đề thi học sinh giỏi năm học 2017 – 2018 môn toán 9 phòng giáo dục và đào tạo tiền hải – thái bình

Đề thi học sinh giỏi (HSG) môn Toán 9 năm học 2017 – 2018, Phòng Giáo dục và Đào tạo Tiền Hải, Thái Bình là một đề thi có cấu trúc khá điển hình dành cho học sinh giỏi cấp huyện. Đề thi bao gồm 5 bài toán tự luận, được thiết kế để đánh giá toàn diện kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh trong chương trình Toán 9.

Thời gian làm bài 120 phút là đủ để học sinh có thể suy nghĩ và trình bày lời giải một cách chi tiết và logic.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:

1. Bài 1: Chia hết đa thức

Tìm các số a, b sao cho đa thức f(x) = x⁴ + ax³ + bx – 1 chia hết cho đa thức x² – 3x + 2.

Nhận xét: Đây là bài toán về ứng dụng định lý về phép chia đa thức và tìm nghiệm của đa thức. Yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử và sử dụng các phương pháp chia đa thức.

2. Bài 2: Chứng minh biểu thức là số chính phương

Chứng minh rằng : B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y².z² là một số chính phương với x, y, z là các số nguyên.

Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh có khả năng biến đổi đại số khéo léo để đưa biểu thức về dạng bình phương của một biểu thức khác. Đây là một dạng bài tập thường gặp trong các kỳ thi HSG, đòi hỏi sự sáng tạo và tư duy logic.

3. Bài 3: Hình học – Tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

• a) Biết AB = 6 cm, HC = 6,4 cm. Tính BC, AC
• b) Chứng minh: DE³ = BC.BD.CE
• c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, đường thẳng kẻ qua C vuông góc với BC cắt HE tại N. Chứng minh M, A, N thẳng hàng
• d) Chứng minh rằng : BN, CM, DE đồng quy

Nhận xét: Đây là bài toán hình học điển hình về tam giác vuông, hệ thức lượng trong tam giác vuông và các tính chất của đường cao. Các câu hỏi được xây dựng theo mức độ tăng dần, từ việc tính toán đơn giản đến chứng minh các mối quan hệ phức tạp. Câu d là câu khó, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các định lý về đường thẳng đồng quy.

4. Bài 4: Đa thức và giá trị của đa thức

Cho đa thức f(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + d (với a, b, c là các số thực). Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính giá trị biểu thức A = f(8) – f(-4).

Nhận xét: Bài toán này liên quan đến việc tìm mối liên hệ giữa các giá trị của đa thức tại các điểm khác nhau. Học sinh cần sử dụng các phương pháp đại số để tìm ra quy luật và tính toán giá trị của biểu thức A.

Đánh giá chung: Đề thi có độ khó phù hợp với học sinh giỏi Toán 9, bao gồm các dạng bài tập quen thuộc nhưng đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi có tính phân loại học sinh cao, giúp đánh giá chính xác năng lực của học sinh.