THCS
THCS
Chúng tôi xin giới thiệu đến bạn một tài liệu hướng dẫn chi tiết giải các bài tập trong chương "Số phức" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm cả phần "Câu hỏi và Bài tập" và phần "Luyện tập". Tài liệu này được biên soạn với mục tiêu giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán, và đạt kết quả tốt trong học tập.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Bài tập này tập trung vào việc biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức, tìm số phức liên hợp và số đối của một số phức. Qua bài tập này, học sinh sẽ được củng cố kiến thức về:
Lời giải:
a) Các điểm A, B, C trong mặt phẳng tọa độ (hình vẽ) là các điểm biểu diễn của các số phức: 1 + 2i, 2 + 3i, 2 – i.
b) Số phức liên hợp của số \(z = 2 + 3i\) là \(\bar z = 2 – 3i\).
Số phức liên hợp của số \(z’ = 1 + 2i\) là \(\overline {z’} = 1 – 2i\).
Số phức liên hợp của số \(z” = 2 – i\) là \(\overline {z”} = 2 + i\).
Các điểm \(M\), \(N\), \(P\) biểu diễn cho các số \(\overline z \), \(\overline {z’} \), \(\overline {z”} \) như sau:
c) Số đối của số phức: \(z = 2 + 3i\) là \( – z = – 2 – 3i\).
Số đối của số phức \(z’ = 1 + 2i\) là \( – z’ = – 1 – 2i\).
Số đối của số phức \(z” = 2 – i\) là \( – z” = – 2 + i\).
Các điểm \(P\), \(Q\), \(R\) lần lượt biểu diễn cho các số \( – z\), \( – z’\), \( – z”.\)
Bài 2. Bài tập này yêu cầu xác định phần thực và phần ảo của các số phức sau khi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia. Điều này giúp học sinh:
Lời giải:
a) Ta có: \(i + (2 – 4i) – (3 – 2i)\) \( = – i – 1\) có phần thực là \(-1\), phần ảo là \(-1\).
b) Ta có: \({(\sqrt 2 + 3i)^2}\) \( = 2 + 6\sqrt 2 i + {(3i)^2}\) \( = 2 + 6\sqrt 2 i – 9\) \( = – 7 + 6\sqrt 2 i\) có phần thực là \(-7\), phần ảo là \(6\sqrt 2 .\)
c) Ta có \((2 + 3i)(2 – 3i)\) \( = 4 – 6i + 6i – 9{i^2}\) \( = 4 + 9 = 13\) có phần thực là \(13\), phần ảo là \(0.\)
d) \(i(2 – i)(3 + i)\) \( = i(6 – i + 1)\) \( = 1 + 7i\) có phần thực là \(1\), phần ảo là \(7.\)
Bài 3. Bài tập này kết hợp kiến thức về số phức và hình học, yêu cầu xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc O. Bài tập này giúp học sinh:
Lời giải:
Gọi lục giác đều là \(ABCDEF\), trong đó \(A\) biểu diễn cho số \(i\).
Suy ra \(A(0;1)\) và \(\widehat {AOB} = {60^0}\) (hình vẽ).
