Giá trị tuyệt đối: Toàn tập Công thức, Tính chất & Cách giải mọi dạng bài tập từ A-Z

Giá trị tuyệt đối: Toàn tập Công thức, Tính chất & Cách giải mọi dạng bài tập từ A-Z

Chào mừng bạn đến với hướng dẫn toàn diện nhất về giá trị tuyệt đối – một trong những khái niệm nền tảng và quan trọng bậc nhất trong toán học. Dù bạn là một học sinh đang bắt đầu làm quen với ký hiệu \[|x|\], hay một người muốn hệ thống lại kiến thức để chinh phục các bài toán phức tạp, bài viết này sẽ là kim chỉ nam cho bạn. Chúng ta sẽ cùng nhau đi từ ý nghĩa trực quan nhất, khám phá các công thức và tính chất cốt lõi, đến việc làm chủ các phương pháp giải mọi dạng phương trình, bất phương trình và vẽ đồ thị liên quan. Hãy cùng bắt đầu hành trình giải mã "sức mạnh của khoảng cách" ngay bây giờ!

Học thêm: Toán 7.

PHẦN 1: NHẬP MÔN - KHÁM PHÁ Ý NGHĨA THỰC SỰ CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Để thực sự làm chủ một khái niệm, chúng ta cần hiểu được bản chất sâu xa của nó thay vì chỉ học thuộc một định nghĩa máy móc. Phần đầu tiên này sẽ giúp bạn xây dựng một hiểu biết trực quan và sâu sắc về giá trị tuyệt đối.

Giới thiệu: Giá trị tuyệt đối là gì? Hơn cả việc "bỏ dấu trừ"

Khi lần đầu tiên tiếp xúc với giá trị tuyệt đối, rất nhiều người trong chúng ta có một hiểu lầm phổ biến rằng: "giá trị tuyệt đối chỉ đơn giản là làm cho một số thành số dương" hay "chỉ cần bỏ dấu trừ đi là xong". Cách hiểu này tuy có vẻ đúng trong một vài trường hợp đơn giản nhưng lại hoàn toàn bỏ qua bản chất thực sự và ý nghĩa hình học sâu sắc của nó, dẫn đến nhiều sai lầm khi giải các bài toán phức tạp.

Khái niệm cốt lõi và trực quan nhất mà bạn cần nắm vững là: Giá trị tuyệt đối của một số là KHOẢNG CÁCH từ điểm biểu diễn số đó đến điểm 0 trên trục số.

Hãy hình dung một trục số.

• Khoảng cách từ điểm 5 đến điểm 0 là 5 đơn vị. Do đó, giá trị tuyệt đối của 5, ký hiệu là \[|5|\], bằng 5.

• Khoảng cách từ điểm –5 đến điểm 0 cũng là 5 đơn vị. Do đó, giá trị tuyệt đối của –5, ký hiệu là \[|-5|\], cũng bằng 5.

Chính vì bản chất của giá trị tuyệt đối là đo lường một khoảng cách, nên nó không bao giờ có thể là một số âm. Đây là tư duy nền tảng giúp bạn hiểu và giải quyết mọi vấn đề liên quan đến giá trị tuyệt đối một cách chính xác. Việc "bỏ dấu trừ" chỉ là một hệ quả của định nghĩa khoảng cách này mà thôi.

Lịch sử và sự ra đời của ký hiệu |x|

Trong một thời gian dài, các nhà toán học phải diễn đạt khái niệm này bằng lời, gây ra nhiều sự cồng kềnh. Mãi cho đến năm 1841, nhà toán học lỗi lạc người Đức Karl Weierstrass mới giới thiệu ký hiệu hai đường thẳng đứng \[|x|\] để biểu diễn cho giá trị tuyệt đối. Ký hiệu đơn giản, thanh lịch và trực quan này đã nhanh chóng được chấp nhận rộng rãi.

