hiểu rõ bản chất hình học của bài toán cực trị tọa độ không gian – võ trọng trí

Trong quá trình giải các bài toán cực trị hình học tọa độ không gian, việc xác định chính xác vị trí đặc biệt của nghiệm hình là yếu tố then chốt để đơn giản hóa quá trình tính toán và đạt được kết quả nhanh chóng. Thay vì tiếp cận trực tiếp bằng các phương pháp đại số phức tạp, việc tìm kiếm các cấu hình hình học đặc biệt nơi giá trị cực trị đạt được sẽ giúp giảm thiểu đáng kể số lượng phép tính cần thiết.

Dưới đây là một số bài toán cực trị tọa độ không gian thường gặp, cùng với phân tích bản chất hình học và các phương pháp tiếp cận hiệu quả:

1. Bài toán 1: Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d và có khoảng cách đến điểm M (không thuộc d) lớn nhất.
2. Bài toán 2: Xác định phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, sao cho góc giữa (P) và đường thẳng d’ (không song song với d) là lớn nhất.
3. Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, nằm trong mặt phẳng (P) cho trước và có khoảng cách đến điểm M cho trước là nhỏ nhất (trường hợp AM không vuông góc với (P)).
4. Bài toán 4: Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, nằm trong mặt phẳng (P) và có khoảng cách đến điểm M (khác A, MA không vuông góc với (P)) là lớn nhất.
5. Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và điểm A thuộc (P), cùng với đường thẳng d cắt (P) và không vuông góc với (P). Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A, nằm trong (P) và tạo với d một góc nhỏ nhất.
6. Bài toán 6: Cho mặt phẳng (P) và điểm A thuộc (P), cùng với đường thẳng d cắt (P) tại điểm M khác A. Tìm phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P), đi qua A sao cho khoảng cách giữa d và d’ là lớn nhất.
7. Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d song song với (P). Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d và có khoảng cách đến d nhỏ nhất.
8. Bài toán 8: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và có khoảng cách đến điểm M (khác A) là lớn nhất.
9. Bài toán 9: Các bài toán cực trị khác đòi hỏi sự linh hoạt trong tư duy hình học và khả năng nhận diện các cấu hình đặc biệt để áp dụng các phương pháp giải phù hợp.

Đánh giá và nhận xét:

Ưu điểm của phương pháp tiếp cận này nằm ở việc giảm thiểu độ phức tạp của bài toán bằng cách chuyển đổi từ các phép tính đại số trực tiếp sang việc phân tích và khai thác các tính chất hình học. Việc xác định được vị trí đặc biệt của nghiệm hình không chỉ giúp đơn giản hóa quá trình tính toán mà còn tăng cường sự hiểu biết về bản chất của bài toán. Tuy nhiên, phương pháp này đòi hỏi người giải phải có trực giác hình học tốt và khả năng hình dung không gian ba chiều một cách chính xác.