Phương trình Vô tỉ: Toàn tập các Dạng bài & Phương pháp giải từ A-Z

Phương trình Vô tỉ: Toàn tập các Dạng bài & Phương pháp giải từ A-Z

Chào mừng bạn đến với hướng dẫn đầy đủ và chi tiết nhất về phương trình vô tỉ – một trong những chuyên đề quan trọng và thú vị nhất trong chương trình đại số. Với sự xuất hiện của các biểu thức chứa căn, loại phương trình này luôn ẩn chứa những "cạm bẫy" tinh vi, đòi hỏi người giải phải có một tư duy cẩn thận, phương pháp giải toán đa dạng và một nền tảng kiến thức vững chắc. Bài viết này sẽ là một cuốn cẩm nang toàn diện, trang bị cho bạn mọi công cụ cần thiết, từ những quy tắc nền tảng, các phương pháp giải kinh điển, đến những kỹ thuật nâng cao để chinh phục mọi dạng phương trình vô tỉ một cách tự tin và chính xác.

Học thêm: Toán 9.

PHẦN 1: NHẬP MÔN - LÀM QUEN VỚI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Trước khi lao vào các phương pháp giải phức tạp, việc xây dựng một "tâm thế" đúng đắn và hiểu rõ bản chất cũng như những vấn đề cốt lõi của phương trình vô tỉ là bước đi đầu tiên và quan trọng nhất.

Giới thiệu: Phương trình Vô tỉ là gì? Những "cạm bẫy" cần biết

Một cách đơn giản, phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn số nằm dưới dấu căn. Ví dụ, \[\sqrt{x+1} = 2x-3\] hay \[\sqrt[3]{x-2} + x = 5\] đều là các phương trình vô tỉ. Sự hiện diện của dấu căn làm cho loại phương trình này trở nên phức tạp hơn nhiều so với các phương trình đại số thông thường.

Khi giải phương trình vô tỉ, học sinh thường mắc phải hai "cạm bẫy" lớn nhất, dẫn đến việc mất điểm đáng tiếc. Ngay từ đầu, chúng ta phải nhận diện và khắc cốt ghi tâm hai vấn đề này:

1. Thiếu Điều kiện Xác định (ĐKXĐ): Đây là lỗi sai phổ biến nhất. Nhiều người quên rằng biểu thức dưới dấu căn bậc chẵn (căn bậc hai, căn bậc bốn,...) phải luôn không âm. Việc bỏ qua bước tìm ĐKXĐ có thể dẫn đến việc nhận những nghiệm không hợp lệ.

2. Nghiệm ngoại lai (Extraneous Roots): Trong quá trình giải, chúng ta thường sử dụng các phép biến đổi như bình phương hai vế. Những phép biến đổi này không phải lúc nào cũng là phép biến đổi tương đương, chúng có thể "sinh ra" những giá trị trông có vẻ là nghiệm nhưng khi thay lại vào phương trình ban đầu thì lại không thỏa mãn.

Mục tiêu của bài viết này là trang bị cho bạn một bộ công cụ hoàn chỉnh và một quy trình tư duy chặt chẽ để có thể né tránh tất cả các "cạm bẫy" này và giải quyết thành công mọi dạng phương trình vô tỉ mà bạn gặp phải.

Tại sao giải Phương trình Vô tỉ lại phức tạp? Vấn đề của phép biến đổi không tương đương

Để hiểu sâu hơn về "nghiệm ngoại lai", chúng ta cần làm rõ vấn đề của các phép biến đổi không tương đương. Trong toán học, một phép biến đổi tương đương (\[\iff\]) là phép biến đổi bảo toàn tập nghiệm. Ngược lại, một phép biến đổi hệ quả (\[\implies\]) chỉ đảm bảo rằng mọi nghiệm của phương trình trước cũng là nghiệm của phương trình sau, nhưng không đảm bảo điều ngược lại.

Phép bình phương hai vế là một ví dụ kinh điển của phép biến đổi hệ quả.

• Xét một phương trình đúng: \[x = 2\].

• Bình phương hai vế, ta được \[x^2 = 4\]. Phương trình này vẫn đúng với \[x=2\].

• Tuy nhiên, nếu ta giải phương trình \[x^2=4\], ta sẽ được hai nghiệm \[x=2\] hoặc \[x=-2\]. Phép bình phương đã "đẻ" thêm một nghiệm \[x=-2\] không phải là nghiệm của phương trình gốc. Nghiệm \[x=-2\] này được gọi là nghiệm ngoại lai.

Đây chính là lý do tại sao, sau khi đã giải ra các nghiệm tiềm năng bằng các phép biến đổi, việc thử lại các nghiệm đó vào phương trình ban đầu là một bước bắt buộc, không thể bỏ qua trong quy trình giải phương trình vô tỉ. Nó là tấm lưới an toàn cuối cùng để đảm bảo chúng ta chỉ giữ lại những nghiệm chính xác.

PHẦN 2: NGUYÊN TẮC VÀNG - NỀN TẢNG TRƯỚC KHI GIẢI

Trước khi áp dụng bất kỳ phương pháp giải nào, có hai quy tắc nền tảng mà bạn phải luôn tuân thủ. Chúng giống như việc kiểm tra an toàn trước khi cất cánh, đảm bảo hành trình giải toán của bạn đi đúng hướng và đến đúng đích.

Quy tắc 1 (Bất di bất dịch): Đặt Điều kiện Xác định (ĐKXĐ)

Đây là bước đầu tiên và không bao giờ được phép quên. Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn để tất cả các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.

• Với căn bậc chẵn (\[\sqrt{A}, \sqrt[4]{A}, \dots\]): Biểu thức dưới dấu căn phải không âm. \[\sqrt{A}\] xác định \[\iff A \ge 0\]

• Với căn bậc lẻ (\[\sqrt[3]{A}, \sqrt[5]{A}, \dots\]): Biểu thức dưới dấu căn có thể nhận giá trị thực bất kỳ. Do đó, các căn bậc lẻ xác định với mọi giá trị của A.

• Với các biểu thức khác: Mẫu số phải khác 0, biểu thức trong logarit phải dương, v.v.

Ví dụ:

• Tìm ĐKXĐ của \[\sqrt{x-2} = 5\]. ĐKXĐ: \[x-2 \ge 0 \iff x \ge 2\].

• Tìm ĐKXĐ của \[\sqrt{x+1} + \frac{1}{\sqrt{5-x}} = x\]. ĐKXĐ: \[\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 5-x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -1 \\ x < 5 \end{cases} \iff -1 \le x < 5\]. (Lưu ý \[5-x\] phải lớn hơn 0 vì nó nằm dưới mẫu).

Quy tắc 2: Sơ đồ tư duy chung khi tiếp cận một Phương trình Vô tỉ

Để giải quyết một bài toán một cách bài bản và tránh sai sót, hãy tuân theo một quy trình tư duy có hệ thống. Dưới đây là một "flowchart" (sơ đồ khối) mà bạn có thể áp dụng cho mọi phương trình vô tỉ.

1. Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình. Xác định tất cả các điều kiện để mọi biểu thức trong phương trình đều có nghĩa. Ghi nhớ tập điều kiện này.

2. Bước 2: Lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Quan sát dạng của phương trình (ví dụ: \[\sqrt{A}=B\], có nhiều căn, có biểu thức lặp lại,...) để chọn một trong các phương pháp như nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, hay đánh giá.

3. Bước 3: Giải phương trình hệ quả. Thực hiện các phép biến đổi đại số để khử căn và giải phương trình thu được sau đó. Các nghiệm tìm được ở bước này chỉ là các "ứng cử viên".

4. Bước 4: Đối chiếu các "ứng cử viên" với ĐKXĐ. So sánh các nghiệm vừa tìm được với tập điều kiện xác định ở Bước 1. Loại bỏ ngay lập tức những nghiệm không thỏa mãn ĐKXĐ.

5. Bước 5 (Quan trọng): Thử lại các nghiệm còn lại vào phương trình ban đầu. Với những nghiệm đã vượt qua Bước 4, ta thay trực tiếp chúng vào phương trình gốc ban đầu để kiểm tra xem chúng có thỏa mãn hay không. Bước này giúp loại bỏ các nghiệm ngoại lai sinh ra do các phép biến đổi không tương đương.

6. Bước 6: Kết luận tập nghiệm. Tập hợp các nghiệm thỏa mãn sau khi thử lại chính là tập nghiệm cuối cùng của phương trình.

PHẦN 3: PHƯƠNG PHÁP 1 - NÂNG LÊN LUỸ THỪA (KỸ THUẬT CƠ BẢN NHẤT)

Đây là phương pháp tự nhiên và phổ biến nhất để khử dấu căn. Tuy nhiên, nó cũng là nơi tiềm ẩn nhiều sai lầm nhất nếu không nắm vững các phép biến đổi tương đương.

Kỹ thuật Bình phương/Lập phương hai vế

Dạng kinh điển 1: \[\sqrt{A} = B\]

Đây là dạng phương trình vô tỉ cơ bản nhất. Cách biến đổi sai lầm mà nhiều người mắc phải là bình phương hai vế ngay lập tức mà không cần điều kiện, dẫn đến nghiệm ngoại lai.

Phép biến đổi tương đương: \[\sqrt{A} = B \iff \begin{cases} B \ge 0 \ A = B^2 \end{cases} \]

Giải thích:

• Điều kiện \[B \ge 0\] là bắt buộc vì vế trái \[\sqrt{A}\] theo định nghĩa là không âm.

• Khi đã có \[A = B^2\], mà \[B^2 \ge 0\], thì điều kiện \[A \ge 0\] (ĐKXĐ của căn) được thỏa mãn một cách tự nhiên. Do đó, chúng ta không cần đặt điều kiện \[A \ge 0\] riêng lẻ nữa.

Ví dụ: Giải phương trình \[\sqrt{2x+3} = x\].

• Áp dụng phép biến đổi tương đương: \[ \sqrt{2x+3} = x \iff \begin{cases} x \ge 0 \\ 2x+3 = x^2 \end{cases} \]

• Giải phương trình \[x^2 - 2x - 3 = 0\]. Phương trình này có dạng \[a-b+c = 1 - (-2) - 3 = 0\], nên có hai nghiệm là \[x_1 = -1\] và \[x_2 = -c/a = 3\].

• Đối chiếu với điều kiện \[x \ge 0\]:

  • \[x_1 = -1\] (Loại).

  • \[x_2 = 3\] (Nhận).

• Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \[S = \{3\}\].

Dạng kinh điển 2: \[\sqrt{A} = \sqrt{B}\]

Với dạng này, cả hai vế đều không âm, việc bình phương trở nên đơn giản hơn.

Phép biến đổi tương đương: \[\sqrt{A} = \sqrt{B} \iff \begin{cases} A \ge 0 \quad (\text{hoặc } B \ge 0) \ A = B \end{cases}\]

Giải thích: Ta chỉ cần đặt điều kiện cho một trong hai biểu thức dưới dấu căn. Vì khi \[A=B\], nếu một biểu thức không âm thì biểu thức còn lại cũng sẽ tự động không âm.

Ví dụ: Giải phương trình \[\sqrt{x^2-2x} = \sqrt{3x-6}\].

• Áp dụng phép biến đổi tương đương: \[ \iff \begin{cases} 3x-6 \ge 0 \\ x^2-2x = 3x-6 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 2 \\ x^2-5x+6 = 0 \end{cases} \]

• Giải phương trình \[x^2-5x+6=0\], ta được hai nghiệm \[x_1=2\] và \[x_2=3\].

• Cả hai nghiệm \[x=2\] và \[x=3\] đều thỏa mãn điều kiện \[x \ge 2\].

• Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \[S = \{2, 3\}\].

Dạng chứa Căn bậc ba: \[\sqrt[3]{A} = B\] và \[\sqrt[3]{A} = \sqrt[3]{B}\]

Căn bậc ba xác định với mọi số thực. Do đó, ta có thể lập phương hai vế một cách tự do mà không cần bất kỳ điều kiện nào.

Phép biến đổi tương đương: \[\sqrt[3]{A} = B \iff A = B^3\] \[\sqrt[3]{A} = \sqrt[3]{B} \iff A = B\]

Cảnh báo và các lỗi sai thường gặp khi bình phương

• Bình phương khi hai vế chưa chắc đã không âm: Với phương trình \[\sqrt{A} - \sqrt{B} = C\], việc chuyển vế thành \[\sqrt{A} = C + \sqrt{B}\] rồi bình phương là hợp lệ, nhưng phải cẩn thận với điều kiện.

• Quên đặt điều kiện cho vế không chứa căn: Đây là lỗi sai chí mạng trong dạng \[\sqrt{A}=B\]. Luôn nhớ điều kiện \[B \ge 0\].

• Bình phương một tổng sai: \[(\sqrt{A}+\sqrt{B})^2 = A + B + 2\sqrt{AB}\], không phải \[A+B\].

PHẦN 4: PHƯƠNG PHÁP 2 - ĐẶT ẨN PHỤ (KỸ THUẬT THANH LỊCH)

Khi một phương trình vô tỉ trở nên cồng kềnh với các biểu thức lặp đi lặp lại, việc đặt ẩn phụ có thể biến nó thành một phương trình đại số đơn giản và quen thuộc.

Khi nào nên dùng phương pháp Đặt ẩn phụ? Dấu hiệu nhận biết

• Khi trong phương trình có một hoặc nhiều biểu thức chứa căn lặp đi lặp lại nhiều lần.

• Khi các biểu thức trong phương trình, dù trông khác nhau, nhưng lại có mối liên hệ đại số với nhau (ví dụ một biểu thức là bình phương của biểu thức kia, hoặc tổng của chúng là một hằng số).

• Khi việc đặt ẩn phụ có thể đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai, bậc ba, hoặc một hệ phương trình đối xứng.

Lưu ý quan trọng: Khi đặt ẩn phụ \[t = \sqrt[2n]{A}\] (căn bậc chẵn), phải luôn kèm theo điều kiện \[t \ge 0\].

Các dạng Đặt ẩn phụ thường gặp

Dạng 1: Đặt một ẩn phụ đưa về phương trình đại số

Đây là dạng cơ bản nhất. Ta đặt \[t\] là một biểu thức căn và biến đổi cả phương trình theo \[t\].

• Ví dụ: Giải phương trình \[2x^2 + 3\sqrt{x^2-x+1} = 2x+7\].

  • ĐKXĐ: \[x^2-x+1 = (x-1/2)^2 + 3/4 > 0\], vậy phương trình xác định với mọi x.

  • Nhận xét: \[2(x^2-x+1) = 2x^2-2x+2\]. Ta biến đổi phương trình: \[2(x^2-x+1) + 2x - 2 + 3\sqrt{x^2-x+1} = 2x+7\] \[\iff 2(x^2-x+1) + 3\sqrt{x^2-x+1} - 9 = 0\].

  • Đặt \[t = \sqrt{x^2-x+1}\] (với \[t \ge \sqrt{3}/2\]). Phương trình trở thành: \[2t^2 + 3t - 9 = 0\].

  • Giải phương trình này, ta được \[t = 3/2\] (nhận) hoặc \[t = -3\] (loại).

  • Với \[t=3/2\], ta có \[\sqrt{x^2-x+1} = 3/2 \iff x^2-x+1 = 9/4 \iff 4x^2-4x-5=0\].

  • Giải phương trình cuối, ta được nghiệm \[x = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{2}\].

Dạng 2: Đặt hai, ba ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Dạng này thường dùng khi có hai biểu thức căn khác nhau nhưng tổng hoặc hiệu của các biểu thức bên trong căn là một hằng số.

• Ví dụ: Giải phương trình \[\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{7-x} = 2\].

  • Đặt \[u = \sqrt[3]{x+1}\] và \[v = \sqrt[3]{7-x}\].

  • Từ phương trình ban đầu, ta có: \[u+v = 2\].

  • Ta có \[u^3 = x+1\] và \[v^3 = 7-x\]. Cộng hai vế, ta được \[u^3+v^3 = (x+1)+(7-x) = 8\].

  • Ta thu được hệ phương trình đối xứng: \[\begin{cases} u+v=2 \\ u^3+v^3=8 \end{cases}\]

  • \[u^3+v^3 = (u+v)(u^2-uv+v^2) = (u+v)((u+v)^2 - 3uv) = 8\].

  • \[2(2^2 - 3uv) = 8 \implies 4-3uv = 4 \implies uv=0\].

  • Vậy \[u, v\] là nghiệm của phương trình \[t^2 - 2t + 0 = 0 \implies t(t-2)=0 \implies t=0 \text{ hoặc } t=2\].

  • Nếu \[u=0, v=2\]: \[\sqrt[3]{x+1}=0 \implies x=-1\].

  • Nếu \[u=2, v=0\]: \[\sqrt[3]{x+1}=2 \implies x+1=8 \implies x=7\].

  • Kết luận: Tập nghiệm là \[S = \{-1, 7\}\].

PHẦN 5: CÁC PHƯƠNG PHÁP NÂNG CAO CHO HỌC SINH GIỎI

Với các phương trình phức tạp, không có dạng chuẩn, ta cần đến những kỹ thuật tinh vi hơn.

Phương pháp 3: Nhân và chia Lượng liên hợp

• Nguyên tắc: Sử dụng các hằng đẳng thức như \[(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B}) = A-B\] để khử căn. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi \[A-B\] tạo ra một nhân tử chung với phần còn lại của phương trình, giúp đưa về phương trình tích.

• Khi nào dùng: Khi nhẩm được một nghiệm đẹp (\[x=x_0\]) và khi thay nghiệm đó vào thì hai biểu thức căn có giá trị bằng nhau. Hoặc khi biểu thức \[A-B\] có dạng đơn giản.

• Ví dụ: Giải phương trình \[\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+2} = 1\]. (Cách giải này phức tạp hơn bình phương, chỉ để minh họa). Nếu ta nhân liên hợp, ta có \[\frac{(3x+1)-(x+2)}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+2}} = 1 \iff \frac{2x-1}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+2}}=1\], phương trình này phức tạp hơn. Phương pháp này chỉ mạnh khi có nhân tử chung.

Phương pháp 4: Đánh giá và Sử dụng Bất đẳng thức

• Nguyên tắc: Chứng minh một vế của phương trình luôn lớn hơn hoặc bằng một hằng số \[k\] (\[VT \ge k\]), trong khi vế còn lại luôn nhỏ hơn hoặc bằng \[k\] (\[VP \le k\]). Nếu điều này xảy ra, phương trình chỉ có thể có nghiệm khi và chỉ khi cả hai vế cùng bằng \[k\].

• Các công cụ: BĐT AM-GM, Cauchy-Schwarz, Bunyakovsky, hoặc các đánh giá miền giá trị của hàm số.

• Ví dụ chi tiết: Giải phương trình \[\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} = x^2-6x+11\].

  • ĐKXĐ: \[2 \le x \le 4\].

  • Đánh giá vế trái (VT): Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho hai bộ \[(1,1)\] và \[(\sqrt{x-2}, \sqrt{4-x})\]: \[VT^2 = (\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})^2 \le (1^2+1^2)((\sqrt{x-2})^2+(\sqrt{4-x})^2) = 2(x-2+4-x) = 4\]. \[\implies VT \le 2\].

  • Đánh giá vế phải (VP): \[VP = x^2-6x+11 = (x^2-6x+9)+2 = (x-3)^2+2\]. Vì \[(x-3)^2 \ge 0\], nên \[VP \ge 2\].

  • Kết luận: Ta có \[VT \le 2\] và \[VP \ge 2\]. Phương trình chỉ có nghiệm khi \[VT = VP = 2\]. Dấu "=" xảy ra khi: \[\begin{cases} \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} = 2 \\ (x-3)^2+2=2 \end{cases} \iff x-3=0 \iff x=3\]. Giá trị \[x=3\] thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phương trình là \[x=3\].

Phương pháp 5: Đưa về dạng phương trình Tích

• Nguyên tắc: Biến đổi phương trình một cách khéo léo để đưa về dạng \[F(x) \cdot G(x) = 0 \iff F(x)=0 \text{ hoặc } G(x)=0\]. Đây là một phương pháp mạnh, thường yêu cầu kỹ năng nhóm các số hạng hoặc kết hợp với phương pháp nhân liên hợp để tạo ra nhân tử chung.

PHẦN 6: TỔNG KẾT VÀ TÀI NGUYÊN

Tổng kết và Sơ đồ lựa chọn phương pháp giải

Giải phương trình vô tỉ là một nghệ thuật đòi hỏi sự kiên nhẫn và lựa chọn phương pháp đúng đắn.

• Luôn bắt đầu với ĐKXĐ.

• Ưu tiên các phương pháp đơn giản trước:

  • Dạng \[\sqrt{A}=B\] hay \[\sqrt{A}=\sqrt{B}\]? -> Dùng phép nâng lên lũy thừa tương đương.

  • Có biểu thức căn lặp lại? -> Cân nhắc đặt ẩn phụ.

• Khi các phương pháp trên không hiệu quả:

  • Nhẩm được nghiệm? -> Thử nhân liên hợp.

  • Các vế có vẻ đặc biệt (tổng các bình phương, v.v.)? -> Thử đánh giá, dùng BĐT.

  • Không có hướng nào rõ ràng? -> Cân nhắc nhóm hạng tử để đưa về phương trình tích.

• Luôn thử lại nghiệm cuối cùng.

Học thêm Môn Toán tại MonToan.com.vn

Câu hỏi Thường gặp (FAQ)

• Tại sao lại có nghiệm ngoại lai? Do chúng ta sử dụng các phép biến đổi hệ quả (như bình phương hai vế) làm mở rộng tập nghiệm của phương trình. Nghiệm ngoại lai là những nghiệm của phương trình mới nhưng không phải là nghiệm của phương trình gốc.

• Làm sao để biết khi nào nên bình phương, khi nào nên đặt ẩn phụ, khi nào nhân liên hợp? Hãy dựa vào "dấu hiệu nhận biết" đã được phân tích ở các phần trên. Kinh nghiệm giải nhiều bài tập sẽ giúp bạn có một "trực giác" tốt hơn để lựa chọn phương pháp nhanh và hiệu quả nhất.

• Có cần đặt điều kiện cho phương trình chứa căn bậc ba không? Không. Căn bậc ba (và các căn bậc lẻ khác) xác định với mọi số thực, nên ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn.

• Mọi phương trình vô tỉ đều giải được không? Không. Có rất nhiều phương trình vô tỉ không thể giải được bằng các phương pháp đại số sơ cấp. Các bài toán trong chương trình học và thi cử thường đã được "thiết kế" để có thể giải được bằng một trong các phương pháp đã nêu.

Kho bài tập tổng hợp (có hướng dẫn giải)

Cách tốt nhất để làm chủ các phương pháp giải toán là thông qua thực hành. Dưới đây là 5 bài tập điển hình, bao phủ các kỹ thuật quan trọng từ cơ bản đến nâng cao. Hãy thử tự giải trước khi xem lời giải chi tiết nhé!

