Công thức Tổ hợp (C(n,k)): Toàn tập về "Nghệ thuật đếm" và Ứng dụng

Công thức Tổ hợp (C(n,k)): Toàn tập về "Nghệ thuật đếm" và Ứng dụng

Chào mừng bạn đến với thế giới của Giải tích Tổ hợp, một lĩnh vực toán học đầy màu sắc và quyền năng, nơi chúng ta học cách đếm những thứ không thể đếm bằng tay. Trong đó, công thức tổ hợp chính là một trong những viên ngọc quý giá nhất. Nếu bạn đã từng bối rối trước những câu hỏi như "có bao nhiêu cách chọn một đội tuyển" hay "có bao nhiêu cách lấy ra các quân bài", thì bài viết này sẽ là kim chỉ nam toàn diện nhất dành cho bạn. Chúng ta sẽ cùng nhau đi từ những khái niệm nền tảng, học cách phân biệt các công cụ đếm, và chinh phục mọi dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Học thêm:

• Toán 10
• Toán 11

PHẦN 1: NHẬP MÔN - KHÁM PHÁ "NGHỆ THUẬT ĐẾM"

Để thực sự làm chủ một công cụ, chúng ta cần hiểu rõ vấn đề mà nó giải quyết và bối cảnh ra đời của nó. Phần đầu tiên này sẽ đưa chúng ta vào thế giới của sự lựa chọn và cho thấy tại sao "nghệ thuật đếm" lại là một kỹ năng toán học thiết yếu.

Giới thiệu: Tổ hợp là gì và tại sao nó là nền tảng của sự lựa chọn?

Hãy bắt đầu bằng một kịch bản đơn giản mà ai trong chúng ta cũng có thể hình dung: Giả sử bạn có 5 cuốn sách rất yêu thích, nhưng chiếc ba lô của bạn chỉ đủ chỗ để mang theo 3 cuốn. Một câu hỏi được đặt ra: Bạn có bao nhiêu cách chọn ra 3 cuốn sách để mang theo? Đây không phải là một câu hỏi về sở thích, mà là một câu hỏi thuần túy về số lượng các khả năng lựa chọn.

Hãy cùng phân tích vấn đề này. Nếu bạn chọn bộ ba cuốn sách {A, B, C}, thì thứ tự bạn nhặt chúng lên không quan trọng. Việc bạn chọn cuốn A, rồi đến B, rồi đến C cũng cho kết quả cuối cùng giống hệt như việc bạn chọn cuốn C, rồi A, rồi B. Trong ba lô của bạn vẫn là 3 cuốn sách đó. Tình huống này, khi chúng ta chỉ quan tâm đến nhóm các phần tử được chọn mà không quan tâm đến thứ tự của chúng, chính là "lãnh địa" của tổ hợp.

Tổ hợp (Combination) chính là công cụ toán học được sinh ra để giải quyết những bài toán "chọn nhóm" như vậy. Nó là ngôn ngữ của sự lựa chọn, cho phép chúng ta đếm một cách chính xác số cách thành lập một đội, một ủy ban, một bộ bài, hay bất kỳ một tập hợp con nào mà không có sự phân biệt về vai trò hay thứ tự giữa các thành viên trong đó. Hiểu về tổ hợp là bước đầu tiên để làm chủ lý thuyết xác suất và nhiều lĩnh vực khoa học dữ liệu khác.

Lịch sử ngắn gọn của Giải tích Tổ hợp: Từ trò chơi đến khoa học

"Nghệ thuật đếm" có một lịch sử lâu dài và phong phú, xuất phát từ những nhu cầu thực tế của con người qua nhiều nền văn minh. Những dấu vết sơ khai nhất của các bài toán tổ hợp có thể được tìm thấy ở Ấn Độ cổ đại, vào khoảng thế kỷ thứ 6 TCN, khi nhà y học Sushruta mô tả \[63\] cách kết hợp khác nhau của 6 vị cơ bản. Các nhà toán học Trung Quốc và Ả Rập cũng đã nghiên cứu các bài toán về hoán vị và tổ hợp từ rất sớm, đặc biệt là trong các bài toán về ma trận và mật mã.

Tuy nhiên, giải tích tổ hợp chỉ thực sự phát triển mạnh mẽ và trở thành một lĩnh vực toán học có hệ thống ở châu Âu vào thế kỷ 17. Động lực chính đến từ một lĩnh vực rất đời thường: các trò chơi cờ bạc. Các nhà quý tộc thường đặt ra những câu hỏi hóc búa về các trò chơi may rủi cho các nhà toán học. Nổi tiếng nhất là sự trao đổi thư từ giữa hai bộ óc vĩ đại người Pháp, Blaise Pascal và Pierre de Fermat, để giải quyết các bài toán về trò chơi xúc xắc. Chính quá trình này đã đặt nền móng không chỉ cho giải tích tổ hợp mà còn cho cả lý thuyết xác suất hiện đại.

Kể từ đó, giải tích tổ hợp đã phát triển vượt bậc và được hình thức hóa thành một nhánh toán học riêng biệt. Nó không còn chỉ giới hạn trong các trò chơi may rủi mà đã trở thành một công cụ thiết yếu trong khoa học máy tính, thống kê, sinh học phân tử, và nhiều lĩnh vực khác đòi hỏi việc phân tích các cấu trúc rời rạc.

PHẦN 2: "BỘ BA QUYỀN LỰC" CỦA BÀI TOÁN ĐẾM

Đây là phần cực kỳ quan trọng, được thiết kế để giải quyết "nỗi đau" lớn nhất của hầu hết học sinh khi tiếp cận chương này: Làm thế nào để phân biệt giữa Tổ hợp, Chỉnh hợp và Hoán vị? Việc hiểu rõ bản chất của từng khái niệm sẽ giúp bạn chọn đúng công cụ cho đúng bài toán.

Tìm hiểu Hoán vị, Chỉnh hợp trước khi đến với Tổ hợp

Để hiểu tổ hợp là gì, cách tốt nhất là so sánh nó với hai người anh em họ của nó: hoán vị và chỉnh hợp.

Hoán vị (Permutation - \[P_n\]): Khi thứ tự là tất cả

Hoán vị là khái niệm đơn giản nhất trong bộ ba. Nó trả lời cho câu hỏi: Có bao nhiêu cách sắp xếp lại thứ tự của tất cả \[n\] phần tử trong một tập hợp? Ở đây, chúng ta sử dụng tất cả các phần tử và chỉ thay đổi vị trí của chúng. Yếu tố thứ tự là điều duy nhất chúng ta quan tâm.

Công thức: \[P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n\]

• Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 5 người A, B, C, D, E vào một hàng có 5 ghế?

  • Đây là bài toán sắp xếp thứ tự cho 5 phần tử. Mỗi cách xếp là một hoán vị của 5 người.

  • Số cách xếp là: \[P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\] cách.

Chỉnh hợp (Arrangement - \[A_n^k\]): Khi vừa chọn, vừa xếp

Chỉnh hợp là một bước phức tạp hơn. Nó bao gồm hai hành động liên tiếp: chọn ra \[k\] phần tử từ \[n\] phần tử ban đầu, và sau đó sắp xếp thứ tự cho \[k\] phần tử vừa được chọn đó. Trong chỉnh hợp, cả việc chọn ai và xếp họ vào vị trí nào đều quan trọng.

Công thức: \[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]

• Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người từ một nhóm 10 người để trao 3 giải thưởng khác nhau: Nhất, Nhì, Ba?

  • Đây là bài toán chỉnh hợp vì thứ tự rất quan trọng. Việc An được giải Nhất, Bình giải Nhì khác hoàn toàn với việc Bình giải Nhất, An giải Nhì.

  • Số cách chọn và trao giải là: \[A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\] cách.

Bảng so sánh "kinh điển": Phân biệt Tổ hợp và Chỉnh hợp

Đây là nội dung "ăn điểm" của phần này, giúp bạn hệ thống hóa kiến thức và không bao giờ nhầm lẫn nữa. Hãy tập trung vào câu hỏi vàng: Thứ tự có quan trọng không?

