Công thức Chỉnh hợp (A(n,k)): Toàn tập về "Nghệ thuật Sắp xếp" và Ứng dụng

Công thức Chỉnh hợp (A(n,k)): Toàn tập về "Nghệ thuật Sắp xếp" và Ứng dụng

Chào mừng bạn đến với hướng dẫn toàn diện nhất về công thức chỉnh hợp – một trong những công cụ nền tảng và quyền năng nhất của "nghệ thuật đếm". Nếu bạn đã từng cảm thấy bối rối trong việc phân biệt giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, hay gặp khó khăn với các bài toán lập số, trao giải, sắp xếp vị trí, thì bài viết này chính là chìa khóa bạn cần. Chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào bản chất của chỉnh hợp, khám phá tại sao "thứ tự" lại là yếu tố quyết định, và làm chủ mọi dạng bài tập liên quan một cách hệ thống và hiệu quả.

Học Thêm:

Toán 10

Toán 11

Công thức Chỉnh hợp (A(n,k)): Toàn tập về

PHẦN 1: NHẬP MÔN - KHÁM PHÁ "NGHỆ THUẬT CỦA THỨ TỰ"

Trước khi đi vào các công thức khô khan, việc hiểu được bối cảnh và vai trò của chỉnh hợp sẽ giúp chúng ta xây dựng một nền tảng tư duy vững chắc. Phần này sẽ khơi gợi sự tò mò bằng cách nhấn mạnh tầm quan trọng của yếu tố "thứ tự" trong các bài toán lựa chọn.

Giới thiệu: Chỉnh hợp là gì và tại sao "thứ tự" lại quan trọng?

Hãy bắt đầu bằng cách so sánh hai tình huống rất đơn giản nhưng lại khác nhau về bản chất:

Tình huống 1: Lớp của bạn có 10 học sinh giỏi. Giáo viên cần chọn ra 3 bạn để lập một đội tham gia cuộc thi "Rung chuông vàng".
Tình huống 2: Lớp của bạn có 10 học sinh giỏi. Sau kỳ thi cuối kỳ, giáo viên cần chọn ra 3 bạn để trao 3 giải thưởng khác nhau: Nhất, Nhì, và Ba.

Bạn có thấy sự khác biệt cốt lõi không? Ở tình huống 1, việc chọn nhóm gồm {An, Bình, Châu} cũng giống hệt như nhóm {Bình, An, Châu}. Thứ tự chọn không quan trọng, miễn là 3 bạn đó được chọn. Đây là một bài toán Tổ hợp. Tuy nhiên, ở tình huống 2, việc An giải Nhất, Bình giải Nhì, Châu giải Ba là một kết quả hoàn toàn khác với việc Châu giải Nhất, An giải Nhì, Bình giải Ba. Mỗi vị trí, mỗi vai trò (giải thưởng) đều có ý nghĩa riêng và không thể hoán đổi. Thứ tự ở đây là cực kỳ quan trọng.

Đây chính là lúc Chỉnh hợp (Arrangement) xuất hiện. Chỉnh hợp là công cụ toán học được thiết kế để giải quyết các bài toán "chọn và sắp xếp" như Tình huống 2. Nó không chỉ quan tâm bạn chọn ai, mà còn quan tâm bạn xếp họ vào vị trí nào, giao cho họ vai trò gì. Hiểu được chỉnh hợp là hiểu được "nghệ thuật của thứ tự" – một khái niệm nền tảng trong vô số bài toán thực tế.

Lịch sử ngắn gọn của các Bài toán Sắp xếp

Các bài toán liên quan đến việc sắp xếp thứ tự đã xuất hiện từ rất sớm trong lịch sử loài người, thường gắn liền với những nhu cầu thực tiễn. Trong mật mã học cổ đại, việc hoán vị các chữ cái là một trong những phương pháp mã hóa cơ bản nhất để bảo vệ thông tin. Trong chiêm tinh học và các nghi lễ tôn giáo, thứ tự của các hành tinh hay các biểu tượng cũng mang những ý nghĩa đặc biệt. Các trò chơi trí tuệ như cờ vua hay các câu đố logic cũng thường xuyên chứa đựng các yếu tố về sắp xếp vị trí.