---

Bài 1: Giải bằng phương pháp Nâng lên lũy thừa (\[\sqrt{A}=B\])

Giải phương trình: \[\sqrt{x^2 + 3x - 1} = 2x - 1\]

• Lời giải: Đây là dạng phương trình \[\sqrt{A}=B\] kinh điển. Ta áp dụng phép biến đổi tương đương: \[\sqrt{A} = B \iff \begin{cases} B \ge 0 \\ A = B^2 \end{cases}\]

  Áp dụng vào bài toán: \[\sqrt{x^2 + 3x - 1} = 2x - 1 \iff \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x^2 + 3x - 1 = (2x - 1)^2 \end{cases}\]

  • Bước 1: Giải điều kiện. \[2x - 1 \ge 0 \iff 2x \ge 1 \iff x \ge \frac{1}{2}\]

  • Bước 2: Giải phương trình hệ quả. \[x^2 + 3x - 1 = 4x^2 - 4x + 1\] \[\iff 3x^2 - 7x + 2 = 0\] Giải phương trình bậc hai này (dùng \[\Delta\] hoặc nhẩm nghiệm), ta được hai nghiệm: \[x_1 = 2\] và \[x_2 = \frac{1}{3}\].

  • Bước 3: Đối chiếu nghiệm với điều kiện.

    • \[x_1 = 2\] thỏa mãn điều kiện \[x \ge 1/2\]. ✅ Nhận.

    • \[x_2 = 1/3\] không thỏa mãn điều kiện \[x \ge 1/2\] (vì \[1/3 \approx 0.33 < 0.5\]). ❌ Loại.

  • Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \[S = \{2\}\].

---

Bài 2: Giải bằng phương pháp Đặt ẩn phụ

Giải phương trình: \[x^2 - 4x + 8 = 4\sqrt{x^2 - 4x + 5}\]

• Lời giải: Phân tích: Ta thấy biểu thức \[x^2 - 4x\] lặp lại. Đây là dấu hiệu rõ ràng để đặt ẩn phụ.

  • Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện. Đặt \[t = \sqrt{x^2 - 4x + 5}\]. Ta có \[x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 \ge 1\]. Do đó, điều kiện cho ẩn phụ là \[t \ge 1\].

  • Bước 2: Biến đổi phương trình theo t. Từ cách đặt, ta có \[t^2 = x^2 - 4x + 5 \implies x^2 - 4x = t^2 - 5\]. Thay vào phương trình ban đầu: \[(t^2 - 5) + 8 = 4t\] \[\iff t^2 + 3 = 4t \iff t^2 - 4t + 3 = 0\]

  • Bước 3: Giải phương trình theo t và kiểm tra điều kiện của t. Giải phương trình \[t^2 - 4t + 3 = 0\], ta được \[t=1\] hoặc \[t=3\]. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \[t \ge 1\].

  • Bước 4: Trả lại biến cũ x.

    • Với t=1: \[\sqrt{x^2 - 4x + 5} = 1 \iff x^2 - 4x + 5 = 1 \iff x^2 - 4x + 4 = 0 \iff (x-2)^2 = 0 \iff x = 2\].

    • Với t=3: \[\sqrt{x^2 - 4x + 5} = 3 \iff x^2 - 4x + 5 = 9 \iff x^2 - 4x - 4 = 0\]. Giải phương trình này, ta được \[x = 2 \pm 2\sqrt{2}\].

  • Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \[S = \{2, 2 - 2\sqrt{2}, 2 + 2\sqrt{2}\}\].

---

Bài 3: Giải phương trình chứa nhiều căn (Nâng lũy thừa)

Giải phương trình: \[\sqrt{x+3} + \sqrt{6-x} = 3\]

• Lời giải:

  • Bước 1: Tìm ĐKXĐ. \[\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 6-x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 6 \end{cases} \iff -3 \le x \le 6\].