Mối liên hệ Toán học giữa Chỉnh hợp và Tổ hợp

Từ bảng so sánh trên, ta có thể thấy một mối liên hệ logic rất đẹp giữa hai khái niệm này. Hãy xem xét lại hành động "chỉnh hợp" (chọn k người và xếp thứ tự cho họ). Ta có thể chia nó thành hai công đoạn riêng biệt:

• Công đoạn 1: CHỌN NHÓM. Dùng "tổ hợp" để chọn ra một nhóm gồm \[k\] người từ \[n\] người ban đầu. Số cách thực hiện công đoạn này là \[C_n^k\] cách.

• Công đoạn 2: SẮP XẾP NHÓM. Sau khi đã có trong tay nhóm \[k\] người, ta tiến hành sắp xếp thứ tự cho \[k\] người này. Số cách sắp xếp chính là một hoán vị của \[k\] phần tử, tức là \[k!\] cách.

Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện toàn bộ hành động "chỉnh hợp" sẽ bằng tích số cách thực hiện hai công đoạn trên. Điều này cho chúng ta một công thức quan hệ vô cùng quan trọng:

Mối liên hệ: \[A_n^k = C_n^k \times k!\]

Công thức này không chỉ cho thấy mối liên hệ toán học mà còn củng cố sự hiểu biết về bản chất của từng khái niệm. Nó là chìa khóa để chứng minh công thức tổ hợp ở phần tiếp theo.

PHẦN 3: CÔNG THỨC TỔ HỢP - PHÂN TÍCH CHUYÊN SÂU

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để đi vào trái tim của chủ đề: công thức tính tổ hợp, các tính chất quan trọng và cách tính toán nó một cách hiệu quả.

Công thức Tổ hợp và Cách chứng minh

Công thức tổ hợp cho chúng ta biết số cách chọn ra một tập hợp con gồm \[k\] phần tử từ một tập hợp lớn hơn có \[n\] phần tử, mà không cần quan tâm đến thứ tự sắp xếp.

Công thức Tổ hợp: \[ C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] (với \[0 \le k \le n\])

Chứng minh công thức: Việc chứng minh công thức này trở nên vô cùng đơn giản khi chúng ta sử dụng mối liên hệ \[A_n^k = C_n^k \cdot k!\] đã thiết lập ở phần trước. Từ mối liên hệ này, ta suy ra: \[ C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} \] Mà ta đã biết công thức của chỉnh hợp là \[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]. Thay vào, ta được: \[ C_n^k = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Vậy là chúng ta đã chứng minh thành công công thức tổ hợp.

Các tính chất quan trọng của Tổ hợp bạn cần nắm vững

Các tính chất này giúp chúng ta tính toán và rút gọn các biểu thức tổ hợp một cách nhanh chóng.

• Tính chất đối xứng: \[C_n^k = C_n^{n-k}\]

  • Ý nghĩa: Số cách chọn \[k\] phần tử để lấy đi cũng chính bằng số cách chọn \[n-k\] phần tử để ở lại. Đây là tính chất được sử dụng rất nhiều để đơn giản hóa tính toán. Ví dụ, \[C_{10}^8\] sẽ dễ tính hơn nếu ta chuyển nó thành \[C_{10}^2\].

• Các trường hợp đặc biệt:

  • \[C_n^0 = 1\]: Có 1 cách để không chọn phần tử nào.

  • \[C_n^n = 1\]: Có 1 cách để chọn tất cả n phần tử.

  • \[C_n^1 = n\]: Có n cách để chọn 1 phần tử từ n phần tử.

• Hệ thức Pascal: \[C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}\]

  • Ý nghĩa: Đây là quy luật "cộng" để xây dựng nên Tam giác Pascal nổi tiếng. Nó cho thấy mỗi số trong tam giác (trừ các số 1 ở biên) bằng tổng của hai số ngay phía trên nó.

• Tổng các tổ hợp: \[C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n\]

  • Ý nghĩa: Tổng số tập hợp con có thể tạo ra từ một tập hợp có \[n\] phần tử là \[2^n\]. Tính chất này là một hệ quả trực tiếp của Nhị thức Newton mà chúng ta sẽ thấy ở phần sau.

