Chinh Phục Hình Chóp Tứ Diện Lớp 11: Từ A-Z Cách Ghi Nhớ Công Thức Thể Tích Siêu Đẳng

PHẦN 5: ĐI TẮT ĐÓN ĐẦU – CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH CHO CÁC TỨ DIỆN "VIP" \(CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT\)

Việc nhận diện và áp dụng công thức tính nhanh cho các trường hợp tứ diện đặc biệt sẽ giúp bạn tiết kiệm đáng kể thời gian làm bài, đặc biệt trong các bài thi trắc nghiệm. Tuy nhiên, điều quan trọng là bạn phải hiểu rõ bản chất và cách chứng minh các công thức này, tránh áp dụng một cách máy móc.

1. 5.1. Tứ Diện Vuông \(Còn gọi là Tứ Diện Có Góc Tam Diện Vuông\) – Sự Đơn Giản Của Góc Cạnh
   • 5.1.1. Định nghĩa và Dấu hiệu nhận biết:
     • Một tứ diện được gọi là tứ diện vuông nếu có một đỉnh mà ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó đôi một vuông góc với nhau.
     • Ví dụ: Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc tại O. Nghĩa là: \[OA \perp OB\] \[OB \perp OC\] \[OC \perp OA\]
     • Hình dung thực tế: Hãy tưởng tượng góc của một căn phòng \(hoặc một hộp chữ nhật\). Đỉnh O chính là góc phòng, còn OA, OB, OC là ba cạnh tường và sàn nhà gặp nhau tại góc đó.
   • 5.1.2. Công thức tính nhanh thể tích "kinh điển": Nếu tứ diện OABC vuông tại O, với độ dài các cạnh \(OA = a\), \(OB = b\), \(OC = c\), thì thể tích của nó được tính bằng: \[V_{\text{OABC}} = \frac{1}{6}abc\]
   • 5.1.3. Chứng minh chi tiết công thức \(Tại sao lại là \(\frac{1}{6}abc\)?\):
     • Cách 1: Chọn mặt đáy phù hợp.
       • Coi đỉnh của tứ diện là O, và mặt đáy là tam giác ABC. Cách này tính toán sẽ phức tạp hơn vì phải tìm diện tích tam giác ABC và chiều cao từ O xuống \(ABC\).
     • Cách 2: Chọn đỉnh và đáy một cách khôn ngoan để tận dụng tính chất vuông góc.
       • Hãy chọn một trong ba đỉnh A, B, hoặc C làm đỉnh của hình chóp. Giả sử ta chọn đỉnh A, vậy mặt đáy sẽ là tam giác OBC.
       • Vì \(OA \perp OB\) và \(OA \perp OC\) \(theo định nghĩa tứ diện vuông tại O\), mà OB và OC là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \(OBC\), suy ra: \[OA \perp \(OBC\)\]
       • Điều này có nghĩa là OA chính là đường cao của hình chóp A.OBC, tức là \(h = OA = a\).
       • Bây giờ, chúng ta cần tính diện tích mặt đáy \(S_{\triangle OBC}\). Vì \(OB \perp OC\) \(tam giác OBC vuông tại O\), diện tích của nó là: \[S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2} OB \cdot OC = \frac{1}{2}bc\]
       • Áp dụng công thức thể tích hình chóp tổng quát \(V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h\): \[V_{A.OBC} = V_{\text{OABC}} = \frac{1}{3} S_{\triangle OBC} \cdot OA = \frac{1}{3} \left\(\frac{1}{2}bc\right\) \cdot a = \frac{1}{6}abc\]
       • Đây chính là điều phải chứng minh!
   • 5.1.4. Mẹo ghi nhớ công thức tứ diện vuông:
     • "Vuông tại O, ba cạnh a, b, c \(\Rightarrow\) V bằng một phần sáu a nhân b nhân c".
     • Liên hệ với thể tích khối hộp chữ nhật: Nếu có một khối hộp chữ nhật với các cạnh \(a, b, c\) xuất phát từ một đỉnh, thể tích của nó là \(abc\). Tứ diện vuông cắt ra từ góc đó có thể tích bằng \(\frac{1}{6}\) thể tích khối hộp. \(Khối hộp này được tạo bởi 3 vector OA, OB, OC\).
   • 5.1.5. Ví dụ vận dụng:
     • Ví dụ 5.1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết OA = 3 cm, OB = 4 cm, OC = 5 cm. Tính thể tích tứ diện OABC.
       • Giải: Áp dụng trực tiếp công thức thể tích tứ diện vuông: \[V = \frac{1}{6} \cdot OA \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = \frac{60}{6} = 10 , \(cm^3\)\]
2. 5.2. Tứ Diện Gần Vuông \(Một Cạnh Bên Vuông Góc Với Mặt Đáy, Và Đáy Là Tam Giác Vuông\)
   • 5.2.1. Dấu hiệu nhận biết:
     • Tứ diện S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy \(ABC\) \(tức là \(SA \perp \(ABC\)\)\).
     • Và, tam giác đáy ABC là một tam giác vuông \(ví dụ, vuông tại B\).
   • 5.2.2. Xây dựng công thức tính thể tích:
     • Chiều cao của hình chóp: \(h = SA\).
     • Diện tích mặt đáy \(tam giác ABC vuông tại B\): \(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BA \cdot BC\).
     • Áp dụng công thức thể tích tổng quát: \[V_{S.ABC} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \left\(\frac{1}{2} BA \cdot BC\right\) \cdot SA = \frac{1}{6} SA \cdot BA \cdot BC\]
     • Nhận xét: Công thức này có dạng tương tự như công thức của tứ diện vuông, với SA, BA, BC là ba cạnh xuất phát từ đỉnh B và "gần như" đôi một vuông góc \(BA \(\perp\) BC, BA \(\perp\) SA, nhưng SA không nhất thiết vuông góc BC\).
   • 5.2.3. Ví dụ vận dụng:
     • Ví dụ 5.2: Cho tứ diện S.ABC có \(SA \perp \(ABC\)\). Tam giác ABC vuông tại B. Biết SA = 6, AB = 3, BC = 4. Tính thể tích tứ diện S.ABC.
       • Giải: Chiều cao \(h = SA = 6\). Diện tích đáy \(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\) \(đvdt\). Thể tích \(V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 = 12\) \(đvtt\). Hoặc áp dụng công thức nhanh vừa xây dựng: \(V = \frac{1}{6} SA \cdot BA \cdot BC = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 3 \cdot 4 = 12\) \(đvtt\).
3. 5.3. Tứ Diện Đều Cạnh \(a\) – Biểu Tượng Của Sự Hoàn Hảo và Đối Xứng
   • 5.3.1. Nhắc lại định nghĩa và các tính chất quan trọng:
     • Tứ diện đều là tứ diện có tất cả 6 cạnh bằng nhau \(và do đó, cả 4 mặt đều là các tam giác đều bằng nhau\).
     • Chiều cao của tứ diện đều cạnh \(a\) \(đã chứng minh ở Phần 4, Kịch bản 4\): \(h = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}\).
     • Diện tích một mặt \(tam giác đều cạnh \(a\)\): \(S_{\text{mặt}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
   • 5.3.2. Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh \(a\): \[V_{\text{tứ diện đều}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\]
   • 5.3.3. Chứng minh lại công thức \(để khắc sâu kiến thức\):
     • Chọn một mặt bất kỳ làm đáy, ví dụ \(ABC\). Diện tích đáy là \(S_{\text{đáy}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
     • Chiều cao tương ứng với đáy này là \(h = \frac{a\sqrt{6}}{3}\).
     • Áp dụng công thức thể tích tổng quát: \[V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \left\(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right\) \cdot \left\(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right\)\] \[= \frac{a^2\sqrt{3} \cdot a\sqrt{6}}{3 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\]
   • 5.3.4. Mẹo ghi nhớ công thức tứ diện đều:
     • "Đều cạnh a, thể tích là a mũ ba căn hai, tất cả chia cho mười hai."
     • Nhớ các yếu tố cấu thành: \(a^3\) \(liên quan đến thể tích, bậc 3 của độ dài\), \(\sqrt{2}\) \(một hằng số đặc trưng\), và mẫu số 12.
   • 5.3.5. Ví dụ vận dụng:
     • Ví dụ 5.3: Tính thể tích của một khối tứ diện đều có cạnh bằng \(2a\).
       • Giải: Ở đây, "cạnh" của tứ diện đều là \(x = 2a\). Áp dụng công thức \(V = \frac{x^3\sqrt{2}}{12}\) với \(x = 2a\): \[V = \frac{\(2a\)^3\sqrt{2}}{12} = \frac{8a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{2a^3\sqrt{2}}{3}\]
     • Ví dụ 5.4: Một tứ diện đều có thể tích là \(\frac{\sqrt{2}}{12} cm^3\). Tính độ dài cạnh của tứ diện đó.
       • Giải: Gọi độ dài cạnh của tứ diện đều là \(x\). Ta có: \[V = \frac{x^3\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12}\] \[\Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1 , \(cm\)\] Vậy độ dài cạnh của tứ diện đều là 1 cm.
4. 5.4. Các Trường Hợp Đặc Biệt Khác \(Nâng Cao và Mở Rộng\)
   • Tứ diện gần đều \(cặp cạnh đối bằng nhau\): Ví dụ, tứ diện ABCD có \(AB=CD, AC=BD, AD=BC\). Các mặt là các tam giác bằng nhau. Việc tính thể tích có thể quy về các công thức đặc biệt hơn hoặc sử dụng phương pháp tọa độ.
   • Tứ diện có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau: Chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy. \(V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot r \cdot \tan \alpha\), với \(r\) là bán kính nội tiếp đáy, \(\alpha\) là góc giữa mặt bên và đáy.
   • Ghi nhớ chung: Đối với các trường hợp không rơi vào dạng "VIP" có công thức tính nhanh rõ ràng, chiến lược tốt nhất là quay về các nguyên tắc cơ bản:
     1. Xác định rõ mặt đáy và tính diện tích \(S_{\text{đáy}}\).
     2. Dựng và tính chiều cao \(h\) tương ứng.
     3. Áp dụng \(V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h\).
     4. Hoặc, sử dụng phương pháp vector nếu biết tọa độ các đỉnh.

PHẦN 6: PHƯƠNG PHÁP VECTOR TÍNH THỂ TÍCH – "VŨ KHÍ TỐI THƯỢNG" CHO MỌI TỨ DIỆN

Khi các phương pháp hình học thuần túy trở nên phức tạp, hoặc khi bài toán cho sẵn tọa độ các đỉnh, phương pháp vector và tọa độ tỏ ra cực kỳ mạnh mẽ và hiệu quả.

1. 6.1. Cơ Sở Lý Thuyết: Tích Hỗn Tạp Của Ba Vector
   • 6.1.1. Định nghĩa Tích Hỗn Tạp: Cho ba vector \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) trong không gian. Tích hỗn tạp của ba vector này, ký hiệu là \(\[\vec{u}, \vec{v}\] \cdot \vec{w}\) hoặc \(\(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\)\), được định nghĩa là tích vô hướng của vector tích có hướng \(\[\vec{u}, \vec{v}\]\) với vector \(\vec{w}\). \[\[\vec{u}, \vec{v}\] \cdot \vec{w}\]
   • 6.1.2. Cách tính Tích Hỗn Tạp bằng tọa độ: Nếu \(\vec{u} = \(u_1, u_2, u_3\)\), \(\vec{v} = \(v_1, v_2, v_3\)\), \(\vec{w} = \(w_1, w_2, w_3\)\).
     • Bước 1: Tính tích có hướng \(\vec{N} = \[\vec{u}, \vec{v}\] = \(u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1\) = \(N_x, N_y, N_z\)\).
     • Bước 2: Tính tích vô hướng \(\vec{N} \cdot \vec{w} = N_x w_1 + N_y w_2 + N_z w_3\).
   • 6.1.3. Biểu diễn Tích Hỗn Tạp qua Định Thức Cấp Ba: Tích hỗn tạp cũng có thể được tính bằng định thức của ma trận có các hàng \(hoặc cột\) là tọa độ của ba vector: \[\[\vec{u}, \vec{v}\] \cdot \vec{w} = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} = u_1\(v_2w_3 - v_3w_2\) - u_2\(v_1w_3 - v_3w_1\) + u_3\(v_1w_2 - v_2w_1\)\]
     • Mẹo ghi nhớ khai triển định thức \(quy tắc Sarrus cho định thức cấp 3\): \[ \begin{vmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \] \(Tổng các tích theo đường chéo chính và song song trừ tổng các tích theo đường chéo phụ và song song\).
   • 6.1.4. Ý Nghĩa Hình Học Cực Kỳ Quan Trọng của Tích Hỗn Tạp: Giá trị tuyệt đối của tích hỗn tạp \(|\[\vec{u}, \vec{v}\] \cdot \vec{w}|\) chính là thể tích của khối hộp được tạo bởi ba vector \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) khi chúng được đặt chung một điểm gốc. \[V_{\text{khối hộp}} = |\[\vec{u}, \vec{v}\] \cdot \vec{w}|\]
     • Điều kiện để ba vector đồng phẳng: Ba vector \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) đồng phẳng khi và chỉ khi tích hỗn tạp của chúng bằng 0: \(\[\vec{u}, \vec{v}\] \cdot \vec{w} = 0\). \(Vì khi đó khối hộp bị "bẹp" xuống, thể tích bằng 0\).
2. 6.2. Công Thức Thể Tích Tứ Diện Qua Tích Hỗn Tạp
   • Xét tứ diện ABCD. Chọn một đỉnh làm gốc, ví dụ đỉnh A. Tạo ra ba vector từ A đến ba đỉnh còn lại: \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\).
   • Ba vector này \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\) xác định một khối hộp. Thể tích của tứ diện ABCD bằng \(\frac{1}{6}\) thể tích của khối hộp này.
   • Do đó, công thức thể tích tứ diện ABCD là: \[V_{ABCD} = \frac{1}{6} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}|\]
   • Tại sao lại là \(\frac{1}{6}\)?
     • Thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành ABD'C \(với D' sao cho ABD'C là hình bình hành tạo bởi \(\vec{AB}, \vec{AC}\)\) và đỉnh D là \(V_{\text{chóp D.ABD'C}} = \frac{1}{3} S_{ABD'C} \cdot h'\).
     • \(S_{ABD'C} = |\[\vec{AB}, \vec{AC}\]|\).
     • Thể tích khối hộp là \(V_{\text{hộp}} = S_{ABD'C} \cdot h_{\text{hộp}} = |\[\vec{AB}, \vec{AC}\]| \cdot h_{\text{hộp}}\).
     • Chiều cao của tứ diện D.ABC \(với đáy ABC\) bằng chiều cao của khối hộp nếu đáy của khối hộp là mặt chứa ABC và song song với D.
     • \(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} S_{ABD'C}\).
     • \(V_{ABCD} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \left\(\frac{1}{2} S_{ABD'C}\right\) \cdot h = \frac{1}{6} \(S_{ABD'C} \cdot h\) = \frac{1}{6} V_{\text{hộp}}\).
     • Vậy \(V_{ABCD} = \frac{1}{6} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}|\).
3. 6.3. Các Bước "Chuẩn" Để Tính Thể Tích Tứ Diện Bằng Phương Pháp Vector
   • Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh. Đề bài thường cho sẵn tọa độ \(A\(x_A, y_A, z_A\)\), \(B\(x_B, y_B, z_B\)\), \(C\(x_C, y_C, z_C\)\), \(D\(x_D, y_D, z_D\)\).
   • Bước 2: Chọn một đỉnh làm gốc và tạo ba vector. Ví dụ, chọn A làm gốc. Tính: \[\vec{AB} = \(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A\)\] \[\vec{AC} = \(x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A\)\] \[\vec{AD} = \(x_D - x_A, y_D - y_A, z_D - z_A\)\]
     • Lưu ý: Việc chọn đỉnh nào làm gốc không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng \(miễn là lấy trị tuyệt đối\).
   • Bước 3: Tính tích có hướng của hai vector đầu tiên. Tính \(\vec{N} = \[\vec{AB}, \vec{AC}\]\).
   • Bước 4: Tính tích vô hướng của vector kết quả \(\vec{N}\) với vector thứ ba. Tính \(T = \vec{N} \cdot \vec{AD} = \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\]\) \cdot \vec{AD}\). \(Đây chính là giá trị tích hỗn tạp\).
   • Bước 5: Áp dụng công thức thể tích. \[V_{ABCD} = \frac{1}{6} |T| = \frac{1}{6} |\(\[\vec{AB}, \vec{AC}\]\) \cdot \vec{AD}|\]
     • Cực kỳ quan trọng: Nhớ lấy giá trị tuyệt đối của tích hỗn tạp trước khi nhân với \(\frac{1}{6}\), vì thể tích không thể âm.
4. 6.4. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
   • Ví dụ 6.1: \(Lặp lại Bài tập 3 ở Phần 7 của yêu cầu trước, nhưng sẽ giải chi tiết hơn các bước tính toán vector\) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\(1, 0, 0\)\), \(B\(0, 1, 0\)\), \(C\(0, 0, 1\)\), và \(D\(2, 2, 2\)\). Tính thể tích tứ diện ABCD.
     • Giải: Bước 1: Tọa độ các đỉnh đã cho. Bước 2: Chọn A làm gốc. Tính các vector: \(\vec{AB} = \(0-1, 1-0, 0-0\) = \(-1, 1, 0\)\) \(\vec{AC} = \(0-1, 0-0, 1-0\) = \(-1, 0, 1\)\) \(\vec{AD} = \(2-1, 2-0, 2-0\) = \(1, 2, 2\)\) Bước 3: Tính tích có hướng \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\]\): \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\] = <0>left\( \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc} 0 & -1 \ 1 & -1 \end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc} -1 & 1 \ -1 & 0 \end{array} \right| \right\)\) Component x: \(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1\) Component y: \(0 \cdot \(-1\) - \(-1\) \cdot 1 = 0 - \(-1\) = 1\) Component z: \(\(-1\) \cdot 0 - 1 \cdot \(-1\) = 0 - \(-1\) = 1\) Vậy, \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\] = \(1, 1, 1\)\). Bước 4: Tính tích vô hướng \(\(\[\vec{AB}, \vec{AC}\]\) \cdot \vec{AD}\): \(T = \(1, 1, 1\) \cdot \(1, 2, 2\) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 1 + 2 + 2 = 5\). Bước 5: Áp dụng công thức thể tích: \[V_{ABCD} = \frac{1}{6} |T| = \frac{1}{6} |5| = \frac{5}{6}\] Vậy thể tích khối tứ diện ABCD là \(\frac{5}{6}\) \(đơn vị thể tích\).
   • Ví dụ 6.2: Cho tứ diện ABCD với \(A\(0,1,2\), B\(3,1,5\), C\(2,0,2\), D\(4,3,1\)\).
     • Giải: Chọn A làm gốc: \(\vec{AB} = \(3-0, 1-1, 5-2\) = \(3,0,3\)\) \(\vec{AC} = \(2-0, 0-1, 2-2\) = \(2,-1,0\)\) \(\vec{AD} = \(4-0, 3-1, 1-2\) = \(4,2,-1\)\) Tích có hướng: \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\] = \(0\cdot0 - 3\cdot\(-1\), 3\cdot2 - 3\cdot0, 3\cdot\(-1\) - 0\cdot2\) = \(3, 6, -3\)\) Tích hỗn tạp: \(T = \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\]\) \cdot \vec{AD} = \(3,6,-3\) \cdot \(4,2,-1\) = 3\cdot4 + 6\cdot2 + \(-3\)\cdot\(-1\) = 12 + 12 + 3 = 27\) Thể tích: \[V_{ABCD} = \frac{1}{6} |27| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}\) \(đvtt\).
5. 6.5. Ưu Điểm và Nhược Điểm Của Phương Pháp Vector
   • Ưu điểm:
     • Tính tổng quát cao: Áp dụng được cho mọi tứ diện miễn là biết tọa độ các đỉnh. Không cần quan tâm đến các yếu tố đặc biệt như vuông góc, đều,...
     • Quy trình rõ ràng: Các bước tính toán được chuẩn hóa, ít đòi hỏi sự "khéo léo" trong việc dựng hình phụ hay nhận diện tính chất đặc biệt.
     • Hạn chế sai sót do tưởng tượng không gian: Việc tính toán dựa trên đại số giúp giảm thiểu lỗi do vẽ hình không chính xác hoặc tưởng tượng sai.
     • Hỗ trợ bởi máy tính: Nhiều loại máy tính cầm tay hiện nay có chức năng tính toán vector, giúp kiểm tra kết quả nhanh chóng.
   • Nhược điểm:
     • Tính toán có thể dài dòng: Nếu tọa độ là số phức tạp, việc tính toán các tích có hướng, vô hướng có thể tốn thời gian và dễ sai sót nếu không cẩn thận.
     • Cần kỹ năng tính toán vector tốt: Phải nắm vững công thức và các bước thực hiện.
     • Ít phát huy tư duy hình học trực quan: Đôi khi, việc giải bằng hình học thuần túy giúp hiểu sâu hơn về bản chất của hình.
   • Khi nào nên ưu tiên sử dụng?
     • Khi đề bài cho sẵn tọa độ các đỉnh.
     • Khi tứ diện không có các yếu tố đặc biệt rõ ràng \(không vuông, không đều, cạnh bên không vuông góc đáy,...\) khiến việc tính theo phương pháp hình học thuần túy trở nên khó khăn trong việc xác định chiều cao hoặc diện tích đáy.
     • Khi cần kiểm tra lại kết quả đã tính bằng phương pháp khác.

PHẦN 7: BÍ KÍP "KHẮC CỐT GHI TÂM" CÔNG THỨC THỂ TÍCH – HỌC NHANH, NHỚ LÂU, DÙNG CHUẨN

Ghi nhớ công thức toán học, đặc biệt là trong hình học không gian, đòi hỏi nhiều hơn là việc học vẹt. Đó là sự kết hợp của hiểu biết sâu sắc, liên kết logic, hình dung trực quan và các kỹ thuật ghi nhớ thông minh. Phần này sẽ cung cấp cho bạn một kho tàng các phương pháp như vậy.

1. 7.1. Nguyên Tắc Vàng: HIỂU SÂU SẮC Còn Hơn THUỘC LÒNG Máy Móc – Nền Tảng Của Trí Nhớ Bền Vững

   • 7.1.1. Tại sao "Hiểu" lại quan trọng hơn "Thuộc"?
     • Ghi nhớ lâu hơn: Khi bạn hiểu nguồn gốc, ý nghĩa và cách một công thức được xây dựng, nó sẽ lưu lại trong não bộ lâu hơn nhiều so với việc chỉ cố gắng nhồi nhét một chuỗi ký tự vô nghĩa.
     • Linh hoạt áp dụng: Hiểu biết sâu sắc giúp bạn nhận ra khi nào và làm thế nào để áp dụng một công thức một cách chính xác, ngay cả khi bài toán được biến đổi hoặc cho dưới dạng mới lạ. Bạn có thể "biến tấu" hoặc kết hợp kiến thức thay vì bị đóng khung.
     • Tự tin hơn: Khi hiểu, bạn sẽ tự tin hơn vào khả năng giải toán của mình, giảm bớt sự lo lắng khi đối mặt với các vấn đề phức tạp.
     • Dễ dàng phục hồi kiến thức: Ngay cả khi bạn có lỡ quên một phần công thức, việc hiểu bản chất sẽ giúp bạn dễ dàng suy luận lại hoặc tìm ra nó.
   • 7.1.2. Làm thế nào để "Hiểu" một công thức Toán?
     • Đặt câu hỏi "Tại sao?": Tại sao lại có hệ số \(\frac{1}{3}\)? Tại sao công thức tứ diện vuông lại là \(\frac{1}{6}abc\)? Đừng ngại tìm hiểu cách chứng minh các công thức \(như chúng ta đã làm ở các phần trước\).
     • Liên kết với các kiến thức đã biết: Công thức thể tích hình chóp có liên quan gì đến công thức thể tích hình lăng trụ? Các công thức diện tích tam giác là nền tảng như thế nào?
     • Hình dung ý nghĩa hình học: Mỗi thành phần trong công thức \(B, h, a, b, c, các vector\) đại diện cho điều gì trên hình vẽ thực tế?

2. 7.2. Quy Tắc Nền Tảng \(\frac{1}{3}\) "Bất Hủ" Cho Mọi Khối Chóp \(Và Khối Nón Sau Này\)

   • Luôn tâm niệm: Công thức tổng quát nhất và quan trọng nhất là \(V = \frac{1}{3} B \cdot h\).
   • Liên kết trực quan/khái niệm: Hãy luôn nhớ rằng thể tích khối chóp \(hoặc nón\) chỉ bằng một phần ba thể tích khối lăng trụ \(hoặc trụ\) có cùng diện tích đáy và cùng chiều cao. Điều này giúp bạn không bao giờ quên hệ số \(\frac{1}{3}\).
   • Giảm tải việc ghi nhớ: Khi bạn nắm chắc quy tắc này, việc ghi nhớ công thức thể tích cho các trường hợp cụ thể của tứ diện thực chất là ghi nhớ cách tính \(B\) \(diện tích đáy tam giác\) và \(h\) \(chiều cao\) cho trường hợp đó, rồi ráp vào khung \(\frac{1}{3} \(\dots\) \cdot \(\dots\)\).

3. 7.3. Sức Mạnh Của Trí Tưởng Tượng và Hình Ảnh Hóa \(Visual Mnemonics\)

   • 7.3.1. "Vẽ" công thức trong đầu:
     • Khi nghĩ đến \(V = \frac{1}{3} B \cdot h\), hãy hình dung một khối tứ diện cụ thể. "Thấy" mặt đáy \(B\) đang nằm đó, và đường cao \(h\) đang "rơi" thẳng đứng từ đỉnh xuống mặt đáy, tạo một góc vuông hoàn hảo.
     • Đối với tứ diện vuông OABC, hình dung ba cạnh \(a, b, c\) như ba kích thước của một "góc hộp", và thể tích là \(\frac{1}{6}\) của "cái hộp" đó.
   • 7.3.2. Khai thác Công Cụ Trực Quan Hóa 3D \(GeoGebra, Desmos 3D, v.v.\):
     • Cách sử dụng để ghi nhớ:
       • Tự tay xây dựng mô hình: Dùng các phần mềm này để tự vẽ các loại tứ diện khác nhau \(thường, vuông, đều\). Quá trình "xây dựng" này giúp bạn hiểu rõ cấu trúc không gian.
       • Tương tác và khám phá: Xoay mô hình 360 độ. Click để làm nổi bật mặt đáy, đường cao, các cạnh. Thay đổi độ dài các cạnh, tọa độ các đỉnh và quan sát xem diện tích đáy, chiều cao, và thể tích thay đổi như thế nào theo công thức.
       • Hiện/ẩn các thành phần: Ví dụ, làm hiện/ẩn vector pháp tuyến của mặt đáy, vector chỉ phương của đường cao. Điều này giúp củng cố mối liên hệ giữa hình học và các yếu tố trong công thức vector.
     • Tại sao hiệu quả: Não bộ con người ghi nhớ hình ảnh và trải nghiệm tương tác tốt hơn nhiều so với văn bản thuần túy. Việc "chơi đùa" với các mô hình 3D tạo ra những kết nối thần kinh mạnh mẽ.
   • 7.3.3. Tự Vẽ Sơ Đồ và Hình Minh Họa Cá Nhân:
     • Khi học một công thức, hãy tự tay vẽ một hình tứ diện minh họa đơn giản bên cạnh. Ghi chú các yếu tố \(B, h, a, b, c,\dots\) trực tiếp lên hình vẽ.
     • Việc kết hợp vận động \(vẽ\) và tư duy \(liên kết công thức với hình\) giúp kích hoạt nhiều vùng não bộ hơn.

4. 7.4. Phân Loại và Nhóm Gọn Công Thức Một Cách Logic

   • Việc sắp xếp các công thức vào các nhóm có trật tự giúp não bộ dễ dàng quản lý và truy xuất thông tin.
   • Cách 1: Nhóm theo loại tứ diện:
     • Nhóm 1: Tổng quát \(Áp dụng cho mọi tứ diện\):
       • \(V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h\)
     • Nhóm 2: Tứ diện vuông \(OABC vuông tại O, cạnh OA=a, OB=b, OC=c\):
       • \(V = \frac{1}{6}abc\)
     • Nhóm 3: Tứ diện đều \(cạnh a\):
       • \(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\)
       • \(Đi kèm: \(h = a\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(S_{\text{mặt đáy}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)\)
     • Nhóm 4: Sử dụng tọa độ \(A, B, C, D là các đỉnh\):
       • \(V = \frac{1}{6} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}|\)
   • Cách 2: Nhóm theo phương pháp tính:
     • Phương pháp 1: Dựa vào diện tích đáy và chiều cao. \(Bao gồm cả các trường hợp đặc biệt mà bạn suy ra B và h\).
     • Phương pháp 2: Dựa trực tiếp vào độ dài các cạnh đặc biệt. \(Tứ diện vuông, tứ diện đều\).
     • Phương pháp 3: Dựa vào tọa độ các đỉnh. \(Công thức vector\).
   • Lợi ích: Khi gặp một bài toán, bạn có thể nhanh chóng xác định nó thuộc "nhóm" nào để chọn đúng công cụ giải quyết.

