đó, \[O(\log_2 n)\] tương đương với \[O(\frac{1}{\ln(2)} \ln n) = O(\ln n)\]. Công thức đổi cơ số chứng minh rằng tất cả các hàm logarit, bất kể cơ số, đều thuộc cùng một họ tăng trưởng, và đó là lý do tại sao trong khoa học máy tính, người ta thường chỉ viết \[O(\log n)\] mà không cần ghi rõ cơ số.

Ứng dụng trong các Thang đo Logarit (Hóa học, Vật lý, Địa chất)

Nhiều đại lượng trong thế giới thực trải dài trên một khoảng giá trị khổng lồ, từ rất nhỏ đến rất lớn. Để biểu diễn chúng một cách gọn gàng, các nhà khoa học sử dụng thang đo logarit.

Thang đo pH trong Hóa học: \[pH = -\log_{10}\[H^+\]\], đo nồng độ ion hydro.
Thang đo decibel (dB) trong Âm học: Đo cường độ âm thanh.
Thang đo độ Richter trong Địa chất: Đo năng lượng của một trận động đất. Công thức đổi cơ số đóng một vai trò quan trọng ở đây. Nó cho phép các nhà khoa học dễ dàng chuyển đổi và so sánh dữ liệu giữa các thang đo khác nhau nếu chúng vô tình được xây dựng trên các cơ số logarit khác nhau (ví dụ một thang đo cũ và một thang đo mới). Nó đảm bảo tính nhất quán và khả năng giao tiếp chung trong cộng đồng khoa học toàn cầu.

PHẦN 5: TỔNG KẾT VÀ TÀI NGUYÊN HỖ TRỢ

Tổng kết: Không chỉ là một Công thức, mà là một Tư duy

Qua hành trình khám phá, chúng ta có thể thấy công thức đổi cơ số logarit không chỉ đơn thuần là một công cụ tính toán. Nó là một cầu nối để đơn giản hóa các biểu thức phức tạp, là nền tảng để chứng minh nhiều tính chất và hệ quả quan trọng khác của logarit. Quan trọng hơn, nó thể hiện một tư duy cốt lõi trong toán học và giải quyết vấn đề: khi đối mặt với sự đa dạng và phức tạp (nhiều cơ số khác nhau), hãy tìm cách quy mọi thứ về một dạng chuẩn duy nhất để có thể so sánh, phân tích và giải quyết một cách hệ thống. Nắm vững tư duy này sẽ giúp bạn không chỉ trong môn toán mà còn trong nhiều lĩnh vực khác.

Sơ đồ Tư duy về Công thức Đổi cơ số và các Hệ quả

Câu hỏi Thường gặp (FAQ)

Tại sao trong công thức, cơ số mới \[c\] có thể là số bất kỳ (dương và khác 1)? Bởi vì mục đích của công thức là biểu diễn một logarit này qua một logarit khác. Bạn có thể chọn cơ số mới c là bất kỳ số nào thuận tiện cho bài toán của bạn. Tuy nhiên, phổ biến nhất là chọn c=10 hoặc c=e để dùng máy tính, hoặc chọn c là một cơ số đã có sẵn trong bài để rút gọn.
Sự khác biệt giữa \[\log\], \[\ln\] và \[\log_2\] là gì?
- \[\log(x)\]: Là ký hiệu quy ước cho logarit thập phân, tức là \[\log_{10}(x)\].
- \[\ln(x)\]: Là ký hiệu quy ước cho logarit tự nhiên (Natural Logarithm), tức là \[\log_e(x)\].
- \[\log_2(x)\]: Là logarit cơ số 2, thường dùng trong khoa học máy tính và lý thuyết thông tin.
Em quên công thức này trong phòng thi thì phải làm sao? Đừng hoảng sợ! Nếu bạn hiểu bản chất, bạn có thể tự chứng minh lại nó trong vòng chưa đầy một phút. Hãy nhớ 5 bước: Đặt \[y = \log_a(b)\] \[\implies\] \[a^y = b\] \[\implies\] Lấy log cơ số \[c\] hai vế \[\implies\] Dùng công thức mũ \[\implies\] Giải tìm \[y\].
Khi nào nên đổi về cơ số 10, khi nào nên đổi về cơ số e? Khi bấm máy tính, hai cách này cho kết quả hoàn toàn như nhau, bạn có thể tùy ý lựa chọn. Tuy nhiên, theo thói quen và trong các bài toán giải tích, việc đổi về cơ số e (\[\ln\]) thường phổ biến hơn. Nếu trong bài toán đã có sẵn số \[e\] hoặc hàm \[\ln\], việc đưa tất cả về \[\ln\] là lựa chọn tự nhiên nhất.

