Ôn Tập Chuyên Đề Elip – Hypebol Mở Rộng Lớp 11 | Kiến Thức Trọng Tâm & Bài Tập Hay

Ôn Tập Chuyên Đề Elip & Hypebol (Mở Rộng) Toán 11: Tổng Hợp Công Thức, Tính Chất Và Bài Tập Nâng Cao

Trong chương trình Hình học Giải tích lớp 11 , Elip và Hypebol là hai dạng đường conic quan trọng, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra cuối kỳ và là nền tảng cho các kiến thức toán cao hơn. Đặc biệt, với các lớp hoặc chương trình học "mở rộng", chuyên đề này còn được đào sâu với nhiều dạng bài tập và tính chất nâng cao hơn so với chương trình chuẩn.

Việc nắm vững lý thuyết cơ bản, các công thức, tính chất và rèn luyện giải đa dạng các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao là chìa khóa để chinh phục chuyên đề Elip và Hypebol. Bài viết này cung cấp một hướng dẫn ôn tập toàn diện, bao gồm cả các khái niệm "mở rộng" thường gặp, giúp bạn hệ thống hóa kiến thức và tự tin hơn.

>> Xem thêm: Giải bài tập Toán 11.

Ôn Tập Chuyên Đề Elip – Hypebol Mở Rộng Lớp 11 | Kiến Thức Trọng Tâm & Bài Tập Hay

Vị Trí Của Elip & Hypebol Trong Chương Trình Toán 11 (Mở Rộng)

Elip và Hypebol, cùng với Parabol, là các đường conic - những đường cong nhận được khi cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng. Chúng thuộc phần Hình học Giải tích, sử dụng hệ trục tọa độ để mô tả và giải quyết các bài toán hình học bằng công cụ đại số và giải tích.

Trong chương trình Toán 11 chuẩn, bạn học định nghĩa, phương trình chính tắc, các yếu tố cơ bản (trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, đỉnh). Ở chương trình "mở rộng" hoặc nâng cao, các bạn có thể được học thêm về phương trình tiếp tuyến, vị trí tương đối của đường thẳng với conic, các tính chất hình học nâng cao liên quan đến tiêu điểm, đường chuẩn, hoặc các dạng phương trình không chính tắc (ví dụ: tâm không trùng gốc tọa độ).

Ôn tập kỹ chuyên đề này rất quan trọng bởi vì nó rèn luyện khả năng làm việc với phương trình đường cong bậc hai, kỹ năng biến đổi đại số và giải tích trong bối cảnh hình học - những kỹ năng cần thiết cho các chương sau và cho cả Toán 12 .

Elip: Lý Thuyết Cơ Bản và Mở Rộng

Elip (Ellipse) là quỹ tích các điểm \[ M \] trong mặt phẳng sao cho tổng các khoảng cách từ \[ M \] đến hai điểm cố định \[ F_1, F_2 \] (gọi là tiêu điểm) là một hằng số dương \[ 2a \] lớn hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm \[ F_1F_2 \] (gọi là tiêu cự, bằng \[ 2c \] ). \[ M \] \[ F_1, F_2 \] \[ MF_1 + MF_2 = 2a \] \[ F_1F_2 \] \[ 2c \] Điều kiện: \[ 2a > 2c \implies a > c \] . \[ 2a > 2c \implies a > c \]

2.1 Định nghĩa và Phương trình Chính tắc

Chọn hệ trục tọa độ sao cho hai tiêu điểm \[ F_1 \] và \[ F_2 \] nằm trên trục \[ Ox \] đối xứng qua gốc tọa độ \[ O \] . Tọa độ \[ F_1(-c, 0) \] và \[ F_2(c, 0) \] . Khi đó, phương trình chính tắc của Elip là: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Trong đó \[ b^2 = a^2 - c^2 \] và ta giả sử \[ a > b > 0 \] . \[ b^2 = a^2 - c^2 \] \[ a > b > 0 \] Các thông số cơ bản:

Trục lớn: nằm trên \[ Ox \] , độ dài \[ 2a \] . Hai đỉnh trên trục lớn là \[ A_1(-a, 0) \] , \[ A_2(a, 0) \] . \[ Ox \] \[ 2a \] \[ A_1(-a, 0) \] \[ A_2(a, 0) \]
Trục bé: nằm trên \[ Oy \] , độ dài \[ 2b \] . Hai đỉnh trên trục bé là \[ B_1(0, -b) \] , \[ B_2(0, b) \] . \[ Oy \] \[ 2b \] \[ B_1(0, -b) \] \[ B_2(0, b) \]
Tiêu cự: \[ 2c \] . Hai tiêu điểm \[ F_1(-c, 0) \] , \[ F_2(c, 0) \] . \[ 2c \] \[ F_1(-c, 0) \] \[ F_2(c, 0) \]
Tâm sai: \[ e = \frac{c}{a} \] ( \[ 0 < e < 1 \] ). \[ e = \frac{c}{a} \] \[ 0 < e < 1 \]

2.2 Tính chất Hình học Quan trọng

Tính chất tiêu điểm (định nghĩa): Tổng khoảng cách từ mọi điểm trên Elip đến hai tiêu điểm là không đổi và bằng \[ 2a \] . \[ MF_1 + MF_2 = 2a \] . \[ 2a \]
Nếu Elip có tiêu điểm trên trục \[ Oy \] (phương trình \[ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \] với \[ a > b > 0 \] ), thì tiêu điểm là \[ (0, \pm c) \] và \[ a^2 = b^2 + c^2 \] . \[ Oy \] \[ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \] \[ a > b > 0 \] \[ (0, \pm c) \] \[ a^2 = b^2 + c^2 \]

2.3 Phương trình Tiếp tuyến (Cơ bản và Mở rộng)

Tiếp tuyến tại điểm \[ M_0(x_0, y_0) \] thuộc Elip: Nếu điểm \[ M_0(x_0, y_0) \] nằm trên Elip \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] , thì phương trình tiếp tuyến của Elip tại \[ M_0 \] là: \[ \frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] \[ M_0 \] \[ \frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = 1 \]
Mở rộng: Điều kiện để đường thẳng \[ \Delta: Ax + By + C = 0 \] tiếp xúc với Elip: Đường thẳng \[ \Delta \] tiếp xúc với Elip \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] khi và chỉ khi: \[ A^2 a^2 + B^2 b^2 = C^2 \] \[ \Delta: Ax + By + C = 0 \] \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] \[ A^2 a^2 + B^2 b^2 = C^2 \]

2.4 Vị trí Tương đối của Đường thẳng và Elip

Để xét vị trí tương đối của đường thẳng \[ \Delta: Ax + By + C = 0 \] và Elip \[ (E): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] , ta thay \[ y = -\frac{Ax+C}{B} \] (nếu \[ B \ne 0 \] ) hoặc \[ x = -\frac{By+C}{A} \] (nếu \[ A \ne 0 \] ) vào phương trình Elip để được một phương trình bậc hai (thường theo \[ x \] hoặc \[ y \] ). \[ \Delta: Ax + By + C = 0 \] \[ (E): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] \[ y = -\frac{Ax+C}{B} \] \[ B \ne 0 \] \[ x = -\frac{By+C}{A} \] \[ A \ne 0 \]

Nếu phương trình bậc hai vô nghiệm ( \[ \Delta < 0 \] ): Đường thẳng không cắt Elip. \[ \Delta < 0 \]
Nếu phương trình bậc hai có nghiệm kép ( \[ \Delta = 0 \] ): Đường thẳng tiếp xúc với Elip (có \[ 1 \] điểm chung). (Điều kiện này tương đương với \[ A^2 a^2 + B^2 b^2 = C^2 \] nếu \[ A, B, C \] không đồng thời bằng \[ 0 \] ). \[ \Delta = 0 \] \[ 1 \] \[ A^2 a^2 + B^2 b^2 = C^2 \] \[ A, B, C \] \[ 0 \]
Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt ( \[ \Delta > 0 \] ): Đường thẳng cắt Elip tại \[ 2 \] điểm phân biệt. \[ \Delta > 0 \] \[ 2 \]

2.5 Các Dạng Phương trình Elip Khác (Nếu có trong "Mở rộng")

Elip có tâm tại \[ I(h, k) \] và trục song song với trục tọa độ: Phương trình có dạng \[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \] (nếu trục lớn song song với \[ Ox \] ) hoặc \[ \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \] (nếu trục lớn song song với \[ Oy \] ). \[ I(h, k) \] \[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \] \[ Ox \] \[ \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \] \[ Oy \] Các yếu tố (đỉnh, tiêu điểm) được xác định tương tự như Elip chính tắc bằng cách cộng thêm tọa độ của tâm \[ I(h, k) \] . \[ I(h, k) \]

Hypebol: Lý Thuyết Cơ Bản và Mở Rộng

Hypebol (Hyperbola) là quỹ tích các điểm \[ M \] trong mặt phẳng sao cho trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ \[ M \] đến hai điểm cố định \[ F_1, F_2 \] (tiêu điểm) là một hằng số dương \[ 2a \] nhỏ hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm \[ F_1F_2 \] (tiêu cự, bằng \[ 2c \] ). \[ M \] \[ F_1, F_2 \] \[ |MF_1 - MF_2| = 2a \] \[ F_1F_2 \] \[ 2c \] Điều kiện: \[ 2a < 2c \implies a < c \] . \[ 2a < 2c \implies a < c \]

3.1 Định nghĩa và Phương trình Chính tắc

Chọn hệ trục tọa độ sao cho hai tiêu điểm \[ F_1 \] và \[ F_2 \] nằm trên trục \[ Ox \] đối xứng qua gốc tọa độ \[ O \] . Tọa độ \[ F_1(-c, 0) \] và \[ F_2(c, 0) \] . Phương trình chính tắc của Hypebol là: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Trong đó \[ c^2 = a^2 + b^2 \] và \[ a > 0, b > 0 \] . \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ a > 0, b > 0 \] Đây là Hypebol có trục thực (chứa các đỉnh và tiêu điểm) nằm trên trục \[ Ox \] .

Nếu trục thực nằm trên trục \[ Oy \] (tiêu điểm \[ (0, \pm c) \] ), phương trình là: \[ -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] hoặc \[ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \] Trong đó \[ c^2 = a^2 + b^2 \] và \[ a > 0, b > 0 \] . \[ Oy \] \[ (0, \pm c) \] \[ -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] \[ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \] \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ a > 0, b > 0 \]

Các thông số cơ bản (với \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] ): \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Trục thực: nằm trên \[ Ox \] , độ dài \[ 2a \] . Hai đỉnh \[ A_1(-a, 0) \] , \[ A_2(a, 0) \] . \[ Ox \] \[ 2a \] \[ A_1(-a, 0) \] \[ A_2(a, 0) \]
Trục ảo: nằm trên \[ Oy \] , độ dài \[ 2b \] . Hai đỉnh ảo \[ B_1(0, -b) \] , \[ B_2(0, b) \] . \[ Oy \] \[ 2b \] \[ B_1(0, -b) \] \[ B_2(0, b) \]
Tiêu cự: \[ 2c \] . Hai tiêu điểm \[ F_1(-c, 0) \] , \[ F_2(c, 0) \] . \[ 2c \] \[ F_1(-c, 0) \] \[ F_2(c, 0) \]
Tâm sai: \[ e = \frac{c}{a} \] ( \[ e > 1 \] ). \[ e = \frac{c}{a} \] \[ e > 1 \]

3.2 Đường tiệm cận (Asymptotes)

Hypebol \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] có hai đường tiệm cận là \[ y = \pm \frac{b}{a} x \] . \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] \[ y = \pm \frac{b}{a} x \] Hypebol \[ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \] có hai đường tiệm cận là \[ y = \pm \frac{b}{a} x \] . (Tỉ số \[ b/a \] thay đổi vị trí trong phương trình nhưng tiệm cận vẫn dựa trên \[ x^2/a^2 \] và \[ y^2/b^2 \] ).

3.3 Tính chất Hình học Quan trọng

Tính chất tiêu điểm (định nghĩa): Trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ mọi điểm trên Hypebol đến hai tiêu điểm là không đổi và bằng \[ 2a \] . \[ |MF_1 - MF_2| = 2a \] . \[ 2a \]

3.4 Phương trình Tiếp tuyến (Cơ bản và Mở rộng)

Tiếp tuyến tại điểm \[ M_0(x_0, y_0) \] thuộc Hypebol \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] : Nếu điểm \[ M_0(x_0, y_0) \] nằm trên Hypebol, phương trình tiếp tuyến tại \[ M_0 \] là: \[ \frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 1 \] \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] \[ M_0 \] \[ \frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 1 \]
Tiếp tuyến tại điểm \[ M_0(x_0, y_0) \] thuộc Hypebol \[ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \] : Phương trình tiếp tuyến tại \[ M_0 \] là: \[ \frac{y y_0}{b^2} - \frac{x x_0}{a^2} = 1 \] \[ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \] \[ M_0(x_0, y_0) \] \[ \frac{y y_0}{b^2} - \frac{x x_0}{a^2} = 1 \]
Mở rộng: Điều kiện để đường thẳng \[ \Delta: Ax + By + C = 0 \] tiếp xúc với Hypebol \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] : Đường thẳng \[ \Delta \] tiếp xúc với Hypebol khi và chỉ khi: \[ A^2 a^2 - B^2 b^2 = C^2 \] \[ \Delta: Ax + By + C = 0 \] \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] \[ A^2 a^2 - B^2 b^2 = C^2 \] Lưu ý dấu trừ khác với Elip.

3.5 Vị trí Tương đối của Đường thẳng và Hypebol

Để xét vị trí tương đối, ta cũng thay phương trình đường thẳng vào phương trình Hypebol để được phương trình bậc hai theo \[ x \] hoặc \[ y \] . Tuy nhiên, với Hypebol có trường hợp đường thẳng song song với đường tiệm cận, chỉ cắt Hypebol tại \[ 1 \] điểm. \[ x \] \[ y \] \[ 1 \]

Phương trình bậc hai vô nghiệm ( \[ \Delta < 0 \] ): Đường thẳng không cắt Hypebol. \[ \Delta < 0 \]
Phương trình bậc hai có nghiệm kép ( \[ \Delta = 0 \] ): Đường thẳng tiếp xúc với Hypebol (trừ trường hợp đường thẳng là đường tiệm cận). Điều kiện này tương đương với \[ A^2 a^2 - B^2 b^2 = C^2 \] . \[ \Delta = 0 \] \[ A^2 a^2 - B^2 b^2 = C^2 \]
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt ( \[ \Delta > 0 \] ): Đường thẳng cắt Hypebol tại \[ 2 \] điểm phân biệt. \[ \Delta > 0 \] \[ 2 \]
Nếu phương trình suy biến thành bậc nhất (khi hệ số bậc hai bằng \[ 0 \] ): Đường thẳng song song với đường tiệm cận, cắt Hypebol tại \[ 1 \] điểm duy nhất (trừ khi đường thẳng đó là đường tiệm cận). \[ 0 \] \[ 1 \]

3.6 Các Dạng Phương trình Hypebol Khác (Nếu có trong "Mở rộng")

Hypebol có tâm tại \[ I(h, k) \] và trục song song với trục tọa độ: Dạng \[ \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \] hoặc \[ \frac{(y-k)^2}{b^2} - \frac{(x-h)^2}{a^2} = 1 \] . \[ I(h, k) \] \[ \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \] \[ \frac{(y-k)^2}{b^2} - \frac{(x-h)^2}{a^2} = 1 \] Các yếu tố (đỉnh, tiêu điểm, tiệm cận) được xác định tương tự bằng cách tịnh tiến từ Hypebol chính tắc theo vector \[ \vec{OI} = (h; k) \] . \[ \vec{OI} = (h; k) \]

Các Dạng Bài Tập Điển Hình (Cơ bản và Nâng cao)

Ôn tập Elip và Hypebol cần luyện tập đa dạng các dạng bài sau:

Xác định các yếu tố từ phương trình: Cho phương trình Elip hoặc Hypebol, tìm tọa độ tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tâm sai, phương trình đường tiệm cận (đối với Hypebol).
Lập phương trình từ các yếu tố cho trước: Viết phương trình chính tắc hoặc phương trình tịnh tiến của Elip/Hypebol khi biết các thông số như tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục, tâm sai, đường chuẩn (nếu có), hoặc đi qua các điểm cho trước.
Bài toán về tiếp tuyến:
- Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc conic.
- Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài conic (dạng nâng cao).
- Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cho trước tiếp xúc với conic (áp dụng điều kiện tiếp xúc \[ A^2 a^2 \pm B^2 b^2 = C^2 \] hoặc sử dụng điều kiện nghiệm kép của phương trình bậc hai). \[ A^2 a^2 \pm B^2 b^2 = C^2 \]
Bài toán về vị trí tương đối: Xét xem đường thẳng cắt, tiếp xúc hay không cắt conic; tìm tọa độ giao điểm.
Các tính chất hình học: Bài toán chứng minh một điểm nằm trên conic thỏa mãn một tính chất hình học nào đó liên quan đến tiêu điểm, đường chuẩn; bài toán tính khoảng cách, diện tích, góc liên quan đến các yếu tố của conic.
Bài toán tổng hợp: Kết hợp kiến thức về conic với các chuyên đề khác của hình học giải tích (đường thẳng, đường tròn) hoặc đại số (tìm cực trị, biện luận tham số).
Bài toán quỹ tích: Tìm quỹ tích của một điểm thỏa mãn điều kiện hình học mà kết quả là một Elip hoặc Hypebol.

Mẹo Ôn Tập Hiệu Quả Chuyên Đề Elip & Hypebol

Nắm Vững Định Nghĩa và Bản Chất: Đừng chỉ học thuộc công thức. Hiểu rõ Elip là gì (tổng khoảng cách), Hypebol là gì (hiệu khoảng cách), \[ a, b, c \] biểu thị cái gì, mối liên hệ \[ a^2 = b^2 + c^2 \] (Elip) và \[ c^2 = a^2 + b^2 \] (Hypebol) khác nhau thế nào. \[ a, b, c \] \[ a^2 = b^2 + c^2 \] \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Phân Biệt Rõ Elip và Hypebol: Luôn chú ý dấu \[ + \] ở phương trình chính tắc Elip và dấu \[ - \] ở Hypebol. Nhớ công thức liên hệ \[ a, b, c \] khác nhau giữa chúng. \[ + \] \[ - \] \[ a, b, c \]
Học Công Thức Tiếp tuyến: Công thức tiếp tuyến tại điểm thuộc conic có dạng rất giống với phương trình chính tắc, chỉ thay \[ x^2 \] bằng \[ x x_0 \] , \[ y^2 \] bằng \[ y y_0 \] . \[ x^2 \] \[ x x_0 \] \[ y^2 \] \[ y y_0 \]
Luyện Tập Vẽ Hình: Vẽ phác Elip và Hypebol giúp bạn hình dung các yếu tố và mối quan hệ.
Sử dụng Công cụ Hỗ trợ: Các phần mềm như GeoGebra có thể giúp vẽ đồ thị Elip và Hypebol từ phương trình, kiểm tra lại bài làm hoặc hình dung các tính chất.
Làm Đa Dạng Bài Tập: Bắt đầu từ bài cơ bản (xác định yếu tố từ phương trình), chuyển sang bài lập phương trình, sau đó là các dạng nâng cao (tiếp tuyến, vị trí tương đối, bài toán có tham số, bài toán hình học kết hợp).

Tài Liệu Tham Khảo (Gợi ý)

Sách giáo khoa và sách bài tập Hình học \[ 11 \] (chương trình chuẩn và nâng cao/mở rộng). \[ 11 \]
Các sách ôn luyện chuyên đề Hình học Giải tích \[ 11 \] hoặc luyện thi THPT Quốc gia có phần về các đường conic. \[ 11 \]
Các website giáo dục online uy tín cung cấp lý thuyết và bài tập về Elip và Hypebol.

Kết Luận

Chuyên đề Elip và Hypebol trong chương trình học Toán 11 (đặc biệt là phần mở rộng) là một chuyên đề quan trọng, đòi hỏi sự nắm vững cả lý thuyết và kỹ năng giải bài tập. Bằng cách ôn tập lại định nghĩa, phương trình, các yếu tố cơ bản và nâng cao, các tính chất và phương pháp giải các dạng bài tập điển hình, bạn sẽ xây dựng được nền tảng vững chắc để tự tin giải quyết các bài toán về Elip và Hypebol trong các kỳ kiểm tra và thi sắp tới.

Hãy bắt đầu ôn tập ngay hôm nay, tập trung vào việc hiểu bản chất, phân biệt rõ hai loại conic và luyện tập thật nhiều dạng bài tập để làm chủ hoàn toàn chuyên đề này!