Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong chương 6 của sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo, Bài 2 tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Đây là những công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi thông tin về các sự kiện liên quan được cung cấp.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một sự kiện A khi biết các sự kiện B₁, B₂, ..., B_n là một phân hoạch của không gian mẫu Ω, nghĩa là chúng đôi một rời nhau và hợp của chúng bằng Ω. Công thức được biểu diễn như sau:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Giải thích:

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép chúng ta cập nhật xác suất của một giả thuyết dựa trên bằng chứng mới. Công thức được biểu diễn như sau:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)

Giải thích:

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 60% sản phẩm, dây chuyền B sản xuất 40% sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm lỗi của dây chuyền A là 2%, của dây chuyền B là 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là bao nhiêu?

Giải:

Gọi A là sự kiện sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền A, B là sự kiện sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền B, L là sự kiện sản phẩm là sản phẩm lỗi.

Ta có: P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, P(L|A) = 0.02, P(L|B) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(L) = P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là 2.4%.

Ví dụ 2: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh. Xét nghiệm có độ chính xác 95%, nghĩa là nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất 95%. Biết rằng tỷ lệ người mắc bệnh trong cộng đồng là 1%. Nếu một người được xét nghiệm và kết quả dương tính, xác suất để người đó mắc bệnh là bao nhiêu?

Giải:

Gọi B là sự kiện người mắc bệnh, D là sự kiện xét nghiệm cho kết quả dương tính.

Ta có: P(B) = 0.01, P(D|B) = 0.95, P(D^c|B^c) = 0.95 => P(D|B^c) = 0.05

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

P(B|D) = [P(D|B)P(B)] / P(D) = [P(D|B)P(B)] / [P(D|B)P(B) + P(D|B^c)P(B^c)]

P(B|D) = (0.95 * 0.01) / (0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99) = 0.0095 / (0.0095 + 0.0495) = 0.0095 / 0.059 = 0.161

Vậy, xác suất để người đó mắc bệnh là khoảng 16.1%.

4. Luyện tập và ứng dụng

Để nắm vững kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập này có thể được tìm thấy trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo, các trang web học toán online, hoặc các tài liệu tham khảo khác.

Hai công thức này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như y học, kỹ thuật, kinh tế, và khoa học xã hội. Việc hiểu và sử dụng thành thạo hai công thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.