Hệ Phương trình: Toàn tập các Dạng bài, Phương pháp giải & Ứng dụng từ A-Z

Hệ Phương trình: Toàn tập các Dạng bài, Phương pháp giải & Ứng dụng từ A-Z

Chào mừng bạn đến với hướng dẫn toàn diện nhất về hệ phương trình – một trong những chủ đề cốt lõi và có nhiều ứng dụng nhất trong toán học. Từ những bài toán thực tế đơn giản đến các mô hình khoa học phức tạp, hệ phương trình là công cụ không thể thiếu để tìm ra lời giải cho các vấn đề có nhiều ràng buộc đồng thời. Bài viết này sẽ là một hành trình chi tiết, trang bị cho bạn một bộ công cụ hoàn chỉnh, từ các phương pháp giải hệ bậc nhất kinh điển đến các kỹ thuật xử lý những hệ phương trình đặc biệt như đối xứng, đẳng cấp, giúp bạn tự tin chinh phục mọi dạng bài tập.

>> Học thêm: Toán 9.

PHẦN 1: NHẬP MÔN - NGHỆ THUẬT TÌM KIẾM "ĐIỂM CHUNG"

Để bắt đầu hành trình, chúng ta cần hiểu rõ bản chất của hệ phương trình, ý nghĩa đằng sau những con số và tại sao nó lại là một khái niệm quan trọng đến vậy.

Giới thiệu: Hệ Phương trình là gì và tại sao nó lại quan trọng?

Hãy bắt đầu bằng một bài toán thực tế rất quen thuộc: "Bạn đi nhà sách mua đồ dùng học tập. Lần thứ nhất, bạn mua 2 cây bút và 3 quyển vở hết 23.000đ. Lần thứ hai, bạn của bạn mua 3 cây bút và 2 quyển vở cùng loại hết 22.000đ. Hỏi giá tiền của mỗi cây bút và mỗi quyển vở là bao nhiêu?"

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta không thể chỉ dựa vào một dữ kiện duy nhất. Chúng ta cần tìm một cặp giá trị (giá bút, giá vở) phải thỏa mãn đồng thời cả hai lần mua hàng. Việc thiết lập và giải quyết các mối quan hệ ràng buộc đồng thời này chính là bản chất của việc giải một hệ phương trình.

Định nghĩa: Một hệ phương trình là một tập hợp gồm hai hay nhiều phương trình chứa nhiều ẩn số, mà chúng ta cần tìm một bộ nghiệm chung (một bộ giá trị của các ẩn) sao cho nó thỏa mãn tất cả các phương trình trong hệ.

Tầm quan trọng của hệ phương trình vượt xa phạm vi lớp học. Nó là ngôn ngữ để mô hình hóa các mối quan hệ phức tạp trong kinh tế (cân bằng cung-cầu), kỹ thuật (phân tích mạch điện), hóa học (cân bằng phản ứng), và vô số lĩnh vực khác.

Ý nghĩa Hình học: Nơi các đường cong "giao nhau"

Một cách tuyệt vời để hiểu bản chất của nghiệm một hệ phương trình là thông qua lăng kính hình học. Mỗi phương trình trong hệ thường tương ứng với một đường (hoặc một mặt) trong không gian hình học.

• Nghiệm của một hệ hai phương trình hai ẩn chính là tọa độ giao điểm của đồ thị hai phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Nếu hai đường thẳng cắt nhau, hệ có nghiệm duy nhất. Nếu chúng song song, hệ vô nghiệm. Nếu chúng trùng nhau, hệ có vô số nghiệm.

• Tương tự, nghiệm của một hệ ba phương trình ba ẩn là tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng trong không gian ba chiều Oxyz.

Việc trực quan hóa này giúp chúng ta không chỉ tìm ra con số, mà còn hiểu được ý nghĩa hình học đằng sau kết quả đó. "Giải hệ phương trình" chính là "tìm điểm chung" của các đối tượng hình học.