Sự quan tâm đến các quy tắc đếm có hệ thống đã xuất hiện ở nhiều nền văn minh, từ các nhà toán học Ấn Độ, Trung Quốc đến thế giới Hồi giáo. Tuy nhiên, cũng giống như tổ hợp, lý thuyết về chỉnh hợp và hoán vị chỉ thực sự được phát triển và hình thức hóa một cách mạnh mẽ ở châu Âu vào thế kỷ 17 và 18, khi nó trở thành một phần không thể thiếu của giải tích tổ hợp và lý thuyết xác suất. Các nhà toán học đã tìm cách tổng quát hóa các quy tắc đếm, tạo ra những công thức mạnh mẽ giúp giải quyết các bài toán sắp xếp một cách hiệu quả thay vì phải liệt kê thủ công.

PHẦN 2: "BỘ BA QUYỀN LỰC" CỦA BÀI TOÁN ĐẾM

Đây là phần quan trọng nhất, chìa khóa để giải quyết sự nhầm lẫn kinh điển của học sinh khi học về chương này. Việc định vị rõ ràng vai trò của Chỉnh hợp trong mối tương quan với Hoán vị và Tổ hợp sẽ giúp bạn xây dựng một phương pháp tư duy đúng đắn.

Định vị Chỉnh hợp trong mối tương quan với Hoán vị và Tổ hợp

Hãy tưởng tượng "bài toán đếm" là một gia đình có 3 thành viên. Để hiểu rõ "Chỉnh hợp", ta cần biết mặt hai thành viên còn lại.

Hoán vị (Permutation - \[P_n\]): Sắp xếp TẤT CẢ

Hoán vị là trường hợp đơn giản và cụ thể nhất. Nó chỉ có một hành động duy nhất: lấy tất cả \[n\] phần tử của một tập hợp ra và sắp xếp lại thứ tự của chúng.

Bản chất: Chỉ SẮP XẾP, không có yếu tố CHỌN (vì đã lấy tất cả).
Công thức: \[P_n = n!\]
Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách khác nhau lên một kệ dài? Câu trả lời là \[P_5 = 5! = 120\] cách.

Tổ hợp (Combination - \[C_n^k\]): Chỉ CHỌN, không quan tâm thứ tự

Tổ hợp nằm ở một thái cực khác. Nó chỉ quan tâm đến hành động CHỌN ra \[k\] phần tử từ \[n\] phần tử. Sau khi đã chọn xong, nhiệm vụ kết thúc. Thứ tự của các phần tử được chọn là hoàn toàn không quan trọng.

Bản chất: Chỉ CHỌN, không có yếu tố SẮP XẾP.
Công thức: \[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 2 cây bút từ một hộp có 10 cây bút khác nhau? Câu trả lời là \[C_{10}^2 = 45\] cách.

Chỉnh hợp (Arrangement - \[A_n^k\]): Vừa CHỌN, vừa SẮP XẾP

Chỉnh hợp là sự kết hợp của cả hai hành động trên. Nó bao gồm cả việc CHỌN ra \[k\] phần tử và sau đó SẮP XẾP THỨ TỰ cho \[k\] phần tử đó. Đây là khái niệm tổng quát và mạnh mẽ nhất trong bộ ba khi nói về việc chọn một tập con có thứ tự.

Bản chất: CHỌN và SẮP XẾP.
Ví dụ: Quay lại ví dụ trao giải Nhất, Nhì, Ba cho 3 trong 10 người. Hành động này bao gồm: chọn ra 3 người, và sau đó sắp xếp họ vào 3 vị trí giải thưởng.

Bảng so sánh "Vàng": Chỉnh hợp vs. Tổ hợp vs. Hoán vị

Để giúp bạn không bao giờ nhầm lẫn, đây là bảng so sánh trực quan, tổng kết tất cả những điểm khác biệt cốt lõi.