Từ đó suy ra \(B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right)\), \(C\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; – \frac{1}{2}} \right)\), \(D(0;1)\), \(E\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2}; – \frac{1}{2}} \right)\), \(F\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right).\)
Vậy sáu số phức cần tìm là:
\(i\), \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\), \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i\), \( – i\), \( – \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i\), \( – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i.\)
Bài 4. Bài tập này tập trung vào phép chia số phức, yêu cầu thực hiện các phép tính chia số phức cho số phức khác. Qua bài tập này, học sinh sẽ được:
Lời giải:
Nhân cả tử và mẫu của số đã cho với lượng liên hợp ở mẫu ta được:
\(\frac{1}{{2 – 3i}}\) \( = \frac{{2 + 3i}}{{(2 – 3i)(2 + 3i)}}\) \( = \frac{{2 + 3i}}{{4 + 9}}\) \( = \frac{2}{{13}} + \frac{3}{{13}}i.\)
\(\frac{1}{{\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}\) \( = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\left( {\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}\) \( = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}\) \( = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.\)
\(\frac{{3 – 2i}}{i}\) \( = \frac{{(3 – 2i)( – i)}}{{i( – i)}}\) \( = \frac{{ – 3i – 2}}{1}\) \( = – 2 – 3i.\)
\(\frac{{3 – 4i}}{{4 – i}}\) \( = \frac{{(3 – 4i)(4 + i)}}{{(4 – i)(4 + i)}}\) \( = \frac{{16 – 13i}}{{17}}\) \( = \frac{{16}}{{17}} – \frac{{13}}{{17}}i.\)
Bài 5. Bài tập này yêu cầu tính các giá trị liên quan đến một số phức cho trước, bao gồm nghịch đảo, số phức liên hợp, lũy thừa và tổng. Mục đích của bài tập này là:
Lời giải:
Ta có: \(\frac{1}{z}\) \( = \frac{1}{{ – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}\) \( = \frac{{ – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}\) \( = \frac{{ – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}\) \( = – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.\)
\(\bar z = \overline { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \) \( = – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.\)
\({z^2} = {\left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\) \( = – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.\)
\({\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^3}\) \( = – \frac{1}{8} – 3.\frac{1}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}i\) \( – 3.\frac{1}{2}.\frac{3}{4}{i^2} – \frac{{3\sqrt 3 }}{8}{i^3}.\)
\( = – \frac{1}{8} – \frac{{3\sqrt 3 i}}{8} + \frac{9}{8} + \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i\) \( = \frac{8}{8} = 1.\)
\(1 + z + {z^2}\) \( = 1 + \left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\) \( + \left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 0.\)
Bài 6. Bài tập này yêu cầu chứng minh các tính chất cơ bản của số phức, bao gồm liên hệ giữa phần thực, phần ảo và số phức liên hợp, điều kiện để một số phức là số ảo, và các tính chất của phép toán trên số phức liên hợp. Bài tập này giúp học sinh:
Lời giải:
Giả sử \(z = a + bi\) ta có \(\bar z = a – bi\), nên:
\(\frac{1}{2}(z + \bar z)\) \( = \frac{1}{2}(a + bi + a – bi)\) \( = \frac{{2a}}{2} = a.\)
\(\frac{1}{{2i}}(z – \overline z )\) \( = \frac{1}{{2i}}(a + bi – a + bi)\) \( = \frac{{2bi}}{{2i}} = b.\)
b) Giả sử \(z = a + bi\).
Theo bài ra \(z = – \overline z \) \( \Leftrightarrow a + bi = – (a – bi)\) \( \Leftrightarrow a = – a\) \( \Leftrightarrow a = 0.\)
Vậy \(z = bi\) là một số ảo.
c) Giả sử \(z = a + bi\), \(z’ = a’ + b’i.\) Ta có:
\(z + z’\) \( = \left( {a + a’} \right) + \left( {b + b’} \right)i\) \( \Rightarrow \overline {z + z’} \) \( = \left( {a + a’} \right) – \left( {b + b’} \right)i.\)
\( = (a – bi) + \left( {a’ – b’i} \right)\) \( = \bar z + \overline {z’} .\)
\(z.z’ = (a + bi)\left( {a’ + b’i} \right)\) \( = \left( {aa’ – bb’} \right) + \left( {ab’ + a’b} \right)i.\)
\( \Rightarrow \overline {z.z’} \) \( = \left( {aa’ – bb’} \right) + \left( {ab’ + a’b} \right)i\) \((1).\)
Và \(\overline z .\overline {z’} = (a – bi)\left( {a’ – b’i} \right)\) \( = \left( {aa’ – bb’} \right) – \left( {ab’ + a’b} \right)i\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\overline {z.z’} = \overline z .\overline {z’} \) (điều phải chứng minh).