5. 7.5. Sức Mạnh Của Việc Tự Chứng Minh Lại Công Thức

   • Thay vì chỉ chấp nhận công thức, hãy dành thời gian để tự mình chứng minh lại chúng, đặc biệt là các công thức cho trường hợp đặc biệt từ công thức tổng quát.
   • Ví dụ, hãy tự tay lấy công thức \(V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h\), sau đó:
     • Thay \(S_{\text{đáy}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) và \(h = a\sqrt{\frac{2}{3}}\) để suy ra \(V_{\text{tứ diện đều}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\).
     • Thay \(S_{\text{đáy}} = \frac{1}{2}bc\) và \(h=a\) \(cho tứ diện OABC vuông tại O, chọn đáy OBC, cao OA\) để suy ra \(V = \frac{1}{6}abc\).
   • Tại sao hiệu quả: Quá trình này không chỉ củng cố sự hiểu biết về từng bước mà còn tạo ra một "câu chuyện" logic mà não bạn có thể theo dõi và ghi nhớ, thay vì một sự kiện isolé.

6. 7.6. Sáng Tạo Từ Viết Tắt, Câu Nói Vần Điệu và Liên Kết Từ Khóa \(Cá Nhân Hóa Quá Trình Học\)

   • 7.6.1. Từ viết tắt \(Acronyms\) hoặc Câu nói vần điệu \(Acrostics\):
     • Tự tạo ra những cụm từ dễ nhớ. Ví dụ \(có thể hơi ngô nghê nhưng dễ nhớ với bạn\):
       • Công thức tổng quát: "V bằng Một Phần Ba Bay \(Base\) Hát \(Height\)" \(\rightarrow\) MPBBH \(\rightarrow\) \(V = \frac{1}{3} B \cdot h\).
       • Tứ diện đều: "Anh Muốn Ba Cái Hai Mắt Hai tay" \(\rightarrow\) \(A^3\sqrt{2}/12\). \(A mũ 3, căn 2, chia 12\).
     • Quan trọng: Những câu này càng gần gũi, hài hước hoặc thậm chí "ngớ ngẩn" với cá nhân bạn, chúng càng dễ nhớ.
   • 7.6.2. Liên kết Từ Khóa \(Keyword Association\):
     • Tạo mối liên hệ mạnh mẽ giữa một đặc điểm của bài toán và phần cốt lõi của công thức:
       • Nghe/đọc "CHÓP" hoặc "NÓN" \(\Rightarrow\) Phản xạ ngay lập tức: phải có hệ số \(\frac{1}{3}\).
       • "TỨ DIỆN VUÔNG tại O" \(\Rightarrow\) Liên tưởng đến 3 cạnh \(a,b,c\) từ O và hệ số \(\frac{1}{6}\). "Vuông \(\rightarrow\) Sáu".
       • "TỨ DIỆN ĐỀU cạnh a" \(\Rightarrow\) Liên tưởng đến \(a^3\) \(vì thể tích\), có \(\sqrt{2}\) và mẫu số là 12. "Đều \(\rightarrow\) Mười Hai \(\sqrt{2}\)".
       • "TỌA ĐỘ" hoặc "VECTOR" cho 4 đỉnh \(\Rightarrow\) Liên tưởng đến 3 vector chung gốc, phép "CHÉO" \(tích có hướng\), phép "CHẤM" \(tích vô hướng\), và hệ số \(\frac{1}{6}\). "Vector \(\rightarrow\) Sáu Chéo Chấm".
     • Lặp đi lặp lại các liên kết này khi bạn giải bài tập.

7. 7.7. Cặp Đôi Quyền Lực: LUYỆN TẬP TÍCH CỰC & LẶP LẠI NGẮT QUÃNG \(Active Recall & Spaced Repetition\)

   • 7.7.1. Chủ Động Gợi Nhớ \(Active Recall\):
     • Thay vì đọc thụ động: Đừng chỉ đọc đi đọc lại công thức trong sách hoặc vở ghi. Hãy chủ động kiểm tra trí nhớ của mình.
     • Cách thực hiện: Che phần công thức đi và cố gắng tự viết lại nó từ trí nhớ. Sau đó mới kiểm tra lại. Hoặc, tự đặt câu hỏi: "Công thức thể tích tứ diện đều là gì?" rồi cố gắng trả lời trước khi lật xem đáp án.
     • Tại sao hiệu quả: Hành động "lôi" thông tin ra khỏi não bộ \(active recall\) củng cố các kết nối thần kinh mạnh hơn nhiều so với việc chỉ "nạp" thông tin vào một cách thụ động \(passive review\).
   • 7.7.2. Lặp Lại Ngắt Quãng \(Spaced Repetition\):
     • Nguyên lý: Thay vì ôn tập dồn dập một lúc, hãy ôn lại kiến thức \(công thức\) vào những khoảng thời gian tăng dần – ngay khi bạn bắt đầu có dấu hiệu quên.
     • Lịch trình ví dụ:
       • Lần 1: Ngay sau khi học.
       • Lần 2: Sau 1 ngày.
       • Lần 3: Sau 3-4 ngày.
       • Lần 4: Sau 1 tuần.
       • Lần 5: Sau 2-3 tuần.
       • Lần 6: Sau 1 tháng.
     • Công cụ hỗ trợ:
       • Flashcards \(thẻ ghi nhớ\): Một mặt ghi tên công thức hoặc dạng tứ diện, mặt kia ghi công thức chi tiết. Bạn có thể tự làm hoặc dùng ứng dụng.
       • Ứng dụng như Anki, Quizlet: Cho phép bạn tạo flashcards điện tử và tự động lên lịch ôn tập dựa trên nguyên lý lặp lại ngắt quãng.
     • Tại sao hiệu quả: Phương pháp này "hack" đường cong lãng quên của Ebbinghaus, giúp chuyển thông tin từ trí nhớ ngắn hạn sang trí nhớ dài hạn một cách hiệu quả.
   • 7.7.3. Thực Hành Với Sự Đa Dạng:
     • Giải thật nhiều dạng bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, từ những bài chỉ áp dụng công thức đến những bài cần suy luận nhiều bước. Càng áp dụng công thức trong nhiều bối cảnh, bạn càng nhớ và hiểu nó sâu sắc hơn.

8. 7.8. Phương Pháp "Dạy Để Học" \(Teach to Learn / Feynman Technique\)

   • Ý tưởng: Cố gắng giải thích một khái niệm hoặc một công thức cho người khác \(một bạn học, một thành viên trong gia đình, hoặc thậm chí là tự nói chuyện với một "học sinh tưởng tượng"\).
   • Cách thực hiện:
     1. Chọn một công thức \(ví dụ: công thức thể tích tứ diện bằng vector\).
     2. Viết ra tờ giấy và giải thích nó bằng ngôn ngữ đơn giản nhất có thể, như thể bạn đang dạy cho một người chưa biết gì về nó.
     3. Trong quá trình giải thích, nếu bạn thấy mình "vấp" ở đâu, hoặc dùng những thuật ngữ quá phức tạp, đó chính là dấu hiệu cho thấy bạn chưa thực sự hiểu sâu phần đó. Hãy quay lại tài liệu để làm rõ.
     4. Đơn giản hóa lời giải thích và sử dụng các ví dụ, phép loại suy cho đến khi nó trở nên thực sự rõ ràng.
   • Tại sao hiệu quả: Để dạy được cho người khác, bạn phải sắp xếp kiến thức của mình một cách logic, xác định được những điểm cốt yếu, và diễn đạt chúng một cách mạch lạc. Quá trình này làm vững chắc hiểu biết của chính bạn.

9. 7.9. Xây Dựng "Siêu" Bảng Tổng Hợp Cá Nhân và Sơ Đồ Tư Duy \(Mind Maps\)

   • 7.9.1. Bảng Tổng Hợp Công Thức \(Personalized Super Cheat Sheet\):
     • Đây không phải là tài liệu để gian lận, mà là một công cụ ôn tập cực kỳ hiệu quả do chính bạn tạo ra.
     • Nội dung nên có cho mỗi công thức:
       • Tên công thức/Dạng tứ diện.
       • Công thức viết đầy đủ bằng MathJax.
       • Điều kiện áp dụng \(ví dụ: "chỉ cho tứ diện đều", "khi biết tọa độ 4 đỉnh"\).
       • Một hình vẽ minh họa nhỏ, đơn giản.
       • Một vài từ khóa hoặc mẹo ghi nhớ cá nhân.
     • Trình bày rõ ràng, khoa học, sử dụng màu sắc để làm nổi bật các phần quan trọng.
   • 7.9.2. Sơ Đồ Tư Duy \(Mind Maps\):
     • Là một cách tuyệt vời để trực quan hóa mối liên hệ giữa các công thức và khái niệm.
     • Cách xây dựng một Mind Map cho thể tích tứ diện:
       • Trung tâm: Viết "THỂ TÍCH TỨ DIỆN".
       • Nhánh chính 1: Công thức tổng quát \(V = \frac{1}{3} B \cdot h\).
         • Nhánh con từ "B": Các cách tính diện tích tam giác \(Heron, sin, vuông, đều, vector \(\frac{1}{2}|\[\vec{u},\vec{v}\]|\)\).
         • Nhánh con từ "h": Các cách xác định chiều cao \(cạnh \(\perp\) đáy, mặt \(\perp\) đáy, chóp đều, tọa độ\).
       • Nhánh chính 2: Các trường hợp đặc biệt.
         • Nhánh con: Tứ diện vuông \(\(V=\frac{1}{6}abc\), hình minh họa\).
         • Nhánh con: Tứ diện đều \(\(V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\), hình minh họa, công thức h\).
       • Nhánh chính 3: Phương pháp Vector.
         • Nhánh con: Công thức \(V = \frac{1}{6} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}|\).
         • Nhánh con: Các bước thực hiện.
         • Nhánh con: Ý nghĩa tích hỗn tạp.
       • Sử dụng màu sắc, biểu tượng, hình ảnh nhỏ để làm cho mind map sinh động và dễ nhớ.
     • Lợi ích: Mind map giúp bạn nhìn thấy "bức tranh lớn", hiểu được sự kết nối giữa các mảng kiến thức thay vì coi chúng là những mảnh rời rạc.

10. 7.10. Luôn Kết Nối Công Thức Với Ý Nghĩa Hình Học Sâu Xa Của Nó

    • Đừng chỉ nhìn công thức như một tập hợp các ký hiệu. Hãy luôn tự hỏi:
      • "Trong công thức \(V = \frac{1}{3} B \cdot h\), chữ \(B\) đại diện cho cái gì trên hình vẽ? Chữ \(h\) là đoạn nào, có tính chất gì?"
      • "Trong công thức vector \(V = \frac{1}{6} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}|\), phần \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\]\) cho ta vector gì? Độ lớn của nó có ý nghĩa gì? Phép nhân vô hướng với \(\vec{AD}\) sau đó có ý nghĩa gì \(liên quan đến thể tích khối hộp\)?"
    • Việc liên tục "chất vấn" và tìm kiếm ý nghĩa hình học sẽ giúp bạn xây dựng một sự hiểu biết trực quan, giúp việc ghi nhớ trở nên tự nhiên hơn. Khi bạn "thấy" được công thức trong không gian, bạn sẽ khó quên hơn nhiều.

Bằng cách áp dụng một cách linh hoạt và kiên trì các chiến lược trên, bạn không chỉ ghi nhớ được công thức thể tích hình chóp tứ diện mà còn xây dựng được một nền tảng hiểu biết vững chắc, sẵn sàng chinh phục mọi dạng bài tập liên quan. Hãy nhớ rằng, chìa khóa không nằm ở việc bạn có trí nhớ siêu phàm hay không, mà ở phương pháp học tập thông minh và hiệu quả.

PHẦN 8: "BẮT BỆNH & KÊ ĐƠN" – NHẬN DIỆN VÀ PHÒNG TRÁNH CÁC LỖI SAI KINH ĐIỂN KHI TÍNH THỂ TÍCH TỨ DIỆN

Việc hiểu rõ những lỗi sai mà bản thân và những người khác thường mắc phải là một bước tiến lớn trong quá trình học tập. Nó không chỉ giúp bạn tránh lặp lại sai lầm mà còn làm sâu sắc thêm sự hiểu biết về kiến thức. Trong phần này, chúng ta sẽ "soi" kỹ từng lỗi, phân tích nguyên nhân và đề xuất giải pháp khắc phục hiệu quả.

