Dãy số & Cấp số cộng lớp 11: Toàn tập Bí Kíp Xác Định Số Hạng Tổng Quát (Công thức & Ví dụ)

Giới thiệu về Dãy số và Cấp số cộng – Nền tảng Toán học Lớp 11 quan trọng

Chào mừng các em học sinh lớp 11 đến với chuyên đề Học tốt Toán lớp 11 "Dãy số – Cấp số cộng"! Đây là một trong những nội dung quan trọng và thú vị trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Kiến thức về dãy số, đặc biệt là cấp số cộng, không chỉ xuất hiện thường xuyên trong các bài kiểm tra, kỳ thi học kỳ mà còn là nền tảng cho nhiều chuyên đề toán học khác ở các lớp trên cũng như trong các ứng dụng thực tế.

Chuyên đề này giúp các em rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề thông qua việc tìm hiểu các quy luật của dãy số. Một trong những kỹ năng then chốt mà học sinh cần nắm vững chính là xác định số hạng tổng quát của một dãy số, đặc biệt là của cấp số cộng. Việc thành thạo kỹ năng này không chỉ giúp giải quyết nhanh các bài toán cụ thể mà còn mở ra cách nhìn sâu sắc hơn về cấu trúc của dãy số.

Bài viết này được biên soạn với mục tiêu cung cấp một cái nhìn toàn diện, từ những khái niệm cơ bản nhất về dãy số đến các phương pháp, mẹo mực để xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng một cách hiệu quả. Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết các công thức, tính chất, cùng với vô số ví dụ minh họa được giải thích cặn kẽ và các bài tập vận dụng đa dạng. Đặc biệt, các "mẹo" và chiến lược giải toán nhanh sẽ được lồng ghép xuyên suốt, giúp các em tối ưu hóa thời gian làm bài và tự tin chinh phục điểm số cao.

Hãy cùng nhau khám phá và làm chủ chuyên đề này nhé!

Khái niệm Dãy số - Bước đệm đầu tiên trong hành trình khám phá quy luật

Trước khi đi sâu vào cấp số cộng, chúng ta cần nắm vững những khái niệm cơ bản về dãy số. Dãy số là một tập hợp các số được sắp xếp theo một thứ tự nhất định.

Định nghĩa Dãy số - Ngôn ngữ của sự tuần tự

Trong toán học, một dãy số được hiểu là một hàm số mà miền xác định của nó là tập hợp các số nguyên dương \(\mathbb{N}^*\) \(hoặc một tập con của \(\mathbb{N}^*\)\).

• Dãy số vô hạn: Nếu hàm số \(u\) có miền xác định là \(\mathbb{N}^* = {1, 2, 3, ..., n, ...}\), thì ta có một dãy số vô hạn. Ký hiệu: \(\(u_n\)\), hoặc \(u_1, u_2, u_3, ..., u_n, ...\). Giá trị \(u_n = u\(n\)\) được gọi là số hạng thứ \(n\) hay số hạng tổng quát của dãy số. Ví dụ: Dãy các số tự nhiên lẻ: \(1, 3, 5, 7, ..., \(2n-1\), ...\). Ở đây, \(u_n = 2n-1\).

• Dãy số hữu hạn: Nếu hàm số \(u\) có miền xác định là một tập con hữu hạn của \(\mathbb{N}^*\), chẳng hạn \(M = {1, 2, 3, ..., m}\) với \(m \in \mathbb{N}^*\), thì ta có một dãy số hữu hạn. Dãy số gồm \(m\) số hạng: \(u_1, u_2, ..., u_m\). Ví dụ: Các số ghi trên các toa tàu của một đoàn tàu có 10 toa, tính từ đầu máy: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\). Đây là dãy hữu hạn với \(u_n = n\) và \(m=10\).

Các cách cho một Dãy số - Từ công thức đến quy luật ẩn giấu

Có nhiều cách để mô tả hay xác định một dãy số:

1. Cho bằng công thức của số hạng tổng quát: Đây là cách cho tường minh nhất, khi ta biết được biểu thức \(u_n = f\(n\)\), cho phép tính trực tiếp giá trị của bất kỳ số hạng nào trong dãy.

   • Ví dụ 1: Cho dãy số \(\(u_n\)\) với \(u_n = 3n^2 - 2n + 1\). Để tìm \(u_1\), ta thay \(n=1\): \(u_1 = 3\(1\)^2 - 2\(1\) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2\). Để tìm \(u_5\), ta thay \(n=5\): \(u_5 = 3\(5\)^2 - 2\(5\) + 1 = 3\(25\) - 10 + 1 = 75 - 10 + 1 = 66\).
   • Ví dụ 2: Cho dãy số \(\(v_n\)\) với \(v_n = \frac{\(-1\)^n \cdot n}{n+1}\). \(v_1 = \frac{\(-1\)^1 \cdot 1}{1+1} = -\frac{1}{2}\). \(v_2 = \frac{\(-1\)^2 \cdot 2}{2+1} = \frac{2}{3}\). \(v_3 = \frac{\(-1\)^3 \cdot 3}{3+1} = -\frac{3}{4}\).

2. Cho bằng phương pháp mô tả: Dãy số được cho bằng cách nêu rõ tính chất hoặc cách tạo thành các số hạng của nó bằng lời văn.