Giả sử \(z = a + bi\) với \(a,b \in R\) và \({a^2} + {b^2} \ne 0\), ta có:
\(\frac{{z’}}{z} = \frac{{a’ + b’i}}{{a + bi}}\) \( = \frac{{\left( {a’ + b’i} \right)(a – bi)}}{{(a + bi)(a – bi)}}\) \( = \frac{{\left( {a’a + b’b} \right) + \left( {ab’ – a’b} \right)i}}{{{a^2} + {b^2}}}.\)
\( \Rightarrow \overline {\left( {\frac{{z’}}{z}} \right)} \) \( = \frac{{\left( {a’a + b’b} \right) – \left( {ab’ – a’b} \right)i}}{{{a^2} + {b^2}}}\) \((1).\)
\(\frac{{\overline {z’} }}{{\bar z}} = \frac{{a’ – b’i}}{{a – bi}}\) \( = \frac{{\left( {a’ – b’i} \right)(a + bi)}}{{(a – bi)(a + bi)}}\) \( = \frac{{\left( {a’a + b’b} \right) – \left( {ab’ – a’b} \right)i}}{{{a^2} + {b^2}}}\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\frac{{\overline {z’} }}{{\overline z }} = \overline {\left( {\frac{{z’}}{z}} \right)} \) (điều phải chứng minh).
Bài 7. Chứng minh các công thức liên quan đến lũy thừa của đơn vị ảo \(i\). Bài tập này giúp học sinh:
Lời giải:
Ta có: \({i^{4m}} = {\left( {{i^2}} \right)^{2m}}\) \( = {( – 1)^{2m}} = 1\), với mọi \(m \in {N^*}.\)
\({i^{4m + 1}} = {i^{4m}}.i = 1.i = i.\)
\({i^{4m + 2}} = {i^{4m}}.{i^2} = 1( – 1) = – 1.\)
\({i^{4m + 3}} = {i^{4m}}.{i^3} = 1.{i^3}\) \( = {i^3} = {i^2}.i = – 1.i = – i.\)
Bài 8. Chứng minh các tính chất liên quan đến mô-đun của số phức. Bài tập này giúp học sinh:
Lời giải:
Giả sử \(z = a + bi\), \(z’ = a’ + b’i.\)
a) Nếu \(\overrightarrow u \) là vectơ biểu diễn số phức \(z = a + bi\) thì \(\vec u = (a;b)\) suy ra \(|\vec u| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
Mà \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), vậy \(|\overrightarrow u | = |z|.\)
Gọi \({A_1}\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\) \( \Rightarrow {A_1} = \left( {{a_1};{b_1}} \right).\)
Gọi \({A_2}\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2} = {a_2} + {b_2}i\) \( \Rightarrow {A_2} = \left( {{a_2};{b_2}} \right).\)
Khi đó \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \left( {{a_2} – {a_1};{b_2} – {b_1}} \right)\) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \sqrt {{{\left( {{a_2} – {a_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_2} – {b_1}} \right)}^2}} .\)
Mặt khác \({z_2} – {z_1} = \left( {{a_2} – {a_1}} \right) + \left( {{b_2} – {b_1}} \right)i\) \( \Rightarrow \left| {{z_2} – {z_1}} \right|\) \( = \sqrt {{{\left( {{a_2} – {a_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_2} – {b_1}} \right)}^2}} .\)
Vậy \(|\overrightarrow {{A_1}{A_2}} | = \left| {{z_2} – {z_1}} \right|.\)
b) Ta có: \(z.z’ = (a + bi)\left( {a’ + b’i} \right)\) \( = \left( {aa’ – bb’} \right) + \left( {ab’ + ba’} \right)i.\)
\( \Rightarrow \left| {z.z’} \right|\) \( = \sqrt {{{\left( {aa’ – bb’} \right)}^2} + {{\left( {ab’ + ba’} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {aa’} \right)}^2} + {{\left( {bb’} \right)}^2} + {{\left( {ab’} \right)}^2} + {{\left( {a’b} \right)}^2}} .\)
Mặt khác \(|z|.\left| {z’} \right|\) \( = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {aa’} \right)}^2} + {{\left( {a’b} \right)}^2} + {{\left( {ab’} \right)}^2} + {{\left( {bb’} \right)}^2}} .\)
Vậy \(\left| {z.z’} \right| = |z|.\left| {z’} \right|.\)
Khi \(z \ne 0\) ta có:
\(\frac{{z’}}{z} = \frac{{a’ + b’i}}{{a + bi}}\) \( = \frac{{\left( {a’ + b’i} \right)(a – bi)}}{{(a + bi)(a – bi)}}\) \( = \frac{{\left( {a’a + b’b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{\left( {ab’ – a’b} \right)i}}{{{a^2} + {b^2}}}.\)
Suy ra \(\left| {\frac{{z’}}{z}} \right|\) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{{a’a + b’b}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ab’ – a’b}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2}} \) \( = \frac{{\sqrt {{{\left( {a’a} \right)}^2} + {{\left( {b’b} \right)}^2} + {{\left( {ab’} \right)}^2} + {{\left( {a’b} \right)}^2}} }}{{{a^2} + {b^2}}}.\)
Mặt khác: \(\frac{{|z’|}}{{|z|}} = \frac{{\sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) \( = \frac{{\sqrt {\left( {a{‘^2} + b{‘^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} }}{{{a^2} + {b^2}}}\) \( = \frac{{\sqrt {{{\left( {a’a} \right)}^2} + {{\left( {b’a} \right)}^2} + {{\left( {ba’} \right)}^2} + {{\left( {b’b} \right)}^2}} }}{{{a^2} + {b^2}}}.\)
Vậy \(\left| {\frac{{z’}}{z}} \right| = \frac{{|z’|}}{{|z|}}.\)
c) Với mọi số phức \(z\), \(z’\) ta có: \(z + z’\) \( = \left( {a + a’} \right) + \left( {b + b’} \right)i.\)
Nên \(\left| {z + z’} \right| = \sqrt {{{\left( {a + a’} \right)}^2} + {{\left( {b + b’} \right)}^2}} .\)
Mặt khác \(|z| + \left| {z’} \right|\) \( = \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} .\)
Theo yêu cầu của bài toán ta cần chứng minh:
\(\left| {z + z’} \right| \le |z| + |z’|\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + a’} \right)}^2} + {{\left( {b + b’} \right)}^2}} \) \( \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {a{‘^2} + b{‘^2}} .\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a + a’} \right)^2} + {\left( {b + b’} \right)^2}\) \( \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\) \( + 2\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{‘^2} + b{‘^2}} \right)} \) \( + \left( {a{‘^2} + b{‘^2}} \right).\)
\( \Leftrightarrow aa’ + bb’\) \( \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{‘^2} + b{‘^2}} \right)} \) \((*).\)
Theo Bunhicốpxki ta có bất đẳng thức \((*)\) đúng với mọi \(a\), \(b\), \(a’\), \(b’ \in R\) nên \(\left| {z + z’} \right| \le |z| + \left| {z’} \right|.\)
Bài 9. Bài tập này yêu cầu xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn các điều kiện cho trước. Bài tập này giúp học sinh:
Lời giải:
a) Giả sử \(z = a + bi\) \( \Rightarrow z – i = a + (b – 1)i\) \( \Rightarrow |z – i| = \sqrt {{a^2} + {{(b – 1)}^2}} .\)
Theo bài ra: \(|z – i| = 1\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{(b – 1)}^2}} = 1\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {(b – 1)^2} = 1.\)
Vậy quỹ tích các điểm \(M(a;b)\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\) thỏa mãn \(|z – i| = 1\) là đường tròn tâm \(I(0;1)\), bán kính \(R = 1.\)
b) Giả sử \(z = a + bi\) \( \Rightarrow \frac{{z – i}}{{z + i}} = \frac{{a + (b – 1)i}}{{a + (b + 1)i}}\) \(\left( {{a^2} + {{(b + 1)}^2} \ne 0} \right).\)
Theo bài 8b ta có: \(\left| {\frac{{z’}}{z}} \right| = \frac{{\left| {z’} \right|}}{{|z|}}\), \(\forall z \ne 0\) nên:
\(\left| {\frac{{z – i}}{{z + i}}} \right| = \frac{{|a + (b – 1)i|}}{{|a + (b + 1)i|}}\) \( = \sqrt {\frac{{{a^2} + {{(b – 1)}^2}}}{{{a^2} + {{(b + 1)}^2}}}} .\)
Theo bài ra ta có: \(\frac{{{a^2} + {{(b – 1)}^2}}}{{{a^2} + {{(b + 1)}^2}}} = 1\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {(b – 1)^2}\) \( = {a^2} + {(b + 1)^2}.\)
\( \Leftrightarrow b = 0.\)
Vậy \(z = a\), hay tập hợp các điểm cần tìm là trục thực.
c) Giả sử \(z = a + bi\) \( \Rightarrow \overline z = a – bi.\)
\( \Rightarrow \bar z – 3 + 4i\) \( = a – bi – 3 + 4i\) \( = (a – 3) + (4 – b)i.\)
Theo bài ra, ta có: \(|z| = |\bar z – 3 + 4i|\) \( \Leftrightarrow |z| = |(a – 3) + (4 – b)i|.\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{(a – 3)}^2} + {{(4 – b)}^2}} \) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {(a – 3)^2} + {(4 – b)^2}.\)
\( \Leftrightarrow 6a + 8b = 25.\)
Vậy quỹ tích các điểm cần tìm nằm trên đường thẳng có phương trình: \(6x + 8y = 25\) trong mặt phẳng phức \((Oxy).\)
LUYỆN TẬP
Bài 10. Chứng minh công thức tính tổng của một cấp số nhân với công bội là một số phức. Bài tập này giúp học sinh:
Lời giải:
Vì \(z \ne 1\) nên theo tính chất của số phức ta có đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\left( {1 + z + {z^2} + \ldots + {z^9}} \right)(z – 1)\) \( = {z^{10}} – 1.\)
\( \Leftrightarrow z + {z^2} + {z^3} + \ldots + {z^{10}}\) \( – 1 – z – {z^2} – {z^3} – \ldots – {z^9}\) \( = {z^{10}} – 1.\)
\( \Leftrightarrow {z^{10}} – 1 = {z^{10}} – 1\) (đúng).
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Bài 11. Xác định xem các biểu thức cho trước có phải là số thực hay số ảo. Bài tập này giúp học sinh:
Lời giải:
Giả sử \(z = a + bi\) \( \Rightarrow \bar z = a – bi.\)
Ta có: \({z^2} + {(\bar z)^2}\) \( = {(a + bi)^2} + {(a – bi)^2}.\)
\( = {a^2} + 2abi – {b^2}\) \( + {a^2} – 2abi + {b^2}\) \( = 2{a^2}.\)
Vậy \({z^2} + {(\bar z)^2}\) là một số thực.
\(\frac{{z – \overline z }}{{{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\) \( = \frac{{a + bi – a + bi}}{{{{(a + bi)}^3} + {{(a – bi)}^3}}}\) \( = \frac{{2bi}}{{2{a^3} – 6a{b^2}}}.\)
Vậy \(\frac{{z – \overline z }}{{{z^3} + {{(\overline z )}^3}}}\) là một số ảo.
\(\frac{{{z^2} – {{(\overline z )}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\) \( = \frac{{{{(a + bi)}^2} – {{(a – bi)}^2}}}{{1 + (a + bi)(a – bi)}}\) \( = \frac{{4abi}}{{1 + {a^2} + {b^2}}}.\)
Vậy \(\frac{{{z^2} – {{(\overline z )}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\) là một số ảo.
Bài 12. Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn các điều kiện cho trước. Bài tập này giúp học sinh:
