hướng dẫn giải bài toán cực trị số phức – lương đức trọng

Tài liệu biên soạn bởi tác giả Lương Đức Trọng, với độ dài 12 trang, cung cấp một phác thảo toàn diện về phương pháp giải các bài toán cực trị số phức – một chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi vận dụng cao của chương trình Giải tích 12, cụ thể là chương 4.

Tài liệu tập trung vào việc trình bày và phân tích hai phương pháp tiếp cận chính để giải quyết dạng toán này:

• Phương pháp đại số: Phương pháp này nhấn mạnh việc sử dụng các tính chất và phép biến đổi đại số trên số phức để tìm ra giá trị cực đại hoặc cực tiểu của biểu thức cần xét.
• Phương pháp hình học: Phương pháp này khai thác mối liên hệ giữa số phức và hình học phẳng, chuyển đổi bài toán cực trị số phức thành các bài toán hình học quen thuộc, từ đó dễ dàng tìm ra lời giải.

Để nắm vững và vận dụng hiệu quả hai phương pháp trên, tài liệu nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nắm chắc các kiến thức lý thuyết nền tảng sau:

1. Bất đẳng thức tam giác: Đây là công cụ cơ bản và quan trọng nhất trong việc đánh giá và tìm giới hạn của các biểu thức liên quan đến số phức. Các dạng bất đẳng thức tam giác được trình bày chi tiết, bao gồm:
   • |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, dấu “=” xảy ra khi z₁ = kz₂ với k ≥ 0
   • |z₁ − z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, dấu “=” xảy ra khi z₁ = kz₂ với k ≤ 0
   • |z₁ + z₂| ≥ ||z₁| − |z₂||, dấu “=” xảy ra khi z₁ = kz₂ với k ≤ 0
   • |z₁ − z₂| ≥ ||z₁| − |z₂||, dấu “=” xảy ra khi z₁ = kz₂ với k ≥ 0
2. Công thức trung tuyến: |z₁ + z₂|² + |z₁ − z₂|² = 2(|z₁|² + |z₂|²) – Công thức này cung cấp một mối liên hệ quan trọng giữa tổng và hiệu của hai số phức, hữu ích trong việc đơn giản hóa các biểu thức và tìm ra mối liên hệ giữa các đại lượng.
3. Tập hợp điểm: Việc hiểu rõ về tập hợp điểm trong mặt phẳng phức là yếu tố then chốt để áp dụng phương pháp hình học. Tài liệu trình bày các dạng tập hợp điểm cơ bản:
   • |z − (a + bi)| = r: Đường tròn tâm I(a; b) bán kính r
   • |z − (a₁ + b₁i)| = |z − (a₂ + b₂i)|: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(a₁; b₁), B(a₂; b₂)
   • |z − (a₁ + b₁i)| + |z − (a₂ + b₂i)| = 2a:
     • Đoạn thẳng AB với A(a₁; b₁), B(a₂; b₂) nếu 2a = AB
     • Elip (E) nhận A, B làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn là 2a nếu 2a /> AB
   • Đặc biệt, |z + c| + |z − c| = 2a: Elip (E) : x²/a² + y²/b² = 1 với b = √(a² − c²)

Đánh giá: Tài liệu này là một nguồn tài liệu hữu ích cho học sinh chuyên toán và những học sinh muốn nâng cao kỹ năng giải toán số phức. Việc trình bày hai phương pháp tiếp cận cùng với các kiến thức lý thuyết liên quan giúp người đọc có cái nhìn toàn diện về dạng toán này. Cách trình bày rõ ràng, mạch lạc và có ví dụ minh họa (dù không được đề cập cụ thể trong đoạn trích) sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và áp dụng kiến thức vào giải bài tập.

Nhận xét: Ưu điểm của tài liệu nằm ở sự tập trung vào các phương pháp giải quyết vấn đề cụ thể và việc nhấn mạnh tầm quan trọng của các kiến thức nền tảng. Tuy nhiên, để tăng tính hiệu quả, tài liệu nên bổ sung thêm các bài tập ví dụ minh họa và các bài tập luyện tập đa dạng để người đọc có thể thực hành và củng cố kiến thức.