Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes - Giải Toán 12 Cánh Diều Tập 2

I. Lý thuyết trọng tâm

Trong chương trình Toán 12, đặc biệt là trong chương trình Cánh Diều, việc nắm vững các khái niệm về xác suất là vô cùng quan trọng. Bài 2 này đi sâu vào hai công thức then chốt: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về định nghĩa, điều kiện áp dụng và cách sử dụng chúng trong giải quyết các bài toán thực tế.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ.

Định nghĩa: Cho A là một biến cố. Gọi B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và tổng của các xác suất của chúng bằng 1 (B₁ + B₂ + ... + B_n = 1). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi chúng ta biết thông tin về một biến cố khác liên quan đến nó.

Định nghĩa: Cho A và B là hai biến cố. Khi đó, xác suất có điều kiện của A khi biết B được tính theo công thức:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là biến cố sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi.
• Gọi B₁ là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1.
• Gọi B₂ là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.

III. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Trong một hộp có 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ.

Bài tập 2: Một cuộc khảo sát cho thấy 70% người dân thích xem phim và 30% người dân thích đọc sách. Biết rằng 20% người dân vừa thích xem phim vừa thích đọc sách. Tính xác suất một người dân được chọn ngẫu nhiên thích xem phim hoặc đọc sách.

IV. Luyện tập và ôn tập

Để nắm vững kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Ngoài ra, các em cũng nên xem lại các định nghĩa, công thức và ví dụ minh họa trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Việc ôn tập thường xuyên sẽ giúp các em ghi nhớ kiến thức lâu hơn và áp dụng chúng một cách linh hoạt trong các bài thi.

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!