1. 8.1. Lỗi Sai Số 1 và Phổ Biến Nhất: NHẦM LẪN HOẶC TÍNH TOÁN SAI CHIỀU CAO \(h\) CỦA KHỐI CHÓP

   • Đây là "gót chân Achilles" của nhiều học sinh khi giải toán thể tích. Chiều cao \(h\) phải là khoảng cách VUÔNG GÓC từ đỉnh xuống mặt phẳng đáy.
   • 8.1.1. Lỗi: Tự ý coi một cạnh bên hoặc trung tuyến của mặt bên là chiều cao.
     • Mô tả "bệnh": Học sinh thường có xu hướng lấy độ dài của một cạnh bên thấy rõ trên hình vẽ \(ví dụ SA trong tứ diện S.ABC tổng quát\) hoặc độ dài đường trung tuyến, đường cao của một mặt bên \(một tam giác\) và coi đó là chiều cao \(h\) của khối chóp mà không kiểm tra tính vuông góc với TOÀN BỘ mặt phẳng đáy.
     • Triệu chứng ví dụ: Cho tứ diện S.ABC không có gì đặc biệt. Học sinh dùng \(V = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SA\). Điều này chỉ đúng nếu SA thực sự vuông góc với \(ABC\).
     • Nguyên nhân sâu xa:
       • Khả năng tưởng tượng không gian còn hạn chế, chưa "cảm nhận" được thế nào là một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
       • Nắm không vững định nghĩa: Đường thẳng \(d \perp \(P\)\) nếu \(d\) vuông góc với HAI đường thẳng cắt nhau \(a, b\) nằm trong \(\(P\)\).
       • Vẽ hình đôi khi gây ngộ nhận \(ví dụ, trên hình phẳng, một đường xiên có thể trông như đường vuông góc\).
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh:
       • Câu hỏi tự vấn "thần thánh": Trước khi quyết định một đoạn thẳng SH \(S là đỉnh, H là một điểm trên mặt đáy hoặc trong mặt phẳng đáy\) là chiều cao, hãy tự hỏi: "SH có thực sự vuông góc với mặt phẳng đáy \(ABC\) không? Tức là SH có vuông góc với ÍT NHẤT hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \(ABC\) không?"
       • Rèn luyện kỹ năng vẽ hình chuẩn: Cố gắng thể hiện tính vuông góc một cách rõ ràng trên hình vẽ \(ký hiệu góc vuông\). Nếu cần, vẽ thêm các đường phụ để làm nổi bật mối quan hệ vuông góc.
       • Tập trung vào định nghĩa: Luôn nhớ rằng chiều cao phải "đâm thẳng" xuống mặt đáy và tạo thành góc \(90^\circ\) với mọi đường trên mặt đáy đi qua chân đường cao.
       • Checklist kiểm tra chiều cao SH \(S là đỉnh, \(P\) là đáy, H là chân đường cao\):
         1. H có thuộc mặt phẳng \(P\) không?
         2. Đoạn SH có đi qua đỉnh S không?
         3. SH có vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(d_1, d_2\) cùng nằm trong \(P\) không?
   • 8.1.2. Lỗi: Xác định sai vị trí chân đường cao H trong các trường hợp đặc biệt.
     • Mô tả "bệnh":
       • Khi mặt bên \(SAB\) vuông góc với đáy \(ABC\): Chiều cao là đường cao SH của \(\triangle SAB\) kẻ từ S xuống giao tuyến AB. Học sinh có thể nhầm lẫn kẻ SH xuống một cạnh khác của đáy hoặc một vị trí không phải giao tuyến.
       • Khi các cạnh bên bằng nhau \(SA=SB=SC\) hoặc các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau: Chân đường cao H là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\triangle ABC\). Học sinh có thể nhầm H là trọng tâm \(chỉ đúng nếu \(\triangle ABC\) đều\) hoặc trực tâm.
     • Nguyên nhân sâu xa: Ghi nhớ các quy tắc một cách máy móc mà không hiểu rõ bản chất hình học và các chứng minh liên quan. Không phân tích kỹ các tính chất của tam giác đáy.
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh:
       • Ôn lại tính chất hình học phẳng: Nắm vững cách xác định trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác và các điều kiện đặc biệt của chúng.
       • Luôn đặt câu hỏi "Tại sao H lại ở đó?": Ví dụ, nếu SA=SB=SC, thì hình chiếu H của S phải cách đều A, B, C \(do các tam giác vuông SHA, SHB, SHC bằng nhau\). Điểm nào trong tam giác cách đều các đỉnh của nó? Chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.
       • Vẽ hình chính xác cho từng trường hợp: Đừng dùng một hình vẽ "chung chung" cho mọi bài toán.
   • 8.1.3. Lỗi: Sai sót trong tính toán độ dài \(h\) bằng định lý Pythagoras, hệ thức lượng trong tam giác vuông, hoặc lượng giác.
     • Mô tả "bệnh": Sau khi đã xác định đúng hướng để tìm \(h\) \(ví dụ, \(h = SH\)\), học sinh lại tính sai độ dài SH do lỗi số học, bấm máy tính sai, áp dụng sai công thức sin/cos/tan, hoặc nhầm lẫn các cạnh trong tam giác vuông.
     • Nguyên nhân sâu xa: Kỹ năng tính toán cơ bản chưa vững, thiếu cẩn thận, không kiểm tra lại.
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh:
       • Viết rõ ràng các bước tính toán: Đừng làm tắt quá nhiều bước trong đầu.
       • Vẽ riêng tam giác vuông chứa \(h\): Nếu \(h\) là một cạnh trong tam giác vuông SHK nào đó, hãy vẽ riêng tam giác SHK ra nháp, điền các độ dài đã biết, các góc đã biết, rồi áp dụng Pythagoras hoặc lượng giác.
       • Kiểm tra lại phép tính: Dùng máy tính bấm lại một lần nữa. Ước lượng kết quả xem có hợp lý không \(ví dụ, chiều cao không thể dài hơn cạnh bên trong nhiều trường hợp\).

2. 8.2. Lỗi Trong Tính Toán Diện Tích Mặt Đáy \(B hoặc \(S_{\text{đáy}}\)\): Nền Móng Không Vững, Ngôi Nhà Sẽ Sụp Đổ

   • Diện tích đáy là một nhân tử quan trọng, sai nó thì kết quả cuối cùng chắc chắn sai.
   • 8.2.1. Lỗi: Sử dụng sai công thức diện tích cho loại tam giác đáy.
     • Mô tả "bệnh": Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều \(\(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)\) cho một tam giác thường hoặc tam giác cân không đều. Hoặc dùng công thức \(S = \frac{1}{2} \text{đáy} \cdot \text{cao}\) khi chưa biết chiều cao của tam giác đáy và việc tìm nó rất phức tạp, trong khi có thể dùng Heron hoặc công thức sin.
     • Nguyên nhân sâu xa: Không phân tích kỹ đặc điểm của tam giác đáy \(vuông, cân, đều, thường?\) trước khi "vơ vội" một công thức.
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh:
       • Bước 1 luôn là "Nhận dạng tam giác đáy": Xem xét các thông tin đề bài cho về cạnh, góc của đáy.
       • Liệt kê các công cụ \(công thức diện tích\) có trong tay: Heron, \(\frac{1}{2}ab\sin C\), \(\frac{1}{2}bh\), công thức cho tam giác vuông/đều, công thức vector.
       • Chọn công cụ phù hợp nhất: Dựa trên những gì đã biết, chọn công thức nào tính toán thuận lợi nhất và ít rủi ro sai sót nhất.
   • 8.2.2. Lỗi: Sai sót trong quá trình tính toán bằng công thức Heron hoặc các công thức lượng giác.
     • Mô tả "bệnh": Tính sai nửa chu vi \(p\) trong công thức Heron. Tính sai các hiệu \(\(p-a\), \(p-b\), \(p-c\)\). Bấm máy tính sai giá trị sin, cos của góc.
     • Nguyên nhân sâu xa: Công thức Heron có nhiều bước, dễ nhầm. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt nếu không thuộc có thể tra sai.
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh:
       • Với Heron: Tính \(p\) cẩn thận. Sau đó, tính riêng từng hiệu \(\(p-a\), \(p-b\), \(p-c\)\). Đảm bảo các hiệu này đều dương \(nếu âm là do \(p\) sai hoặc bất đẳng thức tam giác không thỏa mãn\). Cuối cùng mới nhân và lấy căn.
       • Với lượng giác: Chắc chắn rằng máy tính đang ở đúng chế độ \(Degree/Radian\). Kiểm tra lại giá trị sin/cos của các góc quen thuộc.
   • 8.2.3. Lỗi: Tính toán sai trong phương pháp vector để tính diện tích đáy \(\(S = \frac{1}{2} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\]|\)\).
     • Mô tả "bệnh": Tính sai tọa độ các vector \(\vec{AB}, \vec{AC}\). Sai trong các bước tính định thức con của tích có hướng. Sai khi tính môđun \(độ lớn\) của vector kết quả \(quên bình phương, quên lấy căn\). Quên nhân \(\frac{1}{2}\).
     • Nguyên nhân sâu xa: Chưa thành thạo các phép toán vector, đặc biệt là tích có hướng. Cẩu thả trong tính toán.
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh:
       • Luyện tập tính tích có hướng thường xuyên: Đến khi nhuần nhuyễn các bước.
       • Viết rõ ràng từng thành phần: Khi tính \(\[\vec{u}, \vec{v}\] = \(u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1\)\), hãy viết riêng giá trị của \(u_1, u_2, u_3, v_1, v_2, v_3\) rồi mới thay vào.
       • Kiểm tra lại dấu: Rất dễ sai dấu trong các phép trừ.
       • Nhớ công thức môđun: \(|\vec{N}| = \sqrt{N_x^2 + N_y^2 + N_z^2}\). Và cuối cùng là nhân \(\frac{1}{2}\).

3. 8.3. "Bóng Ma" Hệ Số: Quên Hoặc Dùng Sai Các Hệ Số \(\frac{1}{3}\) Hoặc \(\frac{1}{6}\)

   • Đây là lỗi cực kỳ đáng tiếc vì nó thường xuất hiện ở bước cuối cùng sau khi đã vất vả tính toán B và h.
   • 8.3.1. Lỗi: Bỏ quên hoàn toàn hệ số \(\frac{1}{3}\) trong công thức \(V = \frac{1}{3} B \cdot h\).
     • Mô tả "bệnh": Học sinh tính \(V = B \cdot h\), ra kết quả gấp 3 lần đáp án đúng.
     • Nguyên nhân sâu xa: Vội vàng, hấp tấp. Nhầm lẫn với công thức thể tích khối lăng trụ. Không khắc sâu ấn tượng "chóp là phải chia 3".
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh:
       • Tạo phản xạ có điều kiện: Cứ nhắc đến "thể tích khối CHÓP" \(hoặc NÓN\) là trong đầu phải vang lên "\(\frac{1}{3}\)".
       • Viết công thức đầy đủ TRƯỚC KHI thay số: Luôn bắt đầu bằng \(V = \frac{1}{3} \dots\).
   • 8.3.2. Lỗi: Nhầm lẫn hoặc quên hệ số \(\frac{1}{6}\) trong công thức vector hoặc công thức tứ diện vuông.
     • Mô tả "bệnh": Dùng \(\frac{1}{3}\) thay vì \(\frac{1}{6}\) cho công thức \(V = \frac{1}{6} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}|\) hoặc \(V = \frac{1}{6}abc\).
     • Nguyên nhân sâu xa: Chưa phân biệt rõ ràng các trường hợp đặc biệt.
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh:
       • Liên kết đặc trưng:
         • "Tứ diện VUÔNG \(3 cạnh \(a,b,c\) ở góc vuông\)" \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{6}abc\). \(Ba nhân hai bằng sáu, mẫu là 6\).
         • "Công thức VECTOR \(3 vector \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\)\)" \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{6} |\[\dots\] \cdot \dots|\). \(Ba vector, nhưng kết quả là \(\frac{1}{6}\) thể tích khối hộp\).
       • Tạo thẻ ghi nhớ riêng cho các công thức có hệ số \(\frac{1}{6}\).

4. 8.4. Lỗi "Ảo Tưởng Sức Mạnh": Tự Ý Gán Ghép Tính Chất Đặc Biệt Cho Tứ Diện

   • 8.4.1. Lỗi: Mặc định tứ diện là đều, hoặc có cạnh vuông góc đáy, hoặc đáy là tam giác đặc biệt khi đề không cho.
     • Mô tả "bệnh": Nhìn hình vẽ có vẻ "đều đều" hoặc "vuông vuông", học sinh vội vàng áp dụng công thức tính nhanh cho tứ diện đều, tứ diện vuông, hoặc cho rằng SA \(\perp\) \(ABC\) mà không có bất kỳ giả thiết nào khẳng định điều đó.
     • Nguyên nhân sâu xa: Đọc đề không kỹ, lười phân tích, muốn đi đường tắt. Đôi khi do hình vẽ trong đề hoặc do mình vẽ mang tính ước lệ, gây ngộ nhận.
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh:
       • "Không có gì là hiển nhiên cả": Luôn đặt nghi vấn với mọi yếu tố "có vẻ" đặc biệt trên hình vẽ nếu không được giả thiết công nhận.
       • Gạch chân từ khóa trong đề: Tìm các từ như "đều", "vuông góc", "cân", "SA \(\perp\) đáy",...
       • Nếu không có giả thiết đặc biệt \(\Rightarrow\) Dùng phương pháp tổng quát: Tính \(S_{đáy}\) và \(h\) theo các cách cơ bản, hoặc dùng phương pháp vector nếu có tọa độ. "Khi nghi ngờ, hãy dùng cách tổng quát nhất."

5. 8.5. Sai Sót Trong Các Phép Toán Vector \(Ngoài Lỗi Tính Diện Tích Đáy\)

   • Các lỗi này thường xảy ra khi áp dụng công thức \(V = \frac{1}{6} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}|\).
   • 8.5.1. Lỗi: Tính sai tọa độ của các vector \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\).
     • Mô tả "bệnh": Lấy tọa độ điểm đầu trừ điểm cuối \(\(A-B\)\) thay vì điểm cuối trừ điểm đầu \(\(B-A\)\).
     • Nguyên nhân sâu xa: Nhầm lẫn quy tắc cơ bản.
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh: Luôn nhớ quy tắc "Ngọn trừ Gốc" hay "Cuối trừ Đầu". Ví dụ \(\vec{AB}\), ngọn là B, gốc là A, vậy tọa độ \(\vec{AB}\) = \(tọa độ B\) - \(tọa độ A\).
   • 8.5.2. Lỗi: Sai sót trong quá trình tính tích vô hướng hoặc các bước của tích hỗn tạp.
     • Mô tả "bệnh": Nhân sai các thành phần tương ứng rồi cộng lại \(tích vô hướng\). Thực hiện sai thứ tự các phép toán trong tích hỗn tạp \(ví dụ, tính tích vô hướng trước rồi mới tìm cách "nhân có hướng" - điều này không thể\).
     • Nguyên nhân sâu xa: Chưa nắm vững định nghĩa và cách thực hiện các phép toán vector.
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh:
       • Tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\): "Hoành nhân hoành CỘNG tung nhân tung CỘNG cao nhân cao".
       • Tích hỗn tạp \(\[\vec{u}, \vec{v}\] \cdot \vec{w}\): Luôn thực hiện tích có hướng \(\[\vec{u}, \vec{v}\]\) TRƯỚC để ra một vector mới, SAU ĐÓ mới lấy vector này nhân vô hướng với \(\vec{w}\).
   • 8.5.3. Lỗi: Quên lấy giá trị tuyệt đối ở bước cuối cùng của công thức vector.
     • Mô tả "bệnh": Ra kết quả thể tích âm \(ví dụ \(-\frac{5}{6}\) thay vì \(\frac{5}{6}\)\).
     • Nguyên nhân sâu xa: Tích hỗn tạp \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}\) có thể âm hoặc dương tùy thuộc vào thứ tự các vector \(hệ ba vector tạo thành một hệ thuận hay nghịch\). Nhưng thể tích thì luôn dương.
     • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh: Luôn có dấu giá trị tuyệt đối trong công thức \(V = \frac{1}{6} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}|\). Sau khi tính xong tích hỗn tạp, nếu nó âm, hãy đổi thành dương. "Thể tích không bao giờ âm!"