Việc chuẩn hóa ký hiệu đã mang lại sự tiện lợi và rõ ràng, cho phép các nhà toán học dễ dàng thao tác và phát triển các lý thuyết phức tạp hơn liên quan đến giải tích, số phức và không gian vector, nơi khái niệm "độ lớn" hay "khoảng cách" đóng vai trò trung tâm.

PHẦN 2: CÔNG THỨC, TÍNH CHẤT VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Phần này sẽ cung cấp các công cụ lý thuyết nền tảng, từ định nghĩa toán học chính xác, ý nghĩa hình học mở rộng cho đến các tính chất "vàng" giúp bạn giải toán nhanh và hiệu quả.

Định nghĩa Toán học chính xác của Giá trị tuyệt đối

Từ ý nghĩa khoảng cách, chúng ta có thể xây dựng một định nghĩa toán học chặt chẽ. Với một biểu thức bất kỳ \[A\], giá trị tuyệt đối của \[A\] được định nghĩa theo từng trường hợp (hay còn gọi là định nghĩa theo từng khoảng) như sau:

Định nghĩa Giá trị tuyệt đối: \[ |A| = \begin{cases} A & \text{nếu } A \ge 0 \ -A & \text{nếu } A < 0 \end{cases} \]

Cách định nghĩa này nói lên rằng:

• Nếu biểu thức \[A\] bên trong dấu giá trị tuyệt đối không âm (lớn hơn hoặc bằng 0), chúng ta giữ nguyên nó.

• Nếu biểu thức \[A\] bên trong dấu giá trị tuyệt đối là số âm, chúng ta phải đổi dấu nó (bằng cách nhân với -1) để kết quả cuối cùng trở thành một số dương.

Ví dụ:

• \[|\pi - 3|\]: Vì \[\pi \approx 3.14 > 3\], nên \[\pi - 3 > 0\]. Do đó, \[|\pi - 3| = \pi - 3\].

• \[|3 - \pi|\]: Vì \[3 < \pi\], nên \[3 - \pi < 0\]. Do đó, ta phải đổi dấu biểu thức: \[|3 - \pi| = -(3 - \pi) = -3 + \pi = \pi - 3\].

Ý nghĩa Hình học: Khoảng cách trên trục số

Hiểu ý nghĩa hình học của giá trị tuyệt đối là chìa khóa để giải các bài toán bất phương trình một cách trực quan.

• \[|a|\]: Như đã nói, đây là khoảng cách từ điểm a đến điểm 0.

• \[|a - b|\]: Đây là một khái niệm cực kỳ quan trọng, nó biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm a và b trên trục số. Ví dụ, \[|7 - 2| = |5| = 5\], cũng chính là khoảng cách giữa điểm 7 và điểm 2. Tương tự, \[|2 - 7| = |-5| = 5\].

Các tính chất "Vàng" của Giá trị tuyệt đối cần ghi nhớ

Dưới đây là các tính chất cơ bản nhưng vô cùng mạnh mẽ, thường xuyên được sử dụng để biến đổi và đơn giản hóa các bài toán.

• \[|A| \ge 0\] với mọi \[A\]. (Giá trị tuyệt đối không bao giờ âm).

• \[|A| = |-A|\]. (Khoảng cách từ \[A\] đến 0 bằng khoảng cách từ \[-A\] đến 0).

• \[|A \cdot B| = |A| \cdot |B|\]. (Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối).

• \[|\frac{A}{B}| = \frac{|A|}{|B|}\] (với \[B \neq 0\]). (Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương các giá trị tuyệt đối).

• \[|A|^2 = A^2\]: Đây là một công cụ cực mạnh để khử dấu giá trị tuyệt đối trong các bài toán phương trình, bất phương trình phức tạp, đặc biệt là khi bình phương hai vế.

• Bất đẳng thức tam giác:

  • \[|A+B| \le |A|+|B|\]. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \[A, B\] cùng dấu (\[A \cdot B \ge 0\]).

  • \[|A-B| \ge ||A|-|B||\].

PHẦN 3: "BẬC THẦY" GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Đây là phần thực chiến quan trọng nhất, nơi chúng ta sẽ học các phương pháp chuẩn để giải quyết từng dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối một cách hệ thống.

Nguyên tắc chung để "Phá dấu Giá trị tuyệt đối"

Nguyên tắc cốt lõi và duy nhất để giải quyết mọi bài toán chứa giá trị tuyệt đối là xét trường hợp dựa vào định nghĩa. Tức là, với mỗi biểu thức \[|A|\], chúng ta phải chia bài toán ra làm hai trường hợp:

1. Khi biểu thức bên trong không âm (\[A \ge 0\]), ta thay \[|A|\] bằng \[A\].

2. Khi biểu thức bên trong âm (\[A < 0\]), ta thay \[|A|\] bằng \[-A\].

Tất cả các phương pháp giải nhanh dưới đây đều được xây dựng dựa trên nguyên tắc này.

Dạng 1: Phương trình cơ bản \[|A| = B\]

Đây là dạng phương trình phổ biến nhất.

Phương pháp giải:

1. Đặt điều kiện: Vì vế trái \[|A| \ge 0\], để phương trình có nghiệm thì vế phải cũng phải không âm. Vậy điều kiện là \[B \ge 0\].

2. Phá dấu giá trị tuyệt đối: Với điều kiện \[B \ge 0\], phương trình \[|A|=B\] tương đương với: \[A = B\] hoặc \[A = -B\].

3. Kiểm tra và kết luận: Sau khi tìm được nghiệm x, phải đối chiếu lại với điều kiện \[B \ge 0\] để nhận hoặc loại nghiệm.

• Ví dụ chi tiết: Giải phương trình \[|2x-1| = x+2\].

  1. Đặt điều kiện: \[x+2 \ge 0 \iff x \ge -2\].

  2. Giải hai trường hợp:

     • Trường hợp 1: \[2x-1 = x+2 \iff x = 3\].

     • Trường hợp 2: \[2x-1 = -(x+2) \iff 2x-1 = -x-2 \iff 3x = -1 \iff x = -1/3\].

  3. Đối chiếu điều kiện:

     • \[x=3\] thỏa mãn \[x \ge -2\] (nhận).

     • \[x=-1/3\] thỏa mãn \[x \ge -2\] (nhận).

  4. Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \[S = \{3, -1/3\}\].

Dạng 2: Phương trình \[|A| = |B|\]

Dạng phương trình này có hai vế đều chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp 1 (Chia trường hợp): Phương trình tương đương với: \[A = B\] hoặc \[A = -B\]. Cách này đơn giản và không cần đặt điều kiện.

Phương pháp 2 (Bình phương hai vế): Vì cả hai vế đều không âm, ta có thể bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối. \[|A| = |B| \iff |A|^2 = |B|^2 \iff A^2 = B^2 \iff A^2 - B^2 = 0 \iff (A-B)(A+B) = 0\]. Cách này thường nhanh hơn vì đưa về giải phương trình tích.

• Ví dụ chi tiết: Giải phương trình \[|x+2| = |2x-5|\].

  • Cách 1 (Chia trường hợp):

    • \[x+2 = 2x-5 \iff -x = -7 \iff x=7\].

    • \[x+2 = -(2x-5) \iff x+2 = -2x+5 \iff 3x=3 \iff x=1\].

    • Tập nghiệm là \[S = \{1, 7\}\].

  • Cách 2 (Bình phương):

    • \[(x+2)^2 = (2x-5)^2\]

    • \[x^2+4x+4 = 4x^2-20x+25\]

    • \[3x^2 - 24x + 21 = 0\]

    • \[x^2 - 8x + 7 = 0\] (Chia cả hai vế cho 3)

    • Phương trình này có \[a+b+c = 1-8+7=0\], vậy có hai nghiệm là \[x_1=1\] và \[x_2=c/a=7\].

    • Tập nghiệm là \[S = \{1, 7\}\].

Dạng 3: Phương trình chứa nhiều dấu Giá trị tuyệt đối

Khi phương trình có dạng \[|A| + |B| = C\], phương pháp hiệu quả và tổng quát nhất là lập bảng xét dấu.

Phương pháp "Lập bảng xét dấu":

1. Tìm các điểm tới hạn: Tìm các giá trị của x làm cho mỗi biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối bằng 0.

2. Chia trục số: Các điểm tới hạn này sẽ chia trục số thành nhiều khoảng riêng biệt.

3. Lập bảng xét dấu: Lập một bảng để xác định dấu của từng biểu thức (A, B,...) trên mỗi khoảng.

4. Giải trên từng khoảng: Trên mỗi khoảng, ta phá dấu giá trị tuyệt đối dựa vào bảng dấu và giải phương trình thu được. Sau đó, phải kiểm tra xem nghiệm tìm được có thuộc khoảng đang xét hay không.

5. Kết hợp nghiệm: Tập nghiệm cuối cùng của phương trình là hợp của các nghiệm tìm được ở tất cả các khoảng.

• Ví dụ kinh điển: Giải phương trình \[|x-1| + |2x-6| = 5\].

  1. Điểm tới hạn: \[x-1=0 \implies x=1\]; \[2x-6=0 \implies x=3\].

  2. Chia trục số: Ba khoảng là \[(-\infty, 1)\], \[\[1, 3)\], và \[\[3, +\infty)\].

  3. Lập bảng xét dấu:

PHẦN 4: CHINH PHỤC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải bất phương trình cũng dựa trên các nguyên tắc tương tự như phương trình, nhưng cần chú ý đến việc giữ hay đổi chiều bất đẳng thức.

Dạng 1: Bất phương trình \[|A| < B\]

• Ý nghĩa hình học: "Khoảng cách từ A đến 0 nhỏ hơn B". Điều này có nghĩa là A bị "kẹp" giữa \[-B\] và \[B\].

• Phương pháp: \[|A| < B \iff -B < A < B\]. (Lưu ý, nếu là \[|A| \le B\] thì \[-B \le A \le B\]). Điều kiện tiềm ẩn là \[B>0\].

• Ví dụ chi tiết: Giải bất phương trình \[|3x-2| < 4\].

  • Tương đương với: \[-4 < 3x-2 < 4\].

  • Ta giải hệ hai bất phương trình:

    • \[-4 < 3x-2 \iff -2 < 3x \iff x > -2/3\].

    • \[3x-2 < 4 \iff 3x < 6 \iff x < 2\].

  • Kết hợp lại, ta được \[-2/3 < x < 2\].

  • Vậy tập nghiệm là \[S = (-2/3, 2)\].

Dạng 2: Bất phương trình \[|A| > B\]

• Ý nghĩa hình học: "Khoảng cách từ A đến 0 lớn hơn B". Điều này có nghĩa là A nằm ở "phía ngoài" của đoạn \[\[-B, B\]\].

• Phương pháp: \[|A| > B \iff A > B \text{ hoặc } A < -B\]. (Tương tự cho dấu \[\ge\]).

• Ví dụ chi tiết: Giải bất phương trình \[|x+1| \ge 3\].

  • Tương đương với hai trường hợp:

    • Trường hợp 1: \[x+1 \ge 3 \iff x \ge 2\].

    • Trường hợp 2: \[x+1 \le -3 \iff x \le -4\].

  • Kết hợp lại, tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai khoảng: \[S = (-\infty, -4\] \cup \[2, +\infty)\].

Dạng 3: Các bất phương trình phức tạp

Với các dạng có giá trị tuyệt đối ở cả hai vế, phương pháp bình phương là hiệu quả nhất.

• \[|A| < |B| \iff A^2 < B^2 \iff A^2 - B^2 < 0 \iff (A-B)(A+B) < 0\].

• \[|A| > |B| \iff A^2 > B^2 \iff A^2 - B^2 > 0 \iff (A-B)(A+B) > 0\]. Sau đó ta giải bất phương trình tích bằng cách lập bảng xét dấu.

• Ví dụ: Giải bất phương trình \[|x-2| > |2x+1|\].

  • \[|x-2| > |2x+1| \iff (x-2)^2 > (2x+1)^2\]

  • \[\iff (x-2)^2 - (2x+1)^2 > 0\]

  • \[\iff ((x-2) - (2x+1))((x-2) + (2x+1)) > 0\]

  • \[\iff (-x-3)(3x-1) > 0\]

  • Lập bảng xét dấu cho \[f(x) = (-x-3)(3x-1)\] với hai nghiệm là \[x=-3\] và \[x=1/3\].

  • Kết quả là \[-3 < x < 1/3\].

PHẦN 5: ĐỒ THỊ VÀ CÁC KHÁI NIỆM MỞ RỘNG

Đồ thị hàm số chứa dấu Giá trị tuyệt đối

Việc vẽ đồ thị các hàm số chứa giá trị tuyệt đối có thể được thực hiện dễ dàng từ đồ thị hàm gốc bằng các phép biến đổi.

Đồ thị hàm số \[y = |f(x)|\]

Đây là phép lấy giá trị tuyệt đối của toàn bộ hàm số. Vì \[|f(x)| \ge 0\], toàn bộ đồ thị sẽ nằm phía trên trục Ox.

Cách vẽ:

1. Vẽ đồ thị hàm số \[y = f(x)\].

2. Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục Ox (nơi \[f(x) \ge 0\]).

3. Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox qua chính trục Ox.

Đồ thị hàm số \[y = f(|x|)\]

Đây là phép lấy giá trị tuyệt đối của biến số \[x\]. Vì \[f(|-x|) = f(x)\], đây là một hàm số chẵn và đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy.

Cách vẽ:

1. Vẽ đồ thị hàm số \[y = f(x)\] cho phần \[x \ge 0\].

2. Xóa bỏ toàn bộ phần đồ thị ứng với \[x < 0\].

3. Lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ ở Bước 1 qua trục tung Oy.

Mở rộng khái niệm Giá trị tuyệt đối

Khái niệm "khoảng cách" hay "độ lớn" không chỉ dừng lại trên trục số thực.

Mô-đun của Số phức

Trong mặt phẳng phức, mỗi số phức \[z = a+bi\] được biểu diễn bởi một điểm \[M(a,b)\]. Mô-đun của \[z\], ký hiệu \[|z|\], chính là khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O.

Công thức: \[|z| = |a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\] Đây chính là sự mở rộng tự nhiên của giá trị tuyệt đối cho không gian 2 chiều.

Chuẩn của Vector (Vector Norm)

Trong không gian nhiều chiều (\[\mathbb{R}^n\]), giá trị tuyệt đối được tổng quát hóa thành khái niệm "chuẩn của vector" (\[||\vec{v}||\]), dùng để đo "độ lớn" hay "chiều dài" của một vector. Chuẩn Euclid (chuẩn 2) là phổ biến nhất và có công thức tương tự như mô-đun số phức.

PHẦN 6: ỨNG DỤNG THỰC TẾ VÀ TỔNG KẾT

Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong đời sống và khoa học

• Đo lường sai số: Trong mọi phép đo vật lý, kỹ thuật, sai số tuyệt đối (\[|\text{Giá trị đúng} - \text{Giá trị đo}|\]) là một đại lượng quan trọng để đánh giá độ chính xác của phép đo.

• Thống kê: Sai lệch tuyệt đối trung bình (Mean Absolute Deviation - MAD) là một cách đo độ phân tán của một tập dữ liệu, cho biết trung bình các giá trị cách xa giá trị trung bình bao nhiêu.

• Vật lý: Giá trị tuyệt đối giúp phân biệt các đại lượng vô hướng và có hướng. Tốc độ là giá trị tuyệt đối (độ lớn) của vận tốc.

• Lập trình: Trong các thuật toán đồ họa hoặc robot, giá trị tuyệt đối được dùng để tính khoảng cách giữa các đối tượng, ví dụ như khoảng cách Manhattan \[|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\].

>> Học toán tại MonToan.com.vn

Tổng kết và Lời khuyên học tập

• Tư duy cốt lõi: Luôn ghi nhớ, giá trị tuyệt đối chính là khoảng cách. Tư duy này sẽ giúp bạn hiểu sâu sắc các quy tắc giải phương trình và bất phương trình.

• Tóm tắt phương pháp:

  • \[|A|=B \iff B \ge 0 \text{ và } (A=B \text{ hoặc } A=-B)\]

  • \[|A|=|B| \iff A=B \text{ hoặc } A=-B\]

  • \(|A| < B \iff -B < A < B\)

  • \[|A|>B \iff A>B \text{ hoặc } A<-B\]

  • Khi phức tạp, hãy dùng phương pháp lập bảng xét dấu.

Câu hỏi Thường gặp (FAQ)

• Giá trị tuyệt đối và trị tuyệt đối có khác nhau không? Không. Đây chỉ là hai cách gọi khác nhau cho cùng một khái niệm toán học. "Giá trị tuyệt đối" là thuật ngữ đầy đủ và chuẩn xác hơn.

• Khi nào thì bình phương hai vế được? Bạn có thể bình phương hai vế của một phương trình hoặc bất phương trình một cách an toàn khi và chỉ khi cả hai vế đều không âm. Đây là lý do tại sao phương pháp này rất hiệu quả cho các dạng \[|A|=|B|\] hoặc \[|A|>|B|\].

• Làm sao để không bị sót trường hợp khi lập bảng xét dấu? Hãy đảm bảo bạn tìm đủ tất cả các điểm tới hạn (nghiệm của các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối). Nếu có n điểm tới hạn, chúng sẽ chia trục số thành n+1 khoảng. Hãy xét đầy đủ tất cả các khoảng này.

Kho bài tập tự luyện (có đáp án)

Thực hành là cách tốt nhất để biến kiến thức lý thuyết thành kỹ năng thực chiến. Hãy thử sức với các bài tập đa dạng dưới đây, bao gồm tất cả các dạng toán quan trọng đã được trình bày. Cố gắng tự giải trước khi xem lời giải chi tiết nhé!

Bài 1: Phương trình cơ bản \[|A|=k\]

Giải phương trình: \[|2x + 5| = 3\]

• Lời giải: Phương trình tương đương với hai trường hợp:

  • Trường hợp 1: \[2x + 5 = 3 \iff 2x = -2 \iff x = -1\].

  • Trường hợp 2: \[2x + 5 = -3 \iff 2x = -8 \iff x = -4\]. Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \{-1, -4\}\].

Bài 2: Phương trình dạng \[|A| = B\]

Giải phương trình: \[|3x - 1| = 2x + 3\]

• Lời giải: Bước 1: Đặt điều kiện. \[2x + 3 \ge 0 \iff 2x \ge -3 \iff x \ge -\frac{3}{2}\] Bước 2: Giải hai trường hợp.

  • Trường hợp 1: \[3x - 1 = 2x + 3 \iff x = 4\].

  • Trường hợp 2: \[3x - 1 = -(2x + 3) \iff 3x - 1 = -2x - 3 \iff 5x = -2 \iff x = -\frac{2}{5}\].

• Bước 3: Đối chiếu điều kiện.

  • \[x = 4\] thỏa mãn \[x \ge -3/2\] (nhận).

  • \[x = -2/5\] thỏa mãn \[x \ge -3/2\] (nhận).

• Bước 4: Kết luận. Tập nghiệm của phương trình là \[S = \{4, -2/5\}\].

Bài 3: Phương trình dạng \[|A| = |B|\]

Giải phương trình: \[|x - 4| = |2x + 1|\]

• Lời giải: Sử dụng phương pháp bình phương hai vế (vì cả hai vế đều không âm): \[(x - 4)^2 = (2x + 1)^2\] \[x^2 - 8x + 16 = 4x^2 + 4x + 1\] \[3x^2 + 12x - 15 = 0\] \[x^2 + 4x - 5 = 0\] (Chia cả hai vế cho 3) Phương trình này có dạng \[a+b+c=1+4-5=0\], nên có hai nghiệm là \[x_1 = 1\] và \[x_2 = c/a = -5\]. Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \{1, -5\}\].

Bài 4: Bất phương trình dạng \[|A| \le B\]

Giải bất phương trình: \[|2x - 3| \le 5\]

• Lời giải: Bất phương trình tương đương với: \[-5 \le 2x - 3 \le 5\] Ta cộng 3 vào cả ba vế: \[-5 + 3 \le 2x \le 5 + 3\] \[-2 \le 2x \le 8\] Chia cả ba vế cho 2 (là số dương nên không đổi chiều): \[-1 \le x \le 2\]. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \[-1, 2\]\].

Bài 5: Bất phương trình dạng \[|A| > B\]

Giải bất phương trình: \[|4x + 1| > 7\]

• Lời giải: Bất phương trình tương đương với hai trường hợp:

  • Trường hợp 1: \[4x + 1 > 7 \iff 4x > 6 \iff x > \frac{3}{2}\].

  • Trường hợp 2: \[4x + 1 < -7 \iff 4x < -8 \iff x < -2\]. Kết hợp hai trường hợp, tập nghiệm của bất phương trình là \[S = (-\infty, -2) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)\].

Bài 6: Phương trình phức tạp (Lập bảng xét dấu)

Giải phương trình: \[|x + 2| - |x - 3| = 5\]

• Lời giải: Các điểm tới hạn: \[x+2=0 \implies x=-2\]; \[x-3=0 \implies x=3\]. Ta xét 3 khoảng:

  • Khoảng 1: \[x < -2\] Phương trình trở thành: \[-(x+2) - (-(x-3)) = 5 \iff -x-2+x-3=5 \iff -5=5\] (Vô lý). Phương trình vô nghiệm trong khoảng này.

  • Khoảng 2: \[-2 \le x < 3\] Phương trình trở thành: \[(x+2) - (-(x-3)) = 5 \iff x+2+x-3=5 \iff 2x-1=5 \iff 2x=6 \iff x=3\]. Giá trị \[x=3\] không thuộc khoảng đang xét (\[-2 \le x < 3\]). Loại.

  • Khoảng 3: \[x \ge 3\] Phương trình trở thành: \[(x+2) - (x-3) = 5 \iff x+2-x+3=5 \iff 5=5\] (Luôn đúng). Điều này có nghĩa là mọi giá trị x trong khoảng này đều là nghiệm. Kết hợp các trường hợp, nghiệm của phương trình là tất cả các số \[x\] sao cho \[x \ge 3\]. Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \[3, +\infty)\].

Bài 7: Bất phương trình phức tạp (Bình phương)

Giải bất phương trình: \[|x + 3| \ge |2x - 3|\]

• Lời giải: Vì cả hai vế không âm, ta bình phương hai vế: \[(x + 3)^2 \ge (2x - 3)^2\] \[(x+3)^2 - (2x-3)^2 \ge 0\] Áp dụng hằng đẳng thức \[A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\]: \[((x+3) - (2x-3))((x+3) + (2x-3)) \ge 0\] \[(-x + 6)(3x) \ge 0\] Lập bảng xét dấu cho vế trái với hai nghiệm là \[x=0\] và \[x=6\]. Ta thấy \[f(x) \ge 0\] khi x nằm trong khoảng giữa hai nghiệm. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \[0, 6\]\].