Phương trình Tuyến tính: Toàn tập Công thức, Cách giải & Ứng dụng từ A-Z

Phương trình Tuyến tính: Toàn tập Công thức, Cách giải & Ứng dụng từ A-Z

Chào mừng bạn đến với hướng dẫn toàn diện nhất về phương trình tuyến tính – một trong những khái niệm nền tảng và quan trọng nhất trong toàn bộ thế giới toán học. Từ những phép tính đơn giản nhất bạn học ở trường cấp hai cho đến các mô hình kinh tế phức tạp, phương trình tuyến tính luôn là viên gạch đầu tiên, là bộ khung vững chắc để xây dựng nên những lý thuyết cao cấp hơn. Bài viết này sẽ là một hành trình chi tiết, dẫn dắt bạn đi từ những khái niệm cơ bản nhất, khám phá các dạng công thức, làm chủ các phương pháp giải và kinh ngạc trước những ứng dụng thực tế vô cùng phong phú của chúng.

Học thêm:

Toán 6

Toán 7

PHẦN 1: NHẬP MÔN - THẾ GIỚI CỦA NHỮNG ĐƯỜNG THẲNG

Để bắt đầu, chúng ta cần xây dựng một sự hiểu biết trực quan và sâu sắc về bản chất của "tính tuyến tính", cũng như nhận ra sự hiện diện của nó ở khắp mọi nơi xung quanh chúng ta.

Giới thiệu: Phương trình Tuyến tính là gì và tại sao nó là nền tảng của Đại số?

Hãy bắt đầu bằng một ví dụ thực tế vô cùng đơn giản và quen thuộc. Giả sử bạn vào một cửa hàng và thấy một loại bút rất đẹp có giá là 5.000 VNĐ một chiếc. Nếu bạn mua \[x\] chiếc bút, tổng số tiền \[y\] bạn phải trả là bao nhiêu? Rõ ràng, mối quan hệ sẽ là: \[y = 5000x\]. Đây chính là một ví dụ hoàn hảo về một mối quan hệ tuyến tính: khi \[x\] tăng lên một đơn vị, \[y\] cũng tăng lên một lượng không đổi là 5000. Nếu biểu diễn trên đồ thị, mối quan hệ này sẽ tạo thành một đường thẳng tắp.

Từ "Tuyến tính" (Linear) trong tiếng Anh có gốc từ "Line" (đường thẳng). Đó chính là bản chất của nó. Phương trình tuyến tính mô tả các mối quan hệ thẳng, không có đường cong, không có số mũ, không có các phép toán phức tạp với biến số. Nó là dạng phương trình đơn giản và cơ bản nhất, là viên gạch đầu tiên mà mọi học sinh đều học khi bước vào thế giới đại số. Việc làm chủ phương trình tuyến tính không chỉ giúp bạn giải các bài toán trong sách giáo khoa, mà còn xây dựng một nền tảng tư duy logic vững chắc để tiếp cận các lâu đài toán học phức tạp hơn như phương trình bậc hai, hàm số mũ, và giải tích.

Các "gương mặt" của Phương trình Tuyến tính

Mặc dù có chung bản chất là "thẳng", phương trình tuyến tính xuất hiện dưới nhiều hình thức khác nhau tùy thuộc vào số lượng biến số và mục đích sử dụng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá chi tiết 3 "gương mặt" chính của nó:

Phương trình Bậc nhất Một ẩn (ví dụ: \[2x+4=0\]): Dạng đơn giản nhất, mục tiêu là tìm ra một giá trị duy nhất cho biến \[x\] để thỏa mãn phương trình.
Phương trình Đường thẳng (ví dụ: \[y=2x+1\]): Phương trình tuyến tính với hai ẩn \[x\] và \[y\], nó không có một nghiệm duy nhất mà có vô số nghiệm. Tập hợp tất cả các nghiệm này tạo thành một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.
Hệ phương trình Tuyến tính: Một tập hợp gồm hai hay nhiều phương trình tuyến tính. Việc giải hệ này tương đương với việc tìm ra điểm chung (giao điểm) của tất cả các đường thẳng đó.

PHẦN 2: DẠNG ĐƠN GIẢN NHẤT - PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Đây là dạng phương trình mà chúng ta được tiếp cận sớm nhất, thường là trong chương trình Toán cấp 2. Nó là nền tảng cho mọi kỹ năng biến đổi đại số sau này.

