Phương trình Mũ: Toàn tập Công thức, Phương pháp giải & Ứng dụng từ A-Z

Phương trình Mũ: Toàn tập Công thức, Phương pháp giải & Ứng dụng từ A-Z

Chào mừng bạn đến với hướng dẫn toàn diện nhất về phương trình mũ – một trong những dạng phương trình quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế nhất trong toán học. Từ việc mô tả sự tăng trưởng của một khoản đầu tư, sự phát triển của một quần thể sinh vật, cho đến sự lây lan của một loại virus, phương trình mũ xuất hiện ở khắp mọi nơi. Việc làm chủ các phương pháp giải phương trình mũ không chỉ là một yêu cầu cốt lõi trong chương trình phổ thông và các kỳ thi quan trọng, mà còn mở ra một cánh cửa để hiểu và mô hình hóa thế giới xung quanh chúng ta. Bài viết này sẽ trang bị cho bạn một bộ công cụ hoàn chỉnh, từ những kiến thức nền tảng đến các kỹ thuật giải toán nâng cao, giúp bạn tự tin chinh phục mọi dạng bài tập.

Học thêm:

• Toán 11
• Toán 12

PHẦN 1: NHẬP MÔN - KHÁM PHÁ SỨC MẠNH CỦA LŨY THỪA

Trước khi đi sâu vào các phương pháp giải cụ thể, chúng ta cần xây dựng một nền tảng vững chắc, hiểu rõ bản chất của phương trình mũ và ôn lại những kiến thức liên quan. Phần này sẽ tạo ra bối cảnh và sự hứng thú cần thiết cho hành trình khám phá phía trước.

Giới thiệu: Phương trình Mũ là gì và tại sao nó mô tả cả thế giới?

Hãy xem xét những ví dụ rất thực tế xung quanh chúng ta. Một khoản tiền gửi ngân hàng tăng lên theo lãi kép. Một quần thể vi khuẩn nhân đôi sau mỗi giờ. Một chất phóng xạ phân rã mất đi một nửa khối lượng sau một khoảng thời gian nhất định. Một tin tức lan truyền trên mạng xã hội với tốc độ chóng mặt. Tất cả những hiện tượng này có chung một đặc điểm: chúng đều tuân theo quy luật tăng trưởng hoặc suy giảm theo cấp số nhân. Và ngôn ngữ toán học dùng để mô tả những quy luật này chính là phương trình mũ.

Định nghĩa: Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số nằm ở số mũ của một hoặc nhiều lũy thừa. Ví dụ: \[2^x = 8\], \[3^{x+1} = 5^x\], \[9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0\].

Về bản chất, việc giải một phương trình mũ chính là đi tìm câu trả lời cho câu hỏi "cần bao nhiêu thời gian?" hoặc "cần bao nhiêu chu kỳ?" để một quá trình tăng trưởng hoặc suy giảm đạt đến một trạng thái nhất định. Ví dụ, giải phương trình \[100(1.07)^t = 200\] chính là đi tìm xem cần bao nhiêu năm (t) để một khoản tiền 100 triệu với lãi suất 7%/năm tăng lên thành 200 triệu. Điều này cho thấy phương trình mũ không chỉ là một khái niệm trừu tượng mà còn là một công cụ mô hình hóa thế giới thực vô cùng mạnh mẽ.

Ôn tập Nền tảng: Hàm số Mũ và các Tính chất Vàng

Để có thể giải phương trình mũ một cách hiệu quả, việc nắm vững các tính chất của "nhân vật chính" – hàm số mũ \[y=a^x\] – là điều kiện tiên quyết.

Định nghĩa: Hàm số mũ có dạng \[y=a^x\], với cơ số \[a\] là một số thực dương và khác 1 (\[a>0, a \neq 1\]).

Dưới đây là các tính chất cốt lõi mà bạn không thể bỏ qua:

• Tập xác định: Hàm số mũ xác định với mọi giá trị của x. Tập xác định là \[D = \mathbb{R}\].