Tiêu chí	Hoán vị (\[P_n\])	Chỉnh hợp (\[A_n^k\])	Tổ hợp (\[C_n^k\])
Hành động	Sắp xếp	Chọn & Sắp xếp	Chỉ Chọn
Số phần tử chọn	Tất cả \[n\] phần tử	\[k\] phần tử (\[k \le n\])	\[k\] phần tử (\[k \le n\])
Thứ tự	RẤT QUAN TRỌNG	CÓ QUAN TRỌNG	KHÔNG QUAN TRỌNG
Từ khóa nhận diện	"sắp xếp n người/vật", "xếp thành một hàng", "hoán vị"	"chọn k người xếp vào k ghế", "lập số có k chữ số khác nhau", "trao giải", "bầu vào các chức vụ khác nhau"	"chọn nhóm k người", "lấy đồng thời k vật", "đội", "ủy ban", "bộ bài", "chức vụ như nhau"

Giải mã Mối liên hệ Toán học: \[A_n^k = C_n^k \times k!\] và \[A_n^n = P_n\]

Mối quan hệ giữa bộ ba này không chỉ là về khái niệm mà còn được thể hiện qua các công thức toán học chặt chẽ.

Phân tích logic: Hãy xem xét lại hành động "Chỉnh hợp" (chọn \[k\] phần tử và sắp xếp chúng). Ta có thể mô tả nó như một quy trình gồm hai công đoạn liên tiếp:
1. Công đoạn 1 (Chọn): Dùng Tổ hợp để chọn ra một nhóm gồm \[k\] phần tử từ \[n\] phần tử. Số cách thực hiện là \[C_n^k\].
2. Công đoạn 2 (Xếp): Với nhóm \[k\] phần tử vừa chọn, ta tiến hành sắp xếp thứ tự cho chúng. Đây chính là một Hoán vị của \[k\] phần tử. Số cách thực hiện là \[P_k = k!\]. Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện toàn bộ quy trình là \[C_n^k \times k!\]. Do đó, ta có công thức vàng: \[A_n^k = C_n^k \times k!\].
Trường hợp đặc biệt: Khi \[k=n\], tức là ta chọn tất cả \[n\] phần tử và sắp xếp chúng. Theo định nghĩa, đây chính là một hoán vị của \[n\] phần tử. Về mặt công thức: \[A_n^n = C_n^n \times n! = 1 \cdot n! = P_n\]. Điều này cho thấy Hoán vị chỉ là một trường hợp đặc biệt của Chỉnh hợp.

PHẦN 3: CÔNG THỨC CHỈNH HỢP - PHÂN TÍCH CHUYÊN SÂU

Giờ là lúc chúng ta đi sâu vào công thức tính toán và các tính chất đặc trưng của chỉnh hợp.

Công thức Chỉnh hợp và các cách chứng minh

Số chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử (\[1 \le k \le n\]) được tính bằng công thức sau:

Công thức Chỉnh hợp: \[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1) \] (Tích của k số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ n)

Chứng minh bằng Quy tắc Nhân (Cách trực quan nhất)

Đây là cách chứng minh dễ hiểu và mang tính xây dựng nhất. Hãy tưởng tượng ta cần chọn \[k\] phần tử từ \[n\] phần tử và xếp chúng vào \[k\] vị trí được đánh số từ 1 đến \[k\].

Vị trí 1: Có \[n\] cách chọn phần tử để đặt vào.
Vị trí 2: Sau khi đã chọn 1 phần tử, còn lại \[n-1\] phần tử. Vậy có \[n-1\] cách chọn.
Vị trí 3: Còn lại \[n-2\] phần tử. Có \[n-2\] cách chọn.
...
Vị trí k: Đã có \[k-1\] phần tử được chọn, vậy còn lại \[n-(k-1) = n-k+1\] phần tử. Có \[n-k+1\] cách chọn. Theo quy tắc nhân, tổng số cách thực hiện là tích của số cách chọn ở mỗi vị trí: \[n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)\]. Đây chính là công thức cần chứng minh.

Chứng minh từ công thức Tổ hợp

Cách chứng minh này mang tính đại số hơn, dựa trên mối liên hệ ta đã biết: \[A_n^k = C_n^k \times k!\]. Thay công thức của \[C_n^k\] vào, ta có: \[ A_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \times k! = \frac{n!}{(n-k)!} \] Phép chứng minh này rất ngắn gọn nếu bạn đã nắm vững mối liên hệ giữa các khái niệm.

