giải bài tập sgk hình học 12 nâng cao: phương trình mặt phẳng

Chúng tôi xin giới thiệu đến bạn đọc tài liệu hướng dẫn giải chi tiết các bài tập về "Phương trình mặt phẳng" trong sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, bao gồm cả phần "Câu hỏi và bài tập" và phần "Luyện tập". Tài liệu này được biên soạn với mục tiêu giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập.

Đánh giá chung:

• Tính đầy đủ: Tài liệu bao quát hầu hết các dạng bài tập cơ bản và nâng cao về phương trình mặt phẳng, từ viết phương trình mặt phẳng khi biết các yếu tố khác nhau (điểm, vectơ pháp tuyến, song song, vuông góc) đến xét vị trí tương đối giữa các mặt phẳng, tính khoảng cách và tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
• Tính chi tiết: Mỗi bài tập đều được trình bày lời giải một cách cẩn thận, rõ ràng, có giải thích từng bước, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và hiểu được phương pháp giải. Nhiều bài tập còn đưa ra các "Cách khác" để học sinh có thể tiếp cận bài toán theo nhiều hướng, từ đó phát triển tư duy linh hoạt và sáng tạo.
• Tính chính xác: Các lời giải đều được kiểm tra kỹ lưỡng, đảm bảo tính chính xác về mặt kiến thức và phương pháp.

Ưu điểm nổi bật:

• Phân loại bài tập khoa học: Các bài tập được sắp xếp theo mức độ từ dễ đến khó, giúp học sinh tiếp cận kiến thức một cách hệ thống và hiệu quả.
• Đa dạng phương pháp giải: Tài liệu không chỉ cung cấp một phương pháp giải duy nhất mà còn đưa ra nhiều cách tiếp cận khác nhau cho cùng một bài toán, giúp học sinh mở rộng kiến thức và kỹ năng giải toán.
• Chú trọng phân tích bài toán: Trước khi đi vào giải chi tiết, tài liệu thường có phần phân tích bài toán, giúp học sinh hiểu rõ yêu cầu và định hướng giải quyết vấn đề.
• Hình vẽ minh họa: Một số bài tập có kèm theo hình vẽ minh họa, giúp học sinh hình dung rõ hơn về bài toán và các yếu tố liên quan.

Nội dung chi tiết:

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 15. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua ba điểm \(M(2;0; – 1)\), \(N(1; – 2;3)\), \(P(0;1;2).\)

b) Đi qua hai điểm \(A(1;1; – 1)\), \(B(5;2;1)\) và song song với trục \(Oz.\)

c) Đi qua điểm \((3;2; – 1)\) và song song với mặt phẳng có phương trình: \(x – 5y + z = 0.\)

d) Đi qua hai điểm \(A(0;1;1)\), \(B( – 1;0;2)\) và vuông góc với mặt phẳng: \(x – y + z + 1 = 0.\)

e) Đi qua điểm \(M(a;b;c)\) \((abc \ne 0)\) và song song với một mặt phẳng tọa độ.

g) Đi qua điểm \(G(1;2;3)\) và cắt các trục tọa độ tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) sao cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\)

h) Đi qua điểm \(H(2;1;1)\) và cắt các trục tọa độ tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) sao cho \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\)

Lời giải:

a) Mặt phẳng \((MNP)\) nhận vectơ \([\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ]\) làm vectơ pháp tuyến. Ta có \(\overrightarrow {MN} = ( – 1; – 2;4)\), \(\overrightarrow {MP} = ( – 2;1;3)\) nên \([\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ] = ( – 10; – 5; – 5).\) Vậy \(mp(MNP)\) đi qua \(M(2;0; – 1)\) và có vectơ pháp tuyến là \(( – 10; – 5; – 5)\) nên nó có phương trình: \( – 10(x – 2) – 5y – 5(z + 1) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y + z – 3 = 0.\)

b) Vì mặt phẳng đi qua \(AB\) và song song với \(Oz\) nên nó có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\vec k]\), với \(\overrightarrow {AB} = (4;1;2)\), \(\vec k = (0;0;1)\) nên \(\vec n = (1; – 4;0).\)

Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua \(A(1;1; – 1)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1; – 4;0)\) nên có phương trình là: \(1(x – 1) – 4(y – 1) + 0(z + 1) = 0.\)

Cách khác:

Vì mặt phẳng cần tìm song song với \(Oz\) nên có phương trình dạng \(Ax + By + D = 0\) với \({A^2} + {B^2} \ne 0.\)

Vì mặt phẳng này đi qua \(A(1;1; – 1)\) và \(B(5;2;1)\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A + B + D = 0}\\ {5A + 2B + D = 0} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow 4A + B = 0\), nếu \(A = 0\) thì \(B = 0\) (loại).

