rút gọn và tính giá trị của biểu thức

Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết về cách rút gọn và tính giá trị của các biểu thức chứa căn thức, minh họa bằng nhiều ví dụ cụ thể kèm lời giải chi tiết. Đây là một tài liệu hữu ích cho học sinh ôn tập và nâng cao kiến thức về chủ đề này.

A. Kiến thức cần nhớ

Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, cần vận dụng các phép tính về căn thức và các phép biến đổi biểu thức đơn giản. Khi kết hợp với các biến đổi phân thức, cần lưu ý:

• Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho cả căn thức và phân thức.
• \(\sqrt{A}\) có nghĩa khi \(A \ge 0\). Ví dụ: \(\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}\) có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l} x+2 \ge 0 \\ x-1 \ne 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge -2 \\ x \ne 1 \end{array} \right.\).
• Điều kiện để bỏ dấu giá trị tuyệt đối: \(\sqrt{A^2} = |A| = \left\{ \begin{array}{l} A \text{ nếu } A \ge 0 \\ -A \text{ nếu } A < 0 \end{array} \right.\).
• Kết quả rút gọn có thể để ở dạng nào tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán. Ví dụ, sau khi rút gọn \(P = \frac{x - 4\sqrt{x} + 3}{x - 1}\), có thể tiếp tục rút gọn thành \(P = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}\) (với \(x \ne 1\)). Từ đó có thể giải các bài toán liên quan như tìm \(x\) để \(P\) dương, bằng \(k\), hoặc nhỏ nhất.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức: \(A = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\).

Giải: \(A = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1} - \sqrt{4 + 4\sqrt{3} + 3} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} - \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |\sqrt{3} - 1| - |2 + \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1 - (2 + \sqrt{3}) = -3\).

Nhận xét: Các biểu thức \(4 - 2\sqrt{3}\) và \(7 + 4\sqrt{3}\) có dạng \(m \pm p\sqrt{n}\), trong đó \(p\sqrt{n} = 2ab\) với \(a^2 + b^2 = m\). Những biểu thức này có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức.

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức: \(B = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\).

Cách thứ nhất: \(B = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} - \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} + \sqrt{2}| - |\sqrt{3} - \sqrt{2}| = \sqrt{3} + \sqrt{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}\).

Cách thứ hai: \(B = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\). Ta có: \(B^2 = 5 + 2\sqrt{6} + 5 - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})} = 10 - 2\sqrt{1} = 8\). Vì \(B > 0\) nên \(B = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Nhận xét: Các biểu thức \(5 + 2\sqrt{6}\) và \(5 - 2\sqrt{6}\) là hai biểu thức liên hợp. Khi gặp các biểu thức này, có thể tính \(B^2\) trước rồi suy ra \(B\).

Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức: \(C = \sqrt{x + 2 - 2\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}}\).

ĐKXĐ: \(x \ge -1\). Cách thứ nhất: \(C = \sqrt{x + 1 - 2\sqrt{x + 1} + 1} + \sqrt{x + 1 + 2\sqrt{x + 1} + 1} = \sqrt{(\sqrt{x + 1} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x + 1} + 1)^2} = |\sqrt{x + 1} - 1| + |\sqrt{x + 1} + 1|\). Nếu \(\sqrt{x + 1} \ge 1\) (hay \(x \ge 0\)) thì \(C = \sqrt{x + 1} - 1 + \sqrt{x + 1} + 1 = 2\sqrt{x + 1}\). Nếu \(0 \le \sqrt{x + 1} < 1\) (hay \(-1 \le x < 0\)) thì \(C = 1 - \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + 1 = 2\). Cách thứ hai: \(C^2 = x + 2 - 2\sqrt{x + 1} + x + 2 + 2\sqrt{x + 1} + 2\sqrt{(x + 2)^2 - 4(x + 1)} = 2x + 4 + 2\sqrt{x^2} = 2x + 4 + 2|x|\). Nếu \(x \ge 0\) thì \(C^2 = 4(x + 1)\) suy ra \(C = 2\sqrt{x + 1}\). Nếu \(-1 \le x < 0\) thì \(C^2 = 2x + 4 - 2x = 4\) suy ra \(C = 2\).

Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức: a) \(\left( \frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{2\sqrt{2} - 2} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{2\sqrt{3} - 2} \right) : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = 1\). b) \(\frac{4}{3 + \sqrt{5}} + \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = 7\).

Ví dụ 5. Cho biểu thức \(P = \frac{3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2\sqrt{x} - 3}{3 - \sqrt{x}} - \frac{3(3\sqrt{x} - 5)}{x - 2\sqrt{x} - 3}\). a) Rút gọn \(P\). b) Tìm giá trị của \(P\), biết \(x = 4 + 2\sqrt{3}\). c) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).

Ví dụ 6. Cho biểu thức \(Q = \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5\sqrt{x} + 2}{4 - x} \right) : \frac{3\sqrt{x} - x}{x + 4\sqrt{x} + 4}\). a) Rút gọn \(Q\). b) Tìm \(x\) để \(Q = 2\). c) Tìm các giá trị của \(x\) để \(Q\) có giá trị âm.

C. Bài tập

Bài tập từ 1 đến 8 bao gồm các bài toán rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức, và tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức thỏa mãn một điều kiện nào đó.

D. Hướng dẫn giải và đáp số

Phần này cung cấp đáp án chi tiết cho các bài tập, giúp người học tự kiểm tra và củng cố kiến thức.

Nhìn chung, bài viết này là một tài liệu học tập toàn diện và hữu ích về chủ đề rút gọn và tính giá trị của biểu thức chứa căn thức.