6. 8.6. Nhầm Lẫn Giữa Đường Cao Của Mặt Bên \(Đường Xiên\) Với Chiều Cao Của Khối Chóp

   • Mô tả "bệnh": Trong một hình chóp có các mặt bên là tam giác cân hoặc đều, học sinh có thể tính đường cao của một mặt bên \(ví dụ, trung tuyến SM của \(\triangle SAB\) nếu nó cân tại S\) rồi dùng độ dài SM đó làm chiều cao \(h\) của khối chóp S.ABC.
   • Nguyên nhân sâu xa: Đường cao của mặt bên \(slant height\) thường dễ nhìn thấy và dễ tính hơn chiều cao thực sự của khối chóp. Học sinh chưa phân biệt rõ "chiều cao của tam giác" \(một hình 2D\) và "chiều cao của khối chóp" \(một vật thể 3D, phải vuông góc với mặt phẳng đáy\).
   • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh:
     • Phân biệt rõ ràng: Chiều cao khối chóp \(h\) phải vuông góc với MẶT PHẲNG ĐÁY. Đường cao của mặt bên chỉ vuông góc với CẠNH ĐÁY của mặt bên đó.
     • Mối liên hệ \(nếu có\): Chiều cao khối chóp \(h\), đường cao mặt bên \(slant height \(l\)\), và một đoạn \(x\) nào đó trên mặt đáy thường tạo thành một tam giác vuông \(ví dụ \(h^2 + x^2 = l^2\)\). Hãy tìm và sử dụng tam giác vuông này.
     • Ví dụ: Chóp S.ABC có đáy ABC đều, SA=SB=SC. Gọi M là trung điểm AB, O là tâm đáy. Thì SM là đường cao \(\triangle SAB\). SO là đường cao khối chóp. \(\triangle SOM\) vuông tại O. \(SO^2 + OM^2 = SM^2\). Không được lấy SM làm \(h\).

7. 8.7. Lựa Chọn Phương Pháp Giải Không Phù Hợp Hoặc Kém Hiệu Quả

   • 8.7.1. Lỗi: "Dùng dao mổ trâu để giết gà" – Sử dụng phương pháp vector phức tạp cho bài toán đơn giản.
     • Mô tả "bệnh": Gặp tứ diện OABC vuông tại O, thay vì dùng \(V=\frac{1}{6}abc\) cho nhanh, học sinh lại loay hoay đặt hệ trục tọa độ, tính toán vector dài dòng.
     • Nguyên nhân sâu xa: Quá say mê một phương pháp, hoặc không đủ linh hoạt để nhận ra cách giải tối ưu.
   • 8.7.2. Lỗi: "Cố đấm ăn xôi" – Cố gắng giải theo hình học thuần túy cho bài toán có tọa độ rõ ràng.
     • Mô tả "bệnh": Đề cho sẵn tọa độ 4 đỉnh A, B, C, D. Thay vì dùng ngay công thức \(V = \frac{1}{6} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}|\), học sinh lại cố gắng tìm phương trình mặt phẳng \(ABC\), tính khoảng cách từ D xuống \(ABC\) làm chiều cao, rồi tính diện tích \(\triangle ABC\) bằng công thức vector \(\frac{1}{2}|\[\vec{AB},\vec{AC}\]|\) – các bước này phức tạp hơn nhiều.
     • Nguyên nhân sâu xa: Chưa thấy được thế mạnh của từng phương pháp trong từng bối cảnh cụ thể.
   • "Đơn thuốc" phòng và trị bệnh \(cho cả hai lỗi trên\):
     • Đọc kỹ đề và "bắt mạch" bài toán:
       • Đề có cho tọa độ không? \(\Rightarrow\) Ưu tiên phương pháp vector.
       • Tứ diện có dạng đặc biệt không \(vuông, đều\)? \(\Rightarrow\) Cân nhắc công thức nhanh.
       • Có yếu tố vuông góc rõ ràng \(cạnh \(\perp\) đáy, mặt \(\perp\) đáy\) không? \(\Rightarrow\) Dùng \(V = \frac{1}{3} B \cdot h\) với việc xác định B, h hình học.
     • Phát triển sự linh hoạt: Hãy luyện tập tất cả các phương pháp để khi gặp một bài toán, bạn có thể nhanh chóng "quét" qua các lựa chọn và chọn ra cách tiếp cận hiệu quả nhất. Đôi khi, việc giải bằng hai cách khác nhau cũng là một phương pháp kiểm tra kết quả tốt.

Bằng việc nhận diện và hiểu rõ những lỗi sai này, cùng với việc áp dụng các "đơn thuốc" được gợi ý, bạn sẽ dần hình thành thói quen cẩn thận, tư duy chính xác và kỹ năng giải toán ngày càng hoàn thiện. Hãy nhớ, mỗi lỗi sai được phát hiện và sửa chữa là một bước tiến trên con đường chinh phục kiến thức!

Tuyệt vời! Chúng ta đã cùng nhau đi qua một chặng đường dài để tìm hiểu lý thuyết, các công thức, mẹo ghi nhớ và lỗi sai thường gặp. Bây giờ là lúc vận dụng tất cả những kiến thức đó vào thực hành với các bài tập cụ thể. Phần này sẽ cung cấp cho bạn các ví dụ đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, với lời giải chi tiết và những phân tích sâu sắc.

PHẦN 9: THỰC CHIẾN THÔI! – KHO BÀI TẬP VẬN DỤNG THỂ TÍCH TỨ DIỆN (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪ A-Z)

Trong phần này, mỗi bài tập sẽ được trình bày theo một cấu trúc thống nhất để bạn dễ dàng theo dõi và học hỏi:

• Đề bài: Phát biểu rõ ràng yêu cầu của bài toán.
• Hình vẽ \(Mô tả\): Hướng dẫn cách phác họa hình vẽ trực quan.
• Phân tích hướng giải:
  • Nhận diện dạng tứ diện, các yếu tố đã biết và cần tìm.
  • Lựa chọn phương pháp giải tối ưu \(công thức tổng quát, công thức nhanh, phương pháp vector\).
  • Nêu các bước chính trong quá trình giải.
  • Chỉ ra các điểm cần lưu ý hoặc mẹo nhỏ \(nếu có\).
• Lời giải chi tiết: Trình bày từng bước tính toán, sử dụng MathJax cho công thức.
• Đáp số: Kết quả cuối cùng của bài toán.
• Nhận xét/Lưu ý/Mẹo ghi nhớ:
  • Bài học rút ra từ bài toán.
  • Các cách giải khác \(nếu có\).
  • Nhắc lại các lỗi sai có thể gặp và cách phòng tránh liên quan đến dạng bài này.
  • Củng cố các mẹo ghi nhớ công thức đã được áp dụng.

Nào, chúng ta bắt đầu!

Bài tập 9.1: Khởi động nhẹ nhàng – Áp dụng công thức cơ bản

• Đề bài: Một khối tứ diện có diện tích mặt đáy bằng \(15 cm^2\) và chiều cao tương ứng với mặt đáy đó bằng \(8 cm\). Tính thể tích của khối tứ diện này.

• Hình vẽ \(Mô tả\): Vẽ một tứ diện bất kỳ, ví dụ S.ABC. Đánh dấu mặt đáy \(ABC\) và đường cao SH hạ từ S xuống \(ABC\).

• Phân tích hướng giải:

  • Đây là bài toán cơ bản nhất, cung cấp trực tiếp diện tích đáy \(\(B\)\) và chiều cao \(\(h\)\).
  • Áp dụng trực tiếp công thức tổng quát: \(V = \frac{1}{3} B \cdot h\).
  • Không có yếu tố đặc biệt nào cần lưu ý thêm, chỉ cần lắp số và tính toán.

• Lời giải chi tiết: Gọi \(B\) là diện tích mặt đáy của khối tứ diện và \(h\) là chiều cao tương ứng. Theo đề bài, ta có: \(B = 15 , cm^2\) \(h = 8 , cm\) Thể tích của khối tứ diện được tính theo công thức: \[V = \frac{1}{3} B \cdot h\] Thay số liệu vào công thức: \[V = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot 8\] \[V = 5 \cdot 8\] \[V = 40 , cm^3\]

• Đáp số: Thể tích của khối tứ diện là \(40 , cm^3\).

• Nhận xét/Lưu ý/Mẹo ghi nhớ:

  • Đây là dạng bài tập kiểm tra việc ghi nhớ và áp dụng công thức cơ bản nhất.
  • Luôn nhớ hệ số \(\frac{1}{3}\) khi tính thể tích khối chóp \(tứ diện là một trường hợp đặc biệt của khối chóp\).
  • Đảm bảo đơn vị của diện tích đáy và chiều cao tương thích để đơn vị thể tích là chính xác \(ví dụ: \(cm^2\) và \(cm\) cho ra \(cm^3\)\).

Bài tập 9.2: Cạnh bên vuông góc với mặt đáy

• Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\(ABC\)\). Biết tam giác ABC vuông tại B, \(AB = 3a\), \(BC = 4a\) và \(SA = 5a\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo \(a\).

• Hình vẽ \(Mô tả\): Vẽ mặt phẳng \(ABC\) nằm ngang. Vì \(\triangle ABC\) vuông tại B, vẽ \(\widehat{ABC} = 90^\circ\). Từ A, vẽ đoạn SA thẳng đứng lên trên \(vuông góc với AB và AC tại A\). Nối S với B và C. Ký hiệu các độ dài đã cho.

• Phân tích hướng giải:

  • Nhận dạng: Tứ diện S.ABC có \(SA \perp \(ABC\)\). Đây là trường hợp cạnh bên vuông góc với đáy.
  • Xác định chiều cao: Vì \(SA \perp \(ABC\)\), nên \(SA\) chính là chiều cao của khối chóp: \(h = SA = 5a\).
  • Xác định diện tích đáy: Đáy là \(\triangle ABC\) vuông tại B. Diện tích được tính bằng \(\frac{1}{2}\) tích hai cạnh góc vuông: \(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC\).
  • Áp dụng công thức: \(V = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot h\).
  • Lưu ý: Bài toán này có các cạnh tạo thành một bộ ba Pythagoras \(3a, 4a, 5a - nếu tính SC hoặc SB\), nhưng ở đây 5a là chiều cao SA.

• Lời giải chi tiết: Vì \(SA \perp \(ABC\)\), chiều cao của khối chóp S.ABC là \(h = SA = 5a\). Tam giác ABC vuông tại B, nên diện tích mặt đáy là: \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC\] Thay \(AB = 3a\) và \(BC = 4a\) vào, ta được: \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \(3a\)\(4a\) = \frac{1}{2} \cdot 12a^2 = 6a^2\] Thể tích khối chóp S.ABC là: \[V = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot h\] \[V = \frac{1}{3} \(6a^2\)\(5a\)\] \[V = 2a^2 \cdot 5a\] \[V = 10a^3\]

• Đáp số: Thể tích khối chóp S.ABC là \(10a^3\).

• Nhận xét/Lưu ý/Mẹo ghi nhớ:

  • Khi một cạnh bên vuông góc với đáy, việc xác định chiều cao trở nên rất đơn giản. Hãy tìm kiếm dấu hiệu này đầu tiên.
  • Ôn lại các công thức tính diện tích tam giác, đặc biệt là tam giác vuông.
  • Lỗi sai thường gặp: Học sinh có thể nhầm lẫn tính diện tích đáy hoặc áp dụng sai công thức khi tam giác đáy không phải là tam giác đặc biệt. Trong trường hợp này, tam giác đáy vuông nên việc tính diện tích khá dễ dàng.
  • Một số bạn có thể bị "đánh lừa" bởi bộ số 3,4,5 và cố gắng tìm một cạnh huyền nào đó, nhưng ở đây vai trò của 5a là chiều cao SA.

Bài tập 9.3: Mặt bên vuông góc với mặt đáy

• Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt bên \(SAB\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(ABC\). Tam giác SAB là tam giác vuông tại S. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo \(a\).

• Hình vẽ \(Mô tả\): Vẽ tam giác đều ABC nằm ngang. Vẽ mặt phẳng \(SAB\) như một "bức tường" dựng đứng trên \(ABC\) theo giao tuyến AB. Trong mặt phẳng \(SAB\), tam giác SAB vuông tại S. Kẻ đường cao SH từ S xuống AB \(H thuộc AB\). SH này sẽ là chiều cao của khối chóp.

• Phân tích hướng giải:

  • Nhận dạng: Hình chóp có mặt bên \(SAB\) \(\perp\) mặt đáy \(ABC\).
  • Xác định chiều cao: Vì \(\(SAB\) \perp \(ABC\)\) và giao tuyến của chúng là AB, nên nếu kẻ \(SH \perp AB\) \(với \(H \in AB\)\) trong mặt phẳng \(SAB\), thì \(SH\) chính là chiều cao của khối chóp: \(h = SH\).
  • Tính SH: Tam giác SAB vuông tại S. SH là đường cao ứng với cạnh huyền AB. Ta cần tính độ dài các cạnh SA, SB hoặc AB để tính SH. Vì đáy ABC là tam giác đều cạnh \(a\), nên \(AB = a\). Trong tam giác vuông SAB, ta có thể sử dụng hệ thức \(\frac{1}{SH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{SB^2}\) hoặc \(SH \cdot AB = SA \cdot SB\). Tuy nhiên, chúng ta chưa biết SA, SB. Một cách khác: Nếu \(\triangle SAB\) vuông tại S, và H là chân đường cao từ S xuống AB, thì H có thể không phải là trung điểm AB trừ khi \(\triangle SAB\) vuông cân. Đề bài cho \(\triangle SAB\) vuông tại S, cạnh huyền AB = \(a\). Để tính SH, ta cần thêm thông tin về \(\triangle SAB\). Xem lại đề, có thể đề bài muốn cho \(\triangle SAB\) vuông cân tại S, hoặc là tam giác đều? Giả sử đề bài ngụ ý \(\triangle SAB\) chỉ vuông tại S. Nếu chỉ vuông tại S, ta chưa đủ thông tin để xác định cụ thể SA, SB và từ đó là SH. Chỉnh sửa giả thiết để bài toán giải được rõ ràng hơn: Giả sử tam giác SAB vuông cân tại S. \(Nếu đề gốc không có "cân" thì bài toán thiếu dữ kiện\). Nếu \(\triangle SAB\) vuông cân tại S, với \(AB = a\), thì \(SA = SB = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}\). Khi đó, SH là đường cao cũng là trung tuyến, \(SH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\) \(vì trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền\).
  • Xác định diện tích đáy: Đáy là \(\triangle ABC\) đều cạnh \(a\): \(S_{\triangle ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
  • Áp dụng công thức: \(V = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SH\).

• Lời giải chi tiết \(với giả thiết \(\triangle SAB\) vuông cân tại S\): Diện tích mặt đáy \(tam giác đều ABC cạnh \(a\)\): \[S_{\triangle ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] Vì mặt bên \(SAB\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(ABC\) theo giao tuyến AB, ta kẻ \(SH \perp AB\) \(\(H \in AB\)\) trong \(\triangle SAB\). Khi đó \(SH \perp \(ABC\)\), nên \(SH\) là chiều cao của khối chóp. Do \(\triangle SAB\) vuông cân tại S và có cạnh huyền \(AB = a\): \(SA = SB = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}\). SH là đường cao trong tam giác vuông cân SAB, đồng thời là đường trung tuyến, nên \(H\) là trung điểm của AB. \[SH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\] \(Hoặc có thể tính \(SH\) bằng hệ thức \(SH \cdot AB = SA \cdot SB \Rightarrow SH \cdot a = \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2} \Rightarrow SH = \frac{a}{2}\)\). Thể tích khối chóp S.ABC là: \[V = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SH\] \[V = \frac{1}{3} \cdot \left\(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right\) \cdot \left\(\frac{a}{2}\right\)\] \[V = \frac{a^3\sqrt{3}}{24}\]

• Đáp số \(với giả thiết \(\triangle SAB\) vuông cân tại S\): Thể tích khối chóp S.ABC là \(\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\).

• Nhận xét/Lưu ý/Mẹo ghi nhớ:

  • Khi một mặt bên vuông góc với đáy, chìa khóa là xác định giao tuyến và kẻ đường cao từ đỉnh của mặt bên đó xuống giao tuyến. Đó chính là chiều cao của khối chóp.
  • Cẩn thận với các tính chất của tam giác \(vuông, cân, đều, vuông cân\) để tính toán các yếu tố \(đường cao tam giác, cạnh\) cho chính xác. Luôn kiểm tra xem đề bài có đủ dữ kiện hay không.
  • Lỗi sai thường gặp:
    • Nhầm lẫn chiều cao SH của chóp với một cạnh nào đó của \(\triangle SAB\).
    • Tính sai SH do áp dụng sai tính chất của \(\triangle SAB\). Ví dụ, nếu \(\triangle SAB\) chỉ vuông tại S mà không cân, thì SH không bằng \(\frac{1}{2}AB\).
  • Mẹo nhớ: "Mặt \(\perp\) Đáy \(\Rightarrow\) Cao chóp là cao của mặt \(từ đỉnh xuống giao tuyến\)".

Bài tập 9.4: Tứ diện đều

• Đề bài: Cho một tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(3a\). a\) Tính chiều cao của tứ diện đều này. b\) Tính thể tích của khối tứ diện đều ABCD.

• Hình vẽ \(Mô tả\): Vẽ một tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng \(BCD\). H sẽ là tâm của tam giác đều BCD.

• Phân tích hướng giải:

  • Nhận dạng: Đây là tứ diện đều. Tất cả 6 cạnh bằng \(3a\). Tất cả 4 mặt là tam giác đều cạnh \(3a\).
  • Câu a \(Chiều cao\):
    • Cách 1: Sử dụng công thức tính nhanh chiều cao tứ diện đều cạnh \(x\): \(h = x\sqrt{\frac{2}{3}}\).
    • Cách 2: Tính toán cụ thể. Gọi H là tâm \(\triangle BCD\) \(đáy\). AH là chiều cao. Tính BH \(bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\triangle BCD\)\). Dùng Pythagoras trong \(\triangle ABH\) vuông tại H để tìm AH.
  • Câu b \(Thể tích\):
    • Cách 1: Sử dụng công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh \(x\): \(V = \frac{x^3\sqrt{2}}{12}\).
    • Cách 2: Dùng \(V = \frac{1}{3} S_{\triangle BCD} \cdot AH\), với \(S_{\triangle BCD}\) là diện tích tam giác đều và AH đã tính ở câu a.

• Lời giải chi tiết: Gọi cạnh của tứ diện đều là \(x = 3a\).

  a\) Tính chiều cao của tứ diện đều \(AH\): Đáy BCD là tam giác đều cạnh \(x = 3a\). Gọi H là trọng tâm của \(\triangle BCD\), thì AH là đường cao của tứ diện. Gọi M là trung điểm của CD. Ta có BM là đường trung tuyến \(đồng thời là đường cao\) của \(\triangle BCD\). \[BM = \frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{\(3a\)\sqrt{3}}{2}\] Vì H là trọng tâm, \(BH = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot \frac{3a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\). Xét tam giác vuông ABH \(vuông tại H\), có \(AB = x = 3a\), \(BH = a\sqrt{3}\). Theo định lý Pythagoras: \[AH^2 = AB^2 - BH^2 = \(3a\)^2 - \(a\sqrt{3}\)^2 = 9a^2 - 3a^2 = 6a^2\] \[AH = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6}\] \(Cách khác: \(h = x\sqrt{\frac{2}{3}} = 3a \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 3a \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 3a \frac{\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}\)\).

  b\) Tính thể tích của khối tứ diện đều ABCD: Diện tích mặt đáy \(tam giác đều BCD cạnh \(x=3a\)\): \[S_{\triangle BCD} = \frac{x^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\(3a\)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9a^2\sqrt{3}}{4}\] Chiều cao \(AH = a\sqrt{6}\). Thể tích khối tứ diện đều ABCD: \[V = \frac{1}{3} S_{\triangle BCD} \cdot AH\] \[V = \frac{1}{3} \cdot \left\(\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}\right\) \cdot \(a\sqrt{6}\)\] \[V = \frac{9a^3 \sqrt{18}}{12} = \frac{9a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{12} = \frac{27a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{9a^3\sqrt{2}}{4}\] \(Cách khác: \(V = \frac{x^3\sqrt{2}}{12} = \frac{\(3a\)^3\sqrt{2}}{12} = \frac{27a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{9a^3\sqrt{2}}{4}\)\).

• Đáp số: a\) Chiều cao của tứ diện đều là \(a\sqrt{6}\). b\) Thể tích của khối tứ diện đều là \(\frac{9a^3\sqrt{2}}{4}\).

• Nhận xét/Lưu ý/Mẹo ghi nhớ:

  • Đối với tứ diện đều, việc nhớ các công thức tính nhanh cho chiều cao \(\(h = x\sqrt{\frac{2}{3}}\)\) và thể tích \(\(V = \frac{x^3\sqrt{2}}{12}\)\) là rất lợi thế, giúp tiết kiệm thời gian.
  • Tuy nhiên, hiểu cách xây dựng các công thức đó \(như việc tính AH qua BH và AB\) giúp củng cố kiến thức nền tảng và tự tin hơn khi áp dụng.
  • Lỗi sai thường gặp:
    • Nhầm lẫn giữa cạnh của tứ diện và \(a\) trong công thức \(nếu đề cho cạnh là \(ka\)\).
    • Tính sai bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy \(BH\) hoặc diện tích đáy.
    • Sai sót số học khi rút gọn biểu thức căn.
  • Mẹo nhớ: "Đều \(\rightarrow\) Cao \(\sqrt{6}/3\) lần cạnh", "Đều \(\rightarrow\) Thể tích \(\sqrt{2}/12\) lần \(cạnh\)³".

Bài tập 9.5: Tứ diện vuông \(Ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc\)

• Đề bài: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau tại O. Biết rằng \(OA = 2a\), \(OB = 3a\), và \(OC = 4a\). a\) Chứng minh rằng thể tích khối tứ diện OABC có thể được tính bằng công thức \(V = \frac{1}{6} OA \cdot OB \cdot OC\). b\) Tính thể tích khối tứ diện OABC theo \(a\).

• Hình vẽ \(Mô tả\): Vẽ một góc tam diện vuông tại O. Ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B, trên Oz lấy điểm C. Nối A, B, C để tạo thành tứ diện OABC. Ký hiệu các góc vuông tại O \(\(\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = 90^\circ\)\) và độ dài các cạnh OA, OB, OC.

• Phân tích hướng giải:

  • Nhận dạng: Đây là trường hợp tứ diện vuông tại O, với ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.
  • Câu a \(Chứng minh công thức\):
    • Chọn một mặt phẳng tọa độ thích hợp \(ví dụ, O là gốc tọa độ, OA, OB, OC lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz\).
    • Hoặc sử dụng phương pháp hình học thuần túy: Coi O là đỉnh, \(\triangle ABC\) là đáy \(cách này phức tạp\).
    • Cách đơn giản hơn: Coi một trong ba đỉnh A, B, C làm đỉnh của hình chóp. Ví dụ, coi C là đỉnh, đáy là \(\triangle OAB\). Vì \(OC \perp OA\) và \(OC \perp OB\), nên \(OC \perp \(OAB\)\). Vậy OC chính là chiều cao của hình chóp C.OAB. Diện tích đáy \(\triangle OAB\) \(vuông tại O\) là \(\frac{1}{2} OA \cdot OB\). Áp dụng \(V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h\).
  • Câu b \(Tính thể tích\):
    • Sau khi đã chứng minh hoặc chấp nhận công thức ở câu a, chỉ cần thay số vào để tính.

• Lời giải chi tiết: a\) Chứng minh công thức \(V = \frac{1}{6} OA \cdot OB \cdot OC\): Xét tứ diện OABC có \(OA \perp OB\), \(OB \perp OC\), \(OC \perp OA\). Chọn đỉnh của khối chóp là C, mặt đáy là tam giác OAB. Vì \(OC \perp OA\) \(giả thiết\) Và \(OC \perp OB\) \(giả thiết\) Mà OA và OB là hai đường thẳng cắt nhau tại O và cùng nằm trong mặt phẳng \(OAB\). Do đó, \(OC \perp \(OAB\)\). Điều này có nghĩa là OC chính là đường cao của khối chóp C.OAB, hạ từ đỉnh C xuống mặt đáy \(OAB\). Vậy, chiều cao \(h = OC\). Mặt đáy là tam giác OAB. Vì \(OA \perp OB\) \(giả thiết\), nên tam giác OAB vuông tại O. Diện tích tam giác OAB là: \[S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB\] Áp dụng công thức thể tích khối chóp tổng quát: \(V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h\). Thể tích khối tứ diện OABC \(cũng là khối chóp C.OAB\) là: \[V_{OABC} = \frac{1}{3} S_{\triangle OAB} \cdot OC = \frac{1}{3} \left\(\frac{1}{2} OA \cdot OB\right\) \cdot OC = \frac{1}{6} OA \cdot OB \cdot OC\] Đây là điều phải chứng minh.

  b\) Tính thể tích khối tứ diện OABC theo \(a\): Theo đề bài, ta có: \(OA = 2a\) \(OB = 3a\) \(OC = 4a\) Áp dụng công thức vừa chứng minh ở câu a: \[V_{OABC} = \frac{1}{6} OA \cdot OB \cdot OC\] \[V_{OABC} = \frac{1}{6} \(2a\)\(3a\)\(4a\)\] \[V_{OABC} = \frac{1}{6} \(24a^3\)\] \[V_{OABC} = 4a^3\]

• Đáp số: a\) Đã chứng minh. b\) Thể tích khối tứ diện OABC là \(4a^3\).

• Nhận xét/Lưu ý/Mẹo ghi nhớ:

  • Công thức \(V = \frac{1}{6}abc\) cho tứ diện vuông là một công cụ cực kỳ mạnh mẽ và tiết kiệm thời gian. Hãy ghi nhớ nó.
  • Cách chứng minh bằng việc chọn đỉnh và đáy phù hợp để tận dụng các yếu tố vuông góc là một kỹ thuật quan trọng trong hình học không gian.
  • Lỗi sai thường gặp:
    • Quên hệ số \(\frac{1}{6}\) và nhầm thành \(\frac{1}{3}\) \(do nhầm với công thức tổng quát mà chưa nhân \(\frac{1}{2}\) của diện tích đáy tam giác vuông\).
    • Áp dụng công thức này cho tứ diện không phải là tứ diện vuông.
  • Mẹo nhớ: "Tứ diện có GÓC VUÔNG \(tam diện vuông\) \(\rightarrow\) Thể tích bằng \(\frac{1}{6}\) nhân ba cạnh ở góc vuông đó." Liên tưởng đến việc "chia sáu" một "viên gạch" hình hộp chữ nhật nhỏ được tạo bởi ba cạnh đó.

Bài tập 9.6: "Ra tay" với Phương pháp Vector khi biết tọa độ

• Đề bài: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \(A\(2, 0, 0\)\), \(B\(0, 4, 0\)\), \(C\(0, 0, 6\)\) và \(D\(2, 4, 6\)\). a\) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b\) Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.

• Hình vẽ \(Mô tả\): Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz. Chấm các điểm A, B, C, D theo tọa độ đã cho. Nối các điểm lại để tạo thành tứ diện ABCD. \(Lưu ý: Điểm A nằm trên Ox, B trên Oy, C trên Oz. Điểm D có tọa độ là tổng tọa độ của A, B, C nếu coi O là gốc, nhưng ở đây A, B, C không phải là OA, OB, OC của tứ diện vuông OABC\).