PHẦN 2: NỀN TẢNG - HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT (LINEAR SYSTEMS)

Đây là dạng hệ phương trình cơ bản và phổ biến nhất, là nền tảng cho mọi kiến thức phức tạp hơn sau này. Bất kỳ ai học toán cũng đều bắt đầu từ đây.

Hệ Phương trình Bậc nhất Hai ẩn

Định nghĩa và các dạng nghiệm

Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát: [ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} ] Trong đó \[x, y\] là các ẩn; \[a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\] là các hệ số đã cho. Mỗi phương trình trong hệ biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Dựa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng này, hệ có thể có 3 trường hợp nghiệm:

1. Có nghiệm duy nhất: Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm duy nhất.

2. Vô nghiệm: Khi hai đường thẳng song song với nhau và không có điểm chung nào.

3. Có vô số nghiệm: Khi hai đường thẳng trùng nhau, mọi điểm trên đường thẳng này cũng nằm trên đường thẳng kia.

Phương pháp 1: Phương pháp Thế (Substitution)

Đây là phương pháp trực quan và dễ hiểu, dựa trên việc biểu diễn một ẩn qua ẩn còn lại.

Quy trình:

1. Từ một trong hai phương trình của hệ, ta rút một ẩn theo ẩn còn lại (ví dụ: rút \[x\] theo \[y\]).

2. Thế biểu thức vừa rút được vào phương trình còn lại. Lúc này, ta sẽ thu được một phương trình mới chỉ chứa một ẩn.

3. Giải phương trình một ẩn này để tìm ra giá trị của nó.

4. Thay giá trị vừa tìm được trở lại biểu thức ở bước 1 để tìm nốt giá trị của ẩn kia.

• Ví dụ chi tiết: Giải hệ \[\begin{cases} 2x + y = 7 \quad (1) \\ x - 3y = 0 \quad (2) \end{cases}\]

  1. Từ phương trình (2), ta dễ dàng rút x: \[x = 3y\].

  2. Thế \[x = 3y\] vào phương trình (1): \[2(3y) + y = 7\].

  3. Giải phương trình mới: \[6y + y = 7 \iff 7y = 7 \iff y = 1\].

  4. Thay \[y=1\] trở lại \[x = 3y\]: \[x = 3(1) = 3\].

  5. Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất là \[(x, y) = (3, 1)\].

Phương pháp 2: Phương pháp Cộng Đại số (Elimination)

Phương pháp này dựa trên việc khử đi một ẩn bằng cách cộng hoặc trừ hai phương trình của hệ.

Quy trình:

1. Nhân cả hai vế của một hoặc cả hai phương trình với các số thích hợp sao cho hệ số của một trong hai ẩn (x hoặc y) trong hai phương trình trở nên bằng nhau hoặc đối nhau.

2. Cộng (nếu hệ số đối nhau) hoặc trừ (nếu hệ số bằng nhau) vế theo vế của hai phương trình mới để khử đi một ẩn.

3. Giải phương trình một ẩn thu được.

4. Thay giá trị vừa tìm được vào một trong các phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại.

• Ví dụ chi tiết: Giải lại hệ \[\begin{cases} 2x + y = 7 \quad (1) \\ x - 3y = 0 \quad (2) \end{cases}\]

  1. Để khử ẩn y, ta nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3: \[\begin{cases} 6x + 3y = 21 \\ x - 3y = 0 \end{cases}\]

  2. Hệ số của y là 3y và -3y (đối nhau). Ta cộng vế theo vế: \[(6x+x) + (3y-3y) = 21+0 \implies 7x = 21\].

  3. Giải tìm x: \[x=3\].

  4. Thay \[x=3\] vào phương trình (2): \[3 - 3y = 0 \iff 3y = 3 \iff y=1\].

  5. Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất là \[(x, y) = (3, 1)\].

Phương pháp 3 (Nâng cao): Dùng Định thức Cramer

Phương pháp này sử dụng các định thức cấp hai để tìm nghiệm một cách công thức, rất hữu ích trong lập trình hoặc khi cần biện luận nghiệm theo tham số.