• Tập giá trị: Lũy thừa của một số dương luôn là một số dương. Do đó, \[a^x > 0\] với mọi x. Tập giá trị là \[T = (0, +\infty)\]. Đây là một tính chất cực kỳ quan trọng, đặc biệt khi đặt ẩn phụ \[t=a^x\], ta luôn phải có điều kiện \[t>0\].

• Tính đơn điệu: Đây là tính chất then chốt để giải và biện luận phương trình mũ.

  • Nếu \[a>1\]: Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\]. Điều này có nghĩa là nếu \[x_1 > x_2\] thì \[a^{x_1} > a^{x_2}\].

  • Nếu \[0: Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\]. Điều này có nghĩa là nếu \[x_1 > x_2\] thì \[a^{x_1} < a^{x_2}\].

Đồ thị: Đồ thị của hàm số mũ luôn đi qua điểm \[(0,1)\] (vì \[a^0=1\]), nằm hoàn toàn phía trên trục hoành Ox, và nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.

PHẦN 2: "CHÌA KHÓA VẠN NĂNG" - VAI TRÒ CỦA LOGARIT

Với những phương trình mũ đơn giản, ta có thể giải bằng cách nhẩm hoặc đưa về cùng cơ số. Nhưng với những phương trình phức tạp hơn, chúng ta cần một công cụ mạnh mẽ hơn, một "chìa khóa vạn năng" để "mở khóa" ẩn số đang bị kẹt trên số mũ. Công cụ đó chính là logarit.

Giới thiệu Logarit: Công cụ "hạ gục" số mũ

Hãy xem xét phương trình \[2^x = 7\]. Ta không thể viết số 7 dưới dạng lũy thừa của 2 một cách dễ dàng. Biến \[x\] đang bị "mắc kẹt" ở trên cao. Làm thế nào để "kéo" nó xuống? Các phép toán thông thường như cộng, trừ, nhân, chia đều không thể làm được điều này. Chúng ta cần một phép toán mới, một phép toán ngược của phép lấy lũy thừa.

Phép toán đó chính là logarit. Logarit được sinh ra để trả lời cho câu hỏi: "Cơ số a phải được nâng lên lũy thừa bao nhiêu để có được số x?". Phép toán này chính là chìa khóa để giải phóng ẩn số ra khỏi vị trí số mũ.

Định nghĩa Logarit

Định nghĩa: Cho hai số dương \[a, x\] với \[a \neq 1\]. Số \[y\] thỏa mãn đẳng thức \[a^y = x\] được gọi là logarit cơ số a của x, và được ký hiệu là \[y = \log_a(x)\]. \[y = \log_a(x) \iff a^y = x\]

Các công thức Logarit quan trọng cần thiết để giải phương trình mũ

Để giải phương trình mũ, bạn không cần phải biết tất cả các công thức logarit, nhưng có một công thức quan trọng bậc nhất mà bạn không thể không biết.

• Công thức "Hạ số mũ" (quan trọng nhất): \[ \log_a(b^m) = m \cdot \log_a(b) \] Đây chính là phép biến đổi thần kỳ cho phép chúng ta "kéo" số mũ \[m\] (nơi có thể chứa ẩn x) từ bên trong logarit ra ngoài làm một phép nhân.

• Các công thức khác cũng hữu ích:

  • Logarit của một tích: \[\log_a(b_1 \cdot b_2) = \log_a(b_1) + \log_a(b_2)\].

  • Logarit của một thương: \[\log_a(\frac{b_1}{b_2}) = \log_a(b_1) - \log_a(b_2)\].

Việc nắm vững các công thức này, đặc biệt là công thức hạ số mũ, là điều kiện bắt buộc để có thể tiếp cận các phương pháp giải phương trình mũ phức tạp ở phần sau.

