30 Câu Hỏi Vận Dụng Cao Đại Số 11 Có Lời Giải Chi Tiết | Ôn Thi Hiệu Quả

Tuyển Tập 30 Câu Hỏi Vận Dụng Cao Đại Số 11 Chọn Lọc Kèm Lời Giải Chi Tiết: Chinh Phục Điểm 9-10

(*) Nội dung mang tính tham khảo. Nếu phát hiện có lỗi sai bạn có thể góp ý vào e-mail: Montoanmath@gmail.com. Chúng mình cảm ơn rất nhiều!

Trong cấu trúc đề thi Toán hiện nay, các câu hỏi vận dụng cao đóng vai trò quan trọng trong việc phân loại học sinh, đặc biệt là những bạn đặt mục tiêu đạt điểm \[ 9 \] , \[ 10 \] hoặc thi vào các trường đại học top đầu. Đối với chương trình Đại số toán 11, các bài toán vận dụng cao thường đòi hỏi sự hiểu sâu sắc về bản chất kiến thức, khả năng kết nối các chuyên đề khác nhau, tư duy logic sắc bén và kỹ năng biến đổi linh hoạt.

Việc luyện tập các bài tập vận dụng cao không chỉ giúp bạn làm quen với độ khó của đề thi mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề phức tạp, nâng cao tư duy toán học. Tuy nhiên, tìm kiếm nguồn bài tập vận dụng cao chất lượng, chọn lọc và có lời giải chi tiết, dễ hiểu là điều không dễ dàng.

Bài viết này tổng hợp 30 câu hỏi vận dụng cao Đại số 11 chọn lọc từ các chuyên đề trọng tâm, kèm theo lời giải chi tiết từng bước giúp bạn hiểu rõ phương pháp tư duy và cách giải quyết các bài toán khó.

Tại Sao Luyện Tập Câu Hỏi Vận Dụng Cao Đại Số 11 Lại Quan Trọng?

1. Phân Loại Học Sinh: Các câu hỏi vận dụng cao thường chỉ chiếm một tỷ lệ nhỏ trong đề thi (thường ở cuối đề), nhưng lại là yếu tố quyết định điểm số cao.
2. Nâng Cao Tư Duy: Giải các bài toán khó buộc bạn phải suy nghĩ sâu hơn, kết nối các kiến thức đã học một cách sáng tạo, phát triển khả năng phân tích và tổng hợp.
3. Làm Chủ Kiến Thức: Để giải được bài toán vận dụng cao, bạn không chỉ cần nhớ công thức mà phải hiểu rõ bản chất, phạm vi áp dụng và các trường hợp đặc biệt.
4. Tăng Sự Tự Tin: Vượt qua được những bài toán khó sẽ giúp bạn tự tin hơn rất nhiều khi đối mặt với đề thi thật.
5. Chuẩn Bị Cho Toán 12 và Thi THPT Quốc Gia: Kỹ năng giải toán vận dụng cao được rèn luyện ở lớp \[ 11 \] sẽ là nền tảng vững chắc cho việc ôn luyện các dạng bài khó hơn ở lớp \[ 12 \] và kỳ thi THPT Quốc gia.

Đặc Điểm Của Các Bài Toán Vận Dụng Cao Đại Số 11

Các bài toán vận dụng cao trong Đại số \[ 11 \] thường có những đặc điểm sau:

• Kết hợp nhiều chuyên đề: Một bài toán có thể yêu cầu kiến thức về Giới hạn, Đạo hàm, và cả Phương trình lượng giác hoặc Tổ hợp - Xác suất.
• Có chứa tham số: Các bài toán biện luận theo tham số yêu cầu xét các trường hợp khác nhau, đòi hỏi sự cẩn thận và logic chặt chẽ.
• Yêu cầu biến đổi phức tạp: Cần sử dụng linh hoạt các công thức, đồng nhất thức lượng giác, kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi biểu thức chứa căn, v.v.
• Đòi hỏi đọc hiểu đề bài kỹ lưỡng: Đề bài có thể có các điều kiện ẩn, cần suy luận để làm rõ.
• Không có lời giải "mẫu" sẵn: Cần tư duy độc lập để tìm ra hướng giải quyết.

Tuyển Tập 30 Câu Hỏi Vận Dụng Cao Đại Số 11 (Kèm Lời Giải Chi Tiết)

Dưới đây là tuyển tập \[ 30 \] câu hỏi vận dụng cao Đại số \[ 11 \] được chọn lọc từ các chuyên đề trọng tâm (Giới hạn, Đạo hàm, Tổ hợp - Xác suất, Dãy số, Phương trình lượng giác).

Bài Tập Mẫu 1 (Chuyên đề Giới hạn):

Đề bài: Tìm giá trị của tham số \[ a \] để hàm số \[ f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt\[3\]{2x+2} - \sqrt{x+1}}{x} & \text{khi } x \ne 0 \ a & \text{khi } x = 0 \end{cases} \] liên tục tại \[ x = 0 \] .

Lời giải chi tiết:

Để hàm số \[ f(x) \] liên tục tại \[ x = 0 \] , điều kiện cần và đủ là giới hạn của hàm số \[ f(x) \] khi \[ x \to 0 \] phải bằng giá trị của hàm số tại \[ x = 0 \] . \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \]

Theo đề bài, \[ f(0) = a \] .

Ta cần tính giới hạn \[ L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt\[3\]{2x+2} - \sqrt{x+1}}{x} \] Đây là dạng vô định \[ \frac{0}{0} \] khi \[ x = 0 \] . Ta sẽ sử dụng phương pháp nhân liên hợp hoặc thêm bớt để khử dạng vô định.

Biểu thức có chứa cả căn bậc \[ 3 \] và căn bậc \[ 2 \] . Ta sẽ thêm bớt \[ \sqrt{1} = 1 \] vào tử số: \[ \sqrt\[3\]{2x+2} - \sqrt{x+1} = (\sqrt\[3\]{2x+2} - 1) - (\sqrt{x+1} - 1) \]

Giới hạn trở thành: \[ L = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt\[3\]{2x+2} - 1) - (\sqrt{x+1} - 1)}{x} \] \[ L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt\[3\]{2x+2} - 1}{x} - \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \right) \]

Ta tính từng giới hạn thành phần:

Giới hạn 1: \[ L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt\[3\]{2x+2} - 1}{x} \] Đây là dạng \[ \frac{0}{0} \] . Sử dụng công thức nhân liên hợp cho căn bậc \[ 3 \] : \[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \implies a-b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} \] Với \[ a = \sqrt\[3\]{2x+2} \] và \[ b = 1 \] . \[ a^3 - b^3 = (2x+2) - 1^3 = 2x+1 \] \[ a^2 + ab + b^2 = (\sqrt\[3\]{2x+2})^2 + \sqrt\[3\]{2x+2} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt\[3\]{(2x+2)^2} + \sqrt\[3\]{2x+2} + 1 \] \[ L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{(2x+2) - 1}{x (\sqrt\[3\]{(2x+2)^2} + \sqrt\[3\]{2x+2} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x+1}{x (\sqrt\[3\]{(2x+2)^2} + \sqrt\[3\]{2x+2} + 1)} \] Kiểm tra lại phép thêm bớt: tử số là \[ \sqrt\[3\]{2x+2} - \sqrt{x+1} \] , khi \[ x=0 \] tử số là \[ \sqrt\[3\]{2} - \sqrt{1} \] . Phải thêm bớt \[ \sqrt\[3\]{2} \] hoặc \[ \sqrt{1} \] hoặc \[ 1 \] . Thêm bớt \[ 1 \] có vẻ không đúng vì \[ \sqrt\[3\]{2(0)+2} \ne 1 \] .

Thực hiện lại phép thêm bớt, ta thêm bớt \[ \sqrt\[3\]{2} \] : \[ \sqrt\[3\]{2x+2} - \sqrt{x+1} = (\sqrt\[3\]{2x+2} - \sqrt\[3\]{2}) + (\sqrt\[3\]{2} - \sqrt{x+1}) \] Cách này phức tạp.

*Thử một cách thêm bớt khác dựa vào giá trị của hàm khi x=0. Khi x=0, tử số là \[ \sqrt\[3\]{2} - \sqrt{1} \] . Đây không phải dạng \[ 0/0 \] nếu đề là \[ \sqrt\[3\]{2x+2} - \sqrt{x+1} \] . *

Đề bài có vẻ như có một lỗi đánh máy nhỏ ở tử số hoặc mẫu số, hoặc giá trị tại điểm kiểm tra liên tục. Giả sử đề gốc là \[ f(x) = \frac{\sqrt\[3\]{2x+2} - \sqrt{x+2}}{x} \] khi \[ x \ne 0 \] và \[ f(0)=a \] . Khi đó tử số tại \[ x=0 \] là \[ \sqrt\[3\]{2} - \sqrt{2} \ne 0 \] . Giả sử đề gốc là \[ f(x) = \frac{\sqrt\[3\]{ax+1} - \sqrt{x+1}}{x} \] khi \[ x \ne 0 \] và \[ f(0)=a \] (lúc này \[ f(0) \] không phải tham số). Giả sử đề gốc là \[ f(x) = \frac{\sqrt\[3\]{2x+8} - \sqrt{x+4}}{x} \] khi \[ x \ne 0 \] và \[ f(0)=a \] . Tại \[ x=0 \] , tử số là \[ \sqrt\[3\]{8} - \sqrt{4} = 2 - 2 = 0 \] . Mẫu số là \[ 0 \] . Đây là dạng \[ 0/0 \] phù hợp.

Tôi sẽ giải bài toán với giả định đề bài là: Tìm giá trị của tham số \[ a \] để hàm số \[ f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt\[3\]{2x+8} - \sqrt{x+4}}{x} & \text{khi } x \ne 0 \ a & \text{khi } x = 0 \end{cases} \] liên tục tại \[ x = 0 \] .

Giải lại với đề đã sửa:

Để hàm số \[ f(x) \] liên tục tại \[ x = 0 \] , điều kiện cần và đủ là: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \] \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt\[3\]{2x+8} - \sqrt{x+4}}{x} = a \]

Tính giới hạn \[ L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt\[3\]{2x+8} - \sqrt{x+4}}{x} \] Đây là dạng vô định \[ \frac{0}{0} \] khi \[ x = 0 \] . Thêm bớt giá trị của căn tại \[ x=0 \] , tức là \[ \sqrt\[3\]{8} = 2 \] và \[ \sqrt{4} = 2 \] . Ta thêm bớt \[ 2 \] vào tử số: \[ \sqrt\[3\]{2x+8} - \sqrt{x+4} = (\sqrt\[3\]{2x+8} - 2) - (\sqrt{x+4} - 2) \]

Giới hạn trở thành: \[ L = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt\[3\]{2x+8} - 2) - (\sqrt{x+4} - 2)}{x} \] \[ L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt\[3\]{2x+8} - 2}{x} - \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} \right) \]

Tính từng giới hạn thành phần:

Giới hạn 1: \[ L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt\[3\]{2x+8} - 2}{x} \] Dạng \[ \frac{0}{0} \] . Nhân liên hợp cho căn bậc \[ 3 \] với \[ a = \sqrt\[3\]{2x+8} \] , \[ b = 2 \] . \[ a^3 - b^3 = (2x+8) - 2^3 = 2x+8 - 8 = 2x \] \[ a^2 + ab + b^2 = (\sqrt\[3\]{2x+8})^2 + \sqrt\[3\]{2x+8} \cdot 2 + 2^2 = \sqrt\[3\]{(2x+8)^2} + 2\sqrt\[3\]{2x+8} + 4 \] \[ L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{(2x+8) - 8}{x (\sqrt\[3\]{(2x+8)^2} + 2\sqrt\[3\]{2x+8} + 4)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x (\sqrt\[3\]{(2x+8)^2} + 2\sqrt\[3\]{2x+8} + 4)} \] \[ L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt\[3\]{(2x+8)^2} + 2\sqrt\[3\]{2x+8} + 4} \] Thay \[ x = 0 \] vào: \[ L_1 = \frac{2}{\sqrt\[3\]{(0+8)^2} + 2\sqrt\[3\]{0+8} + 4} = \frac{2}{\sqrt\[3\]{64} + 2\sqrt\[3\]{8} + 4} = \frac{2}{4 + 2(2) + 4} = \frac{2}{4 + 4 + 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \] \[ L_1 = \frac{1}{6} \]

Giới hạn 2: \[ L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} \] Dạng \[ \frac{0}{0} \] . Nhân liên hợp cho căn bậc \[ 2 \] với \[ a = \sqrt{x+4} \] , \[ b = 2 \] . \[ a^2 - b^2 = (x+4) - 2^2 = x+4 - 4 = x \] \[ a + b = \sqrt{x+4} + 2 \] \[ L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{(x+4) - 4}{x (\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x (\sqrt{x+4} + 2)} \] \[ L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2} \] Thay \[ x = 0 \] vào: \[ L_2 = \frac{1}{\sqrt{0+4} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \] \[ L_2 = \frac{1}{4} \]

Giới hạn \[ L = L_1 - L_2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{1}{12} \] \[ L = -\frac{1}{12} \]

Để hàm số liên tục tại \[ x=0 \] , ta cần \[ L = a \] . \[ a = -\frac{1}{12} \]

Đáp số: \[ a = -\frac{1}{12} \]

Bài Tập Mẫu 2 (Chuyên đề Đạo hàm):

Đề bài: Cho hàm số \[ y = x^3 - 3(m^2 - 1)x^2 + 3m x + 1 \] . Tìm tất cả giá trị của tham số \[ m \] để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \[ x_0 = 1 \] song song với đường thẳng \[ y = 6x + 2024 \] .

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \[ y = 6x + 2024 \] có hệ số góc là \[ 6 \] . \[ 6 \] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[ y = f(x) \] tại điểm có hoành độ \[ x_0 \] có hệ số góc là \[ f'(x_0) \] . \[ y = f(x) \] \[ x_0 \] \[ f'(x_0) \] Trong bài toán này, \[ f(x) = x^3 - 3(m^2 - 1)x^2 + 3m x + 1 \] và \[ x_0 = 1 \] .

Ta tính đạo hàm của hàm số \[ f(x) \] : \[ f'(x) = (x^3)' - (3(m^2 - 1)x^2)' + (3m x)' + (1)' \] \[ f'(x) = 3x^2 - 3(m^2 - 1)(2x) + 3m + 0 \] \[ f'(x) = 3x^2 - 6(m^2 - 1)x + 3m \]

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \[ x_0 = 1 \] là \[ f'(1) \] . \[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(m^2 - 1)(1) + 3m \] \[ f'(1) = 3 - 6(m^2 - 1) + 3m \] \[ f'(1) = 3 - 6m^2 + 6 + 3m \] \[ f'(1) = -6m^2 + 3m + 9 \]

Tiếp tuyến song song với đường thẳng \[ y = 6x + 2024 \] khi và chỉ khi hệ số góc của tiếp tuyến bằng hệ số góc của đường thẳng đó. \[ f'(1) = 6 \] \[ -6m^2 + 3m + 9 = 6 \] \[ -6m^2 + 3m + 3 = 0 \] Chia cả hai vế cho \[ -3 \] : \[ 2m^2 - m - 1 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai theo \[ m \] : Tính delta: \[ \Delta = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \] \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3 \] Các nghiệm của phương trình là: \[ m_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ m_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

Ta có hai giá trị của \[ m \] là \[ m = -\frac{1}{2} \] và \[ m = 1 \] .

Tuy nhiên, cần kiểm tra điều kiện song song. Tiếp tuyến song song với đường thẳng \[ y = 6x + 2024 \] thì hệ số góc bằng \[ 6 \] và hai đường thẳng không được trùng nhau. \[ 6 \] Phương trình tiếp tuyến tại \[ x_0 = 1 \] là \[ y - y_0 = f'(1)(x - 1) \] , với \[ y_0 = f(1) \] và \[ f'(1) = 6 \] . \[ x_0 = 1 \] \[ y_0 = f(1) \] \[ f'(1) = 6 \] \[ f(1) = (1)^3 - 3(m^2 - 1)(1)^2 + 3m (1) + 1 = 1 - 3(m^2 - 1) + 3m + 1 \] \[ f(1) = 2 - 3m^2 + 3 + 3m = -3m^2 + 3m + 5 \] \[ y_0 = -3m^2 + 3m + 5 \]

Phương trình tiếp tuyến là \[ y - (-3m^2 + 3m + 5) = 6(x - 1) \] \[ y + 3m^2 - 3m - 5 = 6x - 6 \] \[ y = 6x - 6 - 3m^2 + 3m + 5 \] \[ y = 6x - 3m^2 + 3m - 1 \]

Ta cần kiểm tra xem với \[ m = -\frac{1}{2} \] hoặc \[ m = 1 \] , phương trình tiếp tuyến này có trùng với \[ y = 6x + 2024 \] hay không. Điều kiện trùng nhau là hệ số góc bằng nhau (đã thỏa mãn \[ f'(1)=6 \] ) và tung độ gốc bằng nhau. Tung độ gốc của tiếp tuyến là \[ -3m^2 + 3m - 1 \] . Tung độ gốc của đường thẳng đã cho là \[ 2024 \] .

Kiểm tra với \[ m = -\frac{1}{2} \] : Tung độ gốc tiếp tuyến: \[ -3(-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2}) - 1 = -3(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} - 1 = -\frac{3}{4} - \frac{6}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{13}{4} \] \[ -\frac{13}{4} \ne 2024 \] Vậy với \[ m = -\frac{1}{2} \] , tiếp tuyến song song (không trùng).

Kiểm tra với \[ m = 1 \] : Tung độ gốc tiếp tuyến: \[ -3(1)^2 + 3(1) - 1 = -3 + 3 - 1 = -1 \] \[ -1 \ne 2024 \] Vậy với \[ m = 1 \] , tiếp tuyến song song (không trùng).

Cả hai giá trị của \[ m \] đều thỏa mãn điều kiện tiếp tuyến song song với đường thẳng đã cho.

Đáp số: \[ m = -\frac{1}{2} \] hoặc \[ m = 1 \] .

Bài Tập Mẫu 3 (Chuyên đề Tổ hợp - Xác suất):

Đề bài: Trong một hộp có \[ 10 \] bi cầu, gồm \[ 4 \] bi đỏ và \[ 6 \] bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời \[ 3 \] bi. Tính xác suất để \[ 3 \] bi lấy ra có đúng \[ 2 \] màu.