Vậy \(A \ne 0\), ta chọn \(A = 1\) \( \Rightarrow B = – 4\) và \(D = 3.\)

Vậy phương trình mặt phẳng là: \(x – 4y + 3 = 0.\)

c) Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng: \(x – 5y + z = 0\) nên nó có phương trình dạng: \(x – 5y + z + D = 0\), mà mặt phẳng này lại đi qua điểm \((3;2; – 1)\) nên ta có: \(3 – 5.2 + ( – 1) + D = 0\) \( \Leftrightarrow D = 8.\)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(x – 5y + z + 8 = 0.\)

Cách khác:

Vì hai mặt phẳng song song với nhau thì có cùng véctơ pháp tuyến, nên mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (1; – 5;1)\) nên nó có phương trình là: \(1(x – 3) – 5(y – 2) + 1(z + 1) = 0\) \( \Leftrightarrow x – 5y + z + 8 = 0.\)

d) Vì mặt phẳng cần tìm đi qua \(AB\) và vuông góc với mặt phẳng: \(x – y + z + 1 = 0\) nên nó có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_1}} ]\), với \(\overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1;1)\) và \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; – 1;1)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: \(x – y + z + 1 = 0.\) Suy ra \(\vec n = (0;2;2).\)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(y + z – 2 = 0.\)

e) Nếu mặt phẳng cần tìm song song với \(mp(Oxy)\) thì nó có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (0;0;1)\), mặt khác mặt phẳng này đi qua điểm \(M(a; b; c)\) nên nó có phương trình là: \(z – c = 0.\)

Tương tự, nếu mặt phẳng cần tìm đi qua \(M(a; b; c)\) và song song với \(mp(Oxz)\) thì có phương trình: \(y – b = 0.\)

Nếu mặt phẳng cần tìm đi qua \(M(a; b; c)\) và song song với \(mp(Oyz)\) thì có phương trình: \(x – a = 0.\)

g) Giả sử ba giao điểm \(A\), \(B\), \(C\) của mặt phẳng với ba trục tọa độ là \(A(a; 0; 0)\), \(B(0; b; 0)\), \(C(0; 0; c).\) Vì \(G(1; 2; 3)\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên ta có:

\(\frac{a}{3} = 1\), \(\frac{b}{3} = 2\), \(\frac{c}{3} = 3\) suy ra \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 9\) nên ta có phương trình \(mp(ABC)\) theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1.\)

h) Giả sử ba giao điểm \(A\), \(B\), \(C\) của mặt phẳng với ba trục tọa độ là: \(A(a; 0; 0)\), \(B(0; b; 0)\), \(C(0;0;c).\) Vì \(H(2;1;1)\) là trực tâm \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CH} = 0}\\ {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = 0} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 2a + b = 0}\\ {b – c = 0} \end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow b = c = 2a \ne 0.\)

Khi đó, phương trình mặt phẳng \((ABC)\) viết theo đoạn chắn là:

\(\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{2a}} = 1\) \( \Leftrightarrow 2x + y + z = 2a.\)

Mặt khác, mặt phẳng này đi qua \(H(2;1;1)\) nên ta có:

\(2.2 + 1 + 1 = 2a\) \( \Leftrightarrow a = 3.\)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(2x + y + z – 6 = 0.\)

Bài 16. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:

a) \(x + 2y – z + 5 = 0\) và \(2x + 3y – 7z – 4 = 0.\)

b) \(x – 2y + z – 3 = 0\) và \(2x – y + 4x – 2 = 0.\)

c) \(x + y + z – 1 = 0\) và \(2x + 2y + 2z + 3 = 0.\)

d) \(3x – 2y + 3z + 5 = 0\) và \(9x – 6y – 9z – 5 = 0.\)

e) \(x – y + 2z – 4 = 0\) và \(10x – 10x + 20z – 40 = 0.\)