Hướng dẫn chi tiết cách tính tay và bấm máy tính \[C_n^k\]

• Ví dụ tính tay \[C_5^3\]:

  • Áp dụng công thức: \[C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2 \cdot 3)(1 \cdot 2)}\]

  • Rút gọn: \[C_5^3 = \frac{4 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{20}{2} = 10\].

  • Mẹo: Sử dụng tính chất đối xứng trước khi tính: \[C_5^3 = C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\]. Việc này giúp giảm khối lượng tính toán.

• Hướng dẫn bấm máy tính:

  • Chức năng tính tổ hợp trên máy tính Casio/Vinacal thường được ký hiệu là nCr.

  • Nút này thường là chức năng phụ (màu vàng) của nút chia (\[\div\]).

  • Để tính \[C_n^k\], bạn bấm theo cú pháp: \[n\] SHIFT \[\div\] (nCr) \[k\] =.

PHẦN 4: CHINH PHỤC CÁC DẠNG BÀI TẬP TỔ HỢP

Đây là phần thực hành, nơi chúng ta áp dụng các công cụ đã học để giải quyết các bài toán đếm từ cơ bản đến nâng cao.

Phương pháp luận chung để giải bài toán đếm dùng Tổ hợp

Để giải quyết một bài toán đếm một cách chính xác, hãy tuân thủ một quy trình tư duy có hệ thống:

1. Đọc kỹ đề và xác định các yếu tố:

   • Tập hợp ban đầu có bao nhiêu phần tử (\[n\])?

   • Hành động cần thực hiện là gì (chọn, xếp, hay cả hai)?

   • Cần chọn ra bao nhiêu phần tử (\[k\])?

2. Trả lời "Câu hỏi vàng": THỨ TỰ CÓ QUAN TRỌNG KHÔNG?

   • KHÔNG: Kết quả là một nhóm không phân biệt vai trò. => Dùng Tổ hợp (\[C_n^k\]).

   • CÓ: Kết quả có sự phân biệt về thứ tự, vị trí, chức vụ. => Dùng Chỉnh hợp (\[A_n^k\]) hoặc Hoán vị (\[P_n\]).

3. Áp dụng Quy tắc Cộng và Nhân:

   • Quy tắc Nhân: Dùng khi một hành động được thực hiện qua nhiều công đoạn liên tiếp. (Phải làm xong công đoạn 1 VÀ công đoạn 2...).

   • Quy tắc Cộng: Dùng khi một hành động có nhiều phương án/trường hợp riêng biệt để hoàn thành. (Thực hiện theo phương án 1 HOẶC phương án 2...).

Các dạng bài tập Tổ hợp từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải chi tiết)

Dạng 1: Bài toán chọn người

• Ví dụ: Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 5 người, trong đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập?

  • Phân tích: Đây là bài toán kết hợp nhiều công đoạn và có cả yếu tố thứ tự (tổ trưởng, tổ phó) lẫn không thứ tự (3 ủy viên).

  • Cách 1: Chọn theo chức vụ trước.

    • Công đoạn 1: Chọn 1 tổ trưởng từ 15 người: \[C_{15}^1 = 15\] cách.

    • Công đoạn 2: Chọn 1 tổ phó từ 14 người còn lại: \[C_{14}^1 = 14\] cách.

    • Công đoạn 3: Chọn 3 ủy viên từ 13 người còn lại (thứ tự không quan trọng): \[C_{13}^3 = 286\] cách.

    • Theo quy tắc nhân: \[15 \cdot 14 \cdot 286 = 60,060\] cách.

  • Cách 2: Dùng Chỉnh hợp và Tổ hợp.

    • Công đoạn 1: Chọn 2 người và xếp vào vị trí Tổ trưởng, Tổ phó từ 15 người: \[A_{15}^2 = 210\] cách.

    • Công đoạn 2: Chọn 3 ủy viên từ 13 người còn lại: \[C_{13}^3 = 286\] cách.

    • Theo quy tắc nhân: \[210 \cdot 286 = 60,060\] cách.

Dạng 2: Bài toán chọn đồ vật (bi, cầu, bài...)

• Ví dụ: Một hộp có 5 bi xanh, 4 bi đỏ, 3 bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra đồng thời 6 bi, trong đó có đúng 2 bi vàng?

  • Phân tích: Lấy đồng thời 6 bi, thứ tự không quan trọng -> Dùng Tổ hợp. Hành động này gồm 2 công đoạn: chọn bi vàng và chọn các bi còn lại.

  • Công đoạn 1: Chọn đúng 2 bi vàng từ 3 bi vàng. Số cách: \[C_3^2 = 3\] cách.

  • Công đoạn 2: Chọn \[6-2=4\] bi còn lại từ tổng số bi xanh và đỏ (\[5+4=9\] bi). Số cách: \[C_9^4 = 126\] cách.

  • Theo quy tắc nhân, tổng số cách lấy thỏa mãn yêu cầu là: \[C_3^2 \cdot C_9^4 = 3 \cdot 126 = 378\] cách.

Dạng 3: Bài toán đếm trong hình học

• Ví dụ: Cho 10 điểm phân biệt trong một mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác từ các điểm đã cho?

  • Phân tích: Một tam giác được tạo thành bằng cách chọn ra 3 điểm không thẳng hàng. Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng, cứ chọn 3 điểm bất kỳ sẽ tạo thành một tam giác. Thứ tự chọn 3 điểm (ví dụ A, B, C hay C, B, A) không làm thay đổi tam giác -> Dùng Tổ hợp.

  • Số tam giác có thể tạo thành là số cách chọn 3 điểm từ 10 điểm:

  • \[n = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\] tam giác.

Dạng 4: Bài toán chia nhóm

• Ví dụ: Có 12 học sinh. Cần chia thành 3 nhóm A, B, C, mỗi nhóm có 4 học sinh, để làm 3 công việc khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia?

  • Phân tích: Vì các nhóm làm các công việc khác nhau nên nhóm A, nhóm B, nhóm C là phân biệt.

  • Công đoạn 1: Chọn 4 học sinh từ 12 học sinh cho nhóm A. Số cách: \[C_{12}^4\].

  • Công đoạn 2: Chọn 4 học sinh từ 8 học sinh còn lại cho nhóm B. Số cách: \[C_8^4\].

  • Công đoạn 3: Chọn 4 học sinh từ 4 học sinh cuối cùng cho nhóm C. Số cách: \[C_4^4\].

  • Theo quy tắc nhân, tổng số cách chia là: \[C_{12}^4 \cdot C_8^4 \cdot C_4^4 = 495 \cdot 70 \cdot 1 = 34,650\] cách.

Dạng 5: Bài toán có điều kiện ràng buộc (sử dụng phần bù)

• Ví dụ: Chọn 5 người từ một nhóm 10 người trong đó có An và Bình. Tính số cách chọn sao cho An và Bình không cùng được chọn.

  • Phân tích: Tính trực tiếp sẽ có 2 trường hợp: (1) có An nhưng không có Bình, (2) có Bình nhưng không có An. Cách nhanh hơn là dùng phần bù.

  • Phần bù: Biến cố đối của "An và Bình không cùng được chọn" là "Cả An và Bình cùng được chọn".

  • Bước 1: Tính tổng số cách chọn 5 người bất kỳ từ 10 người. Số cách: \[C_{10}^5 = 252\] cách.

  • Bước 2: Tính số cách chọn có cả An và Bình (phần bù). Hành động này gồm 2 công đoạn:

    • Công đoạn 1: Chắc chắn chọn An và Bình (có 1 cách).

    • Công đoạn 2: Chọn thêm \[5-2=3\] người nữa từ \[10-2=8\] người còn lại. Số cách: \[C_8^3 = 56\] cách.

    • Số cách chọn có cả An và Bình là \[1 \cdot 56 = 56\] cách.

  • Bước 3: Lấy tổng trừ đi phần bù. Số cách chọn mà An và Bình không cùng có mặt là: \[252 - 56 = 196\] cách.