Kho bài tập tự luyện từ cơ bản đến nâng cao (có đáp án)

Lý thuyết chỉ thực sự trở thành của bạn khi bạn có thể áp dụng nó để giải quyết vấn đề. Hãy thử sức với 10 bài tập dưới đây, được sắp xếp theo độ khó tăng dần, bao phủ tất cả các dạng toán quan trọng. Cố gắng tự giải trước khi xem đáp án để đánh giá đúng năng lực của mình nhé!

Bài 1: Thực hành bấm máy tính (Kết quả nguyên)

Sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của \[A = \log_4(64)\].

Lời giải: Áp dụng công thức đổi cơ số về cơ số 10 (hoặc e): \[A = \log_4(64) = \frac{\log(64)}{\log(4)}\] Bấm máy tính: log 6 4 ) ÷ log 4 ) = Kết quả: \[A = 3\].

Bài 2: Thực hành bấm máy tính (Kết quả xấp xỉ)

Sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị xấp xỉ của \[B = \log_6(50)\] (làm tròn đến 3 chữ số thập phân).

Lời giải: Áp dụng công thức đổi cơ số về cơ số e: \[B = \log_6(50) = \frac{\ln(50)}{\ln(6)}\] Bấm máy tính: ln 5 0 ) ÷ ln 6 ) = Kết quả: \[B \approx 2.183\].

Bài 3: Rút gọn biểu thức (Dạng chuỗi)

Rút gọn biểu thức sau: \[C = \log_3(5) \cdot \log_5(7) \cdot \log_7(9)\]

Lời giải: Ta đưa tất cả về cùng một cơ số, ví dụ cơ số 10: \[C = \frac{\log(5)}{\log(3)} \cdot \frac{\log(7)}{\log(5)} \cdot \frac{\log(9)}{\log(7)}\] Thực hiện triệt tiêu các số hạng giống nhau ở tử và mẫu: \[C = \frac{\cancel{\log(5)}}{\log(3)} \cdot \frac{\cancel{\log(7)}}{\cancel{\log(5)}} \cdot \frac{\log(9)}{\cancel{\log(7)}} = \frac{\log(9)}{\log(3)}\] Sử dụng công thức đổi cơ số theo chiều ngược lại: \[C = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2\]. Vậy \[C=2\].

Bài 4: Rút gọn biểu thức (Sử dụng hệ quả)

Rút gọn biểu thức sau: \[D = \log_8(32) + \log_{0.5}(4)\]

Lời giải: Ta đưa các cơ số và biểu thức về dạng lũy thừa của cùng một số (ở đây là số 2): \[8 = 2^3\]; \[32 = 2^5\]; \[0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}\]; \[4 = 2^2\]. Biểu thức trở thành: \[D = \log_{2^3}(2^5) + \log_{2^{-1}}(2^2)\] Áp dụng hệ quả "mũ trên chia mũ dưới" \[\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n}\log_a(b)\]: \[D = \frac{5}{3}\log_2(2) + \frac{2}{-1}\log_2(2) = \frac{5}{3} \cdot 1 - 2 \cdot 1 = \frac{5}{3} - 2 = \frac{5-6}{3} = -\frac{1}{3}\]. Vậy \[D = -\frac{1}{3}\].

Bài 5: So sánh hai logarit

Không dùng máy tính, hãy so sánh \[A = \log_6(37)\] và \[B = \log_7(48)\].

Lời giải: Ta sẽ so sánh A và B với một số trung gian, ở đây là số 2.
- Xét \[A = \log_6(37)\]: Ta biết \[\log_6(36) = \log_6(6^2) = 2\]. Vì \[37 > 36\] và cơ số \[6>1\] (hàm đồng biến), nên \[\log_6(37) > \log_6(36)\]. Vậy \[A > 2\].
- Xét \[B = \log_7(48)\]: Ta biết \[\log_7(49) = \log_7(7^2) = 2\]. Vì \[48 < 49\] và cơ số \[7>1\] (hàm đồng biến), nên \[\log_7(48) < \log_7(49)\]. Vậy \[B < 2\]. Từ \[A > 2\] và \[B < 2\], ta có thể kết luận \[A > B\].

Bài 6: Giải phương trình (Sử dụng hệ quả nghịch đảo)

Giải phương trình: \[\log_2(x) + 3\log_x(2) = 4\]

Lời giải: Điều kiện: \[x > 0\] và \[x \neq 1\]. Sử dụng hệ quả nghịch đảo \[\log_x(2) = \frac{1}{\log_2(x)}\], phương trình trở thành: \[\log_2(x) + \frac{3}{\log_2(x)} = 4\] Đặt \[t = \log_2(x)\] (với \[t \neq 0\]). Phương trình trở thành: \[t + \frac{3}{t} = 4\] \[\iff t^2 + 3 = 4t \iff t^2 - 4t + 3 = 0\] Giải phương trình bậc hai ẩn t, ta được \[t=1\] hoặc \[t=3\].
- Với \[t=1\], \[\log_2(x) = 1 \iff x = 2^1 = 2\].
- Với \[t=3\], \[\log_2(x) = 3 \iff x = 2^3 = 8\]. Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện. Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \{2, 8\}\].