Khám phá Phương trình Bậc nhất Một ẩn: \[ax+b=0\]

Định nghĩa và Công thức nghiệm

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng \[ax+b=0\], trong đó \[x\] là ẩn số; \[a\] và \[b\] là các hằng số đã cho, với điều kiện quan trọng là \[a \neq 0\].

Điều kiện \[a \neq 0\] là bắt buộc, vì nếu \[a=0\], số hạng chứa \[x\] sẽ biến mất và phương trình không còn là bậc nhất nữa. Khi \[a \neq 0\], việc tìm nghiệm trở nên rất đơn giản bằng cách chuyển vế và chia.

Công thức nghiệm tổng quát: Với phương trình \[ax+b=0\] (\[a \neq 0\]), luôn có một nghiệm duy nhất là: \[ x = -\frac{b}{a} \]

Biện luận nghiệm của phương trình - Trường hợp tổng quát

Khi chúng ta không có điều kiện \[a \neq 0\], mà \[a\] có thể là một biểu thức chứa tham số, chúng ta cần biện luận tất cả các khả năng có thể xảy ra.

Xét phương trình \[ax+b=0\]:

Trường hợp 1: \[a \neq 0\] Đây là trường hợp chuẩn. Phương trình luôn có một nghiệm duy nhất là \[x = -b/a\].
Trường hợp 2: \[a = 0\] và \[b \neq 0\] Phương trình trở thành \[0 \cdot x + b = 0\], hay \[b=0\]. Điều này là vô lý vì giả thiết \[b \neq 0\]. Do đó, không có giá trị \[x\] nào có thể thỏa mãn phương trình. ==> Phương trình vô nghiệm. Ví dụ: \[0x+5=0\].
Trường hợp 3: \[a = 0\] và \[b = 0\] Phương trình trở thành \[0 \cdot x + 0 = 0\], hay \[0=0\]. Đây là một đẳng thức luôn đúng, bất kể giá trị của \[x\] là bao nhiêu. ==> Phương trình có vô số nghiệm (hay nghiệm đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]).

Hướng dẫn giải từng bước và các ví dụ thực hành

Để giải một phương trình bậc nhất một ẩn, hãy tuân theo quy trình 4 bước sau:

Quy đồng, khử mẫu (nếu có): Nếu phương trình chứa phân số, hãy tìm mẫu số chung và quy đồng hai vế, sau đó khử mẫu.
Bỏ dấu ngoặc: Sử dụng quy tắc nhân đa thức để loại bỏ tất cả các dấu ngoặc.
Chuyển vế: Chuyển tất cả các số hạng chứa ẩn \[x\] về một vế (thường là vế trái), và chuyển tất cả các hằng số về vế còn lại (vế phải). Nhớ quy tắc "chuyển vế đổi dấu".
Thu gọn và tìm \[x\]: Thu gọn mỗi vế và thực hiện phép chia cuối cùng để tìm \[x\].

Ví dụ 1 (Cơ bản): Giải \[3(x-2) = 6\].
- Bỏ ngoặc: \[3x - 6 = 6\]
- Chuyển vế: \[3x = 6 + 6 \implies 3x = 12\]
- Tìm x: \[x = 12/3 = 4\].
Ví dụ 2 (Phức tạp): Giải \[\frac{2(x+1)}{3} - 1 = \frac{3x-1}{4}\].
- Quy đồng (mẫu chung là 12): \[\frac{8(x+1)}{12} - \frac{12}{12} = \frac{3(3x-1)}{12}\]
- Khử mẫu: \[8(x+1) - 12 = 3(3x-1)\]
- Bỏ ngoặc: \[8x + 8 - 12 = 9x - 3\]
- Thu gọn: \[8x - 4 = 9x - 3\]
- Chuyển vế: \[8x - 9x = -3 + 4 \implies -x = 1\]
- Tìm x: \[x = -1\].

PHẦN 3: HÌNH HỌC CỦA ĐẠI SỐ - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Đây là phần trọng tâm, nơi chúng ta thấy được sự kết nối tuyệt đẹp giữa đại số và hình học. Một phương trình tuyến tính với hai ẩn sẽ không còn là một bài toán tìm một con số, mà là một bài toán mô tả một đối tượng hình học: đường thẳng.

Phương trình Tuyến tính Hai ẩn và mối liên hệ với Đường thẳng

Một phương trình tuyến tính hai ẩn \[x, y\] thường có dạng tổng quát là \[ax+by=c\]. Không giống như phương trình một ẩn, chúng ta không thể tìm được một cặp \[(x,y)\] duy nhất. Thay vào đó, có vô số cặp số \[(x,y)\] thỏa mãn phương trình này.

Điểm đặc biệt là, nếu chúng ta biểu diễn tất cả các cặp nghiệm \[(x,y)\] này lên một mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], chúng sẽ cùng nhau tạo thành một đường thẳng duy nhất. Mỗi điểm trên đường thẳng có tọa độ thỏa mãn phương trình, và mỗi cặp tọa độ thỏa mãn phương trình đều là một điểm nằm trên đường thẳng.

Các Dạng Công thức của Phương trình Đường thẳng (d)

Một đường thẳng có thể được mô tả bằng nhiều dạng phương trình khác nhau. Việc hiểu rõ từng dạng sẽ giúp bạn linh hoạt trong việc giải toán và chuyển đổi giữa chúng.

Dạng 1: Phương trình Tổng quát: \[Ax+By+C=0\]

Đây là dạng phổ quát nhất, có thể biểu diễn mọi đường thẳng, kể cả các đường thẳng đứng.

Vector pháp tuyến \[\vec{n}\]: Một vector quan trọng liên quan đến phương trình này là vector pháp tuyến \[\vec{n}=(A,B)\], là vector có giá vuông góc với đường thẳng.
Vector chỉ phương \[\vec{u}\]: Từ vector pháp tuyến, ta có thể suy ra vector chỉ phương (vector có giá song song hoặc trùng với đường thẳng): \[\vec{u}=(-B,A)\] hoặc \[\vec{u}=(B,-A)\].

Dạng 2: Phương trình theo Hệ số góc và Tung độ gốc: \[y=mx+b\]

Dạng này rất phổ biến và trực quan, nhưng nó không thể biểu diễn được các đường thẳng đứng (song song với trục Oy).

Hệ số góc (\[m\]): Đây là thông số quan trọng nhất, cho biết "độ dốc" của đường thẳng. Nếu bạn đi từ trái sang phải, \[m>0\] đường thẳng đi lên (hàm đồng biến), \[m<0\] đường thẳng đi xuống (hàm nghịch biến), \[m=0\] đường thẳng nằm ngang. Về mặt lượng giác, \[m\] là tang của góc \[\alpha\] tạo bởi đường thẳng và chiều dương của trục \[Ox\].
Tung độ gốc (\[b\]): Đây là tung độ của giao điểm giữa đường thẳng và trục tung \[Oy\]. Nói cách khác, đường thẳng luôn đi qua điểm có tọa độ \[(0, b)\].

Dạng 3: Phương trình theo Điểm và Hệ số góc: \[y-y_0 = m(x-x_0)\]

Đây là công thức cực kỳ hữu ích để viết nhanh phương trình đường thẳng khi bạn đã biết hệ số góc \[m\] và một điểm \[M(x_0, y_0)\] mà đường thẳng đi qua. Công thức này được suy trực tiếp từ dạng \[y=mx+b\].

Dạng 4: Phương trình theo Đoạn chắn: \[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\]

Dạng này được sử dụng khi chúng ta biết tọa độ giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ.

Đường thẳng cắt trục \[Ox\] tại điểm \[(a, 0)\] (với \[a \neq 0\]).
Đường thẳng cắt trục \[Oy\] tại điểm \[(0, b)\] (với \[b \neq 0\]).

Hướng dẫn Viết phương trình Đường thẳng trong mọi trường hợp

Dưới đây là các bài toán kinh điển về việc lập phương trình đường thẳng.