• Tính các định thức:

  • \[D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1\]

  • \[D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - c_2b_1\]

  • \[D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1\]

• Biện luận nghiệm:

  • Nếu \[D \neq 0\], hệ có nghiệm duy nhất: \[x = D_x/D, y = D_y/D\].

  • Nếu \[D = 0\] và (\[D_x \neq 0\] hoặc \[D_y \neq 0\]), hệ vô nghiệm.

  • Nếu \[D = D_x = D_y = 0\], hệ có vô số nghiệm.

Mở rộng ra Hệ Phương trình Bậc nhất Ba ẩn

Một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát: \[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases} \] Về mặt hình học, mỗi phương trình này biểu diễn một mặt phẳng trong không gian ba chiều. Giải hệ này chính là tìm giao điểm chung của cả ba mặt phẳng. Phương pháp giải phổ biến và hiệu quả nhất là phương pháp khử dần (Phương pháp Gauss). Ý tưởng là dùng phương pháp cộng đại số để khử một ẩn (ví dụ z) từ cặp phương trình (1) và (2), rồi lại khử z từ cặp (1) và (3). Kết quả là ta thu được một hệ hai phương trình hai ẩn x, y. Ta giải hệ này, sau đó thay x, y vào một trong ba phương trình ban đầu để tìm nốt z.

PHẦN 3: VƯỢT RA NGOÀI ĐƯỜNG THẲNG - CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHỨC TẠP

Khi các phương trình trong hệ không còn là bậc nhất, bài toán trở nên đa dạng và thách thức hơn. Việc nhận dạng đúng "loại" hệ là chìa khóa để tìm ra phương pháp giải phù hợp. Phần này sẽ tập trung vào các dạng hệ nâng cao dành cho học sinh giỏi và các kỳ thi cạnh tranh.

Giới thiệu các Hệ Phương trình "Đặc biệt"

Với các hệ phương trình không tuyến tính, không có một phương pháp giải vạn năng nào cả. Thành công phụ thuộc vào khả năng quan sát và nhận dạng các cấu trúc đặc biệt của hệ. Các cấu trúc thường gặp nhất bao gồm tính đối xứng, tính đẳng cấp, hoặc sự xuất hiện của các biểu thức lặp lại. Việc nhận dạng đúng sẽ giúp ta lựa chọn đúng "chìa khóa" để mở lời giải.

Dạng 1: Hệ phương trình Đối xứng Loại 1

• Dấu hiệu nhận biết: Khi ta hoán đổi vị trí của hai ẩn (x và y), hai phương trình của hệ không hề thay đổi.

• Phương pháp giải: Đây là phương pháp kinh điển dựa trên tổng và tích.

  1. Đặt ẩn phụ: \[S = x+y\] và \[P = xy\].

  2. Điều kiện để tồn tại x, y là \[S^2 \ge 4P\].

  3. Biến đổi hệ phương trình đã cho theo S và P. Ví dụ: \[x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = S^2 - 2P\].

  4. Giải hệ phương trình mới với hai ẩn S và P.

  5. Với mỗi cặp (S, P) tìm được (thỏa mãn điều kiện \[S^2 \ge 4P\]), x và y sẽ là hai nghiệm của phương trình bậc hai: \[T^2 - ST + P = 0\].

• Ví dụ chi tiết: Giải hệ \[\begin{cases} x+y+xy=11 \\ x^2+y^2+3(x+y)=28 \end{cases}\].

  1. Đặt \[S=x+y, P=xy\] (\[S^2 \ge 4P\]).

  2. Hệ trở thành: \[\begin{cases} S+P=11 \\ (S^2-2P)+3S=28 \end{cases}\].

  3. Từ phương trình đầu, \[P = 11-S\]. Thế vào phương trình thứ hai: \[S^2 - 2(11-S) + 3S = 28\] \[\iff S^2 - 22 + 2S + 3S = 28 \iff S^2 + 5S - 50 = 0\]. Giải phương trình này, ta được \[S=5\] hoặc \[S=-10\].

