Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên - Lý thuyết Toán 7 Chương 9

1. Định nghĩa

Trong một tam giác, đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường xiên. Đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đối diện kể từ đỉnh đó được gọi là đường vuông góc.

Ví dụ: Trong tam giác ABC, AH là đường vuông góc kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC, còn AB và AC là các đường xiên kẻ từ đỉnh A xuống đường thẳng BC.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Đây là phần trọng tâm của chương 9, chúng ta sẽ đi sâu vào các định lý sau:

Định lý 1: So sánh độ dài đường vuông góc và đường xiên

Trong một tam giác, đường vuông góc là đoạn thẳng ngắn nhất nối từ đỉnh của tam giác đến đường thẳng chứa cạnh đối diện. Nói cách khác, đường vuông góc luôn ngắn hơn bất kỳ đường xiên nào kẻ từ đỉnh đó.

Chứng minh:

Xét tam giác ABC vuông tại H. Theo định lý Pitago, ta có:

• AB² = AH² + BH²
• AC² = AH² + CH²

Vì BH² > 0 và CH² > 0, nên AB² > AH² và AC² > AH². Do đó, AB > AH và AC > AH. Vậy AH là đường ngắn nhất kẻ từ A đến BC.

Định lý 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh dài nhất. Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

3. Ứng dụng của quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Các định lý trên có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, so sánh độ dài cạnh và góc.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh BC. Chứng minh rằng MA < AC + AB.

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AMC, ta có: MA + MC > AC.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AMB, ta có: MA + MB > AB.

Cộng hai bất đẳng thức trên, ta được: 2MA + MC + MB > AC + AB. Vì MC + MB = BC, nên 2MA + BC > AC + AB. Do đó, MA < AC + AB.

4. Bài tập vận dụng

1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm nằm ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng BD > AB và BD > AC.
2. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MA < (AB + AC)/2.
3. Trong tam giác ABC, cho AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 9cm. Tìm khoảng giá trị của độ dài đường cao AH.

5. Tổng kết

Bài học hôm nay đã giúp chúng ta hiểu rõ về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên trong một tam giác. Việc nắm vững các định lý và tính chất này sẽ là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn trong tương lai. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn. Montoan.com.vn hy vọng bạn đã có một buổi học hiệu quả!

Chúc bạn học tốt!