Bài 7: Giải phương trình (Đưa về cùng cơ số)

Giải phương trình: \[\log_3(x) \cdot \log_9(x) \cdot \log_{27}(x) = \frac{4}{3}\]

Lời giải: Điều kiện: \[x > 0\]. Ta đưa tất cả về cơ số 3: \[\log_9(x) = \log_{3^2}(x) = \frac{1}{2}\log_3(x)\] \[\log_{27}(x) = \log_{3^3}(x) = \frac{1}{3}\log_3(x)\] Phương trình trở thành: \[\log_3(x) \cdot \left(\frac{1}{2}\log_3(x)\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\log_3(x)\right) = \frac{4}{3}\] \[\frac{1}{6} (\log_3(x))^3 = \frac{4}{3}\] \[(\log_3(x))^3 = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8\] \[\log_3(x) = \sqrt\[3\]{8} = 2\] \[x = 3^2 = 9\]. Nghiệm \[x=9\] thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là \[x=9\].

Bài 8: Giải bất phương trình (Lưu ý cơ số nhỏ hơn 1)

Giải bất phương trình: \[\log_{0.5}(x-1) < \log_{0.25}(9)\]

Lời giải: Điều kiện: \[x-1 > 0 \iff x > 1\]. Ta đưa về cùng cơ số \[0.5\]: \[0.25 = (0.5)^2\]. \[\log_{0.25}(9) = \log_{(0.5)^2}(3^2) = \frac{2}{2}\log_{0.5}(3) = \log_{0.5}(3)\]. Bất phương trình trở thành: \[\log_{0.5}(x-1) < \log_{0.5}(3)\] Vì cơ số \[0.5 < 1\] (hàm nghịch biến), khi bỏ logarit ta phải đảo chiều bất phương trình: \[x-1 > 3 \iff x > 4\]. Kết hợp với điều kiện \[x > 1\], ta được tập nghiệm cuối cùng là \[x > 4\].

Bài 9: Bài toán tổng hợp (Sử dụng nghịch đảo và cộng logarit)

Tính giá trị của biểu thức: \[E = \frac{1}{\log_2(6)} + \frac{1}{\log_3(6)}\]

Lời giải: Áp dụng công thức nghịch đảo \[\frac{1}{\log_b(a)} = \log_a(b)\] cho từng số hạng: \[E = \log_6(2) + \log_6(3)\] Áp dụng công thức cộng hai logarit cùng cơ số \[\log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(xy)\]: \[E = \log_6(2 \cdot 3) = \log_6(6) = 1\]. Vậy \[E=1\].

Bài 10: Bài toán nâng cao (Biểu diễn logarit)

Cho \[\log_{12}(18) = a\]. Hãy tính \[\log_{24}(54)\] theo \[a\].

Lời giải: Đây là dạng toán cần phân tích các số về thừa số nguyên tố (2 và 3) và đưa về một cơ số chung (ví dụ cơ số 2). Bước 1: Phân tích a \[a = \log_{12}(18) = \frac{\log_2(18)}{\log_2(12)} = \frac{\log_2(2 \cdot 3^2)}{\log_2(2^2 \cdot 3)} = \frac{\log_2(2) + \log_2(3^2)}{\log_2(2^2) + \log_2(3)} = \frac{1 + 2\log_2(3)}{2 + \log_2(3)}\] Bước 2: Tìm \[\log_2(3)\] theo \[a\] Đặt \[t = \log_2(3)\]. Ta có \[a = \frac{1+2t}{2+t} \implies a(2+t) = 1+2t \implies 2a + at = 1+2t\] \[\implies at - 2t = 1 - 2a \implies t(a-2) = 1-2a \implies t = \log_2(3) = \frac{1-2a}{a-2}\] Bước 3: Phân tích biểu thức cần tính \[\log_{24}(54) = \frac{\log_2(54)}{\log_2(24)} = \frac{\log_2(2 \cdot 3^3)}{\log_2(2^3 \cdot 3)} = \frac{\log_2(2) + \log_2(3^3)}{\log_2(2^3) + \log_2(3)} = \frac{1 + 3\log_2(3)}{3 + \log_2(3)} = \frac{1+3t}{3+t}\] Bước 4: Thay t theo a vào \[\log_{24}(54) = \frac{1 + 3\left(\frac{1-2a}{a-2}\right)}{3 + \left(\frac{1-2a}{a-2}\right)} = \frac{\frac{a-2+3(1-2a)}{a-2}}{\frac{3(a-2)+(1-2a)}{a-2}} = \frac{a-2+3-6a}{3a-6+1-2a} = \frac{1-5a}{a-5}\] Kết luận: Vậy \[\log_{24}(54) = \frac{1-5a}{a-5}\].