  • Bước 2: Bình phương hai vế. Vì cả hai vế của phương trình đều không âm, ta có thể bình phương hai vế: \[(\sqrt{x+3} + \sqrt{6-x})^2 = 3^2\] \[\iff (x+3) + (6-x) + 2\sqrt{(x+3)(6-x)} = 9\] \[\iff 9 + 2\sqrt{-x^2 + 3x + 18} = 9\]

  • Bước 3: Tiếp tục giải. \[\iff 2\sqrt{-x^2 + 3x + 18} = 0\] \[\iff -x^2 + 3x + 18 = 0\] Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm \[x_1 = 6\] và \[x_2 = -3\].

  • Bước 4: Đối chiếu ĐKXĐ. Cả hai nghiệm \[x=6\] và \[x=-3\] đều nằm trong đoạn \[[-3, 6]\].

  • Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \[S = \{-3, 6\}\].

---

Bài 4: Giải bằng phương pháp Đánh giá, Bất đẳng thức

Giải phương trình: \[\sqrt{x-4} + \sqrt{6-x} = 2\]

• Lời giải:

  • Bước 1: Tìm ĐKXĐ. \[\begin{cases} x-4 \ge 0 \\ 6-x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 6 \end{cases} \iff 4 \le x \le 6\].

  • Bước 2: Đánh giá vế trái (VT) bằng BĐT Cauchy-Schwarz. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho hai bộ số \[(1, 1)\] và \[(\sqrt{x-4}, \sqrt{6-x})\]: \[VT^2 = (1 \cdot \sqrt{x-4} + 1 \cdot \sqrt{6-x})^2 \le (1^2+1^2)((\sqrt{x-4})^2+(\sqrt{6-x})^2)\] \[VT^2 \le 2(x-4+6-x) = 2(2) = 4\] \[\implies VT \le 2\].

  • Bước 3: Phân tích và kết luận. Ta có \[VT \le 2\]. Phương trình \[VT=2\] chỉ có thể xảy ra khi dấu "=" trong bất đẳng thức xảy ra. Dấu "=" trong BĐT Cauchy-Schwarz xảy ra khi hai bộ số tỉ lệ: \[\frac{\sqrt{x-4}}{1} = \frac{\sqrt{6-x}}{1} \iff \sqrt{x-4} = \sqrt{6-x}\] \[\iff x-4 = 6-x \iff 2x = 10 \iff x = 5\].

  • Bước 4: Kiểm tra. Giá trị \[x=5\] thỏa mãn ĐKXĐ \[4 \le x \le 6\].

  • Kết luận: Nghiệm duy nhất của phương trình là \[x=5\].

---

Bài 5: Giải bằng phương pháp Đặt ẩn phụ (dạng căn bậc ba)

Giải phương trình: \[\sqrt[3]{x+5} + \sqrt[3]{3-x} = 2\]

• Lời giải:

  • Bước 1: Đặt ẩn phụ. (Phương trình xác định với mọi x). Đặt \[u = \sqrt[3]{x+5}\] và \[v = \sqrt[3]{3-x}\].

  • Bước 2: Lập hệ phương trình theo u và v. Từ phương trình ban đầu, ta có: \[u+v=2\]. Lập phương các biểu thức đã đặt: \[u^3=x+5\] và \[v^3=3-x\]. Cộng hai vế của hai phương trình này, ta được: \[u^3+v^3 = (x+5)+(3-x) = 8\]. Ta có hệ: \[\begin{cases} u+v=2 \\ u^3+v^3=8 \end{cases}\]

  • Bước 3: Giải hệ phương trình. Sử dụng hằng đẳng thức \[u^3+v^3 = (u+v)^3 - 3uv(u+v)\]. \[8 = 2^3 - 3uv(2) \iff 8 = 8 - 6uv \iff 6uv = 0 \iff uv=0\]. Vậy, ta có u=0 hoặc v=0.

  • Bước 4: Trả lại biến cũ x.

    • Nếu \[u=0\]: \[\sqrt[3]{x+5}=0 \implies x+5=0 \implies x=-5\].

    • Nếu \[v=0\]: \[\sqrt[3]{3-x}=0 \implies 3-x=0 \implies x=3\].

  • Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \[S = \{-5, 3\}\].