PHẦN 3: BỘ CÔNG CỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Đây là phần trọng tâm của bài viết, nơi chúng ta sẽ đi sâu vào từng phương pháp giải cụ thể. Mỗi phương pháp giống như một "công cụ" trong bộ đồ nghề của bạn, và một người thợ giỏi là người biết khi nào nên dùng công cụ nào.

Phương pháp 1 (Cơ bản nhất): Đưa về cùng Cơ số

Đây là phương pháp trực quan, đơn giản và nên được ưu tiên nghĩ đến đầu tiên.

• Nguyên tắc: Phương pháp này dựa trên tính đơn điệu của hàm số mũ. Vì hàm số mũ luôn đồng biến hoặc nghịch biến, mỗi giá trị của hàm số chỉ tương ứng với một giá trị của biến số duy nhất.

  Nếu \[a>0, a \neq 1\] thì: \[ a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x) \]

• Khi nào dùng: Khi cả hai vế của phương trình có thể được biểu diễn một cách dễ dàng dưới dạng lũy thừa của cùng một cơ số.

• Ví dụ chi tiết: Giải phương trình \[3^{x^2 - 4x + 5} = 9\].

  • Phân tích: Ta thấy vế phải \[9\] có thể được viết thành \[3^2\]. Cả hai vế đều có thể đưa về cơ số 3.

  • Giải: \[3^{x^2 - 4x + 5} = 3^2\] \[\iff x^2 - 4x + 5 = 2\] \[\iff x^2 - 4x + 3 = 0\] Phương trình này có \[a+b+c = 1-4+3=0\], vậy có hai nghiệm là \[x_1=1\] và \[x_2=c/a=3\].

  • Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \[S = \{1, 3\}\].

• Ví dụ nâng cao: Giải phương trình \[4^{x-1} \cdot (0.5)^{3-2x} = (0.25)^{-x}\].

  • Phân tích: Các cơ số là \[4, 0.5, 0.25\]. Ta nhận thấy tất cả chúng đều có thể đưa về lũy thừa của cơ số 2: \[4=2^2, 0.5=2^{-1}, 0.25=2^{-2}\].

  • Giải: \[(2^2)^{x-1} \cdot (2^{-1})^{3-2x} = (2^{-2})^{-x}\] \[\iff 2^{2(x-1)} \cdot 2^{-(3-2x)} = 2^{2x}\] \[\iff 2^{2x-2 - 3+2x} = 2^{2x}\] \[\iff 2^{4x-5} = 2^{2x}\] \[\iff 4x-5 = 2x \iff 2x=5 \iff x = 5/2\].

  • Kết luận: Nghiệm của phương trình là \[x = 5/2\].

Phương pháp 2 (Phổ biến nhất): Logarit hóa hai vế

Khi hai vế của phương trình có cơ số khác nhau và không thể đưa về cùng một cơ số, đây là phương pháp tổng quát và mạnh mẽ nhất.

• Nguyên tắc: Lấy logarit hai vế của phương trình (thường là logarit cơ số 10 - log, hoặc logarit tự nhiên - ln) để tận dụng công thức \[\log_c(a^m) = m \cdot \log_c(a)\] và "hạ" các số mũ chứa ẩn xuống.

• Khi nào dùng: Khi các cơ số là khác nhau và không có quan hệ lũy thừa đơn giản (ví dụ: 2 và 5, 3 và 7).

• Dạng kinh điển 1: \[a^{f(x)} = b\] (với \[b>0\])

  • Cách giải: Lấy logarit cơ số a hai vế, ta được: \[\log_a(a^{f(x)}) = \log_a(b) \iff f(x) = \log_a(b)\].

• Dạng kinh điển 2: \[a^{f(x)} = b^{g(x)}\]

  • Cách giải: Lấy logarit một cơ số c bất kỳ (thường là 10 hoặc e) cho cả hai vế: \[\log_c(a^{f(x)}) = \log_c(b^{g(x)})\] \[\iff f(x) \cdot \log_c(a) = g(x) \cdot \log_c(b)\]. Đây là một phương trình đại số thông thường, ta có thể giải để tìm x.