PHẦN 5: KẾT NỐI VÀ ỨNG DỤNG VƯỢT RA NGOÀI SÁCH GIÁO KHOA

Tổ hợp không chỉ là một công cụ đếm trong sách giáo khoa. Nó là viên gạch nền tảng cho nhiều lý thuyết toán học quan trọng và có vô số ứng dụng trong thế giới thực.

Tổ hợp - "Viên gạch" xây nên Nhị thức Newton và Tam giác Pascal

Như đã đề cập ở các bài viết trước, có một mối liên hệ sâu sắc giữa Tổ hợp và Nhị thức Newton. Các hệ số trong khai triển \[(a+b)^n\] không phải ngẫu nhiên mà chính là các số tổ hợp \[C_n^k\]. \[(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + \dots + C_n^nb^n\] Ý nghĩa của điều này là: để tạo ra số hạng \[a^{n-k}b^k\], chúng ta cần chọn \[k\] lần nhân tử \[b\] (và \[n-k\] lần nhân tử \[a\]) từ \[n\] dấu ngoặc \[(a+b)\]. Số cách chọn \[k\] lần \[b\] này chính là \[C_n^k\]. Tương tự, hệ thức Pascal \[C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}\] chính là quy luật tạo nên các hàng của Tam giác Pascal.

Ứng dụng "sống còn" của Tổ hợp trong Lý thuyết Xác suất

Đây là ứng dụng quan trọng và phổ biến nhất của tổ hợp. Công thức xác suất cổ điển \[P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}\] yêu cầu chúng ta phải tính được hai đại lượng:

• \[n(\Omega)\]: Tổng số kết quả có thể xảy ra.

• \[n(A)\]: Số kết quả thuận lợi cho biến cố A. Trong hầu hết các bài toán thực tế, việc đếm \[n(\Omega)\] và \[n(A)\] không thể thực hiện bằng cách liệt kê. Tổ hợp, cùng với hoán vị và chỉnh hợp, chính là bộ công cụ không thể thiếu để tính toán hai đại lượng này.

• Ví dụ: Tính xác suất để rút ngẫu nhiên 3 lá bài từ bộ bài 52 lá được cả 3 lá Át (Ace).

  • Tính \[n(\Omega)\]: Chọn 3 lá bất kỳ từ 52 lá. \[n(\Omega) = C_{52}^3 = 22,100\].

  • Tính \[n(A)\]: Biến cố A là "rút được 3 lá Át". Có 4 lá Át trong bộ bài, ta cần chọn 3 lá. \[n(A) = C_4^3 = 4\].

  • Tính xác suất: \[P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{22,100} \approx 0.00018\].

Tổ hợp trong Khoa học Máy tính, Thể thao và Đời sống

• Khoa học máy tính: Trong lĩnh vực tối ưu hóa cơ sở dữ liệu và thuật toán, các bài toán tổ hợp giúp xác định số lượng các trường hợp cần xét, từ đó đánh giá độ phức tạp và hiệu quả của thuật toán.

• Thể thao: Việc sắp xếp lịch thi đấu cho một giải đấu vòng tròn (mỗi đội gặp nhau một lần) là một bài toán tổ hợp. Với \[n\] đội, số trận đấu sẽ là số cách chọn ra 2 đội để đấu với nhau, tức là \[C_n^2\] trận.

• Đời sống: Mặc dù chúng ta không tính toán, nhưng tư duy tổ hợp vẫn hiện diện. Khi bạn chọn 3 loại topping cho một chiếc pizza từ 10 loại có sẵn, bạn đang giải một bài toán tổ hợp. Khi bạn phối một bộ quần áo từ tủ đồ của mình, bạn cũng đang thực hiện các lựa chọn có tính chất tổ hợp.

PHẦN 6: TỔNG KẾT VÀ TÀI NGUYÊN

Tổng kết và "Checklist" khi nào dùng Tổ hợp

Điểm cốt lõi nhất cần nhớ để phân biệt các công cụ đếm nằm ở "Câu hỏi vàng".

• Checklist:

  1. Bài toán có yêu cầu chọn một nhóm phần tử không?

  2. Thứ tự của các phần tử trong nhóm được chọn có quan trọng không?

  3. Nếu câu trả lời là KHÔNG, hãy tự tin dùng TỔ HỢP.

Câu hỏi Thường gặp (FAQ)

• Tại sao \[0!=1\]? Đây là một quy ước toán học. Nó được đặt ra để các công thức như \[n! = n \cdot (n-1)!\] vẫn đúng khi \[n=1\], và quan trọng hơn là để công thức tổ hợp \[C_n^k\] hoạt động một cách nhất quán, ví dụ \[C_n^n = n!/(n!0!) = 1\].

• Làm sao để không bị nhầm lẫn giữa \[A_n^k\] và \[C_n^k\] trong phòng thi? Luôn tự hỏi: "Nếu mình đổi chỗ hai phần tử trong kết quả, mình có được một kết quả mới không?". Nếu CÓ -> Dùng Chỉnh hợp. Nếu KHÔNG -> Dùng Tổ hợp. Hãy tìm các "từ khóa" trong đề bài như đã liệt kê trong bảng so sánh.

• Bài toán vừa yêu cầu chọn, vừa yêu cầu xếp thì làm thế nào? Hãy chia bài toán thành các công đoạn nhỏ và sử dụng quy tắc nhân. Ví dụ: Chọn 3 người từ 10 và xếp vào 3 ghế. Công đoạn 1: Chọn 3 người (\[C_{10}^3\]). Công đoạn 2: Xếp 3 người đó vào ghế (\[3!\]). Kết quả: \[C_{10}^3 \cdot 3!\] (chính là \[A_{10}^3\]).

>> Học Toán online tại MonToan.com.vn

Kho bài tập tự luyện (có đáp án)

Cách tốt nhất để làm chủ "nghệ thuật đếm" là thực hành. Hãy thử sức với các bài tập đa dạng dưới đây, từ những tình huống cơ bản đến các bài toán đòi hỏi tư duy nhiều bước. Cố gắng tự giải trước khi xem lời giải chi tiết nhé!

---

Bài 1: Phân biệt Tổ hợp và Chỉnh hợp

Một lớp học có 12 học sinh ưu tú. a) Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự gồm 4 người? b) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 người để trao 4 giải thưởng khác nhau: Nhất, Nhì, Ba, và Khuyến khích?

• Lời giải:

  • a) Câu hỏi này chỉ yêu cầu chọn một nhóm 4 người, vai trò của 4 người này là như nhau, thứ tự không quan trọng. Do đó, ta dùng Tổ hợp. Số cách chọn là: \[C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\] cách.

  • b) Câu hỏi này yêu cầu chọn 4 người và trao các giải thưởng khác nhau. Việc An giải Nhất, Bình giải Nhì khác với Bình giải Nhất, An giải Nhì. Do đó, thứ tự rất quan trọng. Ta dùng Chỉnh hợp. Số cách chọn là: \[A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11,880\] cách.

---

Bài 2: Bài toán chọn từ nhiều nhóm (Quy tắc nhân)

Một đội ngũ y tế gồm 8 bác sĩ và 5 y tá. Cần thành lập một đoàn công tác gồm 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn nếu đoàn phải có đúng 2 bác sĩ và 2 y tá?

• Lời giải: Hành động này gồm hai công đoạn liên tiếp: chọn bác sĩ VÀ chọn y tá.

  • Công đoạn 1: Chọn 2 bác sĩ từ 8 bác sĩ. Vì vai trò của 2 bác sĩ này là như nhau, ta dùng tổ hợp: \[C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\] cách.

  • Công đoạn 2: Chọn 2 y tá từ 5 y tá: \[C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\] cách.

  • Theo quy tắc nhân, số cách thành lập đoàn công tác là: \[28 \cdot 10 = 280\] cách.

---

Bài 3: Bài toán có điều kiện "Ít nhất" (Quy tắc cộng)

Một tổ có 6 nam và 4 nữ. Cần chọn ra một nhóm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để nhóm có ít nhất 2 nữ?

• Lời giải: "Ít nhất 2 nữ" có nghĩa là có thể có 2 nữ HOẶC 3 nữ. Ta phải xét 2 trường hợp riêng biệt rồi cộng kết quả lại.

  • Trường hợp 1: Nhóm có đúng 2 nữ và 1 nam.

    • Chọn 2 nữ từ 4 nữ: \[C_4^2 = 6\] cách.

    • Chọn 1 nam từ 6 nam: \[C_6^1 = 6\] cách.

    • Số cách cho trường hợp 1: \[6 \cdot 6 = 36\] cách.

  • Trường hợp 2: Nhóm có đúng 3 nữ (và 0 nam).

    • Chọn 3 nữ từ 4 nữ: \[C_4^3 = 4\] cách.

    • Số cách cho trường hợp 2: \[4\] cách.

  • Theo quy tắc cộng, tổng số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là: \[36 + 4 = 40\] cách.

---

Bài 4: Bài toán dùng Phần bù

Một lớp có 15 nam và 10 nữ. Giáo viên cần chọn ra một đội văn nghệ gồm 8 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để đội văn nghệ không phải là một đội toàn nam?

• Lời giải: Việc đếm số cách chọn "không phải toàn nam" (tức là có ít nhất 1 nữ) sẽ rất phức tạp vì có nhiều trường hợp. Ta sẽ dùng phương pháp phần bù.

  • Bước 1: Tính tổng số cách chọn 8 người bất kỳ từ 25 học sinh (15 nam + 10 nữ). \[n(\Omega) = C_{25}^8 = 1,081,575\] cách.

  • Bước 2: Tính phần bù, tức là biến cố "chọn được đội văn nghệ toàn nam". Điều này có nghĩa là chọn 8 nam từ 15 nam: \[n(A) = C_{15}^8 = 6,435\] cách.

  • Bước 3: Lấy tổng số cách trừ đi số cách của phần bù. Số cách chọn để đội không toàn nam là: \[1,081,575 - 6,435 = 1,075,140\] cách.

---

Bài 5: Bài toán Hình học

Cho 12 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn. a) Có thể vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong các điểm đó? b) Có thể vẽ được bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 12 điểm đó?

• Lời giải: Vì các điểm nằm trên đường tròn nên không có 3 điểm nào thẳng hàng.

  • a) Một đoạn thẳng được xác định bằng cách chọn ra 2 điểm bất kỳ từ 12 điểm. Thứ tự chọn 2 điểm không quan trọng. Số đoạn thẳng là: \[C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66\] đoạn thẳng.

  • b) Một tam giác được xác định bằng cách chọn ra 3 điểm bất kỳ từ 12 điểm. Số tam giác là: \[C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\] tam giác.

---

Bài 6: Bài toán Nâng cao (Chia bài)

Từ một bộ bài tây 52 lá, có bao nhiêu cách rút ra 5 lá bài sao cho trong tay có đúng một đôi (ví dụ: 2 lá 7, và 3 lá bài khác có giá trị khác nhau và khác 7)?

• Lời giải: Đây là bài toán nhiều công đoạn, cần phân tích kỹ.

  • Công đoạn 1: Chọn giá trị cho đôi bài (ví dụ: chọn được đôi 7). Có 13 giá trị (từ 2 đến Át) để chọn. Số cách: \[C_{13}^1 = 13\].

  • Công đoạn 2: Với giá trị đã chọn, chọn 2 lá bài trong 4 lá có cùng giá trị đó. Số cách: \[C_4^2 = 6\].

  • Công đoạn 3: Chọn 3 lá bài còn lại. Ba lá này phải có giá trị khác nhau và khác với giá trị của đôi bài đã chọn ở công đoạn 1. Ta cần chọn 3 giá trị khác nhau từ 12 giá trị còn lại. Số cách: \[C_{12}^3 = 220\].

  • Công đoạn 4: Với mỗi giá trị trong 3 giá trị vừa chọn, ta chọn 1 lá bài trong 4 lá có cùng giá trị đó. Số cách: \[C_4^1 \cdot C_4^1 \cdot C_4^1 = 4^3 = 64\].

  • Theo quy tắc nhân, tổng số cách là: \[13 \cdot 6 \cdot 220 \cdot 64 = 1,098,240\] cách.