• Phân tích hướng giải:

  • Câu a \(Chứng minh là tứ diện\): Để A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện, chúng không được đồng phẳng. Ta sẽ chứng minh điều này bằng cách xét các vector \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\) và kiểm tra xem tích hỗn tạp của chúng có khác 0 hay không. Nếu \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD} \neq 0\), thì ba vector này không đồng phẳng, do đó A, B, C, D tạo thành một tứ diện.
  • Câu b \(Tính thể tích\): Khi đã có tọa độ các đỉnh, phương pháp hiệu quả nhất là sử dụng công thức thể tích thông qua tích hỗn tạp: \[V_{ABCD} = \frac{1}{6} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}|\]

• Lời giải chi tiết: Cho \(A\(2, 0, 0\)\), \(B\(0, 4, 0\)\), \(C\(0, 0, 6\)\), \(D\(2, 4, 6\)\).

  a\) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện: Ta lập các vector xuất phát từ đỉnh A: \(\vec{AB} = \(0-2, 4-0, 0-0\) = \(-2, 4, 0\)\) \(\vec{AC} = \(0-2, 0-0, 6-0\) = \(-2, 0, 6\)\) \(\vec{AD} = \(2-2, 4-0, 6-0\) = \(0, 4, 6\)\) Tính tích có hướng \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\]\): \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\] = \left\( \left| \begin{array}{cc} 4 & 0 \ 0 & 6 \end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc} 0 & -2 \ 6 & -2 \end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc} -2 & 4 \ -2 & 0 \end{array} \right| \right\)\) \(= \(4 \cdot 6 - 0 \cdot 0, 0 \cdot \(-2\) - \(-2\) \cdot 6, \(-2\) \cdot 0 - 4 \cdot \(-2\)\)\) \(= \(24 - 0, 0 - \(-12\), 0 - \(-8\)\) = \(24, 12, 8\)\) Tính tích hỗn tạp \(\(\[\vec{AB}, \vec{AC}\]\) \cdot \vec{AD}\): \(T = \(24, 12, 8\) \cdot \(0, 4, 6\) = 24 \cdot 0 + 12 \cdot 4 + 8 \cdot 6\) \(T = 0 + 48 + 48 = 96\) Vì \(T = \[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD} = 96 \neq 0\), nên ba vector \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\) không đồng phẳng. Do đó, A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

  b\) Tính thể tích của khối tứ diện ABCD: Áp dụng công thức thể tích tứ diện bằng tích hỗn tạp: \[V_{ABCD} = \frac{1}{6} |\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD}|\] Từ câu a, ta đã tính được \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD} = 96\). Vậy: \[V_{ABCD} = \frac{1}{6} |96| = \frac{96}{6} = 16\]

• Đáp số: a\) Đã chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện \(do tích hỗn tạp \(\[\vec{AB}, \vec{AC}\] \cdot \vec{AD} = 96 \neq 0\)\). b\) Thể tích của khối tứ diện ABCD là 16 \(đơn vị thể tích\).

• Nhận xét/Lưu ý/Mẹo ghi nhớ:

  • Điều kiện để 4 điểm tạo thành một tứ diện là chúng không đồng phẳng, tương đương với việc 3 vector tạo từ một điểm chung đến 3 điểm còn lại không đồng phẳng \(tích hỗn tạp khác 0\).
  • Khi tọa độ các đỉnh được cho, công thức thể tích qua tích hỗn tạp là phương pháp rất hiệu quả và trực tiếp.
  • Các bước "vàng" cho phương pháp vector:
    1. Chọn đỉnh gốc, tạo 3 vector.
    2. Tính tích có hướng của 2 vector đầu.
    3. Tính tích vô hướng của kết quả với vector thứ 3 \(được Tích Hỗn Tạp\).
    4. Thể tích = \(\frac{1}{6} \times |\text{Tích Hỗn Tạp}|\).
  • Lỗi sai thường gặp:
    • Tính sai tọa độ vector \(nhầm "ngọn trừ gốc"\).
    • Sai sót trong các bước tính tích có hướng \(nhầm thứ tự, sai dấu các định thức con\).
    • Sai sót trong tính tích vô hướng.
    • Quên lấy giá trị tuyệt đối của tích hỗn tạp \(thể tích không thể âm!\).
    • Quên chia cho 6 \(nhầm với thể tích khối hộp là \(|T|\), hoặc nhầm với hệ số \(\frac{1}{3}\) của công thức tổng quát\).
  • Mẹo nhớ: "Vector 4 đỉnh \(\rightarrow\) 3 vector con \(\rightarrow\) Chéo rồi Chấm \(\rightarrow\) Chia Sáu, Trị Tuyệt Đối."

Bài tập 9.7: Thử thách tìm chiều cao – Kết hợp Pythagoras và tính chất hình học

• Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(AB = a\), \(AC = a\sqrt{3}\). Tam giác SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy \(ABC\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo \(a\).

• Hình vẽ \(Mô tả\): Vẽ tam giác ABC vuông tại A, với AB ngắn hơn AC. Gọi M là trung điểm của BC. Vì \(\triangle SBC\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(ABC\), nên nếu kẻ SM \(\perp\) BC, thì SM cũng sẽ là đường cao của hình chóp S.ABC. Điểm S sẽ nằm "phía trên" M. Nối S với A, B, C.

• Phân tích hướng giải:

  • Nhận dạng: Hình chóp có mặt bên \(SBC\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(ABC\).
  • Xác định chiều cao:
    1. Giao tuyến của \(SBC\) và \(ABC\) là BC.
    2. Vì \(\triangle SBC\) là tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC, thì \(SM \perp BC\).
    3. Do \(\(SBC\) \perp \(ABC\)\) và \(SM \subset \(SBC\)\), \(SM \perp BC\), suy ra \(SM \perp \(ABC\)\).
    4. Vậy, chiều cao của khối chóp là \(h = SM\).
  • Tính các yếu tố cần thiết:
    1. Tính BC: \(\triangle ABC\) vuông tại A, dùng định lý Pythagoras: \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\).
    2. Tính SM: \(\triangle SBC\) đều, M là trung điểm BC. SM là đường cao của tam giác đều có cạnh BC. \(SM = \frac{\(\text{cạnh BC}\)\sqrt{3}}{2}\).
  • Xác định diện tích đáy: \(\triangle ABC\) vuông tại A. \(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC\).
  • Áp dụng công thức: \(V = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SM\).

• Lời giải chi tiết: 1. Tính cạnh BC của tam giác đáy: Tam giác ABC vuông tại A, có \(AB = a\) và \(AC = a\sqrt{3}\). Áp dụng định lý Pythagoras: \[BC^2 = AB^2 + AC^2 = a^2 + \(a\sqrt{3}\)^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2\] \[BC = \sqrt{4a^2} = 2a\]

  2. Tính chiều cao SM của khối chóp: Gọi M là trung điểm của BC. Vì \(\triangle SBC\) là tam giác đều có cạnh \(BC = 2a\), nên SM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của \(\triangle SBC\). Độ dài đường cao SM trong tam giác đều SBC cạnh \(2a\) là: \[SM = \frac{\(\text{cạnh BC}\)\sqrt{3}}{2} = \frac{\(2a\)\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\] Vì mặt phẳng \(SBC\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(ABC\) theo giao tuyến BC, và \(SM \perp BC\) \(do SM là đường cao \(\triangle SBC\)\), Suy ra \(SM \perp \(ABC\)\). Vậy, chiều cao của khối chóp S.ABC là \(h = SM = a\sqrt{3}\).

  3. Tính diện tích mặt đáy \( \(\triangle ABC\)\): Tam giác ABC vuông tại A, có \(AB = a\) và \(AC = a\sqrt{3}\). \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\]

  4. Tính thể tích khối chóp S.ABC: Áp dụng công thức thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h\). \[V_{S.ABC} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SM = \frac{1}{3} \cdot \left\(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right\) \cdot \(a\sqrt{3}\)\] \[V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \cdot \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\)}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3a^2}{2} = \frac{3a^3}{6} = \frac{a^3}{2}\]

• Đáp số: Thể tích khối chóp S.ABC là \(\frac{a^3}{2}\).

• Nhận xét/Lưu ý/Mẹo ghi nhớ:

  • Đây là dạng bài kết hợp tính chất "mặt bên vuông góc với đáy" và các tính chất của tam giác đều, tam giác vuông.
  • Việc xác định đúng chân đường cao \(M là trung điểm BC\) và sau đó tính đúng độ dài đường cao \(SM\) là mấu chốt.
  • Luôn cẩn thận khi tính toán các độ dài cạnh trung gian \(ví dụ BC\) và các đường cao \(SM\).
  • Lỗi sai thường gặp:
    • Xác định sai chiều cao của khối chóp \(ví dụ, lấy một cạnh bên hoặc đường cao của tam giác đáy\).
    • Tính sai độ dài đường cao SM của tam giác đều SBC \(nhầm công thức, hoặc nhầm cạnh của tam giác đều\).
    • Tính sai diện tích đáy.
  • Mẹo nhớ: Khi có "mặt bên \(\perp\) đáy", hãy tìm giao tuyến, rồi từ đỉnh chóp hạ vuông góc xuống giao tuyến đó \(\Rightarrow\) đó chính là chiều cao của khối chóp.

Bài tập 9.8: Khai thác yếu tố góc để tìm chiều cao hoặc cạnh đáy

• Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, \(BC = 2a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng đáy \(ABC\) bằng \(60^\circ\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo \(a\).

• Hình vẽ \(Mô tả\): Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền BC. Từ A, vẽ SA thẳng đứng lên trên \(vuông góc với AB và AC tại A\). Nối S với B và C. Góc \(\widehat{SBA}\) chính là góc giữa SB và \(ABC\).

• Phân tích hướng giải:

  • Nhận dạng: Hình chóp có cạnh bên \(SA \perp \(ABC\)\).
  • Xác định chiều cao: Vì \(SA \perp \(ABC\)\), nên \(h = SA\). Chúng ta cần tìm SA.
  • Khai thác yếu tố góc: Góc giữa SB và mặt phẳng \(ABC\) là góc \(\widehat{SBA}\) \(vì AB là hình chiếu vuông góc của SB lên \(ABC\) do \(SA \perp \(ABC\)\)\). Đề bài cho \(\widehat{SBA} = 60^\circ\).
  • Tính các yếu tố cần thiết:
    1. Tính AB \(và AC\): \(\triangle ABC\) vuông cân tại A, \(BC = 2a\). Trong tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng cạnh góc vuông nhân \(\sqrt{2}\). Vậy \(BC = AB\sqrt{2} \Rightarrow AB = \frac{BC}{\sqrt{2}}\).
    2. Tính SA: Xét \(\triangle SAB\) vuông tại A, có AB và \(\widehat{SBA} = 60^\circ\). Dùng tan để tính SA: \(SA = AB \cdot \tan\(60^\circ\)\).
  • Xác định diện tích đáy: \(\triangle ABC\) vuông cân tại A. \(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} AB^2\).
  • Áp dụng công thức: \(V = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SA\).

• Lời giải chi tiết: 1. Tính các cạnh của tam giác đáy ABC: Tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền \(BC = 2a\). Ta có: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\). Vì \(\triangle ABC\) cân tại A nên \(AB = AC\). Do đó, \(2AB^2 = \(2a\)^2 = 4a^2\) \[AB^2 = 2a^2 \Rightarrow AB = AC = a\sqrt{2}\]

  2. Tính chiều cao SA của khối chóp: Vì \(SA \perp \(ABC\)\), hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng \(ABC\) là AB. Do đó, góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng đáy \(ABC\) chính là góc \(\widehat{SBA}\). Theo đề bài, \(\widehat{SBA} = 60^\circ\). Xét tam giác SAB vuông tại A: \[\tan\(\widehat{SBA}\) = \frac{SA}{AB}\] \[SA = AB \cdot \tan\(60^\circ\) = \(a\sqrt{2}\) \cdot \sqrt{3} = a\sqrt{6}\] Vậy, chiều cao của khối chóp là \(h = SA = a\sqrt{6}\).

  3. Tính diện tích mặt đáy \( \(\triangle ABC\)\): Tam giác ABC vuông cân tại A, với \(AB = AC = a\sqrt{2}\). \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} \(a\sqrt{2}\)\(a\sqrt{2}\) = \frac{1}{2} \(2a^2\) = a^2\]

  4. Tính thể tích khối chóp S.ABC: Áp dụng công thức thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h\). \[V_{S.ABC} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \(a^2\) \cdot \(a\sqrt{6}\)\] \[V_{S.ABC} = \frac{a^3\sqrt{6}}{3}\]

• Đáp số: Thể tích khối chóp S.ABC là \(\frac{a^3\sqrt{6}}{3}\).

• Nhận xét/Lưu ý/Mẹo ghi nhớ:

  • Khi bài toán cho yếu tố góc \(góc giữa cạnh bên và đáy, hoặc góc giữa mặt bên và đáy\), đây thường là chìa khóa để tìm ra chiều cao \(h\) hoặc một kích thước quan trọng của đáy.
  • Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\(P\)\) là góc giữa \(d\) và hình chiếu vuông góc \(d'\) của nó trên \(\(P\)\). Để làm điều này:
    1. Tìm giao điểm O của \(d\) và \(\(P\)\).
    2. Lấy một điểm M bất kỳ trên \(d\) \(khác O\).
    3. Hạ MH \(\perp\) \(P\) \(H là hình chiếu của M\).
    4. Góc cần tìm là \(\widehat{MOH}\).
  • Lỗi sai thường gặp:
    • Xác định sai góc \(ví dụ, nhầm góc giữa SB và \(ABC\) với một góc khác\).
    • Tính sai các cạnh của tam giác đáy khi nó là tam giác vuông cân.
    • Áp dụng sai hệ thức lượng trong tam giác vuông \(nhầm sin, cos, tan\).
  • Mẹo nhớ: "Góc đường với mặt \(\rightarrow\) tìm hình chiếu \(\rightarrow\) tạo tam giác vuông \(\rightarrow\) dùng sin/cos/tan để tìm cạnh còn thiếu \(thường là chiều cao hoặc một phần của đáy\)".

Bài tập 9.9: Nâng cao – Bài toán tổng hợp, đòi hỏi nhiều bước suy luận

• Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat{BAD} = 60^\circ\). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \(ABCD\) là điểm H thuộc đoạn AO sao cho \(AH = \frac{1}{3}AO\). Biết rằng mặt phẳng \(SBD\) tạo với mặt phẳng đáy \(ABCD\) một góc \(60^\circ\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo \(a\). \(Lưu ý: Mặc dù đề bài cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thoi, chúng ta có thể coi S.ABD và S.CBD là hai tứ diện để tính tổng thể tích, hoặc tính trực tiếp thể tích chóp S.ABCD. Vì trọng tâm của bài viết là tứ diện, chúng ta sẽ tập trung vào việc tính chiều cao SH và diện tích đáy ABCD\).