Lời giải:

a) Hai mặt phẳng cắt nhau, vì: \(1:2:( – 1) \ne 2:3:( – 7).\)

b) Hai mặt phẳng cắt nhau, vì: \(1:( – 2):1 \ne 2:( – 1):4.\)

c) Hai mặt phẳng song song, vì: \(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne \frac{{ – 1}}{3}.\)

d) Hai mặt phẳng cắt nhau, vì: \(3:( – 2):3 \ne 9:( – 6):( – 9).\)

e) Hai mặt phẳng trùng nhau, vì: \(\frac{1}{{10}} = \frac{{ – 1}}{{ – 10}} = \frac{2}{{20}} = \frac{{ – 4}}{{ – 40}}.\)

Bài 17. Xác định giá trị của \(m\) và \(n\) để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:

a) \(2x + ny + 2z + 3 = 0\) và \(mx + 2y – 4z + 7 = 0.\)

b) \(2x + y + mz – 2 = 0\) và \(x + ny + 2z + 8 = 0.\)

Lời giải:

a) Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là:

\(\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}\) \( \Leftrightarrow \frac{2}{m} = \frac{n}{2} = \frac{2}{{ – 4}} \ne \frac{3}{7}\) \( \Leftrightarrow m = – 4\) và \(n = – 1.\)

b) Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là:

\( \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}\) \( \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{1}{n} = \frac{m}{2} \ne \frac{{ – 2}}{8}\) \( \Leftrightarrow n = \frac{1}{2}\) và \(m = 4.\)

Bài 18. Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là:

\(2x – my + 3z – 6 + m = 0\) và \((m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0.\)

Với giá trị nào của \(m\) thì:

a) Hai mặt phẳng đó song song?

b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau?

c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau?

d) Hai mặt phẳng đó vuông góc?

Lời giải:

Các hệ số của phương trình mặt phẳng: \(2x – my + 3z – 6 + m = 0\) là: \(A = 2\); \(B = -m\); \(C = 3\); \(D = m – 6.\)

Các hệ số của phương trình mặt phẳng: \((m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0\) là: \(A’ = m + 3\), \(B’ = – 2\), \(C’ = 5m + 1\), \(D’ = – 10.\)

a) Để hai mặt phẳng song song thì: \(\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}.\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ – m}}{{ – 2}}\) \( = \frac{3}{{5m + 1}} \ne \frac{{m – 6}}{{ – 10}}\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{2}{{m + 3}} = \frac{m}{2}}\\ {\frac{m}{2} = \frac{3}{{5m + 1}}}\\ {\frac{3}{{5m + 1}} \ne \frac{{m – 6}}{{ – 10}}} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{m^2} + 3m – 4 = 0}\\ {5{m^2} + m – 6 = 0}\\ {5{m^2} – 29m + 24 \ne 0} \end{array}} \right..\)

Hệ này vô nghiệm, nên không có \(m\) để hai mặt phẳng đã cho song song.

b) Hai mặt phẳng trùng nhau \( \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} = \frac{D}{{D’}}.\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ – m}}{{ – 2}}\) \( = \frac{3}{{5m + 1}} = \frac{{m – 6}}{{ – 10}}\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{m^2} + 3m – 4 = 0}\\ {5{m^2} + m – 6 = 0}\\ {5{m^2} – 29m + 24 = 0} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m = 1.\)

Vậy \(m = 1\) thì hai mặt phẳng đã cho trùng nhau.

c) Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng không trùng nhau (vì theo câu a, hai mặt phẳng này không thể song song với nhau). Theo câu b, ta suy ra giá trị \(m\) để hai mặt phẳng cắt nhau là: \(m \ne 1.\)

Cách khác:

Để hai mặt phẳng cắt nhau thì: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{A}{{A’}} \ne \frac{B}{{B’}}}\\ {\frac{B}{{B’}} \ne \frac{C}{{C’}}}\\ {\frac{C}{{C’}} \ne \frac{A}{{A’}}} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{2}{{m + 3}} \ne \frac{{ – m}}{{ – 2}}}\\ {\frac{{ – m}}{{ – 2}} \ne \frac{3}{{5m + 1}}}\\ {\frac{3}{{5m + 1}} \ne \frac{2}{{m + 3}}} \end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow m \ne 1.\) Vậy điều kiện là \(m \ne 1.\)

d) Hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}} (2; – m;3)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} (m + 3; – 2;5m + 1).\)

Để hai mặt phẳng vuông góc thì \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \) hay \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0.\)

\( \Leftrightarrow 2(m + 3) + 2m + 3(5m + 1) = 0\) \( \Leftrightarrow m = \frac{{ – 9}}{{19}}.\)

Vậy \(m = – \frac{9}{{19}}\) là giá trị cần tìm.

