THCS
THCS
Đề thi Học sinh Giỏi Toán 12 cấp trường năm học 2021 – 2022, Trường Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương: Đánh giá và Phân tích chi tiết
Đề thi Học sinh Giỏi Toán 12 cấp trường năm học 2021 – 2022 của Trường Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương là một đề thi có chất lượng, thể hiện được sự phân hóa cao, phù hợp với mục tiêu đánh giá học sinh giỏi. Đề thi bao gồm ba bài toán, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán và nhận xét về độ khó, hướng tiếp cận:
Bài toán: Cho tam giác nhọn ABC với AB > BC. Cho I là tâm nội tiếp của tam giác ABC và (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại K. Đường thẳng AK cắt (O) tại điểm thứ hai T. Cho M là trung điểm của BC và N là điểm chính giữa cung BC chứa A của (O). Đoạn thẳng NT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC ở P. Chứng minh rằng:
Nhận xét: Đây là một bài hình học khá khó, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất đối xứng của đường tròn và các định lý liên quan đến góc. Hướng tiếp cận bài toán có thể dựa trên việc sử dụng các tính chất của tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp, điểm đối xứng và các góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Việc chứng minh sự thẳng hàng và tính song song đòi hỏi sự kết hợp khéo léo các kiến thức hình học và kỹ năng biến đổi hình học.
Bài toán: Cho dãy số xn là nghiệm dương của phương trình 2xn ≡ k (mod n) với số nguyên dương k cho trước. Khi đó chứng minh rằng xn ≡ 1 (mod n).
Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực số học, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về đồng dư thức, định lý Euler và định lý Fermat nhỏ. Hướng giải quyết bài toán có thể dựa trên việc sử dụng các tính chất của đồng dư thức, áp dụng định lý Euler hoặc định lý Fermat nhỏ để suy ra kết quả cần chứng minh. Bài toán này kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức số học vào giải quyết các bài toán cụ thể.
Bài toán: Có bao nhiêu cách lát kín bảng 2 x 2022 bởi các viên domino 1 x 2 và 2 x 1?
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá thú vị, liên quan đến việc đếm số cách lát kín một hình chữ nhật bằng các viên domino. Bài toán này có thể được giải bằng phương pháp đệ quy hoặc sử dụng công thức truy hồi. Hướng giải quyết bài toán có thể dựa trên việc xét các trường hợp khác nhau khi đặt các viên domino lên bảng và xây dựng công thức truy hồi để tính số cách lát kín. Bài toán này kiểm tra khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết các bài toán đếm.
Đánh giá chung:
Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm học 2021 – 2022 của Trường Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương là một đề thi chất lượng, có tính phân hóa cao và phù hợp với mục tiêu đánh giá học sinh giỏi. Các bài toán trong đề thi đều đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các học sinh đang luyện thi HSG Toán 12.