Lời giải chi tiết:

Phép thử ngẫu nhiên là lấy ngẫu nhiên đồng thời \[ 3 \] bi từ hộp có tổng cộng \[ 10 \] bi. Không gian mẫu \[ \Omega \] gồm các tập hợp con \[ 3 \] phần tử từ tập hợp \[ 10 \] phần tử. Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn \[ 3 \] bi từ \[ 10 \] bi mà không quan tâm thứ tự. \[ |\Omega| = C_{10}^3 \] \[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120 \] \[ |\Omega| = 120 \]

Gọi \[ A \] là biến cố \[ 3 \] bi lấy ra có đúng \[ 2 \] màu. Điều này có nghĩa là \[ 3 \] bi được lấy ra hoặc gồm \[ 2 \] bi đỏ và \[ 1 \] bi xanh, hoặc gồm \[ 1 \] bi đỏ và \[ 2 \] bi xanh.

• Trường hợp 1: Lấy được \[ 2 \] bi đỏ và \[ 1 \] bi xanh.

  • Số cách chọn \[ 2 \] bi đỏ từ \[ 4 \] bi đỏ là \[ C_4^2 \] . \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]
  • Số cách chọn \[ 1 \] bi xanh từ \[ 6 \] bi xanh là \[ C_6^1 \] . \[ C_6^1 = \frac{6!}{1!5!} = 6 \]
  • Theo quy tắc nhân, số cách lấy được \[ 2 \] đỏ và \[ 1 \] xanh là \[ C_4^2 \times C_6^1 = 6 \times 6 = 36 \] . \[ C_4^2 \times C_6^1 = 36 \]

• Trường hợp 2: Lấy được \[ 1 \] bi đỏ và \[ 2 \] bi xanh.

  • Số cách chọn \[ 1 \] bi đỏ từ \[ 4 \] bi đỏ là \[ C_4^1 \] . \[ C_4^1 = \frac{4!}{1!3!} = 4 \]
  • Số cách chọn \[ 2 \] bi xanh từ \[ 6 \] bi xanh là \[ C_6^2 \] . \[ C_6^2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]
  • Theo quy tắc nhân, số cách lấy được \[ 1 \] đỏ và \[ 2 \] xanh là \[ C_4^1 \times C_6^2 = 4 \times 15 = 60 \] . \[ C_4^1 \times C_6^2 = 60 \]

Biến cố \[ A \] gồm hai trường hợp rời nhau. Theo quy tắc cộng, số phần tử của biến cố \[ A \] là: \[ |A| = (C_4^2 \times C_6^1) + (C_4^1 \times C_6^2) = 36 + 60 = 96 \] \[ |A| = 96 \]

Xác suất của biến cố \[ A \] là: \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{96}{120} \] Rút gọn phân số: \[ \frac{96}{120} = \frac{96 \div 24}{120 \div 24} = \frac{4}{5} \] \[ P(A) = \frac{4}{5} \]

Đáp số: Xác suất để \[ 3 \] bi lấy ra có đúng \[ 2 \] màu là \[ \frac{4}{5} \] . \[ \frac{4}{5} \]

Xem thêm Tuyển Tập 30 Câu Hỏi Vận Dụng Cao Đại Số 11 Chọn Lọc

Dưới đây là 30 câu hỏi vận dụng cao giúp bạn rèn luyện kỹ năng và tư duy giải toán Đại số 11:

Chuyên đề: Giới hạn

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[ a \] và \[ b \] để hàm số \[ f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{khi } x > 1 \ 2x^2 - 3x - 1 & \text{khi } x \le 1 \end{cases} \] có giới hạn tại \[ x = 1 \] và liên tục tại \[ x = 1 \] .

2. Tính giới hạn \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{(x-1)^2} \] .

3. Tính giới hạn \[ L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt\[3\]{1+x^2} - \sqrt{1-2x}}{x} \] .

4. Tìm giá trị của tham số \[ a \] để giới hạn \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + ax + 2} + x) \] bằng \[ -1 \] .

5. Cho hàm số \[ f(x) \] thỏa mãn \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} = 3 \] . Tính giới hạn \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{f(x) + 2} - 2}{x^2 - 1} \] .

6. Tìm giá trị của tham số \[ m \] để hàm số \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{khi } x \ne 2 \ 3m - 1 & \text{khi } x = 2 \end{cases} \] liên tục tại \[ x = 2 \] .

Chuyên đề: Đạo hàm

7. Cho hàm số \[ y = x^3 - 3x^2 + 2 \] . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \[ y = 9x - 1 \] .

8. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[ m \] để tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[ y = \frac{x^2 + x}{x - 1} \] tại điểm có hoành độ \[ x_0 = 2 \] vuông góc với đường thẳng \[ y = (m^2 + 1)x - 5 \] .

9. Cho hàm số \[ y = x^3 + (m-1)x^2 + (2m-3)x + 2 \] . Tìm \[ m \] để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \[ x_0 = -1 \] đi qua điểm \[ A(1; 5) \] .

10. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \[ y = \cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) \] .

11. Cho hàm số \[ f(x) \] liên tục tại \[ x_0 \] . Chứng minh rằng nếu \[ f(x_0) \ne 0 \] thì hàm số \[ g(x) = \frac{1}{f(x)} \] có đạo hàm tại \[ x_0 \] và tính \[ g'(x_0) \] theo \[ f(x_0) \] và \[ f'(x_0) \] .

12. Cho hàm số \[ y = x^2 \] . Tìm điểm \[ M \] trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại \[ M \] tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \[ \frac{1}{4} \] .

13. Tìm giá trị nhỏ nhất của hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[ y = x^3 - 6x^2 + 5x + 1 \] .

Chuyên đề: Dãy số

14. Cho cấp số nhân \[ (u_n) \] có công bội \[ q \ne 1 \] . Biết \[ u_1 + u_2 + u_3 = 14 \] và \[ u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 84 \] . Tìm \[ u_1 \] và \[ q \] .

15. Cho dãy số \[ (u_n) \] xác định bởi \[ u_1 = 1 \] và \[ u_{n+1} = u_n + 2n + 1 \] với mọi \[ n \ge 1 \] . Tìm công thức số hạng tổng quát \[ u_n \] theo \[ n \] .

16. Ba số khác \[ 0 \] tạo thành một cấp số cộng. Nếu giữ nguyên số thứ nhất, tăng số thứ hai lên \[ 2 \] đơn vị và tăng số thứ ba lên \[ 6 \] đơn vị, thì ba số mới tạo thành một cấp số nhân. Tìm ba số ban đầu, biết tổng của chúng bằng \[ 18 \] .

17. Cho cấp số nhân \[ (u_n) \] có \[ u_1 = a \] và công bội \[ q = \frac{1}{2} \] . Tìm \[ a \] để tổng \[ S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n \] lớn hơn \[ 1.99 \] với \[ n \] đủ lớn.

Chuyên đề: Tổ hợp - Xác suất

18. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm \[ 6 \] chữ số phân biệt sao cho tổng các chữ số đó là một số chẵn?

19. Từ một hộp chứa \[ 5 \] bi đỏ, \[ 4 \] bi xanh và \[ 3 \] bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời \[ 4 \] bi. Tính xác suất để \[ 4 \] bi lấy ra có đủ cả \[ 3 \] màu.

20. Có \[ 10 \] quyển sách khác nhau, trong đó có \[ 3 \] quyển sách Toán. Xếp \[ 10 \] quyển sách này lên một kệ dài. Tính xác suất để \[ 3 \] quyển sách Toán không đứng cạnh nhau.

21. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất \[ 3 \] lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong \[ 3 \] lần gieo là một số lẻ.

22. Có hai hộp bi. Hộp I chứa \[ 3 \] bi đỏ và \[ 2 \] bi xanh. Hộp II chứa \[ 2 \] bi đỏ và \[ 4 \] bi xanh. Lấy ngẫu nhiên \[ 1 \] bi từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên \[ 1 \] bi từ hộp II. Tính xác suất để bi lấy ra lần cuối là bi đỏ.

23. Một lớp học có \[ 25 \] học sinh nam và \[ 15 \] học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một nhóm \[ 5 \] học sinh. Tính xác suất để nhóm được chọn có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ.

Chuyên đề: Phương trình lượng giác

24. Giải phương trình \[ 2\sin^2 x + \sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0 \] .

25. Giải phương trình \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin 5x \] .

26. Giải phương trình \[ 3\sin 3x - \sqrt{3}\cos 9x = 1 + 4\sin^3 3x \] .

27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[ y = \sin^2 x + \cos x + 1 \] .

28. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[ m \] để phương trình \[ (m+1)\sin x + (m-1)\cos x = 2m \] có nghiệm.

29. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[ m \] để phương trình \[ \cos 2x - (2m+1)\cos x + m + 1 = 0 \] có đúng \[ 2 \] nghiệm trên khoảng \[ \[0; \pi\] \] .

30. Giải bất phương trình \[ \sin x + \cos x > 1 \] trên khoảng \[ \[0; 2\pi\] \] .

LỜI GIẢI:

Bài Tập 1 (Chuyên đề Giới hạn):

Đề bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số \[ a \] và \[ b \] để hàm số \[ f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{khi } x > 1 \ 2x^2 - 3x - 1 & \text{khi } x \le 1 \end{cases} \] có giới hạn tại \[ x = 1 \] và liên tục tại \[ x = 1 \] .

Lời giải chi tiết:

Để hàm số \[ f(x) \] có giới hạn tại \[ x = 1 \] , giới hạn bên trái tại \[ x = 1 \] phải bằng giới hạn bên phải tại \[ x = 1 \] . \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \]

Khi \[ x \le 1 \] , \[ f(x) = 2x^2 - 3x - 1 \] . \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x^2 - 3x - 1) \] Vì \[ 2x^2 - 3x - 1 \] là hàm đa thức, giới hạn này bằng giá trị của hàm tại \[ x = 1 \] . \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1)^2 - 3(1) - 1 = 2 - 3 - 1 = -2 \] \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -2 \]

Khi \[ x > 1 \] , \[ f(x) = x^2 + ax + b \] . \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + ax + b) \] Vì \[ x^2 + ax + b \] là hàm đa thức, giới hạn này bằng giá trị của hàm tại \[ x = 1 \] . \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = (1)^2 + a(1) + b = 1 + a + b \] \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 + a + b \]

Để hàm số có giới hạn tại \[ x = 1 \] , ta có: \[ -2 = 1 + a + b \] \[ a + b = -3 \] (Điều kiện 1)

Để hàm số \[ f(x) \] liên tục tại \[ x = 1 \] , điều kiện cần và đủ là giới hạn của hàm số tại \[ x = 1 \] phải bằng giá trị của hàm số tại \[ x = 1 \] . \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \]

Từ điều kiện có giới hạn tại \[ x = 1 \] , ta biết giới hạn này bằng cả giới hạn bên trái và giới hạn bên phải. \[ \lim_{x \to 1} f(x) = -2 \]

Giá trị của hàm số tại \[ x = 1 \] được xác định bởi nhánh khi \[ x \le 1 \] : \[ f(1) = 2(1)^2 - 3(1) - 1 = -2 \] \[ f(1) = -2 \]

Điều kiện liên tục tại \[ x = 1 \] luôn thỏa mãn nếu điều kiện có giới hạn tại \[ x = 1 \] thỏa mãn, bởi vì giá trị của hàm tại \[ x=1 \] đúng bằng giá trị giới hạn (cả bên trái và bên phải đều tiến tới \[ -2 \] và giá trị tại \[ 1 \] cũng là \[ -2 \] ). \[ x=1 \] \[ 1 \] \[ -2 \] \[ 1 \] \[ -2 \] \[ 1 \] \[ -2 \]

Như vậy, điều kiện để hàm số có giới hạn và liên tục tại \[ x = 1 \] chỉ phụ thuộc vào việc giới hạn bên trái và bên phải bằng nhau. Điều kiện này là \[ a + b = -3 \] .

Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu tìm giá trị CỦA tham số \[ a \] và \[ b \] . Điều này ngụ ý rằng có các giá trị cụ thể của \[ a \] và \[ b \] chứ không phải là một mối quan hệ giữa chúng. Có thể đề bài gốc có thêm một điều kiện hoặc một phần khác của hàm số.

Tôi sẽ giả định đề bài muốn kiểm tra sự hiểu biết về điều kiện liên tục và có giới hạn thông qua các nhánh của hàm số. Điều kiện để có giới hạn là hai giới hạn bên bằng nhau, điều kiện để liên tục là giới hạn chung đó bằng giá trị của hàm tại điểm đang xét. Trong trường hợp này, giá trị của hàm tại \[ x=1 \] được định nghĩa bởi nhánh \[ x \le 1 \] . Giới hạn bên trái cũng được định nghĩa bởi nhánh \[ x \le 1 \] . Do đó, \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) \] là điều hiển nhiên đúng với nhánh \[ x \le 1 \] (vì nó là hàm đa thức). Điều kiện có giới hạn tại \[ x=1 \] chính là giới hạn bên phải bằng giới hạn bên trái, tức là \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) \] . Và điều kiện liên tục tại \[ x=1 \] là \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] , mà \[ \lim_{x \to 1} f(x) \] tồn tại khi và chỉ khi \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) \] . Do \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) \] , điều kiện có giới hạn chính là điều kiện liên tục trong trường hợp này. Vì vậy, chỉ có một điều kiện là \[ a + b = -3 \] .

Có khả năng câu hỏi gốc yêu cầu tìm \[ a \] và \[ b \] để hàm số liên tục trên toàn trục số hoặc có một cấu trúc khác. Với đề bài như hiện tại, chỉ có duy nhất một ràng buộc giữa \[ a \] và \[ b \] .

Nếu đề bài không có lỗi, thì đáp án là bất kỳ cặp \[ (a, b) \] nào thỏa mãn \[ a + b = -3 \] .

Đáp số (dựa trên đề bài gốc): Các giá trị của \[ a \] và \[ b \] thỏa mãn điều kiện là bất kỳ cặp số nào sao cho \[ a + b = -3 \] .

Bài Tập 2 (Chuyên đề Giới hạn):

Đề bài: Tính giới hạn \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{(x-1)^2} \] .

Lời giải chi tiết:

Đây là giới hạn dạng vô định \[ \frac{0}{0} \] khi thay \[ x = 1 \] vào cả tử số và mẫu số (tử số: \[ 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] ; mẫu số: \[ (1-1)^2 = 0^2 = 0 \] ). \[ x = 1 \] \[ 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] \[ (1-1)^2 = 0^2 = 0 \]

Ta cần phân tích nhân tử cả tử và mẫu để khử dạng vô định. Mẫu số đã có dạng \[ (x-1)^2 \] , cho thấy \[ x = 1 \] là nghiệm bội của tử số.

Xét tử số \[ P(x) = x^3 - 3x + 2 \] . Ta biết \[ x = 1 \] là nghiệm của \[ P(x) \] vì \[ P(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0 \] . \[ x = 1 \] \[ P(x) \] \[ P(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0 \] Ta có thể sử dụng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner để phân tích \[ P(x) \] cho \[ (x-1) \] .

Sử dụng sơ đồ Horner với nghiệm \[ x = 1 \] : Các hệ số của \[ x^3 - 3x + 2 \] là \[ 1 \] (cho \[ x^3 \] ), \[ 0 \] (cho \[ x^2 \] ), \[ -3 \] (cho \[ x \] ), \[ 2 \] (hằng số).

Kết quả là đa thức \[ 1x^2 + 1x - 2 = x^2 + x - 2 \] . Vậy \[ x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2 + x - 2) \] .

Tiếp tục phân tích nhân tử đa thức bậc hai \[ x^2 + x - 2 \] . Tìm nghiệm của \[ x^2 + x - 2 = 0 \] . \[ \Delta = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Nghiệm là \[ x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \] và \[ x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \] . Vậy \[ x^2 + x - 2 = (x - (-2))(x - 1) = (x+2)(x-1) \] .

Thay trở lại vào tử số: \[ x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x+2)(x-1) = (x-1)^2 (x+2) \] .

Giới hạn trở thành: \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2 (x+2)}{(x-1)^2} \] Vì \[ x \to 1 \] , nên \[ x \ne 1 \] . Do đó, \[ (x-1)^2 \ne 0 \] . Ta có thể rút gọn \[ (x-1)^2 \] ở tử và mẫu. \[ L = \lim_{x \to 1} (x+2) \] Thay \[ x = 1 \] vào: \[ L = 1 + 2 = 3 \] \[ L = 3 \]

Đáp số: \[ L = 3 \]

Bài Tập 3 (Chuyên đề Giới hạn):

Đề bài: Tính giới hạn \[ L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt\[3\]{1+x^2} - \sqrt{1-2x}}{x} \] .

Lời giải chi tiết:

Đây là giới hạn dạng vô định \[ \frac{0}{0} \] khi thay \[ x = 0 \] vào (tử số: \[ \sqrt\[3\]{1+0^2} - \sqrt{1-2(0)} = \sqrt\[3\]{1} - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0 \] ). \[ x = 0 \] \[ \sqrt\[3\]{1+0^2} - \sqrt{1-2(0)} = \sqrt\[3\]{1} - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0 \]

Ta cần thêm bớt để tách thành các giới hạn cơ bản. Giá trị của cả hai căn tại \[ x = 0 \] là \[ 1 \] . Ta thêm bớt \[ 1 \] vào tử số: \[ \sqrt\[3\]{1+x^2} - \sqrt{1-2x} = (\sqrt\[3\]{1+x^2} - 1) - (\sqrt{1-2x} - 1) \]

Giới hạn trở thành: \[ L = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt\[3\]{1+x^2} - 1) - (\sqrt{1-2x} - 1)}{x} \] \[ L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt\[3\]{1+x^2} - 1}{x} - \frac{\sqrt{1-2x} - 1}{x} \right) \]

Ta tính từng giới hạn thành phần:

Giới hạn 1: \[ L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt\[3\]{1+x^2} - 1}{x} \] Dạng \[ \frac{0}{0} \] . Sử dụng công thức nhân liên hợp cho căn bậc \[ 3 \] : \[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \implies a-b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} \] Với \[ a = \sqrt\[3\]{1+x^2} \] và \[ b = 1 \] . \[ a^3 - b^3 = (1+x^2) - 1^3 = x^2 \] \[ a^2 + ab + b^2 = (\sqrt\[3\]{1+x^2})^2 + \sqrt\[3\]{1+x^2} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt\[3\]{(1+x^2)^2} + \sqrt\[3\]{1+x^2} + 1 \] \[ L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x^2) - 1}{x (\sqrt\[3\]{(1+x^2)^2} + \sqrt\[3\]{1+x^2} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x (\sqrt\[3\]{(1+x^2)^2} + \sqrt\[3\]{1+x^2} + 1)} \] Vì \[ x \to 0 \] nên \[ x \ne 0 \] . Rút gọn \[ x \] ở tử và mẫu: \[ L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt\[3\]{(1+x^2)^2} + \sqrt\[3\]{1+x^2} + 1} \] Thay \[ x = 0 \] vào: \[ L_1 = \frac{0}{\sqrt\[3\]{(1+0)^2} + \sqrt\[3\]{1+0} + 1} = \frac{0}{\sqrt\[3\]{1} + \sqrt\[3\]{1} + 1} = \frac{0}{1 + 1 + 1} = \frac{0}{3} = 0 \] \[ L_1 = 0 \]

Giới hạn 2: \[ L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-2x} - 1}{x} \] Dạng \[ \frac{0}{0} \] . Sử dụng công thức nhân liên hợp cho căn bậc \[ 2 \] : \[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \implies a-b = \frac{a^2 - b^2}{a+b} \] Với \[ a = \sqrt{1-2x} \] và \[ b = 1 \] . \[ a^2 - b^2 = (1-2x) - 1^2 = -2x \] \[ a + b = \sqrt{1-2x} + 1 \] \[ L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{(1-2x) - 1}{x (\sqrt{1-2x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x}{x (\sqrt{1-2x} + 1)} \] Vì \[ x \to 0 \] nên \[ x \ne 0 \] . Rút gọn \[ x \] ở tử và mẫu: \[ L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{-2}{\sqrt{1-2x} + 1} \] Thay \[ x = 0 \] vào: \[ L_2 = \frac{-2}{\sqrt{1-2(0)} + 1} = \frac{-2}{\sqrt{1} + 1} = \frac{-2}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ L_2 = -1 \]

Giới hạn \[ L = L_1 - L_2 = 0 - (-1) = 1 \] \[ L = 1 \]

Đáp số: \[ L = 1 \]

Bài Tập 4 (Chuyên đề Giới hạn):

Đề bài: Tìm giá trị của tham số \[ a \] để giới hạn \[ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + ax + 2} + x) \] bằng \[ -1 \] .

Lời giải chi tiết:

Tính giới hạn \[ L = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + ax + 2} + x) \] Đây là dạng vô định \[ \infty - \infty \] khi \[ x \to -\infty \] (vì \[ \sqrt{x^2} = |x| \] , và khi \[ x \to -\infty \] thì \[ |x| = -x \] , nên biểu thức có dạng \[ -x + x \] xấp xỉ).

Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp: \[ L = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + ax + 2} + x) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + ax + 2} - x}{\sqrt{x^2 + ax + 2} - x} \] Tử số là dạng \[ (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 \] : \[ (\sqrt{x^2 + ax + 2})^2 - x^2 = (x^2 + ax + 2) - x^2 = ax + 2 \]

Mẫu số là \[ \sqrt{x^2 + ax + 2} - x \] . Khi \[ x \to -\infty \] , \[ \sqrt{x^2 + ax + 2} = \sqrt{x^2(1 + a/x + 2/x^2)} = |x| \sqrt{1 + a/x + 2/x^2} \] Vì \[ x \to -\infty \] , \[ |x| = -x \] . \[ \sqrt{x^2 + ax + 2} \approx -x \sqrt{1 + 0 + 0} = -x \] Mẫu số \[ \sqrt{x^2 + ax + 2} - x \approx -x - x = -2x \] .

Viết lại mẫu số chính xác hơn: \[ \sqrt{x^2 + ax + 2} - x = -x \sqrt{1 + a/x + 2/x^2} - x = -x (\sqrt{1 + a/x + 2/x^2} + 1) \]

Giới hạn trở thành: \[ L = \lim_{x \to -\infty} \frac{ax + 2}{-x (\sqrt{1 + a/x + 2/x^2} + 1)} \] Chia cả tử và mẫu cho \[ x \] (hoặc \[ -x \] ở mẫu để giữ dấu dương trong căn): \[ L = \lim_{x \to -\infty} \frac{a + 2/x}{- (\sqrt{1 + a/x + 2/x^2} + 1)} \] Khi \[ x \to -\infty \] , \[ 2/x \to 0 \] , \[ a/x \to 0 \] , \[ 2/x^2 \to 0 \] . \[ L = \frac{a + 0}{- (\sqrt{1 + 0 + 0} + 1)} = \frac{a}{-(\sqrt{1} + 1)} = \frac{a}{-(1 + 1)} = \frac{a}{-2} = -\frac{a}{2} \] \[ L = -\frac{a}{2} \]

Theo đề bài, giới hạn này bằng \[ -1 \] . \[ -\frac{a}{2} = -1 \] Nhân cả hai vế với \[ -2 \] : \[ a = (-1) \cdot (-2) \] \[ a = 2 \]

Đáp số: \[ a = 2 \]

Bài Tập 5 (Chuyên đề Giới hạn):

Đề bài: Cho hàm số \[ f(x) \] thỏa mãn \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} = 3 \] . Tính giới hạn \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{f(x) + 2} - 2}{x^2 - 1} \] .

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} = 3 \] , ta suy ra khi \[ x \to 1 \] , tử số \[ f(x) - 2 \] phải tiến tới \[ 0 \] để giới hạn có dạng \[ \frac{0}{0} \] (vì mẫu số \[ x-1 \to 0 \] ). \[ x \to 1 \] \[ f(x) - 2 \] \[ 0 \] \[ x-1 \to 0 \] Điều này có nghĩa là \[ \lim_{x \to 1} (f(x) - 2) = 0 \] , hay \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \] .

Bây giờ xét giới hạn cần tính: \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{f(x) + 2} - 2}{x^2 - 1} \] Khi \[ x \to 1 \] , \[ f(x) \to 2 \] (từ giả thiết). Tử số tiến tới \[ \sqrt{2 + 2} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0 \] . Mẫu số tiến tới \[ 1^2 - 1 = 0 \] . Đây là dạng vô định \[ \frac{0}{0} \] .

Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp cho tử số và phân tích nhân tử mẫu số: Mẫu số: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] Tử số: Nhân liên hợp với \[ \sqrt{f(x) + 2} + 2 \] : \[ (\sqrt{f(x) + 2} - 2) \cdot (\sqrt{f(x) + 2} + 2) = (\sqrt{f(x) + 2})^2 - 2^2 = f(x) + 2 - 4 = f(x) - 2 \]

Giới hạn trở thành: \[ L = \lim_{x \to 1} \frac{(f(x) - 2)}{(x - 1)(x + 1) (\sqrt{f(x) + 2} + 2)} \] Tách biểu thức thành các phần mà ta biết giới hạn: \[ L = \lim_{x \to 1} \left( \frac{f(x) - 2}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(x) + 2} + 2} \right) \] Áp dụng quy tắc giới hạn của tích: \[ L = \left( \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 1} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{f(x) + 2} + 2} \right) \]

Ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} = 3 \] (theo giả thiết) \[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \] Vì \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \] nên \[ \lim_{x \to 1} \sqrt{f(x) + 2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} (\sqrt{f(x) + 2} + 2) = 2 + 2 = 4 \] Và \[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{f(x) + 2} + 2} = \frac{1}{4} \]

Thay các giá trị giới hạn vào biểu thức của \[ L \] : \[ L = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \] \[ L = \frac{3}{8} \]

Đáp số: \[ L = \frac{3}{8} \]

Bài Tập 6 (Chuyên đề Giới hạn):

Đề bài: Tìm giá trị của tham số \[ m \] để hàm số \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{khi } x \ne 2 \ 3m - 1 & \text{khi } x = 2 \end{cases} \] liên tục tại \[ x = 2 \] .

Lời giải chi tiết:

Để hàm số \[ f(x) \] liên tục tại \[ x = 2 \] , điều kiện cần và đủ là giới hạn của hàm số \[ f(x) \] khi \[ x \to 2 \] phải bằng giá trị của hàm số tại \[ x = 2 \] . \[ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \]

Theo đề bài, \[ f(2) = 3m - 1 \] .

Ta cần tính giới hạn \[ L = \lim_{x \to 2} f(x) \] . Khi \[ x \ne 2 \] , \[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \] . \[ L = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \] Đây là dạng vô định \[ \frac{0}{0} \] khi thay \[ x = 2 \] vào.

Ta phân tích nhân tử tử số: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \]

Giới hạn trở thành: \[ L = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \] Vì \[ x \to 2 \] nên \[ x \ne 2 \] . Do đó, \[ x - 2 \ne 0 \] . Ta có thể rút gọn \[ x - 2 \] ở tử và mẫu. \[ L = \lim_{x \to 2} (x + 2) \] Thay \[ x = 2 \] vào: \[ L = 2 + 2 = 4 \] \[ L = 4 \]

Để hàm số liên tục tại \[ x = 2 \] , ta cần \[ L = f(2) \] . \[ 4 = 3m - 1 \] \[ 3m = 4 + 1 \] \[ 3m = 5 \] \[ m = \frac{5}{3} \] \[ m = \frac{5}{3} \]

Đáp số: \[ m = \frac{5}{3} \]

Bài Tập 7 (Chuyên đề Đạo hàm):

Đề bài: Cho hàm số \[ y = x^3 - 3x^2 + 2 \] . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \[ y = 9x - 1 \] .

Lời giải chi tiết:

Gọi \[ (d) \] là tiếp tuyến cần tìm. Đường thẳng \[ y = 9x - 1 \] có hệ số góc là \[ 9 \] . \[ (d) \] \[ y = 9x - 1 \] \[ 9 \] Vì tiếp tuyến \[ (d) \] song song với đường thẳng \[ y = 9x - 1 \] nên hệ số góc của \[ (d) \] cũng bằng \[ 9 \] . \[ (d) \] \[ y = 9x - 1 \] \[ (d) \] \[ 9 \]

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[ y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \] tại điểm có hoành độ \[ x_0 \] là \[ f'(x_0) \] . \[ y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \] \[ x_0 \] \[ f'(x_0) \] Ta tính đạo hàm của hàm số \[ f(x) \] : \[ f'(x) = (x^3)' - (3x^2)' + (2)' \] \[ f'(x) = 3x^2 - 3(2x) + 0 \] \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]

Để hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[ 9 \] , ta có phương trình: \[ f'(x_0) = 9 \] \[ 3x_0^2 - 6x_0 = 9 \] \[ 3x_0^2 - 6x_0 - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho \[ 3 \] : \[ x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai theo \[ x_0 \] : \[ \Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \] \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4 \] Các nghiệm của phương trình (hoành độ các tiếp điểm) là: \[ x_{0,1} = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_{0,2} = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Ta có hai tiếp điểm có hoành độ là \[ x_{0,1} = -1 \] và \[ x_{0,2} = 3 \] . Do đó, có hai tiếp tuyến thỏa mãn.

• Trường hợp 1: Tiếp điểm có hoành độ \[ x_0 = -1 \] . Tung độ của tiếp điểm là \[ y_0 = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3(1) + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \] \[ y_0 = -2 \] Hệ số góc của tiếp tuyến là \[ f'(-1) = 9 \] (đã tính từ phương trình). Phương trình tiếp tuyến tại điểm \[ (-1; -2) \] là: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] \[ y - (-2) = 9(x - (-1)) \] \[ y + 2 = 9(x + 1) \] \[ y + 2 = 9x + 9 \] \[ y = 9x + 7 \]

• Trường hợp 2: Tiếp điểm có hoành độ \[ x_0 = 3 \] . Tung độ của tiếp điểm là \[ y_0 = f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 + 2 = 27 - 3(9) + 2 = 27 - 27 + 2 = 2 \] \[ y_0 = 2 \] Hệ số góc của tiếp tuyến là \[ f'(3) = 9 \] (đã tính từ phương trình). Phương trình tiếp tuyến tại điểm \[ (3; 2) \] là: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] \[ y - 2 = 9(x - 3) \] \[ y - 2 = 9x - 27 \] \[ y = 9x - 25 \]

Cần kiểm tra xem các tiếp tuyến này có trùng với đường thẳng \[ y = 9x - 1 \] hay không. Tiếp tuyến \[ y = 9x + 7 \] có tung độ gốc \[ 7 \] , khác với \[ -1 \] . (Song song) \[ 7 \] \[ -1 \] Tiếp tuyến \[ y = 9x - 25 \] có tung độ gốc \[ -25 \] , khác với \[ -1 \] . (Song song) \[ -25 \] \[ -1 \] Cả hai tiếp tuyến đều song song và không trùng với đường thẳng đã cho.

Đáp số: Có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là \[ y = 9x + 7 \] và \[ y = 9x - 25 \] .

Bài Tập 8 (Chuyên đề Đạo hàm):

Đề bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số \[ m \] để tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[ y = \frac{x^2 + x}{x - 1} \] tại điểm có hoành độ \[ x_0 = 2 \] vuông góc với đường thẳng \[ y = (m^2 + 1)x - 5 \] .

Lời giải chi tiết:

Hàm số là \[ y = f(x) = \frac{x^2 + x}{x - 1} \] . Hoành độ tiếp điểm là \[ x_0 = 2 \] . Tại \[ x_0 = 2 \] , mẫu số \[ x - 1 = 2 - 1 = 1 \ne 0 \] nên hàm số xác định tại \[ x_0 = 2 \] .

Tung độ của tiếp điểm là \[ y_0 = f(2) = \frac{2^2 + 2}{2 - 1} = \frac{4 + 2}{1} = \frac{6}{1} = 6 \] \[ y_0 = 6 \] Tiếp điểm là \[ (2; 6) \] .

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \[ x_0 = 2 \] là \[ f'(2) \] . Tính đạo hàm của hàm số \[ y = \frac{u}{v} \] với \[ u = x^2 + x \] và \[ v = x - 1 \] . \[ u' = (x^2 + x)' = 2x + 1 \] \[ v' = (x - 1)' = 1 \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] \[ y' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x^2 - 2x + x - 1) - (x^2 + x)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - x - 1 - x^2 - x}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \]

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \[ x_0 = 2 \] là \[ f'(2) \] : \[ f'(2) = \frac{2^2 - 2(2) - 1}{(2 - 1)^2} = \frac{4 - 4 - 1}{1^2} = \frac{-1}{1} = -1 \] \[ f'(2) = -1 \]

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \[ y = (m^2 + 1)x - 5 \] . Đường thẳng \[ y = (m^2 + 1)x - 5 \] có hệ số góc là \[ k_d = m^2 + 1 \] . \[ k_d = m^2 + 1 \] Hai đường thẳng vuông góc khi tích hệ số góc của chúng bằng \[ -1 \] . \[ f'(2) \cdot k_d = -1 \] \[ (-1) \cdot (m^2 + 1) = -1 \] \[ -(m^2 + 1) = -1 \] \[ m^2 + 1 = 1 \] \[ m^2 = 0 \] \[ m = 0 \] \[ m = 0 \]

Đáp số: \[ m = 0 \]

Bài Tập 9 (Chuyên đề Đạo hàm):

Đề bài: Cho hàm số \[ y = x^3 + (m-1)x^2 + (2m-3)x + 2 \] . Tìm \[ m \] để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \[ x_0 = -1 \] đi qua điểm \[ A(1; 5) \] .

Lời giải chi tiết:

Hàm số là \[ y = f(x) = x^3 + (m-1)x^2 + (2m-3)x + 2 \] . Hoành độ tiếp điểm là \[ x_0 = -1 \] . Tung độ của tiếp điểm là \[ y_0 = f(-1) \] : \[ y_0 = (-1)^3 + (m-1)(-1)^2 + (2m-3)(-1) + 2 \] \[ y_0 = -1 + (m-1)(1) - (2m-3) + 2 \] \[ y_0 = -1 + m - 1 - 2m + 3 + 2 \] \[ y_0 = (m - 2m) + (-1 - 1 + 3 + 2) \] \[ y_0 = -m + 3 \] Tọa độ tiếp điểm là \[ (-1; 3 - m) \] .

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \[ x_0 = -1 \] là \[ f'(-1) \] . Tính đạo hàm của hàm số \[ f(x) \] : \[ f'(x) = (x^3)' + ((m-1)x^2)' + ((2m-3)x)' + (2)' \] \[ f'(x) = 3x^2 + (m-1)(2x) + (2m-3)(1) + 0 \] \[ f'(x) = 3x^2 + 2(m-1)x + 2m - 3 \]

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \[ x_0 = -1 \] là \[ f'(-1) \] : \[ f'(-1) = 3(-1)^2 + 2(m-1)(-1) + 2m - 3 \] \[ f'(-1) = 3(1) - 2(m-1) + 2m - 3 \] \[ f'(-1) = 3 - 2m + 2 + 2m - 3 \] \[ f'(-1) = (-2m + 2m) + (3 + 2 - 3) \] \[ f'(-1) = 0 + 2 \] \[ f'(-1) = 2 \]

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \[ x_0 = -1 \] (tức tiếp điểm \[ (-1; 3-m) \] ) là: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] \[ y - (3 - m) = 2(x - (-1)) \] \[ y - 3 + m = 2(x + 1) \] \[ y - 3 + m = 2x + 2 \] \[ y = 2x + 2 + 3 - m \] \[ y = 2x + 5 - m \]

Tiếp tuyến này đi qua điểm \[ A(1; 5) \] . Thay tọa độ điểm \[ A \] vào phương trình tiếp tuyến: \[ 5 = 2(1) + 5 - m \] \[ 5 = 2 + 5 - m \] \[ 5 = 7 - m \] \[ m = 7 - 5 \] \[ m = 2 \] \[ m = 2 \]

Đáp số: \[ m = 2 \]

Bài Tập 10 (Chuyên đề Đạo hàm):

Đề bài: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \[ y = \cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) \] .

Lời giải chi tiết:

Hàm số là \[ y = f(x) = \cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) \] . Ta cần tính đạo hàm cấp nhất \[ y' \] , sau đó tính đạo hàm cấp hai \[ y'' = (y')' \] .

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp \[ (u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' \] với \[ n = 2 \] và \[ u = \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \] . \[ y' = 2 \cdot \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \cdot (\cos(2x - \frac{\pi}{4}))' \]

Tiếp tục tính đạo hàm của \[ \cos(v) \] với \[ v = 2x - \frac{\pi}{4} \] . Sử dụng công thức \[ (\cos v)' = - \sin v \cdot v' \] . \[ v' = (2x - \frac{\pi}{4})' = 2 - 0 = 2 \] \[ (\cos(2x - \frac{\pi}{4}))' = - \sin(2x - \frac{\pi}{4}) \cdot 2 = -2\sin(2x - \frac{\pi}{4}) \]

Thay trở lại vào biểu thức của \[ y' \] : \[ y' = 2 \cdot \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \cdot (-2\sin(2x - \frac{\pi}{4})) \] \[ y' = -4 \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \sin(2x - \frac{\pi}{4}) \]

Sử dụng công thức lượng giác nhân đôi: \[ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \] Với \[ \alpha = 2x - \frac{\pi}{4} \] , ta có \[ 2\sin(2x - \frac{\pi}{4})\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(2(2x - \frac{\pi}{4})) = \sin(4x - \frac{\pi}{2}) \] \[ \alpha = 2x - \frac{\pi}{4} \] \[ 2\sin(2x - \frac{\pi}{4})\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(2(2x - \frac{\pi}{4})) = \sin(4x - \frac{\pi}{2}) \] Do đó, \[ y' = -2 \cdot \[2 \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \sin(2x - \frac{\pi}{4})\] = -2 \sin(4x - \frac{\pi}{2}) \] \[ y' = -2 \sin(4x - \frac{\pi}{2}) \]

Sử dụng công thức cung liên kết: \[ \sin(A - \frac{\pi}{2}) = -\cos A \] Với \[ A = 4x \] . \[ \sin(4x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(4x) \] \[ A = 4x \] \[ \sin(4x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(4x) \] Thay vào biểu thức của \[ y' \] : \[ y' = -2 \cdot (-\cos(4x)) = 2\cos(4x) \] \[ y' = 2\cos(4x) \] Đây là đạo hàm cấp nhất.