Bài 19. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \(\left( {\alpha ‘} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \((\alpha ):2x – y + 4z + 5 = 0\), \(\left( {\alpha ‘} \right):3x + 5y – z – 1 = 0.\)

b) \((\alpha ):2x + y – 2z – 1 = 0\), \(\left( {\alpha ‘} \right):6x – 3y + 2z – 2 = 0.\)

c) \((\alpha ):x + 2y + z – 1 = 0\), \(\left( {\alpha ‘} \right):x + 2y + z + 5 = 0.\)

Lời giải:

a) Gọi điểm \(M(x;y;z)\) là điểm cách đều \((\alpha )\) và \(\left( {\alpha ‘} \right)\), khi đó:

\(d(M,\alpha ) = d\left( {M,\alpha ‘} \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{{|2x – y + 4z + 5|}}{{\sqrt {4 + 1 + 16} }} = \frac{{|3x + 5y – z – 1|}}{{\sqrt {9 + 25 + 1} }}.\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 5 (2x – y + 4z + 5)\) \( = \pm \sqrt 3 (3x + 5y – z – 1).\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {(2\sqrt 5 – 3\sqrt 3 )x – (\sqrt 5 + 5\sqrt 3 )y + (4\sqrt 5 + \sqrt 3 )z + 5\sqrt 5 + \sqrt 3 = 0\,\,\,(1)}\\ {(2\sqrt 5 + 3\sqrt 3 )x – (\sqrt 5 – 5\sqrt 3 )y + (4\sqrt 5 – \sqrt 3 )z + 5\sqrt 5 – \sqrt 3 = 0\,\,\,(2)} \end{array}} \right..\)

Vậy quỹ tích các điểm \(M\) cách đều hai mặt phẳng đã cho là hai mặt phẳng có phương trình \((1)\) và \((2).\)

b) Cách giải tương tự câu a, ta có tập hợp các điểm \(M\) cách đều hai mặt phẳng đã cho là hai mặt phẳng có phương trình sau: \( – 4x + 16y – 20z – 1 = 0\) và \(32x – 2y – 8z – 13 = 0.\)

c) Gọi \(M(x;y;z)\) là điểm cách đều \((\alpha )\) và \(\left( {\alpha ‘} \right)\), ta có:

\(d(M,\alpha ) = d\left( {M,\alpha ‘} \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{{|x + 2y + z – 1|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }}\) \( = \frac{{|x + 2y + z + 5|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }}.\)

\( \Leftrightarrow (x + 2y + z – 1)\) \( = \pm (x + 2y + z + 5).\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + 2y + z – 1 = x + 2y + z + 5}\\ {x + 2y + z – 1 = – x – 2y – z – 5} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 1 = 5\,\,\,{\rm{(vô\:lý)}}}\\ {x + 2y + z + 2 = 0} \end{array}} \right..\)

Vậy quỹ tích điểm \(M\) cần tìm là mặt phẳng có phương trình \(x + 2y + z + 2 = 0.\)

Bài 20. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng: \(Ax + By + Cz + D = 0\) và \(Ax + By + Cz + D’ = 0\) với \(D \ne D’.\)

Lời giải:

Ta nhận thấy hai mặt phẳng đã cho song song với nhau, nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm \(M\) bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Giả sử điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng: \(Ax + By + Cz + D = 0\), ta có khoảng cách cần tìm là: \(h = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D’} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) \( = \frac{{| – D + D’|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) (vì \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} = – D\)).

Bài 21. Tìm điểm \(M\) trên trục \(Oz\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(M\) cách đều điểm \(A(2;3;4)\) và mặt phẳng \(2x + 3y + z – 17 = 0.\)

b) \(M\) cách đều hai mặt phẳng \(x + y – z + 1 = 0\) và \(x – y + z + 5 = 0.\)

Lời giải:

Vì \(M\) nằm trên trục \(Oz\) nên có tọa độ dạng: \(M = (0;0;c).\)

a) Ta có \(MA = \sqrt {4 + 9 + {{(4 – c)}^2}} \) \( = \sqrt {13 + {{(4 – c)}^2}} .\)

Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng: \(2x + 3y + z – 17 = 0\) là:

\(h = \frac{{|c – 17|}}{{\sqrt {4 + 9 + 1} }} = \frac{{|c – 17|}}{{\sqrt {14} }}.\)

Theo bài ra, ta có: \(MA = h\) \( \Leftrightarrow M{A^2} = {h^2}\) \( \Leftrightarrow 13 + {(4 – c)^2} = \frac{{{{(c – 17)}^2}}}{{14}}.\)

\( \Leftrightarrow c = 3.\)

Vậy \(M = (0;0;3)\) là điểm cần tìm.

b) Vì \(M(0;0;c)\) cách đều hai mặt phẳng: \(x + y – z + 1 = 0\) và \(x – y + z + 5 = 0\) nên ta có: \(\frac{{| – c + 1|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{|c + 5|}}{{\sqrt 3 }}\) \( \Leftrightarrow ( – c + 1) = \pm (c + 5)\) \( \Leftrightarrow c = – 2.\)

Vậy \(M = (0;0; – 2)\) là điểm cần tìm.

Bài 22. Cho tứ diện \(OABC\) có các tam giác \(OAB\), \(OBC\), \(OCA\) là các tam giác vuông đỉnh \(O.\) Gọi \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \) lần lượt là góc giữa mặt phẳng \((ABC)\) và các mặt phẳng \((OBC)\), \((OCA)\), \((OAB).\) Bằng phương pháp tọa độ hãy chứng minh:

a) Tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn.

b) \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho: \(O = (0;0;0)\); \(A = (a;0;0)\); \(B = (0;b;0)\); \(C = (0;0;c).\)

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = ( – a;b;0)\), \(\overrightarrow {AC} = ( – a;0;c)\) nên \(\cos \widehat {CAB} = \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )\) \( = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{|\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |}}\) \( = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{a^2} + {c^2}} }} > 0.\)

Suy ra góc \(\widehat {CAB}\) nhọn.

Tương tự, ta có góc \(\widehat {ACB}\) và \(\overrightarrow {ABC} \) góc nhọn.

Vậy \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn (điều phải chứng minh).

b) Mặt phẳng \((ABC)\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (bc;ac;ab).\)

Các mặt phẳng \((OBC)\), \((OAC)\), \((OAB)\) lần lượt có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;0;0)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = (0;1;0)\), \(\overrightarrow {{n_3}} = (0;0;1)\) nên ta có:

\({\cos ^2}\alpha = {\cos ^2}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\vec n} \right)\) \( = \frac{{{{(bc)}^2}}}{{{{(bc)}^2} + {{(ac)}^2} + {{(ab)}^2}}}.\)

\({\cos ^2}\beta = {\cos ^2}\left( {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow n } \right)\) \( = \frac{{{{(ac)}^2}}}{{{{(bc)}^2} + {{(ac)}^2} + {{(ab)}^2}}}.\)

\({\cos ^2}\gamma = {\cos ^2}\left( {\overrightarrow {{n_3}} ,\overrightarrow n } \right)\) \( = \frac{{{{(ab)}^2}}}{{{{(bc)}^2} + {{(ac)}^2} + {{(ab)}^2}}}.\)

Suy ra: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma \) \( = \frac{{{{(ab)}^2} + {{(ac)}^2} + {{(bc)}^2}}}{{{{(bc)}^2} + {{(ac)}^2} + {{(ab)}^2}}} = 1.\)

Bài 23. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng \(4x + 3y – 12z + 1 = 0\) và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0.\)

Lời giải:

Mặt cầu: \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0\) có tâm \(I(1;2;3)\); bán kính \(R = 4.\) Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng \(4x + 3y – 12z + 1 = 0\) nên có phương trình dạng: \(4x + 3y – 12z + D = 0\) \((\alpha ).\)

Vì mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu tâm \(I(1;2;3)\), bán kính \(R = 4\) nên ta có: \(d(I,\alpha ) = R.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{|4 + 6 – 36 + D|}}{{\sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4\) \( \Leftrightarrow | – 26 + D| = 52\) \( \Rightarrow D = 78\) hoặc \(D = – 26.\)

Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình là: \(4x + 3y – 12z + 78 = 0\) hoặc: \(4x + 3y – 12z – 26 = 0.\)

Tóm lại, tài liệu này là một nguồn tham khảo hữu ích cho học sinh trong quá trình học tập và ôn luyện môn Hình học 12, đặc biệt là phần "Phương trình mặt phẳng". Với cách