Các tính chất và trường hợp đặc biệt của Chỉnh hợp

\[A_n^n = n! = P_n\]: Chỉnh hợp chập \[n\] của \[n\] chính là hoán vị của \[n\] phần tử.
\[A_n^1 = n\]: Số cách chọn 1 phần tử từ \[n\] phần tử và "sắp xếp" nó là \[n\] cách.
\[A_n^0 = 1\]: Theo quy ước, có 1 cách để không chọn và không sắp xếp phần tử nào cả, đó là cách "không làm gì". Điều này giúp các công thức toán học nhất quán.

Hướng dẫn chi tiết cách tính tay và bấm máy tính \[A_n^k\] (nPr)

Ví dụ tính tay \[A_7^3\]:
- Áp dụng công thức \[n(n-1)...(n-k+1)\]: Ta nhân 3 số nguyên liên tiếp giảm dần bắt đầu từ 7.
- \[A_7^3 = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210\].
- Đây là cách tính nhanh và hiệu quả nhất khi làm bài thi.
Hướng dẫn bấm máy tính:
- Chức năng tính chỉnh hợp trên máy tính Casio/Vinacal thường được ký hiệu là nPr.
- Nút này thường là chức năng phụ (màu vàng) của nút nhân (\[\times\]).
- Để tính \[A_n^k\], bạn bấm theo cú pháp: \[n\] SHIFT \[\times\] (nPr) \[k\] =.

PHẦN 4: CHINH PHỤC CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỈNH HỢP

Đây là phần thực hành, nơi chúng ta vận dụng công thức và tư duy về thứ tự để giải quyết các bài toán kinh điển và nâng cao.

Phương pháp luận chung để giải bài toán đếm dùng Chỉnh hợp

Đọc và Phân tích đề: Xác định tập hợp các đối tượng ban đầu (có \[n\] phần tử) và số lượng đối tượng cần chọn ra (\[k\] phần tử).
Đặt "Câu hỏi vàng": Thứ tự của \[k\] đối tượng được chọn có quan trọng không? Nếu đổi chỗ 2 đối tượng trong kết quả mà tạo ra một kết quả mới, thì thứ tự là quan trọng.
Lựa chọn công cụ: Nếu câu trả lời là CÓ, và ta đang chọn một tập con (\[k < n\]), công cụ chính là Chỉnh hợp (\[A_n^k\]). Nếu \[k=n\], đó là Hoán vị (\[P_n\]).
Áp dụng Công thức và Quy tắc Đếm: Sử dụng công thức \[A_n^k\] kết hợp với quy tắc cộng (cho các trường hợp riêng biệt) và quy tắc nhân (cho các công đoạn liên tiếp) để tìm ra đáp án cuối cùng.

Các dạng bài tập Chỉnh hợp kinh điển và nâng cao (có lời giải chi tiết)

Dạng 1: Bài toán Sắp xếp người, vật vào các vị trí phân biệt

Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 4 học sinh vào một dãy ghế có 10 ghế trống (mỗi học sinh ngồi một ghế)?
- Phân tích: Ta cần chọn ra 4 ghế từ 10 ghế để xếp 4 học sinh vào. Việc xếp học sinh An vào ghế số 1 và Bình vào ghế số 2 là khác với việc xếp Bình vào ghế số 1 và An vào ghế số 2. Thứ tự là quan trọng.
- Đây là bài toán chọn 4 "vật" (học sinh) từ 10 "vị trí" (ghế) và sắp xếp chúng.
- Số cách xếp là: \[A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040\] cách.

Dạng 2 (Cực kỳ phổ biến): Bài toán lập số tự nhiên

Đây là dạng bài điển hình nhất của chỉnh hợp.