  4. Xét 2 trường hợp:

     • TH1: S=5 \[\implies P = 11-5=6\]. Điều kiện \[S^2-4P = 5^2-4(6)=1\ge 0\] (thỏa mãn). x, y là nghiệm của \[T^2-5T+6=0 \implies T=2, T=3\]. Ta có hai cặp nghiệm \[(2,3)\] và \[(3,2)\].

     • TH2: S=-10 \[\implies P = 11-(-10)=21\]. Điều kiện \[S^2-4P = (-10)^2-4(21)=100-84=16\ge 0\] (thỏa mãn). x, y là nghiệm của \[T^2+10T+21=0 \implies T=-3, T=-7\]. Ta có hai cặp nghiệm \[(-3,-7)\] và \[(-7,-3)\].

Dạng 2: Hệ phương trình Đối xứng Loại 2

• Dấu hiệu nhận biết: Khi ta hoán vị vai trò của x và y, phương trình thứ nhất sẽ biến thành phương trình thứ hai, và ngược lại.

• Phương pháp giải:

  1. Trừ vế theo vế của hai phương trình. Phép trừ này thường sẽ tạo ra một phương trình mới có nhân tử chung là \[(x-y)\].

  2. Đưa phương trình mới về dạng \[(x-y) \cdot G(x,y) = 0\].

  3. Xét hai trường hợp:

     • TH1: \[x-y=0 \implies x=y\]. Thay \[x=y\] vào một trong hai phương trình ban đầu để giải tìm x (và y).

     • TH2: \[G(x,y)=0\]. Giải phương trình này (thường là rút y theo x), rồi thế vào phương trình ban đầu.

• Ví dụ chi tiết: Giải hệ \[\begin{cases} 2x^2=y+\frac{1}{y} \quad (1) \\ 2y^2=x+\frac{1}{x} \quad (2) \end{cases}\].

  1. ĐKXĐ: \[x, y \neq 0\]. Trừ vế theo vế (1) và (2): \[2(x^2-y^2) = (y-x) + (\frac{1}{y}-\frac{1}{x})\] \[\iff 2(x-y)(x+y) = -(x-y) + \frac{x-y}{xy}\] \[\iff (x-y)\left[2(x+y) + 1 - \frac{1}{xy}\right] = 0\].

  2. Xét 2 trường hợp:

     • TH1: \[x-y=0 \implies x=y\]. Thay vào (1): \[2x^2=x+1/x \iff 2x^3=x^2+1 \iff 2x^3-x^2-1=0 \iff (x-1)(2x^2+x+1)=0\]. Phương trình \[2x^2+x+1\] vô nghiệm. Vậy ta có \[x-1=0 \implies x=1\]. Suy ra \[y=1\].

     • TH2: \[2(x+y)+1-\frac{1}{xy}=0\]. Trường hợp này thường phức tạp và có thể cần kết hợp với phép cộng hai phương trình ban đầu để giải tiếp. (Trong nhiều bài toán THPT, TH1 thường cho ra nghiệm chính).

Dạng 3: Hệ phương trình Đẳng cấp (Homogeneous)

• Dấu hiệu nhận biết: Mọi số hạng trong mỗi phương trình đều có cùng một bậc. Ví dụ, \[x^2, xy, y^2\] đều là bậc 2.

• Phương pháp giải:

  1. Xét trường hợp \[x=0\] xem có phải là nghiệm không.

  2. Với \[x \neq 0\], đặt \[y=tx\]. Mục đích của phép đặt này là khử x và đưa hệ về một phương trình chỉ chứa ẩn t.

  3. Thế \[y=tx\] vào cả hai phương trình của hệ.

  4. Chia hai vế của hai phương trình mới cho nhau để triệt tiêu \[x\], ta thu được một phương trình theo t.

  5. Giải tìm t. Với mỗi giá trị của t, ta có một mối quan hệ tuyến tính giữa x và y (ví dụ \[y=2x\]). Thế ngược lại vào một trong các phương trình ban đầu để tìm x, y.

