THCS
THCS
Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán liên quan đến hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình Đại số 9.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. XÉT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ BIỂU DIỄN NGHIỆM
I. Phương pháp giải
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Hai hệ phương trình cùng có vô số nghiệm liệu có tương đương với nhau không? Cho ví dụ minh hoạ.
Hai hệ phương trình cùng có vô số nghiệm chưa chắc đã tương đương với nhau. Chẳng hạn, xét hai hệ phương trình:
\((I)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – y = 0}\\ {2x – 2y = 0} \end{array}} \right.\) và \((II)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 0}\\ {3x + 3y = 0} \end{array}} \right..\)
Dễ dàng thấy rằng cả hai hệ phương trình đều có vô số nghiệm. Hệ \((I)\) có nghiệm dạng \((t;t)\), hệ \((II)\) có nghiệm dạng \((t;-t)\), \(t \in R.\) Tuy nhiên, tập nghiệm của hệ \((I)\) được biểu diễn bởi đường thẳng \(y = x\), tập nghiệm của hệ \((II)\) được biểu diễn bởi đường thẳng \(y = -x.\) Rõ ràng hai đường thẳng này không trùng nhau (chúng vuông góc với nhau), tức là tập nghiệm của hai hệ không trùng nhau. Vậy hệ \((I)\) và hệ \((II)\) không tương đương.
Ví dụ 2: Với giá trị nào của \(m\) và \(n\) thì hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {mx – y = 1}\\ {x + y = n} \end{array}} \right.\) nhận cặp số \((-1;0)\) làm nghiệm?
Cặp số \((-1;0)\) là nghiệm của hệ khi thoả mãn đồng thời hai phương trình của hệ, nên ta có:
\(m.( – 1) – 0 = 1\) và \( – 1 + 0 = n.\)
Từ đó \(m = -1\) và \(n = -1.\)
Ví dụ 3: Hãy xét xem hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {11x + 10y = 12}\\ {6x + y = 18} \end{array}} \right..\)
Ta hãy xem đồ thị của các phương trình của hệ có vị trí tương đối như thế nào? Muốn vậy, ta hãy biểu diễn \(y\) theo \(x\) từ mỗi phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = – 1,1x + 1,2}\\ {y = – 6x + 18} \end{array}} \right..\)
Đây là hai hàm bậc nhất. Đồ thị của chúng là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau, do đó chúng cắt nhau. Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4: Với giá trị nào của \(a\) thì hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 1}\\ {ax + 2y = 0} \end{array}} \right..\)
a) Có nghiệm duy nhất?
b) Vô nghiệm?
c) Có vô số nghiệm?
Từ phương trình thứ nhất rút ra:\(y = – x + 1\).
Từ phương trình thứ hai rút ra:\(y = – \frac{a}{2}x\).
a) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi các đường thẳng \((1)\) và \((2)\) cắt nhau, tức là các hệ số góc của chúng khác nhau hay \( – \frac{a}{2} \ne – 1\) suy ra \(a \ne 2.\)
b) Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi hai đường thẳng \((1)\) và \((2)\) song song. Vì hai đường thẳng này có tung độ gốc khác nhau nên chúng song song với nhau khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau, tức là:\( – \frac{a}{2} = – 1\) hay \(a = 2.\)
c) Hai đường thẳng \((1)\) và \((2)\) có tung độ gốc khác nhau nên không thể trùng nhau. Vậy hệ đã cho không thể có vô số nghiệm.
Ví dụ 5: Cho hệ phương trình: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x – y = m}\\ {mx + \sqrt 2 y = m} \end{array}} \right..\)
a) Tìm \(m\) để hệ vô nghiệm, vô số nghiệm.
b) Hệ có nghiệm duy nhất khi nào? Vì sao?
a) Biến đổi hệ đã cho thành: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y = 2x – m\:\:(1)}\\ {y = – \frac{m}{{\sqrt 2 }}x + \frac{m}{{\sqrt 2 }}\:\:(2)} \end{array}.} \right.\)
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi hai đường thẳng \((1)\) và \((2)\) song song hay \( – \frac{m}{{\sqrt 2 }} = 2\), tức là \(m = – 2\sqrt 2 \) (hệ số góc của hai đường thẳng \((1)\) và \((2)\) bằng nhau). Mặt khác, khi \(m = – 2\sqrt 2 \) thì tung độ gốc của hai đường thẳng này khác nhau \(\left( { – m \ne \frac{m}{{\sqrt 2 }}} \right).\) Vậy hệ vô nghiệm khi và chỉ khi \(m = – 2\sqrt 2 .\)
Theo trên ta thấy khi hai đường thẳng \((1)\) và \((2)\) có cùng hệ số góc thì tung độ gốc của chúng khác nhau. Vậy không có giá trị nào của \(m\) để hệ có vô số nghiệm.
