giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: nguyên hàm

Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và phần "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, chương "Nguyên hàm". Chúng ta sẽ đi sâu vào phân tích và giải quyết từng bài tập, cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Xác định hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại trong các cặp hàm số sau:

• a) \(e^{-x}\) và \(-e^{-x}\)
• b) \(\sin 2x\) và \(\sin^2 x\)
• c) \(\left(1 - \frac{2}{x}\right)^2 e^x\) và \(\left(1 - \frac{4}{x}\right) e^x\)

Lời giải:

• a) Cả hai hàm số đều là nguyên hàm của nhau vì đạo hàm của \(e^{-x}\) là \(-e^{-x}\) và ngược lại.
• b) Hàm số \(\sin^2 x\) là một nguyên hàm của \(\sin 2x\) vì đạo hàm của \(\sin^2 x\) là \(\sin 2x\).
• c) \(\left(1 - \frac{4}{x}\right) e^x\) là một nguyên hàm của \(\left(1 - \frac{2}{x}\right)^2 e^x\) vì đạo hàm của \(\left(1 - \frac{4}{x}\right) e^x\) là \(\left(1 - \frac{2}{x}\right)^2 e^x\).

Nhận xét: Bài tập này giúp củng cố định nghĩa cơ bản về nguyên hàm, đó là một hàm số mà đạo hàm của nó bằng hàm số đã cho.

Bài 2. Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau:

• a) \(f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}\)
• b) \(f(x) = \frac{2^x - 1}{e^x}\)
• c) \(f(x) = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}\)
• d) \(f(x) = \sin 5x \cos 3x\)
• e) \(f(x) = \tan^2 x\)
• g) \(f(x) = e^{3-2x}\)
• h) \(f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-2x)}\)

Lời giải:

• a) \(\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\)
• b) \(\frac{2^x + 1 - \ln 2}{e^x(1 - \ln 2)}\)
• c) \(-2\cot 2x\)
• d) \(\sin x + \cos x\)
• e) \(\tan x - x\)
• g) \(-\frac{1}{2}e^{3-2x}\)
• h) \(\frac{1}{3}\ln \left| \frac{1+x}{1-2x} \right|\)

Ưu điểm: Bài tập này bao quát nhiều dạng hàm số khác nhau, đòi hỏi người học phải nắm vững các công thức và kỹ năng tính nguyên hàm cơ bản.

Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính các tích phân sau:

• a) \(\int (1-x)^9 dx\)
• b) \(\int x (1+x^2)^{\frac{3}{2}} dx\)
• c) \(\int \cos^3 x \sin x dx\)
• d) \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2}\)

Lời giải:

• a) \(-\frac{1}{10}(1-x)^{10} + C\)
• b) \(\frac{1}{5}(1+x^2)^{\frac{5}{2}} + C\)
• c) \(-\frac{1}{4}\cos^4 x + C\)
• d) \(-\frac{1}{e^x + 1} + C\)

Phân tích: Bài tập này giúp rèn luyện kỹ năng đổi biến số trong tích phân, một kỹ năng quan trọng trong việc giải các bài toán tích phân phức tạp.

Bài 4. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

• a) \(\int x \ln (1+x) dx\)
• b) \(\int (x^2 + 2x - 1)e^x dx\)
• c) \(\int x \sin (2x+1) dx\)
• d) \(\int (1-x) \cos x dx\)

Lời giải:

• a) \(\frac{1}{2}(x^2 - 1)\ln (1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C\)
• b) \((x^2 - 1)e^x + C\)
• c) \(-\frac{1}{2}x\cos (2x+1) + \frac{1}{4}\sin (2x+1) + C\)
• d) \((1-x)\sin x - \cos x + C\)

Đánh giá: Bài tập này tập trung vào phương pháp tích phân từng phần, một kỹ thuật quan trọng khác trong giải tích. Việc lựa chọn u và dv phù hợp là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán.