THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học Bài 4. Vi phân - SGK Toán 11 Nâng cao thuộc chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về vi phân, một khái niệm nền tảng trong giải tích.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, ý nghĩa hình học và các công thức tính vi phân. Đồng thời, bài học cũng sẽ giới thiệu các ứng dụng thực tế của vi phân trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi và tối ưu hóa.
Bài 4 trong SGK Toán 11 Nâng cao, chương V, tập trung vào khái niệm vi phân, một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Vi phân cho phép chúng ta ước lượng sự thay đổi của hàm số tại một điểm cụ thể, và là nền tảng cho nhiều khái niệm nâng cao hơn như đạo hàm và tích phân.
Vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm x, ký hiệu là dy, được định nghĩa là:
dy = f'(x)dx
Trong đó:
Về mặt hình học, vi phân dy biểu thị sự thay đổi gần đúng của hàm số y = f(x) khi biến độc lập x thay đổi một lượng nhỏ dx. Nó tương ứng với độ dài đoạn thẳng đứng trên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (x, f(x)), ứng với sự thay đổi dx của biến độc lập.
Dưới đây là công thức tính vi phân của một số hàm số thường gặp:
| Hàm số f(x) | Vi phân dy |
|---|---|
| f(x) = xn | dy = nxn-1dx |
| f(x) = sin(x) | dy = cos(x)dx |
| f(x) = cos(x) | dy = -sin(x)dx |
| f(x) = ex | dy = exdx |
| f(x) = ln(x) | dy = (1/x)dx |
Vi phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
Ví dụ 1: Tính vi phân của hàm số y = x3 + 2x tại điểm x = 1.
Giải:
f'(x) = 3x2 + 2
f'(1) = 3(1)2 + 2 = 5
dy = 5dx
Ví dụ 2: Sử dụng vi phân để ước lượng giá trị của sin(0.1), biết rằng sin(0) = 0 và cos(0) = 1.
Giải:
dy = cos(x)dx
dy = cos(0)(0.1) = 1(0.1) = 0.1
sin(0.1) ≈ sin(0) + dy = 0 + 0.1 = 0.1
Vi phân là một khái niệm gần đúng. Độ chính xác của phép tính vi phân phụ thuộc vào độ nhỏ của dx. Khi dx càng nhỏ, kết quả tính bằng vi phân càng gần với giá trị thực tế.
Bài 4. Vi phân là một bước quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số. Việc nắm vững định nghĩa, ý nghĩa hình học và các công thức tính vi phân sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán thực tế trong toán học và các lĩnh vực khoa học khác.