b) Từ câu a suy ra khi \(m \ne – 2\sqrt 2 \) thì hai đường thẳng \((1)\) và \((2)\) có hệ số góc khác nhau, tức là chúng cắt nhau. Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne – 2\sqrt 2 .\)
III. Bài tập
| A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{x}{2} + 2y = \frac{7}{2}}\\ {2x – y = \frac{{19}}{2}} \end{array}} \right.$ | a. $( – 2;1)$ |
| B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – y = – 3}\\ { – 2x + 2y = 6} \end{array}} \right.$ | b. $\left( {5;\frac{1}{2}} \right)$ |
| C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x – y = 3}\\ {3x + 2y = 4,5} \end{array}} \right.$ | c. $\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)$ |
| D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\sqrt 2 + y\sqrt 3 = 5}\\ {x\sqrt 3 – y\sqrt 2 = 0} \end{array}} \right.$ | d. $(1,5;0).$ |
Dạng 2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
I. Phương pháp giải
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), tìm trên đường thẳng \(y = 3x + 8\) điểm có hoành độ bằng tung độ.
Giả sử điểm cần tìm là \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Điểm này có hoành độ bằng tung độ nên \({x_0} = {y_0}.\) Mặt khác, \(M\) thuộc đường thẳng \(y = 3x + 8\) nên toạ độ của nó thoả mãn phương trình của đường thẳng, tức là \({y_0} = 3{x_0} + 8.\) Ta có hệ phương trình hai ẩn \({x_0}\), \({y_0}.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} = {y_0}\:\:(1)}\\ {{y_0} = 3{x_0} + 8\:\:(2)} \end{array}} \right.\)
Thay \({x_0}\) bởi \({y_0}\) từ phương trình \((1)\) vào phương trình \((2)\), ta có:
\({y_0} = 3{y_0} + 8\) \( \Leftrightarrow – 2{y_0} = 8\) \( \Leftrightarrow {y_0} = – 4.\)
Từ đó \({x_0} = – 4.\) Vậy điểm cần tìm là \(M( – 4; – 4).\)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x + y = 12\:\:(1)}\\ {7x – 2y = 31\:\:(2)} \end{array}} \right.\)
Từ phương trình \((1)\), biểu diễn \(y\) theo \(x\) ta có: \(y = 12 – 2x.\)
Thay \(y\) trong phương trình \((2)\) bởi \(12 – 2x\) ta được:
\(7x – 2(12 – 2x) = 31.\)
\( \Leftrightarrow 7x – 24 + 4x = 31.\)
\( \Leftrightarrow 11x = 55.\)
\( \Leftrightarrow x = 5.\)
Thay \(x = 5\) vào phương trình \(y = 12 – 2x\) ta được:
\(y = 12 – 2.5 = 2.\)
Vậy hệ có nghiệm \((x;y) = (5;2).\)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x\sqrt 2 – y = 3\:\:(1)}\\ {x – 2y\sqrt 2 = – 5\sqrt 2 \:\:(2)} \end{array}} \right.\)
Từ \((1)\) rút ra \(y = 3x\sqrt 2 – 3.\) Thay vào \((2)\) ta có:
\(x – 2\sqrt 2 (3x\sqrt 2 – 3) = – 5\sqrt 2 \) \( \Rightarrow – 11x = – 11\sqrt 2 \) \( \Rightarrow x = \sqrt 2 .\)
Từ đó tìm được \(y = 3.\) Vậy hệ có nghiệm \((x;y) = (\sqrt 2 ;3).\)
Ví dụ 4: Cho hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {ax – y = 2\:\:(1)}\\ {x + ay = 3\:\:(2)} \end{array}} \right..\)
a) Giải hệ phương trình khi \(a = \sqrt 3 – 1.\)
b) Chứng minh rằng với mọi \(a\) hệ luôn có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó.
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho ba đường thẳng:
\(2x – y = – 1\) \(\left( {{d_1}} \right).\)
\(x + y = – 2\) \(\left( {{d_2}} \right).\)
\(y = – 2x – m\) \(\left( {{d_3}} \right).\)
Xác định \(m\) để ba đường thẳng đã cho đồng quy.
III. Bài tập
Dạng 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
I. Phương pháp giải
II. Ví dụ
Dạng 4. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Phương pháp giải
II. Ví dụ