Bài toán 1: Biết hệ số góc m và đi qua điểm \[M(x_1, y_1)\]
- Phương pháp: Dùng trực tiếp phương trình dạng điểm - hệ số góc: \[y-y_1 = m(x-x_1)\].
- Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc \[m=2\] và đi qua điểm \[A(1, 3)\]. \[y-3 = 2(x-1) \iff y-3 = 2x-2 \iff y = 2x+1\].
Bài toán 2: Biết đường thẳng đi qua hai điểm \[A(x_A, y_A)\] và \[B(x_B, y_B)\]
- Phương pháp:
  1. Tính vector chỉ phương \[\vec{u} = \vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A)\].
  2. Suy ra vector pháp tuyến \[\vec{n}\].
  3. Viết phương trình tổng quát đi qua điểm A (hoặc B) và có vector pháp tuyến \[\vec{n}\].
- Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua \[A(2,1)\] và \[B(4,5)\].
  1. \[\vec{AB} = (2, 4)\]. Chọn \[\vec{u}=(1,2)\] làm VTCP.
  2. VTPT \[\vec{n}=(-2, 1)\].
  3. Phương trình: \[-2(x-2) + 1(y-1) = 0 \iff -2x+4+y-1=0 \iff -2x+y+3=0\].
Bài toán 3: Đi qua điểm M và song song với đường thẳng d'
- Phương pháp: Vì \[d // d'\], nên \[d\] và \[d'\] có cùng vector pháp tuyến và vector chỉ phương.
- Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua \[M(1,2)\] và song song với \[d': 3x-y+5=0\].
  1. \[d'\] có VTPT \[\vec{n}=(3,-1)\].
  2. Vì \[d // d'\], d cũng có VTPT \[\vec{n}=(3,-1)\].
  3. Phương trình d: \[3(x-1) - 1(y-2) = 0 \iff 3x-3-y+2=0 \iff 3x-y-1=0\].
Bài toán 4: Đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d'
- Phương pháp: Vì \[d \perp d'\], nên VTPT của \[d'\] chính là VTCP của \[d\], và ngược lại.
- Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua \[M(-1,0)\] và vuông góc với \[d': 2x+y-3=0\].
  1. \[d'\] có VTPT \[\vec{n}_{d'}=(2,1)\].
  2. Vì \[d \perp d'\], d sẽ nhận \[\vec{n}_{d'}\] làm VTCP: \[\vec{u}_d=(2,1)\].
  3. Suy ra VTPT của d là \[\vec{n}_d=(1,-2)\].
  4. Phương trình d: \[1(x-(-1)) - 2(y-0) = 0 \iff x+1-2y=0 \iff x-2y+1=0\].

Hướng dẫn Vẽ đồ thị một Đường thẳng

Cách đơn giản và phổ biến nhất để vẽ đồ thị của một đường thẳng là tìm tọa độ của hai điểm phân biệt mà nó đi qua. Thông thường, chúng ta sẽ tìm giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ.

Tìm giao điểm với trục Oy: Cho \[x=0\], giải tìm \[y\]. Ta có điểm \[A(0, y_A)\].
Tìm giao điểm với trục Ox: Cho \[y=0\], giải tìm \[x\]. Ta có điểm \[B(x_B, 0)\].
Vẽ: Vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B vừa tìm được. Đây chính là đồ thị cần vẽ.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng \[d_1: y=m_1x+b_1\] và \[d_2: y=m_2x+b_2\].

Cắt nhau: Khi và chỉ khi độ dốc khác nhau. \[m_1 \neq m_2\].
Song song: Khi và chỉ khi độ dốc bằng nhau nhưng tung độ gốc khác nhau. \[m_1 = m_2\] và \[b_1 \neq b_2\].
Trùng nhau: Khi và chỉ khi cả độ dốc và tung độ gốc đều giống nhau. \[m_1 = m_2\] và \[b_1 = b_2\].
Vuông góc (trường hợp đặc biệt của cắt nhau): Khi và chỉ khi tích hai hệ số góc bằng -1. \[m_1 \cdot m_2 = -1\].

PHẦN 4: TÌM ĐIỂM CHUNG - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Khi chúng ta có nhiều hơn một phương trình tuyến tính, chúng ta có một hệ phương trình. Giải hệ này là một trong những kỹ năng toán học cơ bản và có nhiều ứng dụng nhất.

Giới thiệu Hệ phương trình Tuyến tính: Nơi các đường thẳng gặp nhau

Về mặt hình học, giải một hệ gồm hai phương trình tuyến tính hai ẩn chính là đi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng tương ứng. Nghiệm của hệ \[(x_0, y_0)\] chính là điểm duy nhất mà cả hai đường thẳng cùng đi qua. Một hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng tổng quát: \[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]

Các phương pháp giải Hệ phương trình Tuyến tính Hai ẩn

Có hai phương pháp đại số chính để giải hệ phương trình này.

Phương pháp Thế (Substitution Method)

Quy trình:

Từ một trong hai phương trình, rút một ẩn theo ẩn còn lại (ví dụ, rút \[y\] theo \[x\]).

Thế biểu thức vừa rút được vào phương trình thứ hai.

Lúc này, phương trình thứ hai chỉ còn một ẩn. Giải phương trình này để tìm giá trị của ẩn đó.

Thay giá trị của ẩn vừa tìm được trở lại biểu thức ở bước 1 để tìm nốt ẩn còn lại.

Ví dụ: Giải hệ \[\begin{cases} x+2y=5 \quad (1) \\ 3x-y=1 \quad (2) \end{cases}\]
1. Từ (1), rút \[x\]: \[x = 5-2y\].
2. Thế vào (2): \[3(5-2y) - y = 1\].
3. Giải phương trình một ẩn \[y\]: \[15-6y-y=1 \iff 15-7y=1 \iff -7y=-14 \iff y=2\].
4. Thay \[y=2\] vào \[x = 5-2y\]: \[x = 5-2(2) = 1\].
5. Nghiệm của hệ là \[(x,y) = (1,2)\].

Phương pháp Cộng Đại số (Elimination Method)

Quy trình:

Nhân cả hai vế của một hoặc cả hai phương trình với các hằng số thích hợp sao cho hệ số của một trong hai ẩn (\[x\] hoặc \[y\]) trong hai phương trình trở thành hai số đối nhau.

Cộng vế theo vế của hai phương trình mới. Một ẩn sẽ bị triệt tiêu, ta thu được một phương trình một ẩn.

Giải phương trình này để tìm giá trị của ẩn đó.

Thay giá trị vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm nốt ẩn còn lại.

Ví dụ: Giải lại hệ \[\begin{cases} x+2y=5 \quad (1) \\ 3x-y=1 \quad (2) \end{cases}\]
1. Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 để hệ số của \[y\] đối nhau: \[\begin{cases} x+2y=5 \\ 6x-2y=2 \end{cases}\]
2. Cộng vế theo vế: \[(x+6x)+(2y-2y) = 5+2 \implies 7x=7\].
3. Giải tìm \[x\]: \[x=1\].
4. Thay \[x=1\] vào (1): \[1+2y=5 \iff 2y=4 \iff y=2\].
5. Nghiệm của hệ là \[(x,y) = (1,2)\].

Biện luận số nghiệm của Hệ phương trình

Số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính hai ẩn tương ứng với vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Hệ có nghiệm duy nhất: Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Điều này xảy ra khi \[\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\].
Hệ vô nghiệm: Khi hai đường thẳng song song và không có điểm chung. Điều này xảy ra khi \[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\].
Hệ có vô số nghiệm: Khi hai đường thẳng trùng nhau. Điều này xảy ra khi \[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\].

Mở rộng: Giới thiệu về Hệ phương trình Tuyến tính Ba ẩn

Một hệ phương trình tuyến tính ba ẩn có dạng: \[\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases}\] Về mặt hình học, mỗi phương trình này biểu diễn một mặt phẳng trong không gian 3 chiều. Giải hệ này chính là tìm giao điểm chung của cả ba mặt phẳng. Phương pháp giải phổ biến là phương pháp khử dần (phương pháp Gauss): dùng phương pháp cộng đại số để khử một ẩn (ví dụ: z) từ hai cặp phương trình, đưa hệ 3 ẩn về hệ 2 ẩn. Sau đó giải hệ 2 ẩn này rồi thay ngược lại để tìm nốt ẩn còn lại.

PHẦN 5: ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Phương trình tuyến tính là một trong những công cụ toán học được ứng dụng nhiều nhất để mô hình hóa các vấn đề trong thế giới thực.