Bây giờ tính đạo hàm cấp hai \[ y'' = (y')' \] . \[ y'' = (2\cos(4x))' \] Sử dụng công thức đạo hàm \[ (c \cdot v)' = c \cdot v' \] và \[ (\cos v)' = -\sin v \cdot v' \] với \[ c = 2 \] và \[ v = 4x \] . \[ v' = (4x)' = 4 \] \[ y'' = 2 \cdot (\cos(4x))' \] \[ y'' = 2 \cdot (-\sin(4x) \cdot (4x)') \] \[ y'' = 2 \cdot (-\sin(4x) \cdot 4) \] \[ y'' = -8\sin(4x) \] \[ y'' = -8\sin(4x) \]

Đáp số: Đạo hàm cấp hai của hàm số là \[ y'' = -8\sin(4x) \] .

Bài Tập 11 (Chuyên đề Đạo hàm):

Đề bài: Cho hàm số \[ f(x) \] liên tục tại \[ x_0 \] . Chứng minh rằng nếu \[ f(x_0) \ne 0 \] thì hàm số \[ g(x) = \frac{1}{f(x)} \] có đạo hàm tại \[ x_0 \] và tính \[ g'(x_0) \] theo \[ f(x_0) \] và \[ f'(x_0) \] .

Lời giải chi tiết:

Để chứng minh hàm số \[ g(x) = \frac{1}{f(x)} \] có đạo hàm tại \[ x_0 \] , ta cần chứng minh giới hạn của tỉ số gia tại \[ x_0 \] tồn tại hữu hạn. Tỉ số gia của \[ g(x) \] tại \[ x_0 \] là \[ \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \] khi \[ x \to x_0 \] . \[ g(x) = \frac{1}{f(x)} \] \[ x_0 \] \[ g(x) = \frac{1}{f(x)} \] \[ x_0 \] \[ \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \] \[ x_0 \] \[ x \to x_0 \]

Ta có \[ g(x) = \frac{1}{f(x)} \] và \[ g(x_0) = \frac{1}{f(x_0)} \] (vì \[ f(x_0) \ne 0 \] ). \[ g(x) = \frac{1}{f(x)} \] \[ g(x_0) = \frac{1}{f(x_0)} \] \[ f(x_0) \ne 0 \]

Tỉ số gia là: \[ \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \frac{\frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(x_0)}}{x - x_0} \] Quy đồng tử số: \[ \frac{\frac{f(x_0) - f(x)}{f(x)f(x_0)}}{x - x_0} = \frac{f(x_0) - f(x)}{(x - x_0)f(x)f(x_0)} \] Viết lại tử số để giống với tử số trong định nghĩa đạo hàm của \[ f(x) \] : \[ \frac{-(f(x) - f(x_0))}{(x - x_0)f(x)f(x_0)} = - \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot \frac{1}{f(x)f(x_0)} \]

Bây giờ tính giới hạn khi \[ x \to x_0 \] : \[ g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \left( - \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot \frac{1}{f(x)f(x_0)} \right) \] Áp dụng quy tắc giới hạn của tích: \[ g'(x_0) = - \left( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right) \cdot \left( \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)f(x_0)} \right) \]

Vì \[ f(x) \] có đạo hàm tại \[ x_0 \] (điều này ngụ ý từ đề bài hàm số liên tục tại \[ x_0 \] và có đạo hàm \[ f'(x_0) \] được sử dụng), nên giới hạn đầu tiên chính là \[ f'(x_0) \] . \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) \]

Vì \[ f(x) \] liên tục tại \[ x_0 \] , nên \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \] . Do \[ f(x_0) \ne 0 \] , nên \[ \lim_{x \to x_0} f(x)f(x_0) = f(x_0) \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \cdot f(x_0) = (f(x_0))^2 \] \[ f(x_0) \ne 0 \] \[ \lim_{x \to x_0} f(x)f(x_0) = f(x_0) \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \cdot f(x_0) = (f(x_0))^2 \] Và \[ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)f(x_0)} = \frac{1}{(f(x_0))^2} \]

Thay các giới hạn vào biểu thức của \[ g'(x_0) \] : \[ g'(x_0) = - f'(x_0) \cdot \frac{1}{(f(x_0))^2} \] \[ g'(x_0) = - \frac{f'(x_0)}{(f(x_0))^2} \]

Giới hạn này tồn tại hữu hạn vì \[ f'(x_0) \] tồn tại hữu hạn và \[ (f(x_0))^2 \ne 0 \] . Do đó, hàm số \[ g(x) \] có đạo hàm tại \[ x_0 \] và công thức đạo hàm là \[ g'(x_0) = - \frac{f'(x_0)}{(f(x_0))^2} \] .

Đáp số: \[ g'(x_0) = - \frac{f'(x_0)}{(f(x_0))^2} \]

Bài Tập 12 (Chuyên đề Đạo hàm):

Đề bài: Cho hàm số \[ y = x^2 \] . Tìm điểm \[ M \] trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại \[ M \] tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \[ \frac{1}{4} \] .

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm \[ M \] trên đồ thị hàm số có tọa độ là \[ (x_0; y_0) \] . Vì \[ M \] nằm trên đồ thị \[ y = x^2 \] nên \[ y_0 = x_0^2 \] . Tọa độ \[ M \] là \[ (x_0; x_0^2) \] . \[ M \] \[ (x_0; y_0) \] \[ y = x^2 \] \[ y_0 = x_0^2 \] \[ M \] \[ (x_0; x_0^2) \]

Hàm số là \[ f(x) = x^2 \] . Đạo hàm là \[ f'(x) = 2x \] . Hệ số góc của tiếp tuyến tại \[ M(x_0; x_0^2) \] là \[ f'(x_0) = 2x_0 \] . \[ f(x) = x^2 \] \[ f'(x) = 2x \] \[ M(x_0; x_0^2) \] \[ f'(x_0) = 2x_0 \] Phương trình tiếp tuyến tại \[ M \] là: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] \[ y - x_0^2 = 2x_0(x - x_0) \] \[ y - x_0^2 = 2x_0 x - 2x_0^2 \] \[ y = 2x_0 x - x_0^2 \]

Để tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác, tiếp tuyến phải cắt cả trục \[ Ox \] và trục \[ Oy \] tại các điểm phân biệt khác gốc tọa độ. Điều này xảy ra khi hệ số góc \[ 2x_0 \ne 0 \] (tức \[ x_0 \ne 0 \] ) và tung độ gốc \[ -x_0^2 \ne 0 \] (cũng tức \[ x_0 \ne 0 \] ). Vậy điều kiện là \[ x_0 \ne 0 \] .

Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục \[ Ox \] (cho \[ y = 0 \] ): \[ 0 = 2x_0 x - x_0^2 \] \[ 2x_0 x = x_0^2 \] Vì \[ x_0 \ne 0 \] , ta chia cả hai vế cho \[ 2x_0 \] : \[ x = \frac{x_0^2}{2x_0} = \frac{x_0}{2} \] Giao điểm với trục \[ Ox \] là \[ A(\frac{x_0}{2}; 0) \] .

Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục \[ Oy \] (cho \[ x = 0 \] ): \[ y = 2x_0(0) - x_0^2 = -x_0^2 \] Giao điểm với trục \[ Oy \] là \[ B(0; -x_0^2) \] .

Tam giác tạo bởi tiếp tuyến và hai trục tọa độ là tam giác vuông \[ OAB \] (với \[ O \] là gốc tọa độ \[ (0;0) \] ). \[ OAB \] \[ O \] \[ (0;0) \] Độ dài hai cạnh góc vuông là khoảng cách từ gốc tọa độ đến các giao điểm trên trục: \[ OA = |\frac{x_0}{2}| \] \[ OB = |-x_0^2| = x_0^2 \] (vì \[ x_0^2 \ge 0 \] ).

Diện tích tam giác \[ OAB \] là \[ S = \frac{1}{2} OA \cdot OB \] . \[ S = \frac{1}{2} |\frac{x_0}{2}| \cdot x_0^2 = \frac{1}{2} \frac{|x_0|}{2} x_0^2 = \frac{x_0^2 |x_0|}{4} \] \[ S = \frac{x_0^2 |x_0|}{4} \]

Theo đề bài, diện tích này bằng \[ \frac{1}{4} \] . \[ \frac{x_0^2 |x_0|}{4} = \frac{1}{4} \] \[ x_0^2 |x_0| = 1 \]

• Trường hợp 1: \[ x_0 > 0 \] . \[ x_0^2 \cdot x_0 = 1 \implies x_0^3 = 1 \implies x_0 = 1 \] Với \[ x_0 = 1 \] , \[ y_0 = x_0^2 = 1^2 = 1 \] . Điểm \[ M \] là \[ (1; 1) \] .

• Trường hợp 2: \[ x_0 < 0 \] . \[ x_0^2 \cdot (-x_0) = 1 \implies -x_0^3 = 1 \implies x_0^3 = -1 \implies x_0 = -1 \] Với \[ x_0 = -1 \] , \[ y_0 = x_0^2 = (-1)^2 = 1 \] . Điểm \[ M \] là \[ (-1; 1) \] .

Cả hai trường hợp đều thỏa mãn điều kiện \[ x_0 \ne 0 \] .

Đáp số: Có hai điểm \[ M \] thỏa mãn là \[ (1; 1) \] và \[ (-1; 1) \] .

Bài Tập 13 (Chuyên đề Đạo hàm):

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[ y = x^3 - 6x^2 + 5x + 1 \] .

Lời giải chi tiết:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[ y = f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 1 \] tại một điểm bất kỳ có hoành độ \[ x \] là giá trị của đạo hàm \[ f'(x) \] tại \[ x \] đó. \[ y = f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 1 \] \[ x \] \[ f'(x) \] \[ x \] Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[ g(x) = f'(x) \] .

Tính đạo hàm cấp nhất \[ f'(x) \] : \[ f'(x) = (x^3)' - (6x^2)' + (5x)' + (1)' \] \[ f'(x) = 3x^2 - 6(2x) + 5 + 0 \] \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 5 \] \[ g(x) = f'(x) = 3x^2 - 12x + 5 \]

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai \[ g(x) = 3x^2 - 12x + 5 \] . Đây là hàm số bậc hai dạng \[ ax^2 + bx + c \] với \[ a = 3 \] , \[ b = -12 \] , \[ c = 5 \] . \[ ax^2 + bx + c \] \[ a = 3 \] \[ b = -12 \] \[ c = 5 \] Vì hệ số \[ a = 3 > 0 \] , parabol có bề lõm hướng lên trên, nên hàm số có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol. \[ a = 3 > 0 \] Hoành độ đỉnh của parabol là \[ x = -\frac{b}{2a} \] . \[ x = -\frac{-12}{2(3)} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ x = 2 \] Giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai xảy ra tại \[ x = 2 \] .

Giá trị nhỏ nhất của \[ g(x) \] (chính là giá trị nhỏ nhất của hệ số góc tiếp tuyến) là \[ g(2) \] : \[ g(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 5 \] \[ g(2) = 3(4) - 24 + 5 \] \[ g(2) = 12 - 24 + 5 \] \[ g(2) = -12 + 5 \] \[ g(2) = -7 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của hệ số góc tiếp tuyến là \[ -7 \] , xảy ra tại điểm trên đồ thị có hoành độ \[ x = 2 \] .

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của hệ số góc tiếp tuyến là \[ -7 \] .

Bài Tập 14 (Chuyên đề Dãy số):

Đề bài: Cho cấp số nhân \[ (u_n) \] có công bội \[ q \ne 1 \] . Biết \[ u_1 + u_2 + u_3 = 14 \] và \[ u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 84 \] . Tìm \[ u_1 \] và \[ q \] .

Lời giải chi tiết:

Gọi cấp số nhân là \[ (u_n) \] với số hạng đầu \[ u_1 \] và công bội \[ q \] . Các số hạng đầu tiên là \[ u_1 \] , \[ u_2 = u_1 q \] , \[ u_3 = u_1 q^2 \] .

Theo đề bài, ta có hệ phương trình: 1) \[ u_1 + u_1 q + u_1 q^2 = 14 \] \[ u_1 (1 + q + q^2) = 14 \] (Phương trình 1)

2.  

\[ u_1^2 + (u_1 q)^2 + (u_1 q^2)^2 = 84 \] \[ u_1^2 + u_1^2 q^2 + u_1^2 q^4 = 84 \] \[ u_1^2 (1 + q^2 + q^4) = 84 \] (Phương trình 2)

Xét biểu thức \[ 1 + q^2 + q^4 \] . Ta có thể phân tích nó như sau: \[ 1 + q^2 + q^4 = (1 + q^2)^2 - q^2 = (1 + q^2 - q)(1 + q^2 + q) = (q^2 - q + 1)(q^2 + q + 1) \] \[ 1 + q^2 + q^4 = (q^2 - q + 1)(q^2 + q + 1) \] Lưu ý rằng \[ q^2 + q + 1 = 1 + q + q^2 \] xuất hiện trong Phương trình 1.

Phương trình 2 trở thành: \[ u_1^2 (q^2 - q + 1)(q^2 + q + 1) = 84 \] \[ u_1^2 (q^2 - q + 1) (1 + q + q^2) = 84 \]

Từ Phương trình 1, \[ u_1 = \frac{14}{1 + q + q^2} \] (Vì \[ 1 + q + q^2 = (q + 1/2)^2 + 3/4 > 0 \] nên \[ 1 + q + q^2 \ne 0 \] ). \[ 1 + q + q^2 = (q + 1/2)^2 + 3/4 > 0 \] \[ 1 + q + q^2 \ne 0 \] Thay \[ u_1 \] vào Phương trình 2 (đã biến đổi): \[ \left( \frac{14}{1 + q + q^2} \right)^2 (q^2 - q + 1) (1 + q + q^2) = 84 \] \[ \frac{14^2}{(1 + q + q^2)^2} (q^2 - q + 1) (1 + q + q^2) = 84 \] \[ \frac{196 (q^2 - q + 1)}{1 + q + q^2} = 84 \] Chia cả hai vế cho \[ 28 \] ( \[ 196 = 7 \times 28 \] , \[ 84 = 3 \times 28 \] ): \[ \frac{7 (q^2 - q + 1)}{1 + q + q^2} = 3 \] \[ 7(q^2 - q + 1) = 3(1 + q + q^2) \] \[ 7q^2 - 7q + 7 = 3 + 3q + 3q^2 \] \[ 7q^2 - 3q^2 - 7q - 3q + 7 - 3 = 0 \] \[ 4q^2 - 10q + 4 = 0 \] Chia cả hai vế cho \[ 2 \] : \[ 2q^2 - 5q + 2 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai theo \[ q \] : \[ \Delta = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 \] \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3 \] Các nghiệm của phương trình (công bội) là: \[ q_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ q_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

Đề bài cho công bội \[ q \ne 1 \] , cả hai giá trị \[ q = 1/2 \] và \[ q = 2 \] đều thỏa mãn.

• Trường hợp 1: \[ q = \frac{1}{2} \] Thay vào Phương trình 1 để tìm \[ u_1 \] : \[ u_1 (1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 14 \] \[ u_1 (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 14 \] \[ u_1 (\frac{4+2+1}{4}) = 14 \] \[ u_1 \frac{7}{4} = 14 \] \[ u_1 = 14 \cdot \frac{4}{7} = 2 \cdot 4 = 8 \] \[ u_1 = 8 \] Ta được cặp \[ (u_1; q) = (8; \frac{1}{2}) \] .

• Trường hợp 2: \[ q = 2 \] Thay vào Phương trình 1 để tìm \[ u_1 \] : \[ u_1 (1 + 2 + 2^2) = 14 \] \[ u_1 (1 + 2 + 4) = 14 \] \[ u_1 (7) = 14 \] \[ u_1 = \frac{14}{7} = 2 \] \[ u_1 = 2 \] Ta được cặp \[ (u_1; q) = (2; 2) \] .

Cả hai cặp \[ (u_1; q) \] đều là nghiệm của hệ.

Đáp số: Có hai cặp \[ (u_1; q) \] thỏa mãn là \[ (8; \frac{1}{2}) \] và \[ (2; 2) \] .

Bài Tập 15 (Chuyên đề Dãy số):

Đề bài: Cho dãy số \[ (u_n) \] xác định bởi \[ u_1 = 1 \] và \[ u_{n+1} = u_n + 2n + 1 \] với mọi \[ n \ge 1 \] . Tìm công thức số hạng tổng quát \[ u_n \] theo \[ n \] .

Lời giải chi tiết:

Dãy số được cho dưới dạng công thức truy hồi. Ta cần tìm công thức số hạng tổng quát \[ u_n \] . Viết ra vài số hạng đầu để tìm quy luật: \[ u_1 = 1 \] Với \[ n = 1 \] : \[ u_2 = u_1 + 2(1) + 1 = u_1 + 3 = 1 + 3 = 4 \] \[ u_2 = 4 \] Với \[ n = 2 \] : \[ u_3 = u_2 + 2(2) + 1 = u_2 + 5 = 4 + 5 = 9 \] \[ u_3 = 9 \] Với \[ n = 3 \] : \[ u_4 = u_3 + 2(3) + 1 = u_3 + 7 = 9 + 7 = 16 \] \[ u_4 = 16 \] Các số hạng đầu tiên là \[ 1, 4, 9, 16, \dots \] . Ta nhận thấy chúng là bình phương của các số tự nhiên: \[ u_1 = 1 = 1^2 \] \[ u_2 = 4 = 2^2 \] \[ u_3 = 9 = 3^2 \] \[ u_4 = 16 = 4^2 \] Dự đoán công thức số hạng tổng quát là \[ u_n = n^2 \] .

