Tài liệu toán: Tính Nhanh Nguyên Hàm – Tích Phân Từng Phần Sử Dụng Sơ Đồ Đường Chéo

Tài liệu hướng dẫn tính nhanh nguyên hàm – tích phân từng phần, do thầy Ngô Quang Chiến biên soạn, là một nguồn tài liệu hữu ích, đặc biệt trong bối cảnh các kỳ thi THPT Quốc gia, kiểm tra và thi học kỳ môn Toán ngày càng chú trọng hình thức trắc nghiệm. Phương pháp sơ đồ đường chéo được trình bày trong tài liệu này giúp tối ưu hóa thời gian giải bài, đặc biệt hiệu quả đối với các bài toán nguyên hàm – tích phân phức tạp đòi hỏi tích phân từng phần nhiều lần.

Nội dung chính của tài liệu:

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Công thức tích phân từng phần: ∫udv = vu – ∫vdu
Ứng dụng: Phương pháp được áp dụng hiệu quả cho các dạng nguyên hàm phổ biến như ∫p(x).e^(ax + b)dx, ∫p(x).sin(ax + b)dx, ∫p(x).cos(ax + b)dx, ∫p(x).(ln(ax + n))^ndx,…
Nguyên tắc đặt u và dv:
- Ưu tiên đặt “u” theo thứ tự: logarit (ln) → đa thức (p(x)) → lượng giác (sinx, cosx) → mũ (e^x) (“Nhất log – nhì đa – tam lượng – tứ mũ”).
- Phần còn lại sẽ là “dv”.

II. PHƯƠNG PHÁP SƠ ĐỒ ĐƯỜNG CHÉO

Bố cục: Chia bài toán thành hai cột:
- Cột 1 (cột trái – cột u): Thực hiện phép lấy đạo hàm liên tiếp cho đến khi kết quả bằng 0.
- Cột 2 (cột phải – cột dv): Thực hiện phép lấy nguyên hàm liên tiếp cho đến khi tương ứng với cột u.
Tính toán: Nhân chéo các kết quả tương ứng từ hai cột.
Xác định dấu: Bắt đầu với dấu (+) cho phép nhân đầu tiên, sau đó đan dấu (+), (-), (+), (-) …

III. PHÂN LOẠI DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: ∫p(x).e^(ax + b)dx
Dạng 2: ∫p(x).sin(ax + b)dx, ∫p(x).cos(ax + b)dx
Dạng 3: ∫p(x).(ln(ax + n))^ndx
- Lưu ý: Với dạng này, ưu tiên đặt u = (ln(ax + n))^n. Nếu đạo hàm của u khác 0, cần điều chỉnh hệ số bằng cách nhân ngang và rút gọn.
Dạng 4: Nguyên hàm lặp (tích phân lặp)
- Dấu hiệu dừng lại: Khi kết quả tích phân theo sơ đồ đường chéo lặp lại nguyên hàm ban đầu trên cùng một hàng ngang.
- Cách ghi kết quả: Ghi kết quả nhân theo đường chéo, nối hai phần tử ở dòng dừng lại bằng dấu ∫ và coi gạch nối là một đường chéo, tuân theo quy tắc đan dấu.

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG (tổng hợp và biên soạn)

Đánh giá và nhận xét:

Tài liệu cung cấp một phương pháp tiếp cận sáng tạo và hiệu quả cho việc giải các bài toán tích phân từng phần. Sơ đồ đường chéo giúp trực quan hóa quá trình tính toán, giảm thiểu sai sót và tiết kiệm thời gian. Việc phân loại dạng bài và cung cấp ví dụ minh họa giúp người học dễ dàng nắm bắt và áp dụng phương pháp. Đặc biệt, lưu ý về việc xử lý các trường hợp đặc biệt như nguyên hàm lặp và dạng ∫p(x).(ln(ax + n))^ndx cho thấy sự tỉ mỉ và chu đáo của tác giả. Tài liệu này là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho học sinh và giáo viên trong quá trình dạy và học môn Toán.