Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Trong hình học, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Để hiểu rõ hơn về tính chất của đường trung trực, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:

• Trung điểm của đoạn thẳng: Là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng, cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
• Đường thẳng vuông góc: Là đường thẳng tạo với một đường thẳng khác một góc 90 độ.

Tính chất quan trọng nhất của đường trung trực: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Chứng minh tính chất:

Xét đoạn thẳng AB và đường trung trực d của AB. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm bất kỳ trên d. Ta cần chứng minh NA = NB.

Xét hai tam giác ANM và BNM, ta có:

• AM = BM (M là trung điểm của AB)
• ∠NMA = ∠NMB = 90° (d là đường trung trực của AB)
• NM là cạnh chung

Do đó, ΔANM = ΔBNM (c.g.c). Suy ra NA = NB (hai cạnh tương ứng).

Ứng dụng của tính chất đường trung trực:

Tính chất này có rất nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tam giác cân và tam giác đều.

Ví dụ:

1. Xác định điểm thuộc đường trung trực: Nếu một điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng, thì điểm đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
2. Tìm trung điểm của đoạn thẳng: Giao điểm của hai đường trung trực của đoạn thẳng là trung điểm của đoạn thẳng đó.
3. Chứng minh tam giác cân: Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau, thì tam giác đó là tam giác cân. Đường trung trực của cạnh đáy trong tam giác cân đi qua đỉnh đối diện.

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB dài 6cm. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB. Lấy điểm C nằm trên d. Tính độ dài CA và CB.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là đường trung trực của BC.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh MA = MB = MC.

Ngoài tính chất cơ bản đã nêu trên, đường trung trực còn có một số tính chất mở rộng khác, như:

• Tập hợp các điểm cách đều hai điểm A và B là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
• Trong một tam giác, ba đường trung trực của ba cạnh đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Việc nắm vững các tính chất này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách nhanh chóng và chính xác hơn.

Bài học về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng là một phần quan trọng trong chương trình Toán 7. Hy vọng rằng, thông qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức và có thể áp dụng chúng vào việc giải các bài toán thực tế. Chúc bạn học tập tốt!