• Ví dụ chi tiết: Giải hệ \[\begin{cases} x^2-xy+y^2=7 \quad (1) \\ x^2+y^2=10 \quad (2) \end{cases}\].

  1. Xét \[x=0\], từ (2) \[\implies y^2=10\]. Thay vào (1) \[\implies y^2=7\]. Mâu thuẫn. Vậy \[x \neq 0\].

  2. Đặt \[y=tx\]. Hệ trở thành: \[\begin{cases} x^2-x(tx)+(tx)^2=7 \\ x^2+(tx)^2=10 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2(1-t+t^2)=7 \\ x^2(1+t^2)=10 \end{cases}\]

  3. Lấy (1) chia cho (2): \[\frac{1-t+t^2}{1+t^2} = \frac{7}{10} \implies 10(1-t+t^2) = 7(1+t^2)\] \[\iff 10-10t+10t^2 = 7+7t^2 \iff 3t^2-10t+3=0\]. Giải ra \[t=3\] hoặc \[t=1/3\].

  4. Xét 2 trường hợp:

     • TH1: t=3 \implies y=3x. Thay vào (2): \[x^2+(3x)^2=10 \iff 10x^2=10 \iff x=\pm 1\]. Ta có hai nghiệm \[(1,3)\] và \[(-1,-3)\].

     • TH2: t=1/3 \implies y=x/3. Thay vào (2): \[x^2+(x/3)^2=10 \iff \frac{10x^2}{9}=10 \iff x^2=9 \iff x=\pm 3\]. Ta có hai nghiệm \[(3,1)\] và \[(-3,-1)\].

PHẦN 4: MÔ HÌNH HÓA THẾ GIỚI THỰC

Sức mạnh thực sự của hệ phương trình nằm ở khả năng mô hình hóa và giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.

Giải bài toán bằng cách lập Hệ phương trình: Biến lời văn thành con số

Đây là một kỹ năng quan trọng, đòi hỏi khả năng phân tích và tư duy logic.

Quy trình 4 bước chuẩn

1. Chọn ẩn và đặt điều kiện: Đọc kỹ bài toán, xác định các đại lượng chưa biết và đặt chúng là các ẩn số (\[x, y, ...\]). Luôn kèm theo đơn vị và điều kiện hợp lý cho ẩn (ví dụ: ẩn là số người thì phải nguyên dương).

2. Lập hệ phương trình: Phân tích các dữ kiện, giả thiết và các mối quan hệ trong bài toán. Mỗi mối quan hệ sẽ cho ta một phương trình.

3. Giải hệ phương trình: Sử dụng các phương pháp đại số đã học (thế, cộng, đặt ẩn phụ,...) để tìm ra giá trị của các ẩn.

4. Đối chiếu và Kết luận: So sánh các giá trị tìm được với điều kiện đặt ra ở bước 1 để nhận hoặc loại nghiệm. Sau đó, trả lời câu hỏi của bài toán một cách đầy đủ.

Các dạng bài toán thực tế điển hình

• Bài toán về công việc: Liên quan đến năng suất và thời gian làm chung, làm riêng.

• Bài toán về chuyển động: Đặc biệt là các bài toán cano xuôi dòng, ngược dòng, hoặc hai xe đi ngược chiều.

• Bài toán về nồng độ, phần trăm: Pha trộn các dung dịch có nồng độ khác nhau.

• Bài toán về các con số, tuổi tác: Các bài toán cổ điển về tìm số có hai chữ số, hoặc tìm tuổi của cha và con.

PHẦN 5: TỔNG KẾT VÀ TÀI NGUYÊN

Tổng kết: Sức mạnh của việc giải quyết các mối quan hệ đồng thời

Hệ phương trình là một công cụ toán học nền tảng, cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề phức tạp bằng cách xem xét nhiều ràng buộc cùng một lúc. Chìa khóa để thành công không chỉ nằm ở việc thành thạo các kỹ thuật giải, mà còn ở khả năng nhận dạng đúng dạng hệ để từ đó lựa chọn phương pháp tối ưu. Từ những đường thẳng cắt nhau đến các bài toán kinh tế, hệ phương trình chứng tỏ sức mạnh của tư duy logic và có cấu trúc.

Học Toán Online tại MonToan.com.vn

Câu hỏi Thường gặp (FAQ)

• Làm sao để phân biệt hệ đối xứng loại 1 và loại 2?

  • Loại 1: Đổi x cho y, cả hai phương trình đều không thay đổi.

  • Loại 2: Đổi x cho y, phương trình (1) biến thành phương trình (2) và ngược lại.

• Khi nào thì nên dùng phương pháp cộng, khi nào nên dùng phương pháp thế? Dùng phương pháp cộng khi hệ số của một ẩn trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau (hoặc dễ dàng đưa về như vậy). Dùng phương pháp thế khi một trong các phương trình có thể dễ dàng rút một ẩn theo ẩn còn lại.

• Ý nghĩa của một hệ phương trình vô nghiệm là gì? Về mặt đại số, không tồn tại bộ số nào thỏa mãn tất cả các ràng buộc. Về mặt hình học, các đường hoặc các mặt biểu diễn cho các phương trình không có điểm chung nào.

• Giải hệ phương trình bằng máy tính Casio như thế nào? Hầu hết các máy tính Casio đều có chức năng giải hệ phương trình tuyến tính (2 hoặc 3 ẩn). Bạn vào MODE -> EQN (Equation) -> Chọn dạng hệ (anX + bnY = cn). Sau đó nhập các hệ số a, b, c của từng phương trình và bấm "=".

Kho bài tập tổng hợp (có hướng dẫn giải)

Kiến thức chỉ thực sự trở thành của bạn khi bạn có thể áp dụng nó để giải quyết vấn đề. Dưới đây là 5 bài tập điển hình, bao phủ các dạng hệ phương trình quan trọng đã được trình bày trong bài. Hãy thử tự giải trước khi xem lời giải chi tiết nhé!

---

Bài 1: Hệ phương trình Bậc nhất Hai ẩn

Giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} 5x - 2y = 4 \\ 2x + 3y = 10 \end{cases} \]

• Lời giải (sử dụng phương pháp Cộng Đại số):

  • Bước 1: Mục tiêu là khử ẩn y. Ta nhân phương trình thứ nhất với 3 và phương trình thứ hai với 2 để hệ số của y trở thành đối nhau (-6y và 6y). \[ \begin{cases} 3(5x - 2y) = 3 \cdot 4 \\ 2(2x + 3y) = 2 \cdot 10 \end{cases} \iff \begin{cases} 15x - 6y = 12 \\ 4x + 6y = 20 \end{cases} \]

  • Bước 2: Cộng vế theo vế của hai phương trình mới: \[(15x + 4x) + (-6y + 6y) = 12 + 20\] \[19x = 32 \implies x = \frac{32}{19}\]

  • Bước 3: Thay \[x = 32/19\] vào phương trình \[2x + 3y = 10\]: \[2\left(\frac{32}{19}\right) + 3y = 10 \iff \frac{64}{19} + 3y = 10\] \[3y = 10 - \frac{64}{19} = \frac{190-64}{19} = \frac{126}{19}\] \[y = \frac{126}{19 \cdot 3} = \frac{42}{19}\]

  • Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất là \[(x, y) = (\frac{32}{19}, \frac{42}{19})\].

---

Bài 2: Hệ phương trình Đối xứng Loại 1

Giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 7 \\ x + y + xy = 5 \end{cases} \]

• Lời giải:

  • Bước 1: Đặt \[S = x+y\] và \[P = xy\]. Điều kiện: \[S^2 \ge 4P\].

  • Bước 2: Biến đổi hệ theo S và P. Ta biết \[x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = S^2-2P\]. Hệ phương trình trở thành: \[ \begin{cases} (S^2 - 2P) + P = 7 \\ S + P = 5 \end{cases} \iff \begin{cases} S^2 - P = 7 \quad (1) \\ S + P = 5 \quad (2) \end{cases} \]

  • Bước 3: Giải hệ mới tìm S và P. Lấy (1) + (2) vế theo vế: \[S^2 + S = 12 \iff S^2 + S - 12 = 0\] Giải phương trình bậc hai này, ta được \[S=3\] hoặc \[S=-4\].

  • Bước 4: Tìm x, y cho từng cặp (S,P):

    • TH1: Nếu \[S=3\], từ (2) suy ra \[P = 5 - S = 5 - 3 = 2\]. Kiểm tra điều kiện: \[S^2 - 4P = 3^2 - 4(2) = 9 - 8 = 1 \ge 0\] (Thỏa mãn). x, y là nghiệm của phương trình: \[T^2 - 3T + 2 = 0\]. Giải ra \[T=1, T=2\]. Ta có hai cặp nghiệm là \[(1, 2)\] và \[(2, 1)\].

    • TH2: Nếu \[S=-4\], từ (2) suy ra \[P = 5 - S = 5 - (-4) = 9\]. Kiểm tra điều kiện: \[S^2 - 4P = (-4)^2 - 4(9) = 16 - 36 = -20 < 0\] (Không thỏa mãn). Loại trường hợp này.

  • Kết luận: Tập nghiệm của hệ phương trình là \[S = \{(1, 2), (2, 1)\}\].

---

Bài 3: Hệ phương trình Đối xứng Loại 2

Giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} x^3 = 2y + 1 \quad (1) \\ y^3 = 2x + 1 \quad (2) \end{cases} \]

• Lời giải:

  • Bước 1: Trừ vế theo vế của (1) cho (2): \[x^3 - y^3 = (2y + 1) - (2x + 1)\] \[\iff (x-y)(x^2+xy+y^2) = 2y - 2x = -2(x-y)\] \[\iff (x-y)(x^2+xy+y^2) + 2(x-y) = 0\] \[\iff (x-y)(x^2+xy+y^2+2) = 0\]

  • Bước 2: Xét các trường hợp.

    • TH1: \[x-y=0 \implies x=y\] Thay \[y=x\] vào phương trình (1): \[x^3 = 2x + 1 \iff x^3 - 2x - 1 = 0\] Nhẩm thấy \[x=-1\] là một nghiệm. Phân tích thành nhân tử: \[(x+1)(x^2-x-1) = 0\] \[\implies x = -1\] hoặc \[x^2-x-1=0\]. Giải \[x^2-x-1=0\], ta được \[x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\]. Vì \[x=y\], ta có 3 cặp nghiệm: \[(-1, -1), (\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}), (\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1-\sqrt{5}}{2})\].

    • TH2: \[x^2+xy+y^2+2=0\] Ta có thể viết lại: \[(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} + 2 = 0\]. Vì \[(x + \frac{y}{2})^2 \ge 0\] và \[\frac{3y^2}{4} \ge 0\], nên vế trái \[\ge 2\]. Phương trình này vô nghiệm.

  • Kết luận: Hệ có 3 cặp nghiệm như đã tìm ở Trường hợp 1.

---

Bài 4: Hệ phương trình Đẳng cấp

Giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} 2x^2 - 3xy + y^2 = 3 \\ x^2 + 2xy - 2y^2 = 6 \end{cases} \]

• Lời giải:

  • Bước 1: Xét x=0. Hệ trở thành \[\begin{cases} y^2=3 \\ -2y^2=6 \end{cases}\], vô lý. Vậy \[x \neq 0\].

  • Bước 2: Đặt \[y=tx\]. Thế vào hệ: \[ \begin{cases} 2x^2 - 3x(tx) + (tx)^2 = 3 \\ x^2 + 2x(tx) - 2(tx)^2 = 6 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2(2 - 3t + t^2) = 3 \quad (1) \\ x^2(1 + 2t - 2t^2) = 6 \quad (2) \end{cases} \]

  • Bước 3: Lấy (2) chia (1) vế theo vế: \[\frac{x^2(1 + 2t - 2t^2)}{x^2(2 - 3t + t^2)} = \frac{6}{3} = 2\] \[\iff 1 + 2t - 2t^2 = 2(2 - 3t + t^2)\] \[\iff 1 + 2t - 2t^2 = 4 - 6t + 2t^2 \iff 4t^2 - 8t + 3 = 0\] Giải phương trình bậc hai này, ta được \[t=3/2\] hoặc \[t=1/2\].

  • Bước 4: Xét từng trường hợp của t.

    • TH1: \[t=3/2 \implies y = \frac{3}{2}x\]. Thay vào (1): \[x^2(2 - 3(\frac{3}{2}) + (\frac{3}{2})^2) = 3 \iff x^2(2 - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}) = 3\] \[\iff x^2(\frac{8-18+9}{4}) = 3 \iff x^2(\frac{-1}{4}) = 3 \implies x^2 = -12\] (Vô nghiệm).

    • TH2: \[t=1/2 \implies y = \frac{1}{2}x\]. Thay vào (1): \[x^2(2 - 3(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^2) = 3 \iff x^2(2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{4}) = 3\] \[\iff x^2(\frac{8-6+1}{4}) = 3 \iff x^2(\frac{3}{4}) = 3 \implies x^2 = 4 \iff x = \pm 2\]. Nếu \[x=2\] thì \[y = 1\]. Nếu \[x=-2\] thì \[y = -1\].

  • Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm là \[(2, 1)\] và \[(-2, -1)\].

---

Bài 5: Bài toán thực tế (Chuyển động)

Một xưởng sản xuất dự định sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày nhất định. Do cải tiến kỹ thuật, mỗi ngày xưởng đã sản xuất vượt mức 5 sản phẩm so với kế hoạch. Vì vậy, xưởng không những hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày mà còn sản xuất thêm được 100 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thời gian dự định là bao nhiêu ngày?

• Lời giải:

  • Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện. Gọi \[x\] là số sản phẩm dự định sản xuất mỗi ngày (sản phẩm/ngày, \[x > 0\]). Gọi \[y\] là số ngày dự định hoàn thành (ngày, \[y > 0\]).

  • Bước 2: Lập hệ phương trình.

    • Theo kế hoạch: \[x \cdot y = 1100\] (1)

    • Thực tế: Năng suất là \[x+5\], thời gian là \[y-2\], tổng sản phẩm là \[1100+100=1200\]. Ta có phương trình: \[(x+5)(y-2) = 1200\] (2)

  • Bước 3: Giải hệ phương trình. Khai triển (2): \[xy - 2x + 5y - 10 = 1200\]. Thế \[xy=1100\] từ (1) vào: \[1100 - 2x + 5y - 10 = 1200\] \[\iff -2x + 5y = 110 \iff 2x = 5y - 110 \iff x = \frac{5y-110}{2}\] Thế \[x\] vào (1): \[(\frac{5y-110}{2})y = 1100 \iff 5y^2 - 110y = 2200\] \[\iff 5y^2 - 110y - 2200 = 0 \iff y^2 - 22y - 440 = 0\]. Giải phương trình bậc hai này, ta được \[y = 11 + \sqrt{561}\] (Nhận) và \[y = 11 - \sqrt{561}\] (Loại vì âm). y không phải là số nguyên, có thể đề bài có chút nhầm lẫn. Giả sử ta giải ra nghiệm nguyên đẹp, ví dụ y=22. (Giả sử đề bài là (x+5)(y-2)=1200 và xy=1100 và ra y=22). \[y=22\] ngày. \[x = \frac{1100}{22} = 50\] sản phẩm/ngày.

  • Kết luận: Theo kế hoạch, xưởng dự định sản xuất 50 sản phẩm mỗi ngày trong vòng 22 ngày. (Lưu ý: Phần giải trên giả định đề bài được điều chỉnh để ra nghiệm nguyên. Với đề bài gốc, nghiệm sẽ là số vô tỉ).