Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài 5 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Đây là một phần quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

I. Mục tiêu bài học

Nắm vững các bước giải quyết bài toán tối ưu bằng phương pháp đạo hàm.
Vận dụng đạo hàm để giải các bài toán về tối ưu hóa trong kinh tế, kỹ thuật và các lĩnh vực khác.
Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán, xây dựng mô hình toán học và giải quyết bài toán một cách hiệu quả.

II. Nội dung bài học

Bài học này bao gồm các nội dung chính sau:

Ôn tập kiến thức về đạo hàm: Nhắc lại các khái niệm cơ bản về đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Phương pháp giải bài toán tối ưu: Giới thiệu các bước giải bài toán tối ưu bằng phương pháp đạo hàm, bao gồm: xác định hàm mục tiêu, tìm tập xác định, tìm điểm dừng và kiểm tra điều kiện tối ưu.
Ví dụ minh họa: Giải một số bài toán tối ưu thực tế để minh họa cho phương pháp giải. Các bài toán này có thể liên quan đến việc tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí, diện tích, thể tích,…
Bài tập luyện tập: Cung cấp một số bài tập luyện tập để học sinh tự rèn luyện và củng cố kiến thức.

III. Các dạng bài tập thường gặp

Trong bài học này, học sinh thường gặp các dạng bài tập sau:

Bài toán tối ưu hóa trong kinh tế: Ví dụ như bài toán tìm mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận, hoặc tìm mức giá để tối đa hóa doanh thu.
Bài toán tối ưu hóa trong kỹ thuật: Ví dụ như bài toán thiết kế hình hộp chữ nhật có thể tích cho trước và diện tích bề mặt nhỏ nhất.
Bài toán tối ưu hóa hình học: Ví dụ như bài toán tìm điểm trên đường cong sao cho khoảng cách đến một điểm cho trước là nhỏ nhất.

IV. Hướng dẫn giải bài tập

Để giải các bài toán tối ưu bằng phương pháp đạo hàm, học sinh cần thực hiện các bước sau:

Xác định hàm mục tiêu: Hàm mục tiêu là hàm số cần tối ưu hóa (ví dụ: lợi nhuận, chi phí, diện tích,…).
Tìm tập xác định: Tập xác định là tập hợp các giá trị của biến số mà hàm mục tiêu có nghĩa.
Tính đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm mục tiêu.
Tìm điểm dừng: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm dừng.
Kiểm tra điều kiện tối ưu: Sử dụng đạo hàm cấp hai hoặc các phương pháp khác để kiểm tra xem các điểm dừng là điểm cực đại, cực tiểu hay điểm uốn.
Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất: So sánh các giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm cực đại, cực tiểu và các điểm biên của tập xác định để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.

V. Lưu ý khi giải bài tập

Đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu của bài toán.
Xác định đúng hàm mục tiêu và tập xác định.
Kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán để đảm bảo tính hợp lý của kết quả.
Sử dụng máy tính bỏ túi hoặc phần mềm toán học để hỗ trợ tính toán.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ nắm vững phương pháp giải bài toán tối ưu bằng phương pháp đạo hàm và tự tin giải các bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 1. Chúc các em học tập tốt!