• Hình vẽ \(Mô tả\): Vẽ hình thoi ABCD với \(\widehat{BAD} = 60^\circ\). Đường chéo AC sẽ dài hơn BD. O là tâm hình thoi. Điểm H nằm trên AO, gần A hơn O \(\(AH = \frac{1}{3}AO\)\). Từ H, vẽ SH thẳng đứng lên trên \(vuông góc với \(ABCD\)\). Nối S với A, B, C, D. Để xác định góc giữa \(SBD\) và \(ABCD\), từ H kẻ \(HK \perp BD\) \(K thuộc BD\). Khi đó \(\widehat{SKH} = 60^\circ\).

• Phân tích hướng giải:

  • Nhận dạng: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, chiều cao SH đã biết vị trí chân H. Yếu tố góc giữa mặt bên \(SBD\) và đáy \(ABCD\) được dùng để tìm độ dài SH.
  • Xác định chiều cao SH:
    1. Chân đường cao là H.
    2. Góc giữa \(SBD\) và \(ABCD\) là \(\widehat{SKH} = 60^\circ\), với K là hình chiếu của H lên BD. \(Do \(BD \perp AC\) và SH \(\perp\) BD \(vì SH \(\perp\) \(ABCD\)\), nên để dựng góc, từ chân đường cao H của chóp, ta kẻ \(HK \perp BD\). Khi đó BD \(\perp\) \(SHK\), suy ra góc giữa \(SBD\) và \(ABCD\) là \(\widehat{SKH}\)\).
    3. Ta cần tính HK. Sau đó, trong \(\triangle SHK\) vuông tại H, \(SH = HK \cdot \tan\(60^\circ\)\).
  • Tính các yếu tố của đáy ABCD:
    1. Vì \(\widehat{BAD} = 60^\circ\) và ABCD là hình thoi cạnh \(a\), nên \(\triangle ABD\) và \(\triangle CBD\) là các tam giác đều cạnh \(a\).
    2. Tính AC và BD: BD = \(a\). AO là đường cao của \(\triangle ABD\) đều: \(AO = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Vậy \(AC = 2AO = a\sqrt{3}\).
    3. Tính AH và HO: \(AH = \frac{1}{3}AO = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}\). \(HO = AO - AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{3a\sqrt{3} - a\sqrt{3}}{6} = \frac{2a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).
    4. Tính HK: Xét \(\triangle AOB\) vuông tại O. HK là khoảng cách từ H \(nằm trên AO\) đến BD. Vì \(AC \perp BD\), nên HK chính là HO nếu H trùng O, hoặc HK là đoạn kẻ từ H song song với AB hoặc AD cắt BD. Cách dễ hơn: Xét mặt phẳng \(SAC\) chứa SH. BD vuông góc với AC và SH nên BD vuông góc với mặt phẳng \(SAC\) tại O. Từ H trên AO, kẻ \(HK \parallel SO\) với K thuộc BD không đúng. Ta có \(AC \perp BD\). Điểm H nằm trên AO. K là hình chiếu của H lên BD. Trong mặt phẳng \(ABCD\), xét \(\triangle OBD\). O là trung điểm BD. Ta cần tìm khoảng cách HK từ H đến BD. Trong mặt phẳng \(ABCD\), tam giác AOB vuông tại O. \(AO = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), \(BO = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2}\). Điểm H nằm trên AO. HK là đường vuông góc hạ từ H xuống BD. Vì \(AC \perp BD\) \(tính chất hình thoi\), nên nếu H nằm trên AO, thì K phải trùng với O. Vậy \(HK = HO\). Kiểm tra lại: Nếu K trùng O, thì góc là \(\widehat{SOH}\). Điều này đúng vì \(BD \perp AO\) và \(BD \perp SH\) \(do SH \(\perp\) \(ABCD\)\) \(\Rightarrow BD \perp \(SAO\)\) hay \(BD \perp \(SHO\)\). Vậy BD \(\perp SO\). Do đó, góc giữa \(SBD\) và \(ABCD\) chính là góc tạo bởi SO \(nếu H trùng O\) hoặc SK \(nếu K là hình chiếu của S trên BD\) với hình chiếu của nó trên \(ABCD\). Vì H là chân đường cao, giao tuyến là BD. Từ H, kẻ \(HM \perp BD\) \(M thuộc BD\). Thì góc là \(\widehat{SMH}\). Do \(AC \perp BD\) và H thuộc AC, nên HM chính là đoạn HO nếu M trùng O, hoặc H chính là O nếu M là O. Do H nằm trên AO, và AO \(\perp\) BD, nên hình chiếu của H trên BD chính là O. Vậy \(K \equiv O\). Khoảng cách từ H đến BD chính là HO. Vậy \(HK = HO\). \(HO = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).
    5. Tính SH: \(SH = HO \cdot \tan\(60^\circ\) = \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{a \cdot 3}{3} = a\).
  • Xác định diện tích đáy ABCD: Diện tích hình thoi: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD\). Hoặc \(S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABD} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\).
  • Áp dụng công thức thể tích chóp S.ABCD: \(V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH\).

• Lời giải chi tiết: 1. Tính các yếu tố của đáy ABCD: Đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat{BAD} = 60^\circ\). Do đó, \(\triangle ABD\) là tam giác đều cạnh \(a\). Suy ra \(BD = a\). O là giao điểm của AC và BD, nên O là trung điểm của BD và AC. AO là đường cao của \(\triangle ABD\) đều: \(AO = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Vậy đường chéo \(AC = 2AO = a\sqrt{3}\). Diện tích đáy ABCD: \[S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \(a\sqrt{3}\)\(a\) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\] \(Hoặc \(S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABD} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)\).

  2. Xác định và tính chiều cao SH: Hình chiếu vuông góc của S lên \(ABCD\) là H thuộc đoạn AO sao cho \(AH = \frac{1}{3}AO\). \(AO = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), suy ra \(AH = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}\). Đoạn \(HO = AO - AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{3a\sqrt{3} - a\sqrt{3}}{6} = \frac{2a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Trong hình thoi ABCD, \(AC \perp BD\) tại O. Vì H nằm trên AO, nên \(HO \perp BD\). Vậy HO là khoảng cách từ H đến đường thẳng BD. Gọi K là hình chiếu của H lên BD, thì \(K \equiv O\). Vậy \(HK = HO = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Ta có \(SH \perp \(ABCD\)\) nên \(SH \perp BD\). Mà \(HO \perp BD\). Giao tuyến của \(SBD\) và \(ABCD\) là BD. Ta có \(HO \perp BD\) và \(SH \perp HO\) \(do \(SH \perp \(ABCD\)\) chứa HO\). Từ H kẻ \(HM \perp BD\) tại M. Do H thuộc AO và \(AO \perp BD\) tại O, nên \(M \equiv O\). Vậy \(HO \perp BD\). Vì \(SH \perp \(ABCD\)\) nên \(SH \perp BD\). Do đó, \(BD \perp \(SHO\)\). Suy ra \(BD \perp SO\). Góc giữa mặt phẳng \(SBD\) và mặt phẳng \(ABCD\) là góc \(\widehat{SOH}\) \(vì SO \(\subset\) \(SBD\), HO là hình chiếu của SO lên \(ABCD\), và SO \(\perp\) giao tuyến BD\). Theo đề bài, \(\widehat{SOH} = 60^\circ\). Xét tam giác SOH vuông tại H: \[\tan\(\widehat{SOH}\) = \frac{SH}{HO}\] \[SH = HO \cdot \tan\(60^\circ\) = \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{a \cdot 3}{3} = a\] Vậy chiều cao của khối chóp là \(h = SH = a\).

  3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD: \[V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH\] \[V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot \left\(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right\) \cdot a\] \[V_{S.ABCD} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}\]

• Đáp số: Thể tích khối chóp S.ABCD là \(\frac{a^3\sqrt{3}}{6}\).

• Nhận xét/Lưu ý/Mẹo ghi nhớ:

  • Bài toán này yêu cầu kết hợp kiến thức về hình thoi, tính chất đường vuông góc, và cách xác định góc giữa hai mặt phẳng.
  • Việc xác định đúng chân đường vuông góc từ H xuống BD \(là điểm O\) là rất quan trọng để xác định đúng tam giác chứa góc \(\widehat{SOH}\).
  • Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng \(P\) và \(Q\) cắt nhau theo giao tuyến \(\Delta\):
    1. Tìm giao tuyến \(\Delta\).
    2. Trên \(\Delta\), chọn một điểm I.
    3. Trong \(P\), kẻ đường thẳng \(a \perp \Delta\) tại I.
    4. Trong \(Q\), kẻ đường thẳng \(b \perp \Delta\) tại I.
    5. Góc giữa \(P\) và \(Q\) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\). Hoặc:
    6. Tìm giao tuyến \(\Delta\).
    7. Từ một điểm S trên \(P\) \(không thuộc \(\Delta\)\), hạ \(SH \perp \(Q\)\) \(H là chân đường cao\).
    8. Từ H, hạ \(HK \perp \Delta\). Nối SK.
    9. Thì \(SK \perp \Delta\) \(định lý ba đường vuông góc\). Góc cần tìm là \(\widehat{SKH}\). \(Đây là cách thường dùng khi biết chân đường cao của chóp\).
  • Lỗi sai thường gặp:
    • Tính sai các yếu tố của hình thoi \(đường chéo, diện tích\).
    • Xác định sai góc giữa hai mặt phẳng, dẫn đến tính sai chiều cao SH. Ví dụ, nhầm lẫn góc với \(\widehat{SBO}\) hoặc một góc khác.
    • Sai lầm trong việc tìm khoảng cách từ H đến BD.
  • Mẹo nhớ: "Góc mặt với mặt \(\rightarrow\) tìm giao tuyến \(\rightarrow\) từ chân cao của chóp, kẻ vuông góc tới giao tuyến \(\rightarrow\) nối lên đỉnh \(\rightarrow\) góc là góc ở đáy tam giác vuông mới tạo thành".

Bài tập 9.10: Bài toán về tỉ số thể tích hoặc tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng

• Đề bài: Cho tứ diện ABCD có thể tích \(V\). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo \(V\).

• Hình vẽ \(Mô tả\): Vẽ tứ diện ABCD. Lấy M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, P là trung điểm AD. Nối M, N, P với nhau và với A để tạo thành tứ diện AMNP.

• Phân tích hướng giải:

  • Đây là bài toán sử dụng công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác \(tứ diện\).
  • Công thức tỉ số thể tích \(Công thức Simpson cho tứ diện\): Cho tứ diện S.ABC và các điểm \(A', B', C'\) lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC \(hoặc tia chứa cạnh\). Khi đó: \[\frac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \frac{SA'}{SA} \cdot \frac{SB'}{SB} \cdot \frac{SC'}{SC}\]
  • Trong bài toán này, đỉnh chung là A. Các tia là AB, AC, AD. Các điểm mới là M, N, P.
  • Áp dụng công thức với đỉnh A: \[\frac{V_{AMNP}}{V_{ABCD}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} \cdot \frac{AP}{AD}\]
  • Tính các tỉ số \(\frac{AM}{AB}, \frac{AN}{AC}, \frac{AP}{AD}\) dựa vào giả thiết M, N, P là trung điểm.

• Lời giải chi tiết: Xét tứ diện ABCD. Gọi đỉnh chung là A. Ba cạnh xuất phát từ A là AB, AC, AD. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm M, N, P. Theo công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác \(tứ diện\), ta có: \[\frac{V_{AMNP}}{V_{ABCD}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} \cdot \frac{AP}{AD}\] Theo giả thiết, M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Do đó: \[\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}\] \[\frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}\] \[\frac{AP}{AD} = \frac{1}{2}\] Thay các tỉ số này vào công thức: \[\frac{V_{AMNP}}{V_{ABCD}} = \left\(\frac{1}{2}\right\) \cdot \left\(\frac{1}{2}\right\) \cdot \left\(\frac{1}{2}\right\) = \frac{1}{8}\] Vậy, \(V_{AMNP} = \frac{1}{8} V_{ABCD}\). Vì thể tích khối tứ diện ABCD là \(V\), nên: \[V_{AMNP} = \frac{1}{8}V\]

• Đáp số: Thể tích của khối tứ diện AMNP là \(\frac{V}{8}\).

• Nhận xét/Lưu ý/Mẹo ghi nhớ:

  • Công thức tỉ số thể tích là một công cụ cực kỳ mạnh và nhanh chóng để giải quyết các bài toán liên quan đến việc một tứ diện "con" được tạo ra bên trong một tứ diện "cha" bằng cách lấy các điểm trên các cạnh xuất phát từ một đỉnh chung.
  • Điều kiện áp dụng: Phải là khối chóp tam giác \(tứ diện\). Các điểm mới phải nằm trên các cạnh \(hoặc tia chứa cạnh\) xuất phát từ ĐỈNH CHUNG đó.
  • Lỗi sai thường gặp:
    • Áp dụng sai công thức \(ví dụ, quên một tỉ số, hoặc cộng các tỉ số thay vì nhân\).
    • Áp dụng cho khối chóp có đáy không phải tam giác mà không chia thành các khối chóp tam giác nhỏ hơn.
    • Xác định sai các tỉ số \(\frac{SA'}{SA}\), ...
  • Mẹo nhớ công thức: "Tỉ lệ Thể tích bằng TÍCH ba tỉ lệ Cạnh \(từ đỉnh chung\)".
  • Mở rộng: Nếu mặt phẳng \(MNP\) cắt các cạnh AB, AC, AD theo tỉ lệ \(k_1, k_2, k_3\) \(tức là \(\frac{AM}{AB}=k_1, \frac{AN}{AC}=k_2, \frac{AP}{AD}=k_3\)\), thì \(\frac{V_{AMNP}}{V_{ABCD}} = k_1 k_2 k_3\).

Hy vọng rằng với loạt bài tập toán từ cơ bản đến nâng cao này, bạn đã có cái nhìn toàn diện và sâu sắc hơn về cách tính thể tích hình chóp tứ diện, cũng như rèn luyện được kỹ năng phân tích và giải toán. Phần tiếp theo sẽ là những kiến thức mở rộng và ứng dụng, giúp bạn thấy được vẻ đẹp và sự hữu ích của hình học không gian.