Ví dụ cơ bản: Từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6}, lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
- Phân tích: Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là một cách chọn ra 4 chữ số từ 6 chữ số đã cho và sắp xếp chúng theo một thứ tự. Ví dụ, 1234 khác 4321. Thứ tự là quan trọng.
- Số các số có thể lập được là: \[A_6^4 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\] số.
Ví dụ có điều kiện (số 0): Từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5}, lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
- Phân tích: Vấn đề ở đây là chữ số đầu tiên không được là 0. Ta phải xử lý điều kiện này trước.
- Gọi số cần lập là \[\overline{abcd}\].
- Công đoạn 1 (Chọn a): a phải khác 0, nên a có 5 cách chọn (từ 1, 2, 3, 4, 5).
- Công đoạn 2 (Chọn b, c, d): Sau khi chọn a, ta cần chọn 3 chữ số còn lại từ 5 chữ số còn lại (bao gồm cả số 0) và sắp xếp chúng vào 3 vị trí. Số cách là \[A_5^3 = 60\] cách.
- Theo quy tắc nhân: \[5 \cdot A_5^3 = 5 \cdot 60 = 300\] số.
Ví dụ có điều kiện (chẵn/lẻ): Từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5}, lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau?
- Phân tích: Số chẵn là số có chữ số tận cùng là chẵn. Chữ số tận cùng có thể là 0, 2, 4. Vì số 0 có vai trò đặc biệt (không đứng đầu), ta phải chia trường hợp.
- Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0.
  - Chọn d=0: có 1 cách.
  - Chọn 3 chữ số a, b, c từ 5 chữ số còn lại {1, 2, 3, 4, 5} và xếp vào 3 vị trí. Số cách: \[A_5^3 = 60\] cách.
  - Số các số trong TH1: \[1 \cdot 60 = 60\] số.
- Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là 2 hoặc 4.
  - Chọn d: có 2 cách (chọn 2 hoặc 4).
  - Chọn a: a phải khác 0 và khác d. Có 4 cách chọn.
  - Chọn 2 chữ số b, c từ 4 chữ số còn lại và xếp vào 2 vị trí. Số cách: \[A_4^2 = 12\] cách.
  - Số các số trong TH2: \[2 \cdot 4 \cdot 12 = 96\] số.
- Theo quy tắc cộng: \[60 + 96 = 156\] số.

Dạng 3: Bài toán chọn và giao nhiệm vụ/chức vụ

Ví dụ: Một đội văn nghệ có 15 người. Có bao nhiêu cách chọn ra một bạn hát đơn ca, một bạn múa, và một bạn thổi sáo? (Mỗi người chỉ đảm nhận một nhiệm vụ).
- Phân tích: Việc chọn An hát, Bình múa khác với việc chọn Bình hát, An múa. Các nhiệm vụ là phân biệt, do đó thứ tự chọn và giao nhiệm vụ là quan trọng.
- Đây là bài toán chọn 3 người từ 15 người và xếp vào 3 vai trò khác nhau.
- Số cách chọn là: \[A_{15}^3 = 15 \cdot 14 \cdot 13 = 2730\] cách.

Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình chứa \[A_n^k\]

Ví dụ: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn phương trình: \[A_n^2 = 72\].
- Điều kiện: \[n \in \mathbb{Z}^+, n \ge 2\].
- Phương trình: \[n(n-1) = 72\]
- \[\iff n^2 - n - 72 = 0\].
- Giải phương trình bậc hai, ta được \[(n-9)(n+8)=0\], suy ra \[n=9\] (thỏa mãn) hoặc \[n=-8\] (loại).
- Vậy \[n=9\].

PHẦN 5: ỨNG DỤNG VÀ KẾT NỐI

Chỉnh hợp không chỉ là một công cụ đếm thuần túy, nó còn có vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khác của toán học và đời sống.

Chỉnh hợp và vai trò trong Lý thuyết Xác suất

Trong các bài toán xác suất mà quá trình lựa chọn có tính đến thứ tự, chỉnh hợp là công cụ không thể thiếu để tính \[n(\Omega)\] và \[n(A)\].

Ví dụ: Một hộp có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 quả cầu không hoàn lại và xếp chúng thành một hàng. Tính xác suất để được một hàng gồm 3 quả cầu có số 1, 2, 3 theo đúng thứ tự đó.
- Không gian mẫu \[\Omega\]: Lấy 3 quả cầu từ 10 quả và xếp thứ tự. \[n(\Omega) = A_{10}^3 = 720\].
- Biến cố A: "Lấy được hàng có thứ tự 1-2-3". Chỉ có duy nhất một kết quả thuận lợi cho biến cố này. \[n(A) = 1\].
- Xác suất: \[P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{1}{720}\].

Ứng dụng của Chỉnh hợp trong Khoa học Máy tính và Mật mã học

Khoa học Máy tính: Các thuật toán sinh hoán vị và chỉnh hợp là nền tảng cho việc giải quyết các bài toán duyệt toàn bộ (brute-force) hoặc các vấn đề tối ưu hóa phức tạp như "bài toán người du lịch" (tìm đường đi ngắn nhất qua tất cả các thành phố).
Mật mã học & Bảo mật: Chỉnh hợp giúp tính toán độ lớn của không gian mật khẩu. Ví dụ, một mã PIN 4 chữ số khác nhau được tạo từ 10 chữ số {0-9} sẽ có \[A_{10}^4 = 5040\] khả năng. Việc này giúp đánh giá độ mạnh của một hệ thống mật khẩu.

Trong đời sống, chỉnh hợp xuất hiện khi chúng ta bốc thăm thứ tự thi đấu, sắp xếp lịch làm việc cho nhân viên vào các ca khác nhau, hay thậm chí là số lượng biển số xe có thể được tạo ra.

>> Học Toán tại MonToan.com.vn

PHẦN 6: TỔNG KẾT VÀ TÀI NGUYÊN

Tổng kết và "Checklist" quyết định: Khi nào dùng Chỉnh hợp?

Hãy luôn ghi nhớ bản chất cốt lõi: Chỉnh hợp = CHỌN + SẮP XẾP.

Checklist ra quyết định:
1. Hành động có phải là chọn một tập con không? -> Nếu không (chọn tất cả), dùng Hoán vị.
2. Nếu có, thứ tự của các phần tử được chọn có quan trọng không?
  - CÓ -> Dùng Chỉnh hợp.
  - KHÔNG -> Dùng Tổ hợp.

Câu hỏi Thường gặp (FAQ)

Sự khác biệt cơ bản nhất giữa \[A_n^k\] và \[C_n^k\] là gì? Là yếu tố thứ tự. \[A_n^k\] quan tâm đến thứ tự, còn \[C_n^k\] thì không. Do đó, \[A_n^k\] luôn lớn hơn \[C_n^k\] (khi \[k > 1\]) vì mỗi nhóm \[k\] phần tử được chọn ra (\[C_n^k\]) có thể được sắp xếp lại theo \[k!\] cách khác nhau (\[A_n^k\]).
Tại sao bài toán lập số có các chữ số khác nhau lại dùng chỉnh hợp? Bởi vì thứ tự các chữ số tạo ra các số khác nhau. Số 123 hoàn toàn khác số 321, mặc dù chúng đều được tạo từ ba chữ số {1, 2, 3}. Mỗi cách sắp xếp là một kết quả riêng biệt, đó chính là bản chất của chỉnh hợp.
Có phải lúc nào cũng có \[A_n^k > C_n^k\] (khi \[k>1\]) không? Tại sao? Đúng vậy. Vì từ mối liên hệ \[A_n^k = C_n^k \times k!\], và vì \[k > 1\] nên \[k! > 1\]. Do đó \[A_n^k\] luôn lớn hơn \[C_n^k\].

Kho bài tập tự luyện (có đáp án)

Cách duy nhất để thực sự hiểu và không bị nhầm lẫn các công thức đếm là thông qua thực hành. Dưới đây là 7 bài tập điển hình, tập trung vào các dạng toán thường gặp nhất của Chỉnh hợp, đặc biệt là các bài toán lập số.

Bài 1: Tính toán cơ bản

Tính giá trị của \[A_8^4\].

Lời giải: Áp dụng công thức \[A_n^k = n(n-1)\dots(n-k+1)\]. Ta cần nhân 4 số nguyên liên tiếp giảm dần, bắt đầu từ 8.\[A_8^4 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680\].

Bài 2: Bài toán sắp xếp vị trí

Từ một nhóm 10 vận động viên, có bao nhiêu cách chọn ra 3 người để trao huy chương Vàng, Bạc, Đồng (mỗi người chỉ nhận một huy chương)?

Lời giải: Hành động này là chọn ra 3 người từ 10 người và xếp họ vào 3 vị trí huy chương khác nhau. Vì vai trò (huy chương) là phân biệt, thứ tự là rất quan trọng. Do đó, ta sử dụng Chỉnh hợp. Số cách trao huy chương là:\[A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\] cách.

Bài 3: Lập số tự nhiên (không chứa số 0)

Từ các chữ số \[\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}\], có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?

Lời giải: Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được tạo thành là một cách chọn ra 3 chữ số từ 6 chữ số đã cho và sắp xếp chúng. Đây là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử. Số các số có thể lập được là:\[A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\] số.

Bài 4: Lập số tự nhiên (có chứa số 0)

Từ các chữ số \[\{0, 1, 2, 3, 4\}\], có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?

Lời giải: Gọi số cần lập là \[\overline{abc}\].
- Công đoạn 1 (Chọn a): Chữ số a phải khác 0. Do đó, a có 4 cách chọn (từ \[\{1, 2, 3, 4\}\]).
Công đoạn 2 (Chọn b, c): Sau khi đã chọn a, ta cần chọn 2 chữ số còn lại từ 4 chữ số còn lại (bây giờ đã bao gồm cả số 0) và sắp xếp chúng vào 2 vị trí b và c. Số cách là \[A_4^2\].\[A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12\] cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số các số có thể lập được là: \[4 \cdot 12 = 48\] số.

Bài 5: Lập số tự nhiên (có điều kiện chẵn/lẻ)

Từ các chữ số \[\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\], có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau?

Lời giải: Để giải bài toán có điều kiện, ta luôn ưu tiên xử lý vị trí có điều kiện trước. Gọi số cần lập là \[\overline{abcd}\].
- Công đoạn 1 (Chọn d): Vì số cần lập là số lẻ, chữ số tận cùng d phải là số lẻ. d có 3 cách chọn (từ \[\{1, 3, 5\}\]).
Công đoạn 2 (Chọn a, b, c): Sau khi đã chọn d, ta cần chọn 3 chữ số còn lại từ 5 chữ số còn lại trong tập hợp ban đầu và sắp xếp chúng vào 3 vị trí đầu. Số cách là \[A_5^3\].\[A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\] cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số các số lẻ có thể lập được là: \[3 \cdot 60 = 180\] số.

Bài 6: Giải phương trình chứa Chỉnh hợp

Tìm số nguyên dương \[x\] thỏa mãn phương trình: \[A_x^2 = 30\].

Lời giải: Điều kiện: \[x \in \mathbb{Z}^+, x \ge 2\]. Phương trình tương đương với:\[x(x-1) = 30\]\[x^2 - x - 30 = 0\] Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm: \[x_1 = 6\] và \[x_2 = -5\]. Đối chiếu với điều kiện, ta nhận nghiệm \[x=6\] và loại nghiệm \[x=-5\]. Vậy giá trị cần tìm là \[x=6\].

Bài 7: Bài toán Nâng cao (Xếp xen kẽ)

Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn nam và 3 bạn nữ vào một hàng 7 ghế sao cho không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau?

Lời giải: Đây là dạng toán "xếp xen kẽ". Phương pháp là xếp nhóm đông hơn trước để tạo ra các "khe".
- Bước 1: Xếp 4 bạn nam vào hàng. Số cách xếp 4 bạn nam là một hoán vị của 4 phần tử: \[4! = 24\] cách. Việc xếp 4 bạn nam sẽ tạo ra 5 "khe" (vị trí trống) xen kẽ giữa và ở hai đầu: \[\text{_ N _ N _ N _ N _}\]
Bước 2: Xếp 3 bạn nữ vào 5 khe trống đó. Để không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, ta cần xếp 3 bạn nữ vào 3 trong 5 khe trống đã tạo ra. Mỗi cách xếp là một cách chọn 3 khe từ 5 khe và xếp 3 bạn nữ vào, do đó đây là một chỉnh hợp. Số cách xếp 3 bạn nữ là: \[A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\] cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \[24 \cdot 60 = 1440\] cách.