Ta sẽ chứng minh công thức \[ u_n = n^2 \] bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bước cơ sở: Với \[ n = 1 \] , công thức cho \[ u_1 = 1^2 = 1 \] , khớp với giá trị ban đầu đề cho. Bước cơ sở đúng.

Bước quy nạp: Giả sử công thức đúng với \[ n = k \ge 1 \] , tức là \[ u_k = k^2 \] . Ta cần chứng minh công thức cũng đúng với \[ n = k+1 \] , tức là \[ u_{k+1} = (k+1)^2 \] .

Theo công thức truy hồi đề cho: \[ u_{k+1} = u_k + 2k + 1 \] Theo giả thiết quy nạp, \[ u_k = k^2 \] . Thay vào: \[ u_{k+1} = k^2 + 2k + 1 \] Nhận thấy \[ k^2 + 2k + 1 \] chính là khai triển của \[ (k+1)^2 \] . \[ u_{k+1} = (k+1)^2 \] Công thức đúng với \[ n = k+1 \] .

Theo nguyên lý quy nạp toán học, công thức \[ u_n = n^2 \] đúng với mọi \[ n \ge 1 \] .

Đáp số: Công thức số hạng tổng quát là \[ u_n = n^2 \] .

Bài Tập 16 (Chuyên đề Dãy số):

Đề bài: Ba số khác \[ 0 \] tạo thành một cấp số cộng. Nếu giữ nguyên số thứ nhất, tăng số thứ hai lên \[ 2 \] đơn vị và tăng số thứ ba lên \[ 6 \] đơn vị, thì ba số mới tạo thành một cấp số nhân. Tìm ba số ban đầu, biết tổng của chúng bằng \[ 18 \] .

Lời giải chi tiết:

Gọi ba số ban đầu là \[ a, b, c \] . Theo đề bài, \[ a, b, c \] khác \[ 0 \] và tạo thành một cấp số cộng. Theo tính chất của cấp số cộng: \[ 2b = a + c \] (1)

Tổng của ba số ban đầu bằng \[ 18 \] : \[ a + b + c = 18 \] Thay (1) vào phương trình này: \[ (2b) + b = 18 \] \[ 3b = 18 \] \[ b = 6 \] Số thứ hai của cấp số cộng là \[ 6 \] . Từ (1), ta có \[ a + c = 2b = 2(6) = 12 \] . Vậy ba số ban đầu có dạng \[ a, 6, 12 - a \] . Công sai của cấp số cộng là \[ d = 6 - a \] .

Ba số mới sau khi thay đổi là \[ a' = a \] , \[ b' = b + 2 = 6 + 2 = 8 \] , \[ c' = c + 6 = (12 - a) + 6 = 18 - a \] . Ba số mới là \[ a, 8, 18 - a \] . Theo đề bài, ba số này tạo thành một cấp số nhân. Theo tính chất của cấp số nhân (bình phương số hạng giữa bằng tích hai số hạng kề): \[ (b')^2 = a' \cdot c' \] \[ 8^2 = a \cdot (18 - a) \] \[ 64 = 18a - a^2 \] \[ a^2 - 18a + 64 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai theo \[ a \] : \[ \Delta = (-18)^2 - 4(1)(64) = 324 - 256 = 68 \] \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17} \] Các nghiệm của phương trình (số thứ nhất của cấp số cộng) là: \[ a_1 = \frac{-(-18) - 2\sqrt{17}}{2(1)} = \frac{18 - 2\sqrt{17}}{2} = 9 - \sqrt{17} \] \[ a_2 = \frac{-(-18) + 2\sqrt{17}}{2(1)} = \frac{18 + 2\sqrt{17}}{2} = 9 + \sqrt{17} \]

• Trường hợp 1: \[ a = 9 - \sqrt{17} \] Số thứ hai là \[ b = 6 \] . Số thứ ba là \[ c = 12 - a = 12 - (9 - \sqrt{17}) = 12 - 9 + \sqrt{17} = 3 + \sqrt{17} \] Ba số ban đầu là \[ 9 - \sqrt{17}, 6, 3 + \sqrt{17} \] . (Kiểm tra: \[ a, b, c \] khác \[ 0 \] ) Ba số mới là \[ 9 - \sqrt{17}, 8, (3 + \sqrt{17}) + 6 = 9 + \sqrt{17} \] . Kiểm tra cấp số nhân: \[ 8^2 = 64 \] . \[ (9 - \sqrt{17})(9 + \sqrt{17}) = 9^2 - (\sqrt{17})^2 = 81 - 17 = 64 \] Thỏa mãn.

• Trường hợp 2: \[ a = 9 + \sqrt{17} \] Số thứ hai là \[ b = 6 \] . Số thứ ba là \[ c = 12 - a = 12 - (9 + \sqrt{17}) = 12 - 9 - \sqrt{17} = 3 - \sqrt{17} \] Ba số ban đầu là \[ 9 + \sqrt{17}, 6, 3 - \sqrt{17} \] . (Kiểm tra: \[ a, b, c \] khác \[ 0 \] ) Ba số mới là \[ 9 + \sqrt{17}, 8, (3 - \sqrt{17}) + 6 = 9 - \sqrt{17} \] . Kiểm tra cấp số nhân: \[ 8^2 = 64 \] . \[ (9 + \sqrt{17})(9 - \sqrt{17}) = 9^2 - (\sqrt{17})^2 = 81 - 17 = 64 \] Thỏa mãn.

Cả hai bộ ba số đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

Đáp số: Có hai bộ ba số ban đầu thỏa mãn là \[ (9 - \sqrt{17}, 6, 3 + \sqrt{17}) \] và \[ (9 + \sqrt{17}, 6, 3 - \sqrt{17}) \] .

Bài Tập 17 (Chuyên đề Dãy số):

Đề bài: Cho cấp số nhân \[ (u_n) \] có \[ u_1 = a \] và công bội \[ q = \frac{1}{2} \] . Tìm \[ a \] để tổng \[ S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n \] lớn hơn \[ 1.99 \] với \[ n \] đủ lớn.

Lời giải chi tiết:

Cấp số nhân \[ (u_n) \] có số hạng đầu \[ u_1 = a \] và công bội \[ q = \frac{1}{2} \] . Công bội \[ q = \frac{1}{2} \ne 1 \] . Tổng của \[ n \] số hạng đầu tiên là: \[ S_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Thay \[ u_1 = a \] và \[ q = \frac{1}{2} \] vào công thức: \[ S_n = a \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}} = a \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = a \cdot 2 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^n) = 2a (1 - (\frac{1}{2})^n) \] \[ S_n = 2a (1 - (\frac{1}{2})^n) \]

Ta cần tìm \[ a \] để \[ S_n > 1.99 \] với \[ n \] đủ lớn. " \[ n \] đủ lớn" ở đây có nghĩa là khi \[ n \to \infty \] .

Xét giới hạn của \[ S_n \] khi \[ n \to \infty \] : \[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} 2a (1 - (\frac{1}{2})^n) \] Vì \[ |q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1 \] , nên \[ \lim_{n \to \infty} q^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n = 0 \] \[ |q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1 \] \[ \lim_{n \to \infty} q^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n = 0 \] Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} S_n = 2a (1 - 0) = 2a \] \[ \lim_{n \to \infty} S_n = 2a \]

Điều kiện " \[ S_n > 1.99 \] với \[ n \] đủ lớn" có nghĩa là giới hạn của \[ S_n \] khi \[ n \to \infty \] phải lớn hơn hoặc bằng \[ 1.99 \] . \[ \lim_{n \to \infty} S_n \ge 1.99 \] (Sử dụng dấu \[ \ge \] vì với \[ n \] rất lớn, \[ S_n \] rất gần giới hạn).

\[ 2a \ge 1.99 \] \[ a \ge \frac{1.99}{2} \] \[ a \ge 0.995 \]

Vậy để tổng \[ S_n \] lớn hơn \[ 1.99 \] với \[ n \] đủ lớn, \[ a \] phải lớn hơn hoặc bằng \[ 0.995 \] .

Đáp số: \[ a \ge 0.995 \]

Bài Tập 18 (Chuyên đề Tổ hợp - Xác suất):

Đề bài: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm \[ 6 \] chữ số phân biệt sao cho tổng các chữ số đó là một số chẵn?

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên cần tìm là \[ \overline{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6} \] , trong đó \[ a_1, a_2, \dots, a_6 \] là các chữ số phân biệt từ tập \[ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \] và \[ a_1 \ne 0 \] . Tổng các chữ số là \[ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \] là một số chẵn.

Trong tập các chữ số từ \[ 0 \] đến \[ 9 \] có \[ 5 \] chữ số chẵn \[ {0, 2, 4, 6, 8} \] và \[ 5 \] chữ số lẻ \[ {1, 3, 5, 7, 9} \] . Tổng của \[ 6 \] chữ số là chẵn khi số lượng chữ số lẻ được chọn là số chẵn ( \[ 0 \] lẻ, \[ 2 \] lẻ, \[ 4 \] lẻ, hoặc \[ 6 \] lẻ).

Ta chọn ra \[ 6 \] chữ số phân biệt từ \[ 10 \] chữ số sao cho tổng của chúng là chẵn, sau đó sắp xếp chúng thành số có \[ 6 \] chữ số (lưu ý chữ số đầu khác \[ 0 \] ).

Các trường hợp chọn \[ 6 \] chữ số có tổng chẵn:

1. Chọn \[ 0 \] chữ số lẻ và \[ 6 \] chữ số chẵn: Không thể vì chỉ có \[ 5 \] chữ số chẵn. \[ 0 \] \[ 6 \] \[ 5 \]
2. Chọn \[ 2 \] chữ số lẻ và \[ 4 \] chữ số chẵn:
   • Số cách chọn \[ 2 \] lẻ từ \[ 5 \] lẻ là \[ C_5^2 = 10 \] . \[ 2 \] \[ 5 \] \[ C_5^2 = 10 \]
   • Số cách chọn \[ 4 \] chẵn từ \[ 5 \] chẵn là \[ C_5^4 = 5 \] . \[ 4 \] \[ 5 \] \[ C_5^4 = 5 \]
   • Số cách chọn \[ 6 \] chữ số là \[ C_5^2 \times C_5^4 = 10 \times 5 = 50 \] tập hợp. \[ 6 \] \[ C_5^2 \times C_5^4 = 50 \] Trong \[ 50 \] tập hợp này, có \[ 1 \] tập hợp không chứa chữ số \[ 0 \] (chọn \[ 4 \] chẵn từ \[ {2,4,6,8} \] là \[ C_4^4=1 \] cách, chọn \[ 2 \] lẻ từ \[ {1,3,5,7,9} \] là \[ C_5^2=10 \] cách; tổng \[ 1 \times 10 = 10 \] tập hợp không chứa \[ 0 \] ). \[ 0 \] \[ 4 \] \[ {2,4,6,8} \] \[ C_4^4=1 \] \[ 2 \] \[ {1,3,5,7,9} \] \[ C_5^2=10 \] \[ 1 \times 10 = 10 \] \[ 0 \]
   • Số tập hợp chứa chữ số \[ 0 \] là \[ 50 - 10 = 40 \] tập hợp. \[ 0 \] \[ 50 - 10 = 40 \]
3. Chọn \[ 4 \] chữ số lẻ và \[ 2 \] chữ số chẵn:
   • Số cách chọn \[ 4 \] lẻ từ \[ 5 \] lẻ là \[ C_5^4 = 5 \] . \[ 4 \] \[ 5 \] \[ C_5^4 = 5 \]
   • Số cách chọn \[ 2 \] chẵn từ \[ 5 \] chẵn là \[ C_5^2 = 10 \] . \[ 2 \] \[ 5 \] \[ C_5^2 = 10 \]
   • Số cách chọn \[ 6 \] chữ số là \[ C_5^4 \times C_5^2 = 5 \times 10 = 50 \] tập hợp. \[ 6 \] \[ C_5^4 \times C_5^2 = 50 \] Trong \[ 50 \] tập hợp này, tất cả đều chứa chữ số \[ 0 \] vì số lượng chữ số chẵn được chọn \[ 2 < 5 \] , nên chắc chắn \[ 0 \] sẽ được chọn cùng với \[ 1 \] chữ số chẵn khác. \[ 0 \] \[ 2 < 5 \] \[ 0 \] \[ 1 \]
4. Chọn \[ 6 \] chữ số lẻ và \[ 0 \] chữ số chẵn: Không thể vì chỉ có \[ 5 \] chữ số lẻ. \[ 6 \] \[ 0 \] \[ 5 \]

Tổng số tập hợp gồm \[ 6 \] chữ số phân biệt có tổng chẵn là \[ 50 + 50 = 100 \] tập hợp.

Bây giờ ta xét việc sắp xếp thành số có \[ 6 \] chữ số phân biệt, lưu ý chữ số đầu khác \[ 0 \] .

• Trường hợp 1: Tập hợp \[ 6 \] chữ số không chứa chữ số \[ 0 \] . Có \[ 10 \] tập hợp như vậy (từ TH chọn \[ 2 \] lẻ, \[ 4 \] chẵn không có \[ 0 \] ). \[ 6 \] \[ 0 \] \[ 10 \] \[ 2 \] \[ 4 \] \[ 0 \] Với mỗi tập hợp \[ 6 \] chữ số này, tất cả chữ số đều khác \[ 0 \] . Số cách sắp xếp \[ 6 \] chữ số phân biệt này thành số có \[ 6 \] chữ số là \[ 6! \] . \[ 6 \] \[ 6 \] \[ 0 \] \[ 6 \] \[ 6 \] \[ 6! = 720 \] . Số lượng số ở trường hợp này là \[ 10 \times 6! = 10 \times 720 = 7200 \] . \[ 10 \times 6! = 7200 \]

• Trường hợp 2: Tập hợp \[ 6 \] chữ số có chứa chữ số \[ 0 \] . Có \[ 40 \] tập hợp từ TH chọn \[ 2 \] lẻ, \[ 4 \] chẵn có \[ 0 \] , cộng với \[ 50 \] tập hợp từ TH chọn \[ 4 \] lẻ, \[ 2 \] chẵn có \[ 0 \] . Tổng là \[ 40 + 50 = 90 \] tập hợp. \[ 6 \] \[ 0 \] \[ 40 \] \[ 2 \] \[ 4 \] \[ 0 \] \[ 50 \] \[ 4 \] \[ 2 \] \[ 0 \] \[ 40 + 50 = 90 \] Với mỗi tập hợp \[ 6 \] chữ số này (có chứa \[ 0 \] ), tổng số cách sắp xếp \[ 6 \] chữ số phân biệt là \[ 6! \] . \[ 6 \] \[ 0 \] \[ 6 \] \[ 6! \] Số cách sắp xếp mà chữ số \[ 0 \] đứng đầu là \[ 5! \] (sắp xếp \[ 5 \] chữ số còn lại vào \[ 5 \] vị trí sau chữ số \[ 0 \] ). \[ 0 \] \[ 5! \] \[ 5 \] \[ 5 \] \[ 0 \] Số cách sắp xếp mà chữ số đầu khác \[ 0 \] là \[ 6! - 5! = 720 - 120 = 600 \] . \[ 0 \] \[ 6! - 5! = 720 - 120 = 600 \] Số lượng số ở trường hợp này là \[ 90 \times (6! - 5!) = 90 \times 600 = 54000 \] . \[ 90 \times (6! - 5!) = 54000 \]

Tổng số số tự nhiên gồm \[ 6 \] chữ số phân biệt có tổng chẵn là: \[ 7200 + 54000 = 61200 \] \[ 7200 + 54000 = 61200 \]

Đáp số: Có \[ 61200 \] số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu.

Bài Tập 19 (Chuyên đề Tổ hợp - Xác suất):

Đề bài: Từ một hộp chứa \[ 5 \] bi đỏ, \[ 4 \] bi xanh và \[ 3 \] bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời \[ 4 \] bi. Tính xác suất để \[ 4 \] bi lấy ra có đủ cả \[ 3 \] màu.

Lời giải chi tiết:

Tổng số bi trong hộp là \[ 5 + 4 + 3 = 12 \] bi. Phép thử ngẫu nhiên là lấy ngẫu nhiên đồng thời \[ 4 \] bi từ \[ 12 \] bi. Không gian mẫu \[ \Omega \] gồm các tập hợp con \[ 4 \] phần tử từ tập hợp \[ 12 \] phần tử. Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn \[ 4 \] bi từ \[ 12 \] bi mà không quan tâm thứ tự. \[ |\Omega| = C_{12}^4 \] \[ C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \] \[ |\Omega| = 495 \]

Gọi \[ A \] là biến cố \[ 4 \] bi lấy ra có đủ cả \[ 3 \] màu (đỏ, xanh, vàng). Để có đủ \[ 3 \] màu trong \[ 4 \] bi, ta phải chọn như sau:

• Chọn \[ 1 \] bi đỏ, \[ 1 \] bi xanh, và \[ 2 \] bi vàng.

  • Số cách chọn \[ 1 \] đỏ từ \[ 5 \] đỏ là \[ C_5^1 = 5 \] . \[ 1 \] \[ 5 \] \[ C_5^1 = 5 \]
  • Số cách chọn \[ 1 \] xanh từ \[ 4 \] xanh là \[ C_4^1 = 4 \] . \[ 1 \] \[ 4 \] \[ C_4^1 = 4 \]
  • Số cách chọn \[ 2 \] vàng từ \[ 3 \] vàng là \[ C_3^2 = 3 \] . \[ 2 \] \[ 3 \] \[ C_3^2 = 3 \]
  • Số cách chọn ở trường hợp này là \[ C_5^1 \times C_4^1 \times C_3^2 = 5 \times 4 \times 3 = 60 \] . \[ C_5^1 \times C_4^1 \times C_3^2 = 60 \]

• Chọn \[ 1 \] bi đỏ, \[ 2 \] bi xanh, và \[ 1 \] bi vàng.

  • Số cách chọn \[ 1 \] đỏ từ \[ 5 \] đỏ là \[ C_5^1 = 5 \] . \[ 1 \] \[ 5 \] \[ C_5^1 = 5 \]
  • Số cách chọn \[ 2 \] xanh từ \[ 4 \] xanh là \[ C_4^2 = 6 \] . \[ 2 \] \[ 4 \] \[ C_4^2 = 6 \]
  • Số cách chọn \[ 1 \] vàng từ \[ 3 \] vàng là \[ C_3^1 = 3 \] . \[ 1 \] \[ 3 \] \[ C_3^1 = 3 \]
  • Số cách chọn ở trường hợp này là \[ C_5^1 \times C_4^2 \times C_3^1 = 5 \times 6 \times 3 = 90 \] . \[ C_5^1 \times C_4^2 \times C_3^1 = 90 \]

• Chọn \[ 2 \] bi đỏ, \[ 1 \] bi xanh, và \[ 1 \] bi vàng.

  • Số cách chọn \[ 2 \] đỏ từ \[ 5 \] đỏ là \[ C_5^2 = 10 \] . \[ 2 \] \[ 5 \] \[ C_5^2 = 10 \]
  • Số cách chọn \[ 1 \] xanh từ \[ 4 \] xanh là \[ C_4^1 = 4 \] . \[ 1 \] \[ 4 \] \[ C_4^1 = 4 \]
  • Số cách chọn \[ 1 \] bi vàng từ \[ 3 \] bi vàng là \[ C_3^1 = 3 \] . \[ 1 \] \[ 3 \] \[ C_3^1 = 3 \]
  • Số cách chọn ở trường hợp này là \[ C_5^2 \times C_4^1 \times C_3^1 = 10 \times 4 \times 3 = 120 \] . \[ C_5^2 \times C_4^1 \times C_3^1 = 120 \]

Biến cố \[ A \] gồm ba trường hợp rời nhau. Theo quy tắc cộng, số phần tử của biến cố \[ A \] là: \[ |A| = 60 + 90 + 120 = 270 \] \[ |A| = 270 \]

Xác suất của biến cố \[ A \] là: \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{270}{495} \] Rút gọn phân số (chia cả tử và mẫu cho \[ 45 \] ): \[ \frac{270}{495} = \frac{270 \div 45}{495 \div 45} = \frac{6}{11} \] \[ P(A) = \frac{6}{11} \]

Đáp số: Xác suất để \[ 4 \] bi lấy ra có đủ cả \[ 3 \] màu là \[ \frac{6}{11} \] . \[ \frac{6}{11} \]

Bài Tập 20 (Chuyên đề Tổ hợp - Xác suất):

Đề bài: Có \[ 10 \] quyển sách khác nhau, trong đó có \[ 3 \] quyển sách Toán. Xếp \[ 10 \] quyển sách này lên một kệ dài. Tính xác suất để \[ 3 \] quyển sách Toán không đứng cạnh nhau.

Lời giải chi tiết:

Tổng số sách là \[ 10 \] quyển khác nhau. Phép thử ngẫu nhiên là xếp \[ 10 \] quyển sách này lên một kệ dài. Không gian mẫu \[ \Omega \] là tập hợp tất cả các hoán vị của \[ 10 \] quyển sách. \[ |\Omega| = 10! \] \[ 10! = 3,628,800 \] \[ |\Omega| = 10! \]

Gọi \[ A \] là biến cố \[ 3 \] quyển sách Toán không đứng cạnh nhau. Gọi \[ \bar{A} \] là biến cố đối của \[ A \] , tức là \[ 3 \] quyển sách Toán đứng cạnh nhau.

Để tính số phần tử của \[ \bar{A} \] , ta "buộc" \[ 3 \] quyển sách Toán lại thành một khối duy nhất. Coi khối này là một "quyển sách lớn". Bây giờ ta có \[ (10 - 3) + 1 = 8 \] đối tượng để sắp xếp ( \[ 7 \] quyển sách không phải Toán và \[ 1 \] khối sách Toán). Số cách sắp xếp \[ 8 \] đối tượng này là \[ 8! \] . \[ (10 - 3) + 1 = 8 \] \[ 7 \] \[ 1 \] \[ 8! \] Bên trong khối sách Toán, \[ 3 \] quyển sách Toán là khác nhau, nên chúng có thể hoán đổi vị trí cho nhau theo \[ 3! \] cách. \[ 3 \] \[ 3 \] \[ 3! \] Áp dụng quy tắc nhân, số cách sắp xếp \[ 10 \] quyển sách sao cho \[ 3 \] quyển Toán đứng cạnh nhau là \[ |\bar{A}| = 8! \times 3! \] \[ |\bar{A}| = 40,320 \times 6 = 241,920 \] \[ |\bar{A}| = 8! \times 3! \]

Xác suất của biến cố \[ \bar{A} \] là: \[ P(\bar{A}) = \frac{|\bar{A}|}{|\Omega|} = \frac{8! \times 3!}{10!} \] \[ P(\bar{A}) = \frac{8! \times 3!}{10 \times 9 \times 8!} = \frac{3!}{10 \times 9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \] \[ P(\bar{A}) = \frac{1}{15} \]

Xác suất của biến cố \[ A \] ( \[ 3 \] quyển sách Toán không đứng cạnh nhau) là: \[ P(A) = 1 - P(\bar{A}) \] \[ P(A) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{15 - 1}{15} = \frac{14}{15} \] \[ P(A) = \frac{14}{15} \]

Đáp số: Xác suất để \[ 3 \] quyển sách Toán không đứng cạnh nhau là \[ \frac{14}{15} \] . \[ \frac{14}{15} \]

Bài Tập 21 (Chuyên đề Tổ hợp - Xác suất):

Đề bài: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất \[ 3 \] lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong \[ 3 \] lần gieo là một số lẻ.

Lời giải chi tiết:

Phép thử ngẫu nhiên là gieo một con xúc xắc \[ 3 \] lần. Mỗi lần gieo có \[ 6 \] kết quả có thể xảy ra (số chấm từ \[ 1 \] đến \[ 6 \] ). Không gian mẫu \[ \Omega \] gồm các bộ ba \[ (a, b, c) \] , trong đó \[ a, b, c \in {1, 2, 3, 4, 5, 6} \] lần lượt là kết quả của lần gieo thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Số phần tử của không gian mẫu là: \[ |\Omega| = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216 \] \[ |\Omega| = 216 \]

Gọi \[ A \] là biến cố tổng số chấm xuất hiện trong \[ 3 \] lần gieo là một số lẻ. Tổng số chấm là \[ S = a + b + c \] . \[ S \] là số lẻ khi và chỉ khi số lượng các số lẻ trong bộ \[ (a, b, c) \] là một số lẻ ( \[ 1 \] số lẻ hoặc \[ 3 \] số lẻ).

Trong tập \[ {1, 2, 3, 4, 5, 6} \] có \[ 3 \] số lẻ \[ {1, 3, 5} \] và \[ 3 \] số chẵn \[ {2, 4, 6} \] .

Xét các trường hợp để tổng \[ a + b + c \] là số lẻ:

• Trường hợp 1: Có đúng \[ 1 \] số lẻ và \[ 2 \] số chẵn trong bộ \[ (a, b, c) \] .

  • Có \[ 3 \] vị trí cho số lẻ xuất hiện (lần 1, 2, hoặc 3). \[ 3 \]
  • Số cách chọn giá trị cho vị trí lẻ đó là \[ 3 \] (từ \[ {1, 3, 5} \] ). \[ 3 \] \[ {1, 3, 5} \]
  • Số cách chọn giá trị cho \[ 2 \] vị trí chẵn còn lại, mỗi vị trí có \[ 3 \] lựa chọn (từ \[ {2, 4, 6} \] ). \[ 2 \] \[ 3 \] \[ {2, 4, 6} \]
  • Số cách xảy ra ở trường hợp này là \[ 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27 \] ? Sai, phải xét vị trí cụ thể. \[ 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27 \]
  • Số cách chọn vị trí số lẻ: \[ C_3^1 = 3 \] . \[ C_3^1 = 3 \]
  • Số cách chọn giá trị cho vị trí lẻ đó: \[ 3 \] (L, ví dụ 1, 3, hoặc 5). \[ 3 \]
  • Số cách chọn giá trị cho \[ 2 \] vị trí chẵn còn lại: \[ 3 \times 3 = 3^2 = 9 \] (C, ví dụ 2 hoặc 4 hoặc 6 cho mỗi vị trí). \[ 2 \] \[ 3 \times 3 = 3^2 = 9 \]
  • Số cách xảy ra ở trường hợp "Lẻ, Chẵn, Chẵn" (LCC) là \[ 3 \times 3 \times 3 = 27 \] . \[ 3 \times 3 \times 3 = 27 \]
  • Số cách xảy ra ở trường hợp "Chẵn, Lẻ, Chẵn" (CLC) là \[ 3 \times 3 \times 3 = 27 \] . \[ 3 \times 3 \times 3 = 27 \]
  • Số cách xảy ra ở trường hợp "Chẵn, Chẵn, Lẻ" (CCL) là \[ 3 \times 3 \times 3 = 27 \] . \[ 3 \times 3 \times 3 = 27 \]
  • Tổng số cách cho Trường hợp 1 là \[ 27 + 27 + 27 = 3 \times 27 = 81 \] . \[ 27 + 27 + 27 = 3 \times 27 = 81 \]
  • Hoặc đơn giản hơn: Chọn vị trí số lẻ ( \[ C_3^1 = 3 \] cách). Chọn giá trị cho vị trí lẻ đó ( \[ 3 \] cách). Chọn giá trị cho 2 vị trí chẵn ( \[ 3 \times 3 = 9 \] cách). Tổng \[ 3 \times 3 \times 9 = 81 \] . \[ C_3^1 = 3 \] \[ 3 \] \[ 2 \] \[ 3 \times 3 = 9 \] \[ 3 \times 3 \times 9 = 81 \]

• Trường hợp 2: Có đúng \[ 3 \] số lẻ và \[ 0 \] số chẵn trong bộ \[ (a, b, c) \] .

  • Cả ba lần gieo đều ra số lẻ. Mỗi lần gieo có \[ 3 \] lựa chọn (từ \[ {1, 3, 5} \] ). \[ 3 \] \[ 3 \] \[ {1, 3, 5} \]
  • Số cách xảy ra ở trường hợp này là \[ 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27 \] . \[ 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27 \]

Biến cố \[ A \] gồm hai trường hợp rời nhau. Theo quy tắc cộng, số phần tử của biến cố \[ A \] là: \[ |A| = 81 + 27 = 108 \] \[ |A| = 108 \]

Xác suất của biến cố \[ A \] là: \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{108}{216} \] Rút gọn phân số: \[ \frac{108}{216} = \frac{1}{2} \] \[ P(A) = \frac{1}{2} \]

Đáp số: Xác suất để tổng số chấm là số lẻ là \[ \frac{1}{2} \] . \[ \frac{1}{2} \]

Bài Tập 22 (Chuyên đề Tổ hợp - Xác suất):

Đề bài: Có hai hộp bi. Hộp I chứa \[ 3 \] bi đỏ và \[ 2 \] bi xanh. Hộp II chứa \[ 2 \] bi đỏ và \[ 4 \] bi xanh. Lấy ngẫu nhiên \[ 1 \] bi từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên \[ 1 \] bi từ hộp II. Tính xác suất để bi lấy ra lần cuối là bi đỏ.

Lời giải chi tiết:

Tổng số bi Hộp I: \[ 3 \] đỏ + \[ 2 \] xanh = \[ 5 \] bi. \[ 3 \] \[ 2 \] \[ 5 \] Tổng số bi Hộp II ban đầu: \[ 2 \] đỏ + \[ 4 \] xanh = \[ 6 \] bi. \[ 2 \] \[ 4 \] \[ 6 \]

Bài toán gồm hai giai đoạn: Giai đoạn 1: Lấy \[ 1 \] bi từ Hộp I bỏ vào Hộp II. Giai đoạn 2: Lấy \[ 1 \] bi từ Hộp II (sau khi đã thêm bi từ Hộp I).

Gọi \[ D_1 \] là biến cố lấy được bi đỏ từ Hộp I. \[ X_1 \] là biến cố lấy được bi xanh từ Hộp I. \[ D_1 \] \[ X_1 \] Xác suất lấy được bi đỏ từ Hộp I: \[ P(D_1) = \frac{\text{Số bi đỏ Hộp I}}{\text{Tổng bi Hộp I}} = \frac{3}{5} \] \[ P(D_1) = \frac{3}{5} \] Xác suất lấy được bi xanh từ Hộp I: \[ P(X_1) = \frac{\text{Số bi xanh Hộp I}}{\text{Tổng bi Hộp I}} = \frac{2}{5} \] \[ P(X_1) = \frac{2}{5} \]

Hộp II sau khi thêm bi từ Hộp I sẽ có sự thay đổi về số lượng bi.

• Nếu bi lấy từ Hộp I là bi đỏ (biến cố \[ D_1 \] xảy ra), thì Hộp II có: \[ 2 + 1 = 3 \] bi đỏ và \[ 4 \] bi xanh. Tổng số bi là \[ 3 + 4 = 7 \] . \[ 2 + 1 = 3 \] \[ 4 \] \[ 3 + 4 = 7 \]
• Nếu bi lấy từ Hộp I là bi xanh (biến cố \[ X_1 \] xảy ra), thì Hộp II có: \[ 2 \] bi đỏ và \[ 4 + 1 = 5 \] bi xanh. Tổng số bi là \[ 2 + 5 = 7 \] . \[ 2 \] \[ 4 + 1 = 5 \] \[ 2 + 5 = 7 \]

Gọi \[ D_2 \] là biến cố lấy được bi đỏ từ Hộp II ở giai đoạn 2. \[ D_2 \] Biến cố \[ D_2 \] có thể xảy ra trong hai trường hợp:

1. Bi lấy từ Hộp I là đỏ ( \[ D_1 \] ) VÀ bi lấy từ Hộp II là đỏ ( \[ D_2 \] ). Xác suất là \[ P(D_1 \cap D_2) \] . \[ D_1 \] \[ D_2 \] \[ P(D_1 \cap D_2) \] Xác suất lấy được bi đỏ từ Hộp II nếu bi từ Hộp I là đỏ là \[ P(D_2 | D_1) = \frac{\text{Số bi đỏ Hộp II sau khi thêm đỏ}}{\text{Tổng bi Hộp II sau khi thêm đỏ}} = \frac{3}{7} \] \[ P(D_2 | D_1) = \frac{3}{7} \] \[ P(D_1 \cap D_2) = P(D_1) \cdot P(D_2 | D_1) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{35} \] \[ P(D_1 \cap D_2) = P(D_1) \cdot P(D_2 | D_1) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{35} \]
2. Bi lấy từ Hộp I là xanh ( \[ X_1 \] ) VÀ bi lấy từ Hộp II là đỏ ( \[ D_2 \] ). Xác suất là \[ P(X_1 \cap D_2) \] . \[ X_1 \] \[ D_2 \] \[ P(X_1 \cap D_2) \] Xác suất lấy được bi đỏ từ Hộp II nếu bi từ Hộp I là xanh là \[ P(D_2 | X_1) = \frac{\text{Số bi đỏ Hộp II sau khi thêm xanh}}{\text{Tổng bi Hộp II sau khi thêm xanh}} = \frac{2}{7} \] \[ P(D_2 | X_1) = \frac{2}{7} \] \[ P(X_1 \cap D_2) = P(X_1) \cdot P(D_2 | X_1) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{35} \] \[ P(X_1 \cap D_2) = P(X_1) \cdot P(D_2 | X_1) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{35} \]

Biến cố \[ D_2 \] là hợp của hai biến cố rời nhau (lấy đỏ từ Hộp I rồi lấy đỏ từ Hộp II, hoặc lấy xanh từ Hộp I rồi lấy đỏ từ Hộp II). Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: \[ P(D_2) = P(D_1 \cap D_2) + P(X_1 \cap D_2) \] \[ P(D_2) = \frac{9}{35} + \frac{4}{35} = \frac{13}{35} \] \[ P(D_2) = \frac{13}{35} \]

Đáp số: Xác suất để bi lấy ra lần cuối là bi đỏ là \[ \frac{13}{35} \] . \[ \frac{13}{35} \]

Bài Tập 23 (Chuyên đề Tổ hợp - Xác suất):

Đề bài: Một lớp học có \[ 25 \] học sinh nam và \[ 15 \] học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một nhóm \[ 5 \] học sinh. Tính xác suất để nhóm được chọn có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ.

Lời giải chi tiết:

Tổng số học sinh trong lớp là \[ 25 \] nam + \[ 15 \] nữ = \[ 40 \] học sinh. \[ 25 \] \[ 15 \] \[ 40 \] Phép thử ngẫu nhiên là chọn ngẫu nhiên một nhóm \[ 5 \] học sinh từ \[ 40 \] học sinh. Không gian mẫu \[ \Omega \] gồm các tập hợp con \[ 5 \] phần tử từ tập hợp \[ 40 \] phần tử. Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn \[ 5 \] học sinh từ \[ 40 \] học sinh mà không quan tâm thứ tự. \[ |\Omega| = C_{40}^5 \] \[ C_{40}^5 = \frac{40!}{5!35!} = \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37 \times 36}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 658,008 \] \[ |\Omega| = 658,008 \]

Gọi \[ A \] là biến cố nhóm được chọn có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ. Nhóm có tổng cộng \[ 5 \] học sinh. Gọi số học sinh nam là \[ n \] và số học sinh nữ là \[ p \] . \[ n + p = 5 \] Điều kiện số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là \[ n > p \] . Ta xét các trường hợp thỏa mãn \[ n + p = 5 \] , \[ n > p \] , \[ n \le 25 \] , \[ p \le 15 \] , \[ n, p \] là số nguyên không âm.

Các cặp \[ (n, p) \] thỏa mãn \[ n + p = 5 \] và \[ n > p \] là:

• \[ n = 3, p = 2 \] ( \[ 3 > 2 \] , \[ 3 \le 25 \] , \[ 2 \le 15 \] )
• \[ n = 4, p = 1 \] ( \[ 4 > 1 \] , \[ 4 \le 25 \] , \[ 1 \le 15 \] )
• \[ n = 5, p = 0 \] ( \[ 5 > 0 \] , \[ 5 \le 25 \] , \[ 0 \le 15 \] )

Biến cố \[ A \] là hợp của ba trường hợp rời nhau:

• Trường hợp 1: Chọn được \[ 3 \] nam và \[ 2 \] nữ.

  • Số cách chọn \[ 3 \] nam từ \[ 25 \] nam là \[ C_{25}^3 \] . \[ C_{25}^3 = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = 2300 \]
  • Số cách chọn \[ 2 \] nữ từ \[ 15 \] nữ là \[ C_{15}^2 \] . \[ C_{15}^2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \]
  • Số cách chọn ở trường hợp này là \[ C_{25}^3 \times C_{15}^2 = 2300 \times 105 = 241,500 \] . \[ C_{25}^3 \times C_{15}^2 = 241,500 \]

• Trường hợp 2: Chọn được \[ 4 \] nam và \[ 1 \] nữ.

  • Số cách chọn \[ 4 \] nam từ \[ 25 \] nam là \[ C_{25}^4 \] . \[ C_{25}^4 = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 12,650 \]
  • Số cách chọn \[ 1 \] nữ từ \[ 15 \] nữ là \[ C_{15}^1 = 15 \] . \[ C_{15}^1 = 15 \]
  • Số cách chọn ở trường hợp này là \[ C_{25}^4 \times C_{15}^1 = 12,650 \times 15 = 189,750 \] . \[ C_{25}^4 \times C_{15}^1 = 189,750 \]

• Trường hợp 3: Chọn được \[ 5 \] nam và \[ 0 \] nữ.

  • Số cách chọn \[ 5 \] nam từ \[ 25 \] nam là \[ C_{25}^5 \] . \[ C_{25}^5 = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 53,130 \]
  • Số cách chọn \[ 0 \] nữ từ \[ 15 \] nữ là \[ C_{15}^0 = 1 \] . \[ C_{15}^0 = 1 \]
  • Số cách chọn ở trường hợp này là \[ C_{25}^5 \times C_{15}^0 = 53,130 \times 1 = 53,130 \] . \[ C_{25}^5 \times C_{15}^0 = 53,130 \]

Số phần tử của biến cố \[ A \] là tổng số cách của ba trường hợp: \[ |A| = 241,500 + 189,750 + 53,130 = 484,380 \] \[ |A| = 484,380 \]

Xác suất của biến cố \[ A \] là: \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{484,380}{658,008} \] Rút gọn phân số (chia cả tử và mẫu cho \[ 12 \] ): \[ \frac{484,380}{658,008} = \frac{40,365}{54,834} \] (Chia tiếp cho \[ 3 \] ): \[ \frac{40,365}{54,834} = \frac{13,455}{18,278} \] (Phân số này có vẻ là tối giản hoặc gần tối giản).

Đáp số: Xác suất để nhóm được chọn có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là \[ \frac{484,380}{658,008} \] (hoặc dạng rút gọn \[ \frac{13,455}{18,278} \] ). \[ \frac{484,380}{658,008} \] \[ \frac{13,455}{18,278} \]

Bài Tập 24 (Chuyên đề Phương trình lượng giác):

Đề bài: Giải phương trình \[ 2\sin^2 x + \sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0 \] .

Lời giải chi tiết:

Đây là phương trình lượng giác đẳng cấp bậc \[ 2 \] đối với \[ \sin x \] và \[ \cos x \] .

Xét trường hợp \[ \cos x = 0 \] . Khi đó \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] . \[ \cos x = 0 \implies \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - 0 = 1 \] \[ \cos x = 0 \] \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ k \in \mathbb{Z} \] \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - 0 = 1 \] Thay \[ \cos x = 0 \] và \[ \sin^2 x = 1 \] vào phương trình ban đầu: \[ 2(1) + \sin x (0) - 3(0) = 0 \] \[ 2 = 0 \] Điều này vô lý. Vậy \[ \cos x = 0 \] không phải là nghiệm của phương trình. \[ \cos x = 0 \]

Vì \[ \cos x \ne 0 \] , ta chia cả hai vế của phương trình cho \[ \cos^2 x \] . \[ \cos x \ne 0 \] \[ \cos^2 x \] \[ \frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{0}{\cos^2 x} \] \[ 2\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 + \frac{\sin x}{\cos x} - 3 = 0 \] \[ 2\tan^2 x + \tan x - 3 = 0 \]

Đặt \[ t = \tan x \] . Phương trình trở thành: \[ 2t^2 + t - 3 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai theo \[ t \] . Tính delta: \[ \Delta = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \] \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5 \] Các nghiệm của phương trình là: \[ t_1 = \frac{-1 - 5}{2(2)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \] \[ t_2 = \frac{-1 + 5}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1 \]

• Trường hợp 1: \[ \tan x = -\frac{3}{2} \] \[ x = \arctan(-\frac{3}{2}) + k\pi \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] . \[ x = \arctan(-\frac{3}{2}) + k\pi \] \[ k \in \mathbb{Z} \]

• Trường hợp 2: \[ \tan x = 1 \] \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] . \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] \[ k \in \mathbb{Z} \]

Đáp số: Phương trình có nghiệm là \[ x = \arctan(-\frac{3}{2}) + k\pi \] và \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] .

Bài Tập 25 (Chuyên đề Phương trình lượng giác):

Đề bài: Giải phương trình \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin 5x \] .

Lời giải chi tiết:

Biến đổi vế trái của phương trình. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc đưa về dạng \[ R\sin(x+\alpha) \] . Ta có \[ \sin x + \cos x = \sin x + \sin(\frac{\pi}{2} - x) \] (sử dụng công thức \[ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) \] ). \[ \sin x + \cos x = \sqrt{1^2 + 1^2} \sin(x + \alpha) \] với \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \] . Ta chọn \[ \alpha = \frac{\pi}{4} \] . \[ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \alpha = \frac{\pi}{4} \] Vậy, \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \] \[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \]

Phương trình ban đầu trở thành: \[ \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin 5x \] Chia cả hai vế cho \[ \sqrt{2} \] (vì \[ \sqrt{2} \ne 0 \] ): \[ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin 5x \]

Đây là phương trình lượng giác cơ bản dạng \[ \sin A = \sin B \] . Phương trình này tương đương với: \[ A = B + k2\pi \] hoặc \[ A = \pi - B + k2\pi \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] .

• Trường hợp 1: \[ x + \frac{\pi}{4} = 5x + k2\pi \] \[ \frac{\pi}{4} - k2\pi = 5x - x \] \[ \frac{\pi}{4} - k2\pi = 4x \] \[ x = \frac{1}{4} (\frac{\pi}{4} - k2\pi) = \frac{\pi}{16} - \frac{k2\pi}{4} = \frac{\pi}{16} - k\frac{\pi}{2} \] \[ x = \frac{\pi}{16} - k\frac{\pi}{2} \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] .

• Trường hợp 2: \[ x + \frac{\pi}{4} = \pi - 5x + k2\pi \] \[ x + 5x = \pi - \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ 6x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ x = \frac{1}{6} (\frac{3\pi}{4} + k2\pi) = \frac{3\pi}{24} + \frac{k2\pi}{6} = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{3} \] \[ x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{3} \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] .

Đáp số: Phương trình có nghiệm là \[ x = \frac{\pi}{16} - k\frac{\pi}{2} \] và \[ x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{3} \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] .

Bài Tập 26 (Chuyên đề Phương trình lượng giác):

Đề bài: Giải phương trình \[ 3\sin 3x - \sqrt{3}\cos 9x = 1 + 4\sin^3 3x \] .

Lời giải chi tiết:

Nhận thấy trong phương trình có các góc \[ 3x \] và \[ 9x \] ( \[ 9x = 3 \times 3x \] ). Cũng nhận thấy có hạng tử \[ 4\sin^3 3x \] . Nhớ lại công thức nhân ba đối với sin: \[ \sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha \] Từ đó suy ra \[ 4\sin^3 \alpha = 3\sin \alpha - \sin 3\alpha \] Áp dụng với \[ \alpha = 3x \] : \[ 4\sin^3 3x = 3\sin 3x - \sin(3 \times 3x) = 3\sin 3x - \sin 9x \] \[ 4\sin^3 3x = 3\sin 3x - \sin 9x \]

Thay biểu thức này vào phương trình ban đầu: \[ 3\sin 3x - \sqrt{3}\cos 9x = 1 + (3\sin 3x - \sin 9x) \] \[ 3\sin 3x - \sqrt{3}\cos 9x = 1 + 3\sin 3x - \sin 9x \] Chuyển các hạng tử chứa \[ 9x \] sang một vế, hằng số sang vế còn lại: \[ -\sqrt{3}\cos 9x + \sin 9x = 1 \] \[ \sin 9x - \sqrt{3}\cos 9x = 1 \]

Đây là phương trình lượng giác dạng \[ a \sin X + b \cos X = c \] với \[ X = 9x \] , \[ a = 1 \] , \[ b = -\sqrt{3} \] , \[ c = 1 \] . \[ a \sin X + b \cos X = c \] \[ X = 9x \] \[ a = 1 \] \[ b = -\sqrt{3} \] \[ c = 1 \] Tính \[ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] \[ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] Chia cả hai vế của phương trình cho \[ 2 \] : \[ \frac{1}{2} \sin 9x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 9x = \frac{1}{2} \] Ta có thể đưa về dạng \[ \sin(X - \alpha) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \] hoặc \[ \cos(X + \beta) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \] . Chọn \[ \cos \alpha = \frac{1}{2} \] và \[ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \] . Ta chọn \[ \alpha = \frac{\pi}{3} \] . \[ \cos \alpha = \frac{1}{2} \] \[ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \alpha = \frac{\pi}{3} \] Phương trình trở thành: \[ \cos \frac{\pi}{3} \sin 9x - \sin \frac{\pi}{3} \cos 9x = \frac{1}{2} \] \[ \sin 9x \cos \frac{\pi}{3} - \cos 9x \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \] Sử dụng công thức \[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \] với \[ A = 9x \] và \[ B = \frac{\pi}{3} \] . \[ \sin(9x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \]

Đây là phương trình lượng giác cơ bản dạng \[ \sin X = m \] . \[ \sin X = m \] Phương trình \[ \sin(9x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \] tương đương với: \[ 9x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \] hoặc \[ 9x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] .

• Trường hợp 1: \[ 9x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ 9x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ 9x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + k2\pi \] \[ 9x = \frac{3\pi}{6} + k2\pi \] \[ 9x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \] \[ x = \frac{1}{9} (\frac{\pi}{2} + k2\pi) = \frac{\pi}{18} + \frac{k2\pi}{9} \] \[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{k2\pi}{9} \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] .

• Trường hợp 2: \[ 9x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ 9x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \] \[ 9x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ 9x = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + k2\pi \] \[ 9x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{1}{9} (\frac{7\pi}{6} + k2\pi) = \frac{7\pi}{54} + \frac{k2\pi}{9} \] \[ x = \frac{7\pi}{54} + \frac{k2\pi}{9} \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] .

Đáp số: Phương trình có nghiệm là \[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{k2\pi}{9} \] và \[ x = \frac{7\pi}{54} + \frac{k2\pi}{9} \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] .

Bài Tập 27 (Chuyên đề Phương trình lượng giác):

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[ y = \sin^2 x + \cos x + 1 \] .

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho là \[ y = \sin^2 x + \cos x + 1 \] . Sử dụng công thức \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \] để đưa hàm số về biến \[ \cos x \] . \[ y = (1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 \] \[ y = -\cos^2 x + \cos x + 2 \]

Đặt \[ t = \cos x \] . Vì \[ -1 \le \cos x \le 1 \] nên \[ -1 \le t \le 1 \] . \[ t = \cos x \] \[ -1 \le \cos x \le 1 \] \[ -1 \le t \le 1 \] Hàm số trở thành hàm bậc hai theo biến \[ t \] trên đoạn \[ \[-1; 1\] \] : \[ g(t) = -t^2 + t + 2 \] \[ g(t) = -t^2 + t + 2 \] \[ \[-1; 1\] \]

Đây là hàm số bậc hai \[ at^2 + bt + c \] với \[ a = -1 \] , \[ b = 1 \] , \[ c = 2 \] . \[ at^2 + bt + c \] \[ a = -1 \] \[ b = 1 \] \[ c = 2 \] Vì \[ a = -1 < 0 \] , parabol có bề lõm hướng xuống dưới, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh. \[ a = -1 < 0 \] Hoành độ đỉnh của parabol là \[ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} \] \[ t = \frac{1}{2} \] Điểm đỉnh \[ t = \frac{1}{2} \] nằm trong đoạn \[ \[-1; 1\] \] (vì \[ -1 \le \frac{1}{2} \le 1 \] ). \[ t = \frac{1}{2} \] \[ \[-1; 1\] \] \[ -1 \le \frac{1}{2} \le 1 \]

Giá trị của hàm tại đỉnh là: \[ g(\frac{1}{2}) = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{-1 + 2 + 8}{4} = \frac{9}{4} \] \[ g(\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} \]

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \[ \[-1; 1\] \] là giá trị tại đỉnh (vì đỉnh nằm trong đoạn). \[ \max_{\[-1; 1\]} g(t) = g(\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} \] \[ \max_{\[-1; 1\]} g(t) = g(\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} \] Giá trị lớn nhất của hàm số \[ y \] là \[ \frac{9}{4} \] .

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta xét giá trị của hàm tại hai đầu mút của đoạn \[ \[-1; 1\] \] . \[ \[-1; 1\] \]

• Tại \[ t = -1 \] : \[ g(-1) = -(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0 \] \[ g(-1) = 0 \]
• Tại \[ t = 1 \] : \[ g(1) = -(1)^2 + (1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2 \] \[ g(1) = 2 \]

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[ \[-1; 1\] \] là giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị tại đỉnh (nếu nằm trong đoạn) và tại hai đầu mút. \[ \min_{\[-1; 1\]} g(t) = \min { g(\frac{1}{2}), g(-1), g(1) } = \min { \frac{9}{4}, 0, 2 } \] \[ \min_{\[-1; 1\]} g(t) = \min { 2.25, 0, 2 } = 0 \] \[ \min_{\[-1; 1\]} g(t) = 0 \] Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[ y \] là \[ 0 \] .

Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số là \[ \frac{9}{4} \] , giá trị nhỏ nhất của hàm số là \[ 0 \] .

Bài Tập 28 (Chuyên đề Phương trình lượng giác):

Đề bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số \[ m \] để phương trình \[ (m+1)\sin x + (m-1)\cos x = 2m \] có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Đây là phương trình lượng giác dạng \[ a \sin x + b \cos x = c \] với \[ a = m+1 \] , \[ b = m-1 \] , \[ c = 2m \] . \[ a \sin x + b \cos x = c \] \[ a = m+1 \] \[ b = m-1 \] \[ c = 2m \] Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi \[ a^2 + b^2 \ge c^2 \] . \[ a^2 + b^2 \ge c^2 \]

Thay các biểu thức của \[ a, b, c \] theo \[ m \] vào điều kiện: \[ (m+1)^2 + (m-1)^2 \ge (2m)^2 \] \[ (m^2 + 2m + 1) + (m^2 - 2m + 1) \ge 4m^2 \] \[ m^2 + 2m + 1 + m^2 - 2m + 1 \ge 4m^2 \] \[ 2m^2 + 2 \ge 4m^2 \] Chuyển các hạng tử sang một vế: \[ 0 \ge 4m^2 - 2m^2 - 2 \] \[ 0 \ge 2m^2 - 2 \] \[ 2m^2 - 2 \le 0 \] \[ 2(m^2 - 1) \le 0 \] \[ m^2 - 1 \le 0 \] \[ (m - 1)(m + 1) \le 0 \]

Xét dấu của tam thức bậc hai \[ f(m) = m^2 - 1 \] . Nghiệm của \[ m^2 - 1 = 0 \] là \[ m = 1 \] và \[ m = -1 \] . \[ f(m) = m^2 - 1 \] \[ m^2 - 1 = 0 \] \[ m = 1 \] \[ m = -1 \] Parabol \[ y = m^2 - 1 \] có bề lõm hướng lên trên. \[ y = m^2 - 1 \] Bất phương trình \[ m^2 - 1 \le 0 \] được thỏa mãn khi \[ m \] nằm giữa hai nghiệm (bao gồm cả hai nghiệm). \[ m^2 - 1 \le 0 \] Vậy điều kiện của \[ m \] là \[ -1 \le m \le 1 \] . \[ -1 \le m \le 1 \]

Đáp số: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \[ -1 \le m \le 1 \] .

Bài Tập 29 (Chuyên đề Phương trình lượng giác):

Đề bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số \[ m \] để phương trình \[ \cos 2x - (2m+1)\cos x + m + 1 = 0 \] có đúng \[ 2 \] nghiệm trên khoảng \[ \[0; \pi\] \] .

Lời giải chi tiết:

Phương trình đã cho: \[ \cos 2x - (2m+1)\cos x + m + 1 = 0 \] Sử dụng công thức nhân đôi \[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \] để đưa phương trình về biến \[ \cos x \] . \[ 2\cos^2 x - 1 - (2m+1)\cos x + m + 1 = 0 \] \[ 2\cos^2 x - (2m+1)\cos x + m = 0 \]

Đặt \[ t = \cos x \] . Với \[ x \in \[0; \pi\] \] , giá trị của \[ t = \cos x \] biến thiên từ \[ \cos 0 = 1 \] đến \[ \cos \pi = -1 \] . \[ t = \cos x \] \[ x \in \[0; \pi\] \] \[ t = \cos x \] \[ \cos 0 = 1 \] \[ \cos \pi = -1 \] Do đó, khi \[ x \in \[0; \pi\] \] , \[ t \in \[-1; 1\] \] . \[ x \in \[0; \pi\] \] \[ t \in \[-1; 1\] \]

Mối quan hệ giữa số nghiệm \[ x \in \[0; \pi\] \] và số nghiệm \[ t \in \[-1; 1\] \] của phương trình \[ t = \cos x \] :

• Với mỗi \[ t \in (-1; 1) \] , có đúng \[ 1 \] giá trị \[ x \in (0; \pi) \] thỏa mãn \[ \cos x = t \] (vì hàm \[ \cos x \] nghịch biến \[ 1-1 \] trên \[ \[0; \pi\] \] ). \[ t \in (-1; 1) \] \[ 1 \] \[ x \in (0; \pi) \] \[ \cos x = t \] \[ \cos x \] \[ 1-1 \] \[ \[0; \pi\] \]
• Tại \[ t = 1 \] , có đúng \[ 1 \] giá trị \[ x = 0 \in \[0; \pi\] \] thỏa mãn \[ \cos x = 1 \] . \[ t = 1 \] \[ 1 \] \[ x = 0 \in \[0; \pi\] \] \[ \cos x = 1 \]
• Tại \[ t = -1 \] , có đúng \[ 1 \] giá trị \[ x = \pi \in \[0; \pi\] \] thỏa mãn \[ \cos x = -1 \] . \[ t = -1 \] \[ 1 \] \[ x = \pi \in \[0; \pi\] \] \[ \cos x = -1 \]

Phương trình ban đầu trở thành phương trình bậc hai theo \[ t \] : \[ 2t^2 - (2m+1)t + m = 0 \] (Phương trình *)

Ta cần tìm \[ m \] để phương trình \[ (*) \] có các nghiệm \[ t \in \[-1; 1\] \] sao cho phương trình ban đầu có đúng \[ 2 \] nghiệm \[ x \in \[0; \pi\] \] .

Xét phương trình \[ 2t^2 - (2m+1)t + m = 0 \] . Tính delta: \[ \Delta = (-(2m+1))^2 - 4(2)(m) = (2m+1)^2 - 8m \] \[ \Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 8m = 4m^2 - 4m + 1 = (2m - 1)^2 \] \[ \Delta = (2m - 1)^2 \] \[ \sqrt{\Delta} = |2m - 1| \]

Các nghiệm của phương trình \[ (*) \] là: \[ t_1 = \frac{-(-(2m+1)) - |2m - 1|}{2(2)} = \frac{2m+1 - |2m - 1|}{4} \] \[ t_2 = \frac{-(-(2m+1)) + |2m - 1|}{2(2)} = \frac{2m+1 + |2m - 1|}{4} \]

Xét hai trường hợp cho \[ |2m - 1| \] :

• Trường hợp 1: \[ 2m - 1 \ge 0 \iff m \ge \frac{1}{2} \] Khi đó \[ |2m - 1| = 2m - 1 \] . \[ t_1 = \frac{2m+1 - (2m - 1)}{4} = \frac{2m+1 - 2m + 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ t_2 = \frac{2m+1 + (2m - 1)}{4} = \frac{4m}{4} = m \] Trong trường hợp này ( \[ m \ge \frac{1}{2} \] ), phương trình \[ (*) \] có hai nghiệm là \[ t_1 = \frac{1}{2} \] và \[ t_2 = m \] .

• Trường hợp 2: \[ 2m - 1 < 0 \iff m < \frac{1}{2} \] Khi đó \[ |2m - 1| = -(2m - 1) = 1 - 2m \] . \[ t_1 = \frac{2m+1 - (1 - 2m)}{4} = \frac{2m+1 - 1 + 2m}{4} = \frac{4m}{4} = m \] \[ t_2 = \frac{2m+1 + (1 - 2m)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Trong trường hợp này ( \[ m < \frac{1}{2} \] ), phương trình \[ (*) \] có hai nghiệm là \[ t_1 = m \] và \[ t_2 = \frac{1}{2} \] .

Như vậy, phương trình \[ 2t^2 - (2m+1)t + m = 0 \] luôn có hai nghiệm là \[ t = m \] và \[ t = \frac{1}{2} \] với mọi \[ m \] .

Ta cần phương trình ban đầu có đúng \[ 2 \] nghiệm \[ x \in \[0; \pi\] \] . Điều này xảy ra khi các nghiệm \[ t = m \] và \[ t = \frac{1}{2} \] của phương trình \[ (*) \] thỏa mãn các điều kiện sau:

• Trường hợp 1: Hai nghiệm \[ t \] khác nhau và cả hai đều thuộc khoảng \[ (-1; 1) \] . \[ t_1 = m \] , \[ t_2 = \frac{1}{2} \] . Điều kiện khác nhau: \[ m \ne \frac{1}{2} \] . Điều kiện thuộc khoảng \[ (-1; 1) \] : \[ -1 < m < 1 \] và \[ -1 < \frac{1}{2} < 1 \] (điều kiện thứ hai luôn đúng). \[ -1 < m < 1 \] Kết hợp \[ m \ne \frac{1}{2} \] và \[ -1 < m < 1 \] , ta có \[ m \in (-1; 1) \setminus {\frac{1}{2}} \] . Với mỗi nghiệm \[ t \] thuộc \[ (-1; 1) \] sẽ cho \[ 1 \] nghiệm \[ x \] thuộc \[ (0; \pi) \] . Hai nghiệm \[ t \] khác nhau sẽ cho hai nghiệm \[ x \] khác nhau. Vậy trường hợp này cho đúng \[ 2 \] nghiệm \[ x \in (0; \pi) \subset \[0; \pi\] \] . \[ t \] \[ (-1; 1) \] \[ 1 \] \[ x \] \[ (0; \pi) \subset \[0; \pi\] \] \[ 2 \] \[ t \] \[ 2 \] \[ x \in (0; \pi) \subset \[0; \pi\] \] Kết hợp điều kiện: \[ m \in (-1; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 1) \]

• Trường hợp 2: Hai nghiệm \[ t \] trùng nhau và giá trị trùng nhau thuộc khoảng \[ (-1; 1) \] . \[ t_1 = t_2 \iff m = \frac{1}{2} \] Giá trị trùng nhau là \[ t = \frac{1}{2} \] . Điều kiện thuộc khoảng \[ (-1; 1) \] : \[ -1 < \frac{1}{2} < 1 \] (đúng). Khi \[ m = \frac{1}{2} \] , phương trình \[ () \] có nghiệm kép \[ t = \frac{1}{2} \] . Giá trị \[ t = \frac{1}{2} \] thuộc \[ (-1; 1) \] cho đúng \[ 1 \] nghiệm \[ x \in (0; \pi) \] thỏa mãn \[ \cos x = \frac{1}{2} \] . \[ m = \frac{1}{2} \] \[ () \] \[ t = \frac{1}{2} \] \[ t = \frac{1}{2} \] \[ (-1; 1) \] \[ 1 \] \[ x \in (0; \pi) \] \[ \cos x = \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{\pi}{3} \] . Trường hợp này chỉ cho \[ 1 \] nghiệm \[ x \] . Vậy loại trường hợp này.

• Trường hợp 3: Một nghiệm \[ t \] thuộc khoảng \[ (-1; 1) \] và nghiệm còn lại bằng \[ 1 \] hoặc \[ -1 \] .

  • \[ t_1 = m \in (-1; 1) \] và \[ t_2 = \frac{1}{2} \] bằng \[ 1 \] hoặc \[ -1 \] . \[ t_1 = m \in (-1; 1) \] \[ t_2 = \frac{1}{2} \] \[ 1 \] \[ -1 \] Điều này không xảy ra vì \[ \frac{1}{2} \ne 1 \] và \[ \frac{1}{2} \ne -1 \] . \[ \frac{1}{2} \ne 1 \] \[ \frac{1}{2} \ne -1 \]
  • \[ t_1 = \frac{1}{2} \in (-1; 1) \] và \[ t_2 = m \] bằng \[ 1 \] hoặc \[ -1 \] . \[ t_1 = \frac{1}{2} \in (-1; 1) \] \[ t_2 = m \] \[ 1 \] \[ -1 \]
    • Nếu \[ m = 1 \] : Nghiệm là \[ t = 1 \] và \[ t = \frac{1}{2} \] . \[ m = 1 \] \[ t = 1 \] \[ t = \frac{1}{2} \] \[ t = 1 \] cho \[ \cos x = 1 \implies x = 0 \in \[0; \pi\] \] ( \[ 1 \] nghiệm). \[ t = 1 \] \[ \cos x = 1 \implies x = 0 \in \[0; \pi\] \] \[ 1 \] \[ t = \frac{1}{2} \] cho \[ \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} \in \[0; \pi\] \] ( \[ 1 \] nghiệm). \[ t = \frac{1}{2} \] \[ \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} \in \[0; \pi\] \] \[ 1 \] Tổng cộng có \[ 1 + 1 = 2 \] nghiệm \[ x \in \[0; \pi\] \] . Vậy \[ m = 1 \] thỏa mãn. \[ 1 + 1 = 2 \] \[ x \in \[0; \pi\] \] \[ m = 1 \]
    • Nếu \[ m = -1 \] : Nghiệm là \[ t = -1 \] và \[ t = \frac{1}{2} \] . \[ m = -1 \] \[ t = -1 \] \[ t = \frac{1}{2} \] \[ t = -1 \] cho \[ \cos x = -1 \implies x = \pi \in \[0; \pi\] \] ( \[ 1 \] nghiệm). \[ t = -1 \] \[ \cos x = -1 \implies x = \pi \in \[0; \pi\] \] \[ 1 \] \[ t = \frac{1}{2} \] cho \[ \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} \in \[0; \pi\] \] ( \[ 1 \] nghiệm). \[ t = \frac{1}{2} \] \[ \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} \in \[0; \pi\] \] \[ 1 \] Tổng cộng có \[ 1 + 1 = 2 \] nghiệm \[ x \in \[0; \pi\] \] . Vậy \[ m = -1 \] thỏa mãn. \[ 1 + 1 = 2 \] \[ x \in \[0; \pi\] \] \[ m = -1 \]

Kết luận: Phương trình có đúng \[ 2 \] nghiệm trên khoảng \[ \[0; \pi\] \] khi và chỉ khi:

• Hai nghiệm \[ t \] khác nhau và thuộc \[ (-1; 1) \] (cho \[ m \in (-1; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 1) \] ). \[ 2 \] \[ t \] \[ (-1; 1) \] \[ m \in (-1; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 1) \]
• Một nghiệm \[ t \] bằng \[ 1 \] hoặc \[ -1 \] , và nghiệm còn lại thuộc \[ (-1; 1) \] (cho \[ m = 1 \] hoặc \[ m = -1 \] ). \[ 1 \] \[ t \] \[ 1 \] \[ -1 \] \[ (-1; 1) \] \[ m = 1 \] \[ m = -1 \] Kết hợp các trường hợp, \[ m \] thuộc \[ \[-1; 1\] \] nhưng loại giá trị làm nghiệm trùng nhau \[ m = 1/2 \] (trường hợp này chỉ có \[ 1 \] nghiệm \[ x \] ).

Vậy các giá trị của \[ m \] là \[ \[-1; 1\] \setminus {\frac{1}{2}} \] .

Đáp số: \[ m \in \[-1; 1\] \setminus {\frac{1}{2}} \]

Bài Tập 30 (Chuyên đề Phương trình lượng giác):

Đề bài: Giải bất phương trình \[ \sin x + \cos x > 1 \] trên khoảng \[ \[0; 2\pi\] \] .

Lời giải chi tiết:

Bất phương trình đã cho: \[ \sin x + \cos x > 1 \] Biến đổi vế trái về dạng \[ R\sin(x+\alpha) \] hoặc \[ R\cos(x+\alpha) \] . \[ \sin x + \cos x = \sqrt{1^2 + 1^2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \] \[ \sin x + \cos x = \sqrt{1^2 + 1^2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \] Bất phương trình trở thành: \[ \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) > 1 \] \[ \sin(x + \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \sin(x + \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Đặt \[ X = x + \frac{\pi}{4} \] . \[ X = x + \frac{\pi}{4} \] Nếu \[ x \in \[0; 2\pi\] \] , thì \[ x + \frac{\pi}{4} \in \[\frac{\pi}{4}; 2\pi + \frac{\pi}{4}\] \] hay \[ X \in \[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\] \] . \[ x \in \[0; 2\pi\] \] \[ x + \frac{\pi}{4} \in \[\frac{\pi}{4}; 2\pi + \frac{\pi}{4}\] \] \[ X \in \[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\] \] Bất phương trình theo \[ X \] là: \[ \sin X > \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin X > \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Trên đường tròn lượng giác, \[ \sin X = \frac{\sqrt{2}}{2} \] tương ứng với các góc \[ \frac{\pi}{4} \] và \[ \frac{3\pi}{4} \] . \[ \sin X = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \frac{\pi}{4} \] \[ \frac{3\pi}{4} \] Bất phương trình \[ \sin X > \frac{\sqrt{2}}{2} \] được thỏa mãn khi giá trị của \[ X \] nằm trong khoảng \[ (\frac{\pi}{4} + k2\pi; \frac{3\pi}{4} + k2\pi) \] với \[ k \in \mathbb{Z} \] . \[ \sin X > \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ X \] \[ (\frac{\pi}{4} + k2\pi; \frac{3\pi}{4} + k2\pi) \] \[ k \in \mathbb{Z} \]

Ta cần tìm các giá trị \[ X \] thuộc khoảng \[ \[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\] \] thỏa mãn bất phương trình. \[ X \] \[ \[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\] \]

• Với \[ k = 0 \] : \[ X \in (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) \] . Khoảng này nằm trong \[ \[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\] \] . \[ k = 0 \] \[ X \in (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) \] \[ \[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\] \] Lưu ý tại \[ X = \frac{\pi}{4} \] , \[ \sin X = \frac{\sqrt{2}}{2} \] không thỏa mãn dấu \[ > \] . Do đó khoảng là mở \[ (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) \] . \[ X = \frac{\pi}{4} \] \[ \sin X = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ > \] \[ (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) \]

• Với \[ k = 1 \] : \[ X \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi; \frac{3\pi}{4} + 2\pi) = (\frac{9\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}) \] . Khoảng này không giao với khoảng \[ \[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\] \] ngoại trừ điểm mút \[ \frac{9\pi}{4} \] . Tại \[ X = \frac{9\pi}{4} \] , \[ \sin(\frac{9\pi}{4}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] , không thỏa mãn dấu \[ > \] . \[ k = 1 \] \[ X \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi; \frac{3\pi}{4} + 2\pi) = (\frac{9\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}) \] \[ \[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\] \] \[ \frac{9\pi}{4} \] \[ X = \frac{9\pi}{4} \] \[ \sin(\frac{9\pi}{4}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ > \]

• Với \[ k = -1 \] : \[ X \in (\frac{\pi}{4} - 2\pi; \frac{3\pi}{4} - 2\pi) = (-\frac{7\pi}{4}; -\frac{5\pi}{4}) \] . Khoảng này không giao với \[ \[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\] \] . \[ k = -1 \] \[ X \in (\frac{\pi}{4} - 2\pi; \frac{3\pi}{4} - 2\pi) = (-\frac{7\pi}{4}; -\frac{5\pi}{4}) \] \[ \[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}\] \]

Vậy, các giá trị của \[ X \] thỏa mãn trong khoảng xét là \[ X \in (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) \] . \[ X \] \[ X \in (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) \]

Bây giờ thay \[ X = x + \frac{\pi}{4} \] trở lại để tìm \[ x \] . \[ x + \frac{\pi}{4} \in (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) \] \[ \frac{\pi}{4} < x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} \] Trừ \[ \frac{\pi}{4} \] cho cả ba vế: \[ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \] \[ 0 < x < \frac{2\pi}{4} \] \[ 0 < x < \frac{\pi}{2} \] \[ 0 < x < \frac{\pi}{2} \] Khoảng \[ (0; \frac{\pi}{2}) \] nằm trong khoảng đề yêu cầu \[ \[0; 2\pi\] \] .

Đáp số: Bất phương trình có tập nghiệm là \[ (0; \frac{\pi}{2}) \] trên khoảng \[ \[0; 2\pi\] \] . \[ (0; \frac{\pi}{2}) \] \[ \[0; 2\pi\] \]

Các dạng bài Vận dụng cao Đại số 11 khác sẽ có trong tuyển tập này:

• Giới hạn: Giới hạn hàm số tại điểm/vô cực chứa tham số, áp dụng giới hạn vào tính liên tục có tham số phức tạp hơn, giới hạn của hàm số liên quan đến các định nghĩa (ví dụ: tính \[ f'(0) \] bằng định nghĩa giới hạn). \[ f'(0) \]
• Đạo hàm: Bài toán tiếp tuyến liên quan đến khoảng cách, diện tích, điều kiện về góc, tìm điểm trên đồ thị thỏa mãn tính chất đạo hàm; ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu (nếu chương trình nâng cao); bài toán thực tế liên quan đến tốc độ thay đổi.
• Dãy số: Tìm số hạng, công sai/công bội khi biết tổng hoặc mối quan hệ phức tạp giữa các số hạng; chứng minh một dãy số thỏa mãn tính chất cấp số cộng/nhân dựa trên một điều kiện cho trước; bài toán lãi suất kép, tăng trưởng liên quan đến cấp số nhân.
• Tổ hợp - Xác suất: Bài toán đếm nâng cao sử dụng nguyên lý bù trừ, đếm với các ràng buộc phức tạp (ví dụ: xếp người có điều kiện đặc biệt, chọn vật có phân loại kỹ lưỡng); bài toán xác suất có điều kiện, công thức Bernoulli (nếu chương trình nâng cao có đề cập); xác suất liên quan đến hình học (diện tích, thể tích - nếu có kết hợp).
• Phương trình lượng giác: Giải các phương trình phức tạp cần biến đổi lượng giác sâu sắc, đặt ẩn phụ, sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai; bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức lượng giác; phương trình lượng giác chứa tham số.

Cách Sử Dụng Hiệu Quả Tuyển Tập Bài Tập Này

Để khai thác tối đa giá trị của \[ 30 \] câu hỏi vận dụng cao này, hãy áp dụng phương pháp luyện tập chủ động:

1. Thử Sức Trước Khi Xem Lời Giải: Hãy đọc kỹ đề bài và cố gắng tự giải bài toán trong một khoảng thời gian hợp lý (ví dụ: \[ 15-20 \] phút cho mỗi bài). Đừng vội nhìn vào lời giải ngay khi gặp khó khăn.
2. Phân Tích Lời Giải Chi Tiết: Sau khi đã có đáp án hoặc không thể giải tiếp, hãy xem lời giải chi tiết. Đọc từng bước, suy ngẫm lý do của mỗi biến đổi hoặc phương pháp được áp dụng. So sánh với cách làm của bạn (nếu có).
3. Ghi Chú Lại: Ghi lại những công thức mới được sử dụng, các kỹ thuật giải hay, hoặc những lỗi sai tư duy mà bạn mắc phải vào sổ tay ôn tập.
4. Luyện Tập Lại: Sau một vài ngày hoặc một tuần, hãy thử giải lại những bài tập mà bạn đã làm sai hoặc phải xem lời giải.
5. Phân Loại Theo Dạng: Tự phân loại các bài tập theo dạng (ví dụ: "Giới hạn có căn bậc ba và căn bậc hai", "Tiếp tuyến song song đường thẳng", "Xác suất đúng \[ 2 \] màu") để dễ dàng ôn tập lại theo chuyên đề.

Lời Khuyên Khi Chinh Phục Bài Toán Vận Dụng Cao

• Đừng Nản Lòng: Bài toán vận dụng cao rất khó, việc không giải được ngay là bình thường. Hãy kiên trì và coi đó là cơ hội học hỏi.
• Nắm Vững Nền Tảng: Các bài toán khó được xây dựng dựa trên kiến thức cơ bản. Quay lại ôn tập lý thuyết và các dạng bài cơ bản nếu cần.
• Học Từ Sai Lầm: Phân tích kỹ lỗi sai của mình là cách học hiệu quả nhất.
• Đa Dạng Hóa Phương Pháp: Một bài toán có thể có nhiều cách giải. Tham khảo lời giải chi tiết giúp bạn mở rộng tư duy.
• Ôn Tập Đều Đặn: Không phải chỉ luyện bài khó sát kỳ thi. Hãy phân bổ thời gian luyện các dạng bài vận dụng cao song song với việc ôn tập kiến thức cơ bản.

Kết Luận

Luyện tập các câu hỏi vận dụng cao Đại số \[ 11 \] là bước đi cần thiết để bạn củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng giải toán và sẵn sàng chinh phục điểm số mục tiêu. Tuyển tập \[ 30 \] câu hỏi này cùng với lời giải chi tiết được thiết kế để trở thành nguồn tài liệu quý giá cho quá trình ôn luyện của bạn.

Hãy sử dụng tuyển tập này một cách hiệu quả, kiên trì vượt qua những thử thách của từng bài toán. Chúc bạn ôn tập thành công và tự tin đạt kết quả cao nhất trong các kỳ thi sắp tới!