giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, cung cấp kiến thức nền tảng, ví dụ minh họa và bài tập thực hành.

A. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(ax + by = c\), trong đó \(x\), \(y\) là ẩn, \(a\), \(b\), \(c\) là các số cho trước, và \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0.
2. Phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) luôn có vô số nghiệm \((x;y)\). Công thức nghiệm tổng quát là:
   • \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = t \in R}\\ {y = \frac{{c – at}}{b}\:{\rm{với}}\:b \ne 0} \end{array}} \right.\)
   • \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{c – bt}}{a}}\\ {y = t \in R} \end{array}} \right.\) (a ≠ 0)
3. Chú ý: Phương trình \(ax + by = c\) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi \(c\) chia hết cho ƯCLN\((a,b)\).
4. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: \(\left( I \right)\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{ }}ax + by = c}\\ {a’x + b’y = c’} \end{array}} \right.\).
   • Với \(a’b’c’ = 0\), hệ có thể được đưa về các trường hợp đặc biệt.
   • Với \(a’b’c’ ≠ 0\):
     • Hệ \((I)\) có nghiệm duy nhất khi \(\frac{a}{{a’}} \ne \frac{b}{{b’}}\).
     • Hệ \((I)\) vô nghiệm khi \(\frac{a}{{a’}} = \frac{b}{{b’}} \ne \frac{c}{{c’}}\).
     • Hệ \((I)\) có vô số nghiệm khi \(\frac{a}{{a’}} = \frac{b}{{b’}} = \frac{c}{{c’}}\).
5. Các phương pháp giải hệ phương trình:
   • Phương pháp thế: Biến đổi hệ phương trình thành một hệ mới có phương trình một ẩn, giải phương trình đó và suy ra nghiệm của hệ.
   • Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một thừa số phụ để hệ số của một ẩn bằng nhau, sau đó cộng hai phương trình để được một phương trình một ẩn, giải phương trình đó và suy ra nghiệm của hệ.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho phương trình \(3x – 2y = 6\) \((1).\)

• a) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình \((1).\)
• b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \((1).\)

Giải:

a) Từ \(3x – 2y = 6\) suy ra \(y = \frac{{3x – 6}}{2}\). Đặt \(x = t\) (t tùy ý), ta được công thức nghiệm tổng quát: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = t \in R}\\ {y = \frac{{3t – 6}}{2}} \end{array}} \right.\)

b) Ta có \(y = \frac{{3x – 6}}{2} = x + \frac{{x – 6}}{2}\). Đặt \(\frac{{x – 6}}{2} = t\) \((t \in Z)\) suy ra \(x = 2t + 6\). Khi đó nghiệm nguyên của phương trình \((1)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2t + 6}\\ {y = 3t + 6} \end{array}} \right.\) \((t \in Z)\). Ví dụ, với \(t = 1\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 8}\\ {y = 9} \end{array}} \right.\), với \(t=2\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 10}\\ {y = 12} \end{array}} \right.\)

Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên \((x;y)\) của phương trình \((x – 3){y^2} = {x^2}\) \((2).\)

Giải:

Với \(x=3\) thì \((2)\) trở thành \(0.{y^2} = 9\), vô nghiệm. Với \(x \ne 3\) thì \({y^2} = \frac{{{x^2}}}{{x – 3}} = x + 3 + \frac{9}{{x – 3}}\). Do \(x,y \in Z\) nên \(\frac{9}{{x – 3}} \in Z\). Do đó \(x – 3 \in {\rm{Ư}}(9) = \{ \pm 1; \pm 3; \pm 9\} \). Các nghiệm nguyên của phương trình \((2)\) là: \((0;0)\), \((4;4)\), \((4; – 4)\), \((12;4)\), \((12; – 4)\).

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – 5y = 19\:(1)}\\ {3x + 2y = 6\:(2)} \end{array}} \right.\)

Giải:

Cách 1: (Phương pháp thế) Rút \(x\) từ \((1)\): \(x = 19 + 5y\). Thế vào \((2)\): \(3(19 + 5y) + 2y = 6 \Leftrightarrow 57 + 15y + 2y = 6 \Leftrightarrow 17y = – 51 \Leftrightarrow y = – 3\). Thay \(y = – 3\) vào \((1)\) được \(x = 4\). Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 4}\\ {y = – 3} \end{array}} \right.\).

Cách 2: (Phương pháp cộng) Cộng hai phương trình sau khi nhân \((1)\) với -3: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – 5y = 19}\\ {3x + 2y = 6} \end{array}} \right.\) trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {-3x + 15y = -57}\\ {3x + 2y = 6} \end{array}} \right.\). Cộng hai phương trình ta được \(17y = -51 \Leftrightarrow y = -3\). Thay \(y = -3\) vào \((1)\) ta được \(x = 4\). Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 4}\\ {y = – 3} \end{array}} \right.\).

C. Bài tập

Bài tập từ 1 đến 7.

D. Hướng dẫn giải và đáp số

Hướng dẫn giải và đáp số cho các bài tập từ 1 đến 7.

Đánh giá và nhận xét:

Bài viết cung cấp một hướng dẫn đầy đủ và chi tiết về phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Nội dung được trình bày rõ ràng, logic, từ kiến thức nền tảng đến các ví dụ minh họa và bài tập thực hành. Các ví dụ được giải thích cặn kẽ, giúp người đọc dễ dàng hiểu và áp dụng. Việc đưa ra cả hai phương pháp thế và cộng đại số trong giải hệ phương trình là một điểm cộng, giúp người đọc có thêm lựa chọn. Phần bài tập và hướng dẫn giải đáp cũng rất hữu ích để người đọc tự kiểm tra và củng cố kiến thức. Tuy nhiên, bài viết có thể được cải thiện bằng cách thêm các bài tập có mức độ khó tăng dần để đáp ứng nhu cầu của nhiều đối tượng học sinh khác nhau.