Giải các bài toán thực tế bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Quy trình chung là:

Đặt ẩn: Gọi các đại lượng chưa biết là \[x, y, ...\] và đặt điều kiện cho chúng.
Lập phương trình: Dựa vào các dữ kiện và mối quan hệ trong đề bài để thiết lập các phương trình tuyến tính.
Giải phương trình/hệ phương trình: Sử dụng các phương pháp đã học.
Kiểm tra và kết luận: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện ban đầu và trả lời câu hỏi của bài toán.

Bài toán Cung - Cầu: Trong kinh tế, giá cân bằng của một sản phẩm là mức giá mà tại đó lượng cung bằng lượng cầu. Cả hai đường cung và cầu thường được mô hình hóa bằng các phương trình tuyến tính. Giải hệ phương trình cung-cầu sẽ cho ra giá và sản lượng cân bằng.
Bài toán Chuyển động: Các bài toán về chuyển động thẳng đều, chuyển động của ca nô trên dòng nước thường dẫn đến các phương trình và hệ phương trình tuyến tính liên quan đến quãng đường, vận tốc và thời gian (\[S=v \cdot t\]).
Bài toán Lãi suất, Đầu tư: Các mô hình tăng trưởng vốn đơn giản hoặc các bài toán phân bổ vốn đầu tư vào các kênh khác nhau với lãi suất khác nhau thường được giải quyết bằng hệ phương trình tuyến tính.
Bài toán Dinh dưỡng, Pha chế: Xác định lượng cần thiết của mỗi thành phần để tạo ra một hỗn hợp cuối cùng có các đặc tính mong muốn (ví dụ: một loại thức ăn gia súc có tỷ lệ protein và chất béo nhất định).
Bài toán Tuổi tác: Các bài toán cổ điển về tuổi của cha và con, mẹ và con... thường được giải quyết một cách thanh lịch bằng cách lập hệ phương trình.

PHẦN 6: TỔNG KẾT VÀ TÀI NGUYÊN

Tổng kết: Sức mạnh của sự đơn giản và đường thẳng

Phương trình tuyến tính, mặc dù là dạng đơn giản nhất, lại là một trong những công cụ mạnh mẽ và phổ quát nhất. Nó là nền tảng của đại số, là cầu nối giữa đại số và hình học, và là công cụ mô hình hóa đầu tiên chúng ta học được để áp dụng toán học vào việc giải quyết các vấn đề trong thế giới thực. Nắm vững phương trình tuyến tính chính là nắm vững ngôn ngữ cơ bản của khoa học và kỹ thuật.

Câu hỏi Thường gặp (FAQ)

Làm thế nào để biết một phương trình có phải là tuyến tính hay không? Một phương trình là tuyến tính nếu các biến số của nó chỉ có số mũ là 1, không có phép nhân các biến với nhau, và không nằm trong các hàm phi tuyến như sin, cos, log, căn bậc hai.
Sự khác biệt giữa hàm số bậc nhất và phương trình đường thẳng là gì? Hàm số bậc nhất \[y=ax+b\] (\[a \neq 0\]) là một trường hợp đặc biệt của phương trình đường thẳng \[Ax+By+C=0\]. Mọi hàm số bậc nhất đều là một đường thẳng, nhưng không phải đường thẳng nào cũng là hàm số bậc nhất (ví dụ: đường thẳng đứng \[x=c\] không phải là một hàm số).
Tại sao hệ số góc lại quan trọng như vậy? Hệ số góc cho chúng ta biết ngay lập tức tốc độ thay đổi và chiều hướng của mối quan hệ. Nó cho biết khi x tăng 1 đơn vị thì y thay đổi bao nhiêu đơn vị, một thông tin cực kỳ quan trọng trong các mô hình thực tế.

Kho bài tập tự luyện (có đáp án)

Thực hành là cách tốt nhất để củng cố kiến thức. Dưới đây là một số bài tập điển hình, bao phủ các dạng toán quan trọng đã được trình bày trong bài. Hãy thử tự giải trước khi xem lời giải chi tiết nhé!

Bài 1: Giải Phương trình Bậc nhất Một ẩn

Giải phương trình sau: \[3(x+1) - 2(x-3) = 5x + 1\]

Lời giải:
- Bước 1: Bỏ dấu ngoặc. \[3x + 3 - 2x + 6 = 5x + 1\]
- Bước 2: Thu gọn vế trái. \[x + 9 = 5x + 1\]
- Bước 3: Chuyển vế. \[x - 5x = 1 - 9\] \[-4x = -8\]
- Bước 4: Tìm x. \[x = \frac{-8}{-4} = 2\]
- Kết luận: Nghiệm của phương trình là \[x=2\].

