hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a khác 0)

Bài viết này hướng dẫn phương pháp xác định hệ số góc của đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\) (với \(a \neq 0\)).

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

• Đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc là \(a\).
• Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) với tia \(Ox\).
• Nếu \(\alpha < 90^\circ\) thì \(a > 0\).
• Nếu \(\alpha > 90^\circ\) thì \(a < 0\).
• Các đường thẳng có cùng hệ số góc \(a\) (với \(a\) là hệ số của \(x\)) sẽ tạo với trục \(Ox\) các góc bằng nhau.

B. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

I. Phương pháp giải

1. Xác định phương trình hàm số \(y = ax + b\).
2. Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.
3. Sử dụng công thức \(\tan \alpha = \frac{{\text{Cạnh đối}}}{{\text{Cạnh kề}}}\) để tính góc tạo bởi đường thẳng và trục \(Ox\).

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất \(y = ax + 3\).

1. Xác định hệ số góc \(a\) biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm \(M(2;6)\).
2. Vẽ đồ thị của hàm số.

a) Vì đồ thị đi qua \(M(2;6)\), ta có: \(6 = 2a + 3 \Leftrightarrow 2a = 3 \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\). Vậy hệ số góc \(a = \frac{3}{2}\), và hàm số có dạng \(y = \frac{3}{2}x + 3\).

b) Học sinh tự vẽ đồ thị.

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = -2x + 3\).

1. Vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tính góc tạo bởi đường thẳng \(y = -2x + 3\) và trục \(Ox\) (làm tròn đến phút).

a) Lập bảng giá trị của hàm số tại \(x = 0\) và \(x = \frac{3}{2}\). Ta được hai điểm \(A(0;3)\) và \(B(\frac{3}{2};0)\). Nối \(A\) và \(B\) ta được đồ thị hàm số \(y = -2x + 3\).

b) Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi đường thẳng \(y = -2x + 3\) với trục \(Ox\). Ta có \(\tan \alpha = \frac{3}{1.5} = 2\). Do đó \(\alpha \approx 63^\circ 26'\).

Ví dụ 3:

1. Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số sau: \(y = -x + 2\), \(y = \frac{1}{2}x + 2\).
2. Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(y = -x + 2\) và \(y = \frac{1}{2}x + 2\) với trục hoành theo thứ tự là \(A\), \(B\) và giao điểm của chúng là \(C\). Tính các góc của tam giác \(ABC\).
3. Tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC\) (đơn vị đo trên trục toạ độ là cm).

a) Học sinh tự lập bảng giá trị và vẽ đồ thị.

b) Ta có: \(A(2;0)\), \(B(-4;0)\), \(C(0;2)\). \(\tan A = \frac{2}{2} = 1 \Rightarrow \widehat A = 45^\circ\). \(\tan B = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat B \approx 26^\circ 34'\). \(\widehat C = 180^\circ - (45^\circ + 26^\circ 34') \approx 108^\circ 26'\).

c) \(S = \frac{1}{2}OC.AB = \frac{1}{2}.2.6 = 6\) (cm²). \(p = AB + BC + CA = 6 + \sqrt{20} + \sqrt{8} \approx 13.3\) (cm).

Ví dụ 4:

1. Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = x + 1\), \(y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}\), \(y = \sqrt{3}x - \sqrt{3}\).
2. Gọi \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) lần lượt là góc tạo bởi các đường thẳng trên và trục \(Ox\), chứng minh rằng \(\tan \alpha = 1\), \(\tan \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\tan \gamma = \sqrt{3}\). Tính số đo các góc \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\).

a) Học sinh tự lập bảng giá trị và vẽ đồ thị.

b) \(\tan \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ\). \(\tan \beta = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \beta = 30^\circ\). \(\tan \gamma = \sqrt{3} \Rightarrow \gamma = 60^\circ\).

III. Bài tập

1. Cho hàm số bậc nhất \(y = ax - 3\). Hãy xác định hệ số \(a\) trong mỗi trường hợp sau:
   1. Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng \(y = 2x - 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
   2. Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng \(y = -3x + 1\) tại điểm có tung độ bằng \(-2\).
2. Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc toạ độ và:
   1. Đi qua điểm \(M(1;2)\).
   2. Đi qua điểm \(N(-2;1)\).
   3. Có nhận xét gì về hai đường thẳng trên.
   4. Vẽ đồ thị của các đường thẳng tìm được ở hai câu a, b trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1. 1. \(ax - 3 = 2x - 1 \Rightarrow 2a - 3 = 2(2) - 1 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2\).
   2. Hệ \(\begin{cases} -2 = -3x + 1 \\ ax - 3 = -3x + 1 \end{cases} \Rightarrow x = 1 \Rightarrow a(1) - 3 = -3(1) + 1 \Rightarrow a = 1\).
2. 1. \(y = ax \Rightarrow 2 = a(1) \Rightarrow a = 2\). Hàm số \(y = 2x\).
   2. \(y = ax \Rightarrow 1 = a(-2) \Rightarrow a = -\frac{1}{2}\). Hàm số \(y = -\frac{1}{2}x\).
   3. Hai đường thẳng vuông góc vì \(2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1\).
   4. Học sinh tự vẽ đồ thị.

Đánh giá và nhận xét:

Bài viết cung cấp một hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu về cách xác định hệ số góc của đường thẳng. Việc trình bày theo cấu trúc rõ ràng (Kiến thức cần nhớ, Phương pháp giải, Ví dụ, Bài tập) giúp người đọc dễ dàng nắm bắt nội dung. Các ví dụ minh họa cụ thể, kèm theo hướng dẫn giải bài tập, giúp củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng. Việc sử dụng các ký hiệu toán học và giải thích rõ ràng các bước thực hiện làm tăng tính chính xác và dễ tiếp thu của bài viết.