• Ví dụ chi tiết: Giải phương trình \[2^{x-1} = 5^{x+1}\].

  • Phân tích: Cơ số 2 và 5 khác nhau, không thể đưa về cùng cơ số. Ta sẽ logarit hóa.

  • Giải: Lấy logarit tự nhiên (ln) hai vế: \[\ln(2^{x-1}) = \ln(5^{x+1})\] \[\iff (x-1)\ln(2) = (x+1)\ln(5)\] Đây là một phương trình bậc nhất với ẩn x. Ta tiến hành khai triển và nhóm x: \[x\ln(2) - \ln(2) = x\ln(5) + \ln(5)\] \[x\ln(2) - x\ln(5) = \ln(5) + \ln(2)\] \[x(\ln(2) - \ln(5)) = \ln(5 \cdot 2) = \ln(10)\] \[x \cdot \ln(2/5) = \ln(10)\] \[\iff x = \frac{\ln(10)}{\ln(2/5)} = \frac{\ln(10)}{\ln(0.4)}\]

  • Kết luận: Nghiệm của phương trình là \[x = \frac{\ln(10)}{\ln(0.4)}\].

Phương pháp 3 (Thanh lịch nhất): Đặt ẩn phụ

Đây là một kỹ thuật rất đẹp, giúp biến đổi một phương trình mũ phức tạp về một phương trình đại số quen thuộc (bậc hai, bậc ba,...).

• Dấu hiệu nhận biết: Phương trình chứa các lũy thừa có thể biểu diễn qua nhau. Ví dụ, sự xuất hiện của \[9^x = (3^x)^2\], \[4^x = (2^x)^2\], hay \[a^{2x}, a^x\].

• Dạng 1: Đưa về phương trình bậc hai, bậc ba

  • Ví dụ: Giải phương trình \[4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0\].

    • Phân tích: Ta nhận thấy \[4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\]. Phương trình có dạng bậc hai đối với \[2^x\].

    • Đặt ẩn phụ: Đặt \[t = 2^x\]. Điều kiện VÀNG: Vì \[2^x > 0\] với mọi x, nên \[t>0\].

    • Phương trình trở thành: \[t^2 - 5t + 4 = 0\].

    • Giải phương trình này, ta được \[t=1\] hoặc \[t=4\]. Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện \[t>0\].

    • Trả lại biến cũ:

      • Với \[t=1\]: \[2^x = 1 \iff 2^x = 2^0 \iff x=0\].

      • Với \[t=4\]: \[2^x = 4 \iff 2^x = 2^2 \iff x=2\].

    • Kết luận: Tập nghiệm là \[S = \{0, 2\}\].

• Dạng 2: Dạng \[A \cdot a^{2f(x)} + B \cdot (ab)^{f(x)} + C \cdot b^{2f(x)} = 0\]

  • Phương pháp: Đây là dạng phương trình đẳng cấp. Ta chia cả hai vế cho \[b^{2f(x)}\] (hoặc \[a^{2f(x)}\]) để đưa về phương trình bậc hai với ẩn là \[(\frac{a}{b})^{f(x)}\].

  • Ví dụ: Giải phương trình \[6 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 6 \cdot 4^x = 0\].

    • Phân tích: \[9^x=(3^2)^x, 4^x=(2^2)^x, 6^x=(2\cdot3)^x=2^x\cdot3^x\].

    • Phương trình trở thành: \[6 \cdot (3^x)^2 - 13 \cdot (2^x \cdot 3^x) + 6 \cdot (2^x)^2 = 0\].

    • Chia hai vế cho \[4^x = (2^x)^2 > 0\], ta được: \[6 \cdot \frac{(3^x)^2}{(2^x)^2} - 13 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{(2^x)^2} + 6 \cdot \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} = 0\] \[\iff 6 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 13 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 6 = 0\]

    • Đặt ẩn phụ: Đặt \[t = (\frac{3}{2})^x\], \[t>0\]. Phương trình trở thành: \[6t^2 - 13t + 6 = 0\].

    • Giải phương trình này, ta được \[t = 3/2\] hoặc \[t = 2/3\]. Cả hai đều thỏa mãn \[t>0\].

    • Trả lại biến cũ:

      • \[(\frac{3}{2})^x = \frac{3}{2} \iff x=1\].

      • \[(\frac{3}{2})^x = \frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1} \iff x=-1\].

    • Kết luận: Tập nghiệm là \[S = \{1, -1\}\].

PHẦN 4: CÁC KỸ THUẬT NÂNG CAO CHO HỌC SINH GIỎI

Đối với các phương trình không thuộc các dạng chuẩn ở trên, chúng ta cần đến các công cụ tư duy cao cấp hơn.

Phương pháp 4: Sử dụng tính Đơn điệu của Hàm số (Phương pháp Hàm số)

 

• Nguyên tắc: Dựa trên tính chất cơ bản: Nếu một hàm số \[f(t)\] luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên một miền xác định, thì phương trình \[f(u) = f(v) \iff u=v\] và phương trình \[f(x)=k\] có tối đa một nghiệm.

• Khi nào dùng: Khi phương trình có cấu trúc phức tạp, chứa các cơ số khác nhau và không thể biến đổi đại số thông thường, nhưng ta có thể đưa nó về dạng \[f(u)=f(v)\] hoặc nhận thấy một nghiệm duy nhất.

• Cách làm:

  1. Biến đổi phương trình về dạng \[f(u)=f(v)\] hoặc \[f(x)=k\].

  2. Xét hàm số đặc trưng \[f(t)\] và chứng minh nó đơn điệu (thường bằng cách tính đạo hàm \[f'(t)\] và xét dấu).

  3. Kết luận nghiệm.

• Ví dụ kinh điển: Giải phương trình \[3^x + 4^x = 5^x\].

  • Phân tích: Ba cơ số khác nhau, không thể áp dụng các phương pháp trên. Ta thử nhẩm nghiệm thấy \[x=2\] là một nghiệm (\[3^2+4^2=9+16=25=5^2\]). Ta sẽ chứng minh đây là nghiệm duy nhất.

  • Giải: Chia cả hai vế cho \[5^x > 0\]: \[\frac{3^x}{5^x} + \frac{4^x}{5^x} = 1 \iff \left(\frac{3}{5}\right)^x + \left(\frac{4}{5}\right)^x = 1\]

  • Xét hàm số \[f(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x\].

  • Ta có \[f'(x) = (\frac{3}{5})^x \ln(\frac{3}{5}) + (\frac{4}{5})^x \ln(\frac{4}{5})\].

  • Vì \[0 < 3/5 < 1\] và \[0 < 4/5 < 1\], nên \[\ln(3/5) < 0\] và \[\ln(4/5) < 0\]. Do đó, \[f'(x) < 0\] với mọi x.

  • Hàm số \[f(x)\] luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].

  • Phương trình có dạng \[f(x)=1\]. Vì hàm số đơn điệu, phương trình này có tối đa một nghiệm.

  • Mà ta đã nhẩm được \[f(2)=1\], vậy \[x=2\] là nghiệm duy nhất của phương trình.

Phương pháp 5: Đánh giá và Sử dụng Bất đẳng thức

• Nguyên tắc: Chứng minh \[VT \ge k\] và \[VP \le k\] (hoặc ngược lại). Phương trình chỉ có thể có nghiệm khi và chỉ khi \[VT = VP = k\], tức là khi dấu bằng trong các bất đẳng thức xảy ra.

• Ví dụ: Giải phương trình \[2^{(x-1)^2} = \frac{2}{x^2-2x+3}\].

  • Đánh giá vế trái (VT): Ta có \[(x-1)^2 \ge 0\]. Vì cơ số \[2>1\], nên \[VT = 2^{(x-1)^2} \ge 2^0 = 1\].

  • Đánh giá vế phải (VP): Ta có \[x^2-2x+3 = (x-1)^2+2 \ge 2\]. Do đó, \[VP = \frac{2}{(x-1)^2+2} \le \frac{2}{2} = 1\].

  • Kết luận: Ta có \[VT \ge 1\] và \[VP \le 1\]. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \[VT=VP=1\].

  • Dấu "=" xảy ra khi \[(x-1)^2=0 \iff x=1\].

  • Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là \[x=1\].

PHẦN 5: ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Phương trình mũ là công cụ toán học không thể thiếu để mô hình hóa các quá trình tăng trưởng và suy giảm trong thế giới thực.

Giải các bài toán thực tế bằng Phương trình Mũ

Bài toán Lãi kép (Compound Interest) - "Cỗ máy kiếm tiền"

Đây là ứng dụng phổ biến và quan trọng nhất. Công thức tính số tiền A nhận được sau t năm từ một khoản vốn ban đầu P với lãi suất r/năm, ghép lãi hàng năm là:

\[A = P(1+r)^t\]

• Ví dụ: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Hỏi sau bao lâu thì người đó có được 200 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi)?

  • Ta có phương trình: \[200 = 100(1+0.07)^t \iff 2 = (1.07)^t\].

  • Đây là phương trình mũ với ẩn t. Ta logarit hóa hai vế: \[\ln(2) = \ln((1.07)^t) = t \cdot \ln(1.07)\]. \[t = \frac{\ln(2)}{\ln(1.07)} \approx \frac{0.693}{0.0677} \approx 10.24\].

  • Vậy sau khoảng 10.24 năm, người đó sẽ có được 200 triệu đồng.

Bài toán Tăng trưởng và Phân rã

• Tăng trưởng dân số: \[P(t) = P_0 e^{rt}\], trong đó \[P_0\] là dân số ban đầu, r là tốc độ tăng trưởng, t là thời gian.

• Phân rã phóng xạ (tính tuổi cổ vật): \[N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\], trong đó \[N_0\] là lượng chất ban đầu, \[\lambda\] là hằng số phân rã. Chu kỳ bán rã T liên hệ với \[\lambda\] bởi \[T = \ln(2)/\lambda\].

• Ví dụ: Carbon-14 có chu kỳ bán rã khoảng 5730 năm. Một mẫu vật khảo cổ được tìm thấy có lượng Carbon-14 chỉ bằng 20% so với một mẫu vật sống. Hỏi mẫu vật đó đã bao nhiêu tuổi?

  • Ta có \[N(t)/N_0 = 0.2\]. Hằng số phân rã \[\lambda = \ln(2)/5730\].

  • Ta cần giải phương trình: \[0.2 = e^{-\lambda t}\].

  • Lấy ln hai vế: \[\ln(0.2) = -\lambda t \implies t = -\frac{\ln(0.2)}{\lambda} = -\frac{\ln(0.2)}{\ln(2)/5730} = -5730 \frac{\ln(0.2)}{\ln(2)}\].

  • \[t \approx -5730 \frac{-1.609}{0.693} \approx 13,305\].

  • Vậy mẫu vật có tuổi đời khoảng 13,305 năm.

>> Học Toán Online tại MonToan.com.vn

PHẦN 6: TỔNG KẾT VÀ TÀI NGUYÊN

Tổng kết và Sơ đồ lựa chọn phương pháp giải

Giải phương trình mũ là một kỹ năng tổng hợp, đòi hỏi sự linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp.

• Bắt đầu: Quan sát phương trình.

• Câu hỏi 1: Các vế có thể đưa về cùng cơ số không?

  • CÓ -> Dùng Phương pháp 1 (Đưa về cùng cơ số).

  • KHÔNG -> Đi tiếp.

• Câu hỏi 2: Phương trình có dạng đa thức của \[a^x\] (ví dụ \[4^x, 2^x\]) không?

  • CÓ -> Dùng Phương pháp 3 (Đặt ẩn phụ).

  • KHÔNG -> Đi tiếp.

• Câu hỏi 3: Các cơ số khác nhau và không có mối liên hệ đặc biệt?

  • Dùng Phương pháp 2 (Logarit hóa). Đây là phương pháp tổng quát nhất.

• Câu hỏi 4: Phương trình trông phức tạp, không theo dạng chuẩn?

  • Thử nhẩm nghiệm và dùng Phương pháp 4 (Hàm số) để chứng minh nghiệm duy nhất.

  • Thử Phương pháp 5 (Đánh giá, BĐT) nếu các vế có thể chặn trên/chặn dưới.

Câu hỏi Thường gặp (FAQ)

• Sự khác biệt giữa phương trình mũ và phương trình logarit là gì? Trong phương trình mũ, ẩn số nằm ở số mũ. Trong phương trình logarit, ẩn số nằm trong biểu thức của logarit. Chúng là hai dạng phương trình ngược nhau.

• Khi nào thì bắt buộc phải dùng logarit hóa? Khi các cơ số ở hai vế hoàn toàn khác nhau và không thể đưa về cùng một cơ số chung (ví dụ \[3^x=5^{x-1}\]), logarit hóa là phương pháp trực tiếp và hiệu quả nhất.

• Tại sao phải đặt điều kiện t>0 khi đặt ẩn phụ \[t=a^x\]? Vì theo tính chất của hàm số mũ, lũy thừa của một cơ số dương (\[a>0\]) luôn cho ra một giá trị dương (\[a^x>0\]) với mọi \[x\] thuộc \[\mathbb{R}\]. Việc đặt điều kiện \[t>0\] giúp loại bỏ các nghiệm ngoại lai của ẩn t ngay từ đầu.

Kho bài tập tổng hợp (có hướng dẫn giải)

Thực hành là cách tốt nhất để củng cố kiến thức. Dưới đây là 5 bài tập điển hình, bao phủ các phương pháp giải quan trọng đã được trình bày. Hãy thử tự giải trước khi xem lời giải chi tiết nhé!

---

Bài 1: Giải bằng phương pháp Đưa về cùng cơ số

Giải phương trình: \[5^{x^2 - 3x - 10} = \frac{1}{625}\]

• Lời giải:

  • Bước 1: Phân tích và đưa về cùng cơ số. Ta nhận thấy vế phải có thể được viết dưới dạng lũy thừa của 5: \[\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}\]

  • Bước 2: Đặt số mũ bằng nhau. Phương trình trở thành: \[5^{x^2 - 3x - 10} = 5^{-4}\] \[\iff x^2 - 3x - 10 = -4\] \[\iff x^2 - 3x - 6 = 0\]

  • Bước 3: Giải phương trình bậc hai. Đây là phương trình bậc hai không có nghiệm nguyên đẹp, ta dùng công thức nghiệm: \[\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-6) = 9 + 24 = 33\] Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

  • Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \[S = \{\frac{3 - \sqrt{33}}{2}, \frac{3 + \sqrt{33}}{2}\}\].

---

Bài 2: Giải bằng phương pháp Logarit hóa

Giải phương trình: \[3^{x+1} = 7^{2-x}\]

• Lời giải:

  • Bước 1: Phân tích. Hai cơ số 3 và 7 khác nhau và không thể đưa về cùng cơ số. Ta sẽ logarit hóa hai vế. Chọn logarit tự nhiên (ln).

  • Bước 2: Logarit hóa và hạ số mũ. \[\ln(3^{x+1}) = \ln(7^{2-x})\] \[\iff (x+1)\ln(3) = (2-x)\ln(7)\]

  • Bước 3: Giải phương trình đại số tìm x. \[x\ln(3) + \ln(3) = 2\ln(7) - x\ln(7)\] \[x\ln(3) + x\ln(7) = 2\ln(7) - \ln(3)\] \[x(\ln(3) + \ln(7)) = \ln(7^2) - \ln(3)\] \[x\ln(21) = \ln(\frac{49}{3})\] \[\iff x = \frac{\ln(49/3)}{\ln(21)}\]

  • Kết luận: Nghiệm của phương trình là \[x = \log_{21}(\frac{49}{3})\].

---

Bài 3: Giải bằng phương pháp Đặt ẩn phụ

Giải phương trình: \[9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0\]

• Lời giải:

  • Bước 1: Phân tích và nhận dạng. Ta thấy \[9^x = (3^2)^x = (3^x)^2\]. Phương trình có dạng bậc hai đối với \[3^x\].

  • Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện. Đặt \[t = 3^x\]. Điều kiện cho ẩn phụ là \[t > 0\].

  • Bước 3: Giải phương trình theo t. Phương trình trở thành: \[t^2 - 10t + 9 = 0\]. Đây là phương trình bậc hai có \[a+b+c = 1-10+9=0\], nên có hai nghiệm \[t_1=1\] và \[t_2=c/a=9\]. Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện \[t>0\].

  • Bước 4: Trả lại biến cũ x.

    • Với \[t=1\]: \[3^x = 1 \iff 3^x = 3^0 \iff x=0\].

    • Với \[t=9\]: \[3^x = 9 \iff 3^x = 3^2 \iff x=2\].

  • Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \[S = \{0, 2\}\].

---

Bài 4: Giải bằng phương pháp Hàm số

Giải phương trình: \[2^x + 3^x = 5\]

• Lời giải:

  • Bước 1: Nhẩm nghiệm. Ta dễ dàng nhẩm thấy \[x=1\] là một nghiệm của phương trình, vì \[2^1 + 3^1 = 2+3=5\].

  • Bước 2: Xét tính đơn điệu của hàm số. Xét hàm số \[f(x) = 2^x + 3^x\] trên tập \[\mathbb{R}\]. Ta có đạo hàm: \[f'(x) = 2^x\ln(2) + 3^x\ln(3)\]. Vì \[2^x > 0\], \[3^x > 0\], \[\ln(2) > 0\], và \[\ln(3) > 0\] với mọi x, nên \[f'(x) > 0\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Do đó, hàm số \[f(x)\] luôn đồng biến (strictly increasing) trên \[\mathbb{R}\].

  • Bước 3: Kết luận. Một hàm số luôn đồng biến thì có thể cắt một đường thẳng ngang \[y=5\] tại tối đa một điểm. Vì ta đã tìm thấy một nghiệm \[x=1\], đó phải là nghiệm duy nhất của phương trình.

  • Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất \[x=1\].

---

Bài 5: Bài toán thực tế (Lãi kép)

Bạn gửi 50 triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm với lãi suất kép là 8% mỗi năm. Hỏi sau bao nhiêu năm thì số tiền trong tài khoản của bạn sẽ tăng gấp đôi?

• Lời giải:

  • Bước 1: Thiết lập phương trình. Áp dụng công thức lãi kép \[A = P(1+r)^t\], trong đó:

    • \[P = 50,000,000\] (vốn ban đầu)

    • \[A = 100,000,000\] (số tiền mục tiêu)

    • \[r = 0.08\] (lãi suất)

    • \[t\] là số năm cần tìm. Ta có phương trình: \[100,000,000 = 50,000,000 \cdot (1 + 0.08)^t\].

  • Bước 2: Rút gọn phương trình. \[2 = (1.08)^t\].

  • Bước 3: Giải phương trình mũ bằng logarit hóa. Lấy logarit tự nhiên (ln) hai vế: \[\ln(2) = \ln((1.08)^t)\] \[\ln(2) = t \cdot \ln(1.08)\] \[t = \frac{\ln(2)}{\ln(1.08)}\]

  • Bước 4: Tính toán và kết luận. Sử dụng máy tính: \[t \approx \frac{0.6931}{0.07696} \approx 9.006\].

  • Kết luận: Sẽ mất khoảng 9 năm để số tiền trong tài khoản tăng gấp đôi.