Bài 2: Viết Phương trình Đường thẳng qua hai điểm

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \[A(1, 4)\] và \[B(3, -2)\].

Lời giải:
- Bước 1: Tìm hệ số góc m \[m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 4}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3\]
- Bước 2: Sử dụng phương trình dạng điểm - hệ số góc Chọn điểm A(1, 4) và hệ số góc \[m=-3\], ta có: \[y - 4 = -3(x - 1)\]
- Bước 3: Đưa về dạng y=mx+b \[y - 4 = -3x + 3\] \[y = -3x + 7\]
- Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là \[y = -3x + 7\].

Bài 3: Viết Phương trình Đường thẳng có điều kiện Vuông góc

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm \[P(2, 5)\] và vuông góc với đường thẳng \[d': y = \frac{1}{3}x - 1\].

Lời giải:
- Bước 1: Xác định hệ số góc của d' Đường thẳng \[d'\] có hệ số góc \[m_1 = \frac{1}{3}\].
- Bước 2: Tìm hệ số góc của d Vì \[d \perp d'\], nên tích hệ số góc của chúng bằng -1: \[m \cdot m_1 = -1\]. \[m \cdot \frac{1}{3} = -1 \implies m = -3\]
- Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d Đường thẳng d đi qua \[P(2, 5)\] và có hệ số góc \[m=-3\]. Áp dụng công thức: \[y - 5 = -3(x - 2)\] \[y - 5 = -3x + 6\] \[y = -3x + 11\]
- Kết luận: Phương trình đường thẳng d là \[y = -3x + 11\].

Bài 4: Giải Hệ Phương trình Tuyến tính Hai ẩn

Giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - y = 5 \end{cases} \]

Lời giải (sử dụng phương pháp Cộng Đại số):
- Bước 1: Chuẩn bị để khử ẩn y Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 3: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 9x - 3y = 15 \end{cases} \]
- Bước 2: Cộng vế theo vế \[(2x+9x) + (3y-3y) = 7+15\] \[11x = 22\]
- Bước 3: Giải tìm x \[x = 2\]
- Bước 4: Thay x vào để tìm y Thay \[x=2\] vào phương trình đầu tiên: \[2(2) + 3y = 7 \implies 4 + 3y = 7 \implies 3y = 3 \implies y = 1\]
- Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là \[(x, y) = (2, 1)\].

Bài 5: Bài toán thực tế

Một rạp chiếu phim bán được tổng cộng 150 vé cho một suất chiếu, bao gồm vé người lớn và vé trẻ em. Giá vé người lớn là 80.000 VNĐ, giá vé trẻ em là 50.000 VNĐ. Biết rằng tổng doanh thu từ suất chiếu đó là 10.200.000 VNĐ. Hỏi rạp đã bán được bao nhiêu vé mỗi loại?

Lời giải:
- Bước 1: Đặt ẩn Gọi \[x\] là số vé người lớn đã bán. Gọi \[y\] là số vé trẻ em đã bán. (Điều kiện: \[x, y\] là các số nguyên dương).
- Bước 2: Lập hệ phương trình
  - Phương trình về tổng số vé: \[x + y = 150\] (1)
  - Phương trình về tổng doanh thu: \[80000x + 50000y = 10200000\]. Ta có thể rút gọn phương trình này bằng cách chia cả hai vế cho 10.000: \[8x + 5y = 1020\] (2)
- Bước 3: Giải hệ phương trình Từ (1) suy ra \[x = 150 - y\]. Thế vào (2): \[8(150 - y) + 5y = 1020\] \[1200 - 8y + 5y = 1020\] \[1200 - 3y = 1020\] \[3y = 1200 - 1020 = 180\] \[y = 60\] Tìm x: \[x = 150 - 60 = 90\].
- Bước 4: Kết luận Cả hai giá trị \[x=90\] và \[y=60\] đều thỏa mãn điều kiện. Vậy, rạp đã bán được 90 vé người lớn và 60 vé trẻ em.