Công thức Hoán vị (P_n = n!): Toàn tập về "Nghệ thuật Sắp xếp" từ A-Z

Công thức Hoán vị (P_n = n!): Toàn tập về "Nghệ thuật Sắp xếp" từ A-Z

Chào mừng bạn đến với hướng dẫn toàn diện nhất về công thức hoán vị – nền tảng của mọi bài toán sắp xếp. Trong cuộc sống, chúng ta thường xuyên đối mặt với nhu cầu sắp đặt mọi thứ theo một trật tự nhất định: từ việc xếp sách lên kệ, xếp hàng chờ đợi, đến việc tạo một mật khẩu an toàn. Hoán vị chính là công cụ toán học mạnh mẽ giúp chúng ta đếm một cách chính xác số cách thực hiện những công việc đó. Bài viết này sẽ là một hành trình sâu sắc, giúp bạn không chỉ học thuộc công thức, mà còn thấu hiểu bản chất của "nghệ thuật sắp xếp", phân biệt rõ ràng với các khái niệm khác và chinh phục mọi dạng bài tập liên quan.

Học Thêm: Toán 10.

PHẦN 1: NHẬP MÔN - KHÁM PHÁ "NGHỆ THUẬT SẮP XẾP"

Để bắt đầu, chúng ta sẽ tiếp cận khái niệm hoán vị một cách trực quan nhất, thông qua những ví dụ đời thường và khám phá lịch sử thú vị của nó. Điều này sẽ giúp bạn hiểu được tại sao các bài toán sắp xếp lại là một trong những vấn đề cơ bản và quan trọng nhất của toán học tổ hợp.

Giới thiệu: Hoán vị là gì và tại sao nó là nền tảng của mọi sự sắp xếp?

Hãy bắt đầu với một ví dụ cực kỳ đơn giản mà ai cũng có thể hình dung. Giả sử bạn có 3 quyển sách khác nhau trên bàn: một cuốn Toán, một cuốn Lý, và một cuốn Hóa. Bây giờ, bạn muốn xếp chúng lên một kệ sách theo một hàng ngang. Câu hỏi đặt ra là: Có tất cả bao nhiêu cách để xếp 3 quyển sách này?

Chúng ta hoàn toàn có thể liệt kê tất cả các khả năng một cách trực quan:

1. (Toán, Lý, Hóa)

2. (Toán, Hóa, Lý)

3. (Lý, Toán, Hóa)

4. (Lý, Hóa, Toán)

5. (Hóa, Toán, Lý)

6. (Hóa, Lý, Toán) Như vậy, có tổng cộng 6 cách sắp xếp khác nhau. Mỗi một cách sắp xếp có thứ tự như trên được gọi là một hoán vị của 3 quyển sách. Hoán vị, theo định nghĩa đơn giản nhất, chính là công cụ toán học dùng để đếm số cách sắp xếp lại thứ tự cho một tập hợp gồm các phần tử phân biệt. Nó là câu trả lời cho mọi câu hỏi có dạng "Có bao nhiêu cách sắp xếp...?", là viên gạch nền tảng cho mọi bài toán liên quan đến trật tự.

Lịch sử ngắn gọn của các bài toán hoán vị

Nhu cầu đếm số cách sắp xếp đã xuất hiện từ rất sớm trong lịch sử phát triển tư duy của con người. Một trong những ghi nhận sớm nhất về các bài toán hoán vị đến từ Ấn Độ cổ đại, vào khoảng năm 1150, khi nhà toán học Bhaskara II đã tính toán số hoán vị trong tác phẩm "Lilavati" của mình. Ông đã đưa ra các quy tắc để tính số cách sắp xếp các đối tượng khác nhau.

Một ứng dụng thú vị khác của hoán vị đến từ nước Anh trong lĩnh vực Campanology - nghệ thuật rung chuông nhà thờ. Những người rung chuông cần biết có bao nhiêu giai điệu khác nhau (hoán vị của các nốt nhạc) có thể được tạo ra từ một bộ chuông nhất định. Điều này dẫn đến việc nghiên cứu các hoán vị một cách có hệ thống để có thể chơi tất cả các giai điệu mà không bị lặp lại.

Trong lĩnh vực mật mã học sơ khai, hoán vị là một trong những kỹ thuật cơ bản nhất. Mật mã hoán vị hoạt động bằng cách thay đổi thứ tự của các chữ cái trong một thông điệp để làm cho nó trở nên khó đọc đối với những người không có khóa giải. Việc phân tích và phá các mật mã này đòi hỏi một sự hiểu biết sâu sắc về các quy tắc hoán vị và tần suất xuất hiện của các chữ cái.

PHẦN 2: CÔNG THỨC CỐT LÕI VÀ VỊ TRÍ TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

Phần này sẽ đi sâu vào công thức toán học của hoán vị và, quan trọng hơn cả, giúp bạn giải quyết "nỗi đau" lớn nhất của học sinh: phân biệt rõ ràng khi nào nên dùng Hoán vị, Chỉnh hợp, hay Tổ hợp.

Định nghĩa và Công thức Hoán vị

Để xây dựng công thức hoán vị, chúng ta cần làm quen với một khái niệm toán học không thể thiếu: giai thừa.

"Trái tim" của Hoán vị: Giai thừa (Factorial - \[n!\])

Giai thừa là một phép toán áp dụng cho các số nguyên không âm. Giai thừa của một số nguyên dương \[n\], ký hiệu là \[n!\] (đọc là "n giai thừa"), là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 cho đến chính \[n\].

Công thức: \[n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1\]

Ví dụ: \[3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\] \[5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\]

Quy ước đặc biệt: \[0! = 1\]. Quy ước này có vẻ lạ, nhưng nó là một quy ước toán học cần thiết để đảm bảo tính nhất quán cho nhiều công thức phức tạp hơn, bao gồm cả công thức tổ hợp và các chuỗi lũy thừa.

Phát biểu Công thức Hoán vị (Permutation - \[P_n\])

Bây giờ, chúng ta có thể định nghĩa và đưa ra công thức hoán vị một cách chính xác.

Định nghĩa: Một hoán vị của \[n\] phần tử phân biệt là một cách sắp xếp có thứ tự \[n\] phần tử đó.

Số các hoán vị của \[n\] phần tử, ký hiệu là \[P_n\], được tính bằng công thức sau:

Công thức Hoán vị: \[ P_n = n! \]

Quay lại ví dụ 3 quyển sách, số cách xếp là \[P_3 = 3! = 6\], hoàn toàn khớp với kết quả chúng ta đã liệt kê.

Sơ đồ quyết định "Vàng": Khi nào dùng Hoán vị, Chỉnh hợp, hay Tổ hợp?

Đây là phần nội dung cực kỳ quan trọng, là kim chỉ nam giúp bạn lựa chọn đúng công cụ cho mọi bài toán đếm. Hãy luôn tự hỏi mình hai câu hỏi sau theo đúng thứ tự.

Câu hỏi 1: Hành động có quan tâm đến THỨ TỰ không?

• KHÔNG: Nếu thứ tự không quan trọng, việc chọn {A, B} giống hệt như {B, A}. Đây là bài toán chọn nhóm.

  • ==> Dùng TỔ HỢP (\[C_n^k\]). Ví dụ: Chọn 3 người từ 10 người để lập một đội tình nguyện.

• CÓ: Nếu thứ tự là quan trọng, việc An giải Nhất, Bình giải Nhì khác với Bình giải Nhất, An giải Nhì. Đây là bài toán sắp xếp.

  • ==> Đi tiếp Câu hỏi 2.

Câu hỏi 2: Hành động có sử dụng TẤT CẢ các phần tử không?

• CÓ: Nếu bạn đang sắp xếp thứ tự cho tất cả \[n\] phần tử mà bạn có.

  • ==> Dùng HOÁN VỊ (\[P_n\]). Ví dụ: Xếp 5 người vào 5 cái ghế.

• KHÔNG: Nếu bạn chỉ chọn ra \[k\] phần tử từ \[n\] phần tử ban đầu để sắp xếp.

  • ==> Dùng CHỈNH HỢP (\[A_n^k\]). Ví dụ: Chọn 3 người từ 10 người để trao giải Nhất, Nhì, Ba.

Phân tích sâu mối quan hệ Hoán vị và Chỉnh hợp

Từ sơ đồ quyết định trên, bạn có thể thấy một mối liên hệ logic rất chặt chẽ giữa Hoán vị và Chỉnh hợp. Nhiều học sinh coi đây là 3 công thức rời rạc, nhưng thực chất, chúng liên kết với nhau một cách tự nhiên.

Hoán vị là trường hợp đặc biệt của Chỉnh hợp khi \[k=n\].

Hãy cùng chứng minh điều này. Công thức của chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử là \[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]. Khi ta chọn ra tất cả \[n\] phần tử để sắp xếp, tức là \[k=n\], công thức chỉnh hợp trở thành: \[ A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} \] Sử dụng quy ước \[0!=1\], ta có: \[ A_n^n = \frac{n!}{1} = n! = P_n \] Điều này cho thấy, về bản chất, một hoán vị của \[n\] phần tử chỉ là một chỉnh hợp chập \[n\] của \[n\] phần tử. Hiểu được mối liên kết này giúp bạn có một cái nhìn tổng thể và sâu sắc hơn về các công cụ đếm, thay vì phải học thuộc lòng một cách máy móc.

PHẦN 3: CHINH PHỤC CÁC DẠNG BÀI TẬP HOÁN VỊ TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO

Đây là phần thực hành, nơi chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức đã học để giải quyết những dạng bài toán hoán vị kinh điển và các biến thể có điều kiện của chúng.

Các dạng bài tập Hoán vị kinh điển

Dạng 1: Bài toán sắp xếp người và vật vào các vị trí cố định

Đây là dạng bài cơ bản nhất, áp dụng trực tiếp công thức \[P_n = n!\].

• Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh vào một dãy ghế có 8 chỗ ngồi?

  • Mỗi cách xếp 8 học sinh vào 8 vị trí là một hoán vị của 8 phần tử.

  • Số cách xếp là: \[P_8 = 8! = 40,320\] cách.

• Ví dụ 2: Từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?

  • Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập hợp trên là một sự sắp xếp thứ tự của 5 chữ số đó.

  • Số các số có thể lập được là: \[P_5 = 5! = 120\] số.

Dạng 2: Bài toán sắp xếp có điều kiện (Các phần tử ở cạnh nhau)

Đây là dạng toán rất phổ biến, đòi hỏi một kỹ thuật tư duy đặc biệt gọi là phương pháp "Buộc" hay "Coi là một phần tử".

Phương pháp "Buộc" (Boxing/Super-element):

1. Coi các phần tử cần phải ở cạnh nhau như một "khối" hay một "siêu phần tử" duy nhất.

2. Sắp xếp "siêu phần tử" này cùng với các phần tử còn lại.

3. Hoán vị các phần tử bên trong chính "siêu phần tử" đó.

4. Dùng quy tắc nhân để có kết quả cuối cùng.

• Ví dụ: Có 5 quyển sách Toán khác nhau và 4 quyển sách Lý khác nhau. Xếp tất cả lên một kệ dài sao cho các quyển sách cùng môn phải ở cạnh nhau.

  • Bước 1: "Buộc" các sách cùng môn thành khối.

    • Coi 5 quyển Toán là một khối \[T\].

    • Coi 4 quyển Lý là một khối \[L\].

  • Bước 2: Sắp xếp 2 khối \[T\] và \[L\].

    • Có \[2! = 2\] cách sắp xếp hai khối này (TL hoặc LT).

  • Bước 3: Hoán vị các sách bên trong mỗi khối.

    • Trong khối \[T\], có \[5! = 120\] cách sắp xếp 5 quyển sách Toán.

    • Trong khối \[L\], có \[4! = 24\] cách sắp xếp 4 quyển sách Lý.

  • Bước 4: Áp dụng quy tắc nhân.

    • Tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \[2! \times 5! \times 4! = 2 \times 120 \times 24 = 5,760\] cách.

Dạng 3: Bài toán sắp xếp có điều kiện (Các phần tử KHÔNG ở cạnh nhau)

Để giải quyết dạng toán này, ta sử dụng một phương pháp đối lập với phương pháp "buộc", gọi là phương pháp "Vách ngăn".

Phương pháp "Vách ngăn" (Gap Method):

1. Sắp xếp các phần tử không có điều kiện trước. Việc này sẽ tạo ra các "khoảng trống" (vách ngăn) xen kẽ giữa chúng và ở hai đầu.

2. Chọn các khoảng trống phù hợp từ các khoảng trống đã tạo ra để xếp các phần tử có điều kiện vào.

3. Dùng quy tắc nhân để có kết quả cuối cùng.

• Ví dụ: Có 6 nam sinh và 4 nữ sinh. Xếp thành một hàng ngang sao cho không có hai nữ sinh nào đứng cạnh nhau.

  • Bước 1: Xếp các nam sinh trước.

    • Xếp 6 nam sinh vào hàng có \[6! = 720\] cách.

    • Việc xếp 6 nam sinh này sẽ tạo ra 7 vị trí trống (khe) có thể đặt nữ sinh vào: \[\text{_ N1 _ N2 _ N3 _ N4 _ N5 _ N6 _}\]

  • Bước 2: Xếp 4 nữ sinh vào 7 khe trống.

    • Để không có hai nữ sinh nào cạnh nhau, ta cần chọn 4 trong 7 khe trống này và xếp 4 bạn nữ vào.

    • Mỗi cách chọn và xếp là một chỉnh hợp chập 4 của 7. Số cách là: \[A_7^4 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840\] cách.

  • Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân.

    • Tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \[6! \times A_7^4 = 720 \times 840 = 604,800\] cách.

Dạng 4: Bài toán sắp xếp có điều kiện (Các phần tử đứng xen kẽ)

Dạng toán này thường xảy ra khi số lượng hai nhóm phần tử bằng nhau hoặc chênh lệch 1.

• Ví dụ: Có 5 nam và 5 nữ. Xếp thành một hàng ngang sao cho nam nữ đứng xen kẽ.

  • Phân tích: Để nam nữ đứng xen kẽ, hàng phải có dạng N-n-N-n... hoặc n-N-n-N... (N: Nam, n: Nữ). Ta có hai trường hợp riêng biệt.

  • Trường hợp 1: Nam đứng ở vị trí lẻ, nữ đứng ở vị trí chẵn.

    • Xếp 5 nam vào 5 vị trí lẻ: có \[5!\] cách.

    • Xếp 5 nữ vào 5 vị trí chẵn: có \[5!\] cách.

    • Số cách cho TH1: \[5! \times 5! = 120 \times 120 = 14,400\] cách.

  • Trường hợp 2: Nữ đứng ở vị trí lẻ, nam đứng ở vị trí chẵn.

    • Tương tự, có \[5! \times 5! = 14,400\] cách.

  • Áp dụng quy tắc cộng:

    • Tổng số cách xếp xen kẽ là: \[14,400 + 14,400 = 28,800\] cách. (Hoặc viết gọn là \[2 \times (5!)^2\]).

PHẦN 4: MỞ RỘNG KHÁI NIỆM HOÁN VỊ

Trong thực tế, không phải lúc nào các phần tử cũng phân biệt hoàn toàn, hoặc cách sắp xếp không phải lúc nào cũng trên một hàng thẳng. Phần này sẽ giới thiệu các biến thể phức tạp hơn của hoán vị.

Hoán vị lặp (Permutations with Repetition): Khi các phần tử bị trùng lặp

• Đặt vấn đề: Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái trong từ "GOOGLE"? Nếu ta coi 6 chữ cái này là phân biệt (G1, O1, O2, G2, L, E), sẽ có \[6!\] cách. Nhưng thực tế G1O1O2G2LE và G2O1O2G1LE đều đọc là GOOGLE. Việc hoán vị 2 chữ G cho nhau, hay 2 chữ O cho nhau không tạo ra từ mới. Ta đã đếm dư.

• Công thức tổng quát: Số hoán vị của \[n\] phần tử, trong đó có \[n_1\] phần tử giống nhau thuộc loại 1, \[n_2\] phần tử giống nhau thuộc loại 2, ..., \[n_k\] phần tử giống nhau thuộc loại k là: \[ \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} \] Ý tưởng là ta lấy tổng số hoán vị \[n!\] rồi chia cho số hoán vị của các phần tử lặp lại để loại bỏ sự trùng lặp.

• Ví dụ: Giải bài toán sắp xếp chữ cái trong từ "MISSISSIPPI".

  • Từ này có 11 chữ cái.

  • Trong đó có: 4 chữ 'I', 4 chữ 'S', 2 chữ 'P', 1 chữ 'M'.

  • Số cách sắp xếp là: \[\frac{11!}{4! \cdot 4! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{39,916,800}{24 \cdot 24 \cdot 2 \cdot 1} = 34,650\] cách.

Hoán vị vòng quanh (Circular Permutations): Khi sắp xếp quanh một bàn tròn

• Đặt vấn đề: Xếp 5 người A, B, C, D, E quanh một bàn tròn. Cách xếp A-B-C-D-E có giống với cách xếp B-C-D-E-A không? Có, bởi vì trong một vòng tròn, vị trí của mỗi người chỉ có ý nghĩa tương đối so với những người khác. Cách B-C-D-E-A chỉ đơn giản là xoay cách đầu tiên đi một vị trí.

• Giải thích: Vì không có vị trí "đầu tiên" hay "cuối cùng" trong một vòng tròn, chúng ta phải "phá vỡ" tính đối xứng này bằng cách cố định vị trí của một người. Sau khi một người đã ngồi xuống, \[n-1\] người còn lại sẽ được sắp xếp vào \[n-1\] vị trí còn lại, và bài toán trở thành hoán vị trên một hàng.

Công thức hoán vị vòng quanh: Số hoán vị vòng quanh của \[n\] phần tử là: \[ Q_n = (n-1)! \]

• Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng quanh một bàn tròn sao cho mỗi cặp vợ chồng luôn ngồi cạnh nhau?

  • Bước 1 (Buộc): Coi mỗi cặp vợ chồng là một "siêu phần tử". Ta có 6 khối như vậy.

  • Bước 2 (Hoán vị vòng quanh các khối): Xếp 6 khối này quanh bàn tròn. Số cách là \[(6-1)! = 5! = 120\] cách.

  • Bước 3 (Hoán vị bên trong các khối): Mỗi cặp vợ chồng có thể đổi chỗ cho nhau (chồng trái vợ phải, hoặc ngược lại). Có \[2!\] cách cho mỗi cặp. Vì có 6 cặp, số cách hoán vị bên trong là \[2! \times 2! \times 2! \times 2! \times 2! \times 2! = 2^6 = 64\] cách.

  • Bước 4 (Quy tắc nhân): \[5! \times 2^6 = 120 \times 64 = 7,680\] cách.

Giới thiệu nâng cao: Mất thứ tự (Derangements)

Đây là một khái niệm nâng cao và rất thú vị trong tổ hợp. Một "mất thứ tự" là một hoán vị của các phần tử trong một tập hợp sao cho không có phần tử nào xuất hiện ở vị trí ban đầu của nó.

• Bài toán kinh điển "bài toán trả mũ": Có \[n\] vị khách gửi mũ tại một bữa tiệc. Lúc ra về, người giữ mũ trả lại mũ một cách ngẫu nhiên. Có bao nhiêu cách trả mũ sao cho không ai nhận lại đúng mũ của mình?

• Số cách này được ký hiệu là \[!n\] hoặc \[D_n\]. Công thức tính khá phức tạp và thường dùng phương pháp truy hồi hoặc nguyên lý bao hàm và loại trừ. Ví dụ: \[D_3 = 2\], \[D_4 = 9\]. Việc giới thiệu khái niệm này cho thấy sự phong phú và chiều sâu của các bài toán sắp xếp.

>> Học Toán tại MonToan.com.vn

PHẦN 5: ỨNG DỤNG VÀ TỔNG KẾT

Ứng dụng của Hoán vị trong đời sống và công nghệ

• Khoa học máy tính: Các thuật toán sắp xếp (sorting algorithms) như Bubble Sort, Quick Sort về bản chất là các quy trình để đưa một hoán vị lộn xộn về một hoán vị có thứ tự. Việc sinh hoán vị là cần thiết để duyệt qua mọi khả năng trong nhiều bài toán.

• Sinh học: Trình tự của các nucleotide trong một chuỗi DNA hay các amino acid trong một protein là một hoán vị. Việc phân tích các hoán vị này giúp các nhà khoa học hiểu về mã di truyền và chức năng sinh học.

• Logistics: "Bài toán người du lịch" (Traveling Salesman Problem) là một trong những bài toán tối ưu hóa nổi tiếng nhất, yêu cầu tìm một hoán vị (lộ trình) của các thành phố sao cho tổng quãng đường đi là ngắn nhất.

• Giải trí: Số cách xáo trộn một bộ bài 52 lá là \[52!\] - một con số khổng lồ. Số trạng thái có thể có của một khối Rubik 3x3 cũng được tính toán dựa trên các quy tắc hoán vị phức tạp.

Tổng kết và Câu hỏi Thường gặp (FAQ)

• Sơ đồ quyết định: Luôn bắt đầu bằng câu hỏi về THỨ TỰ. Nếu có, hãy hỏi tiếp về việc có dùng TẤT CẢ phần tử hay không để quyết định giữa Hoán vị và Chỉnh hợp.

• FAQ:

  • Điểm khác biệt cốt lõi giữa Hoán vị (\[P_n\]) và Chỉnh hợp (\[A_n^k\]) là gì? Hoán vị là sắp xếp tất cả \[n\] phần tử bạn có. Chỉnh hợp là chọn ra \[k\] phần tử từ \[n\] phần tử rồi mới sắp xếp \[k\] phần tử đó. Hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp khi \[k=n\].

  • Tại sao hoán vị vòng quanh lại là \[(n-1)!\]? Vì trong một vòng tròn, không có điểm bắt đầu hay kết thúc cố định. Ta phải "ghim" một phần tử lại để làm mốc, sau đó sắp xếp \[n-1\] phần tử còn lại như trên một hàng thẳng.

  • Khi nào một bài toán sắp xếp dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân? Dùng quy tắc nhân khi hành động được chia thành các công đoạn liên tiếp (làm bước 1 VÀ làm bước 2). Dùng quy tắc cộng khi hành động có nhiều phương án/trường hợp riêng biệt (làm cách 1 HOẶC làm cách 2).

Kho bài tập tự luyện (có đáp án)

Thực hành là cách tốt nhất để làm chủ kiến thức. Hãy thử sức với các bài tập dưới đây, bao gồm các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao, để kiểm tra và củng cố sự hiểu biết của bạn về hoán vị.

---

Bài 1: Hoán vị cơ bản

Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người khách vào một dãy ghế có 6 chỗ ngồi?

• Lời giải: Mỗi cách sắp xếp 6 người vào 6 vị trí là một hoán vị của 6 phần tử. Số cách sắp xếp là: \[P_6 = 6! = 720\] cách.

---

Bài 2: Hoán vị có điều kiện (Các phần tử ở cạnh nhau)

Xếp 3 bạn nam và 2 bạn nữ thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp sao cho 2 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau?

• Lời giải: Ta sử dụng phương pháp "Buộc" (coi các phần tử cần ở cạnh nhau là một khối).

  • Bước 1: "Buộc" 2 bạn nữ lại thành một khối, ta tạm gọi là khối \[G\]. Bây giờ, ta cần sắp xếp 3 bạn nam và khối \[G\]. Có tất cả 4 "phần tử".

  • Bước 2: Số cách sắp xếp 4 "phần tử" này là một hoán vị của 4: \[4! = 24\] cách.

  • Bước 3: Bên trong khối \[G\], 2 bạn nữ có thể đổi chỗ cho nhau. Số cách hoán vị bên trong khối là: \[2! = 2\] cách.

  • Bước 4: Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \[4! \times 2! = 24 \times 2 = 48\] cách.

---

Bài 3: Hoán vị có điều kiện (Các phần tử không ở cạnh nhau)

Có 4 quyển sách Toán và 3 quyển sách Văn (các quyển sách là khác nhau). Có bao nhiêu cách xếp chúng lên một kệ sách dài sao cho không có hai quyển Văn nào nằm cạnh nhau?

• Lời giải: Ta sử dụng phương pháp "Vách ngăn".

  • Bước 1: Xếp 4 quyển sách Toán lên kệ trước. Số cách xếp là: \[4! = 24\] cách.

  • Việc xếp 4 quyển Toán sẽ tạo ra 5 "khe" trống (bao gồm 2 đầu kệ): \[\text{_ T _ T _ T _ T _}\]

  • Bước 2: Để không có hai quyển Văn nào cạnh nhau, ta cần xếp 3 quyển Văn vào 3 trong 5 khe trống này. Mỗi cách chọn 3 khe và xếp 3 quyển Văn vào là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Số cách xếp 3 quyển Văn là: \[A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\] cách.

  • Bước 3: Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \[24 \times 60 = 1440\] cách.

---

Bài 4: Hoán vị lặp

Có bao nhiêu cách sắp xếp lại các chữ cái trong từ "SUCCESS"?

• Lời giải: Từ "SUCCESS" có 7 chữ cái. Trong đó:

  • Chữ 'S' lặp lại 3 lần.

  • Chữ 'C' lặp lại 2 lần.

  • Chữ 'U' và 'E' mỗi chữ xuất hiện 1 lần. Áp dụng công thức hoán vị lặp: Số cách sắp xếp là \[\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{5040}{12} = 420\] cách.

---

Bài 5: Hoán vị vòng quanh

Có bao nhiêu cách xếp 7 vị đại biểu ngồi quanh một chiếc bàn tròn?

• Lời giải: Đây là bài toán hoán vị vòng quanh của 7 phần tử. Áp dụng công thức \[Q_n = (n-1)!\]: Số cách sắp xếp là \[(7-1)! = 6! = 720\] cách.

---

Bài 6: Hoán vị vòng quanh có điều kiện

Có 4 cặp vợ chồng cần được xếp ngồi quanh một chiếc bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi cặp vợ chồng đều ngồi cạnh nhau?

• Lời giải: Đây là bài toán kết hợp phương pháp "buộc" và hoán vị vòng quanh.

  • Bước 1: Coi mỗi cặp vợ chồng là một "khối" hay một "siêu phần tử". Ta có 4 khối như vậy.

  • Bước 2: Xếp 4 khối này quanh bàn tròn. Đây là một hoán vị vòng quanh của 4 phần tử. Số cách là: \[(4-1)! = 3! = 6\] cách.

  • Bước 3: Xét sự sắp xếp bên trong mỗi khối. Mỗi cặp vợ chồng (gồm 2 người) có thể đổi chỗ cho nhau. Số cách hoán vị bên trong mỗi khối là \[2! = 2\]. Vì có 4 cặp, số cách hoán vị bên trong là \[2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! = 2^4 = 16\] cách.

  • Bước 4: Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \[3! \times 2^4 = 6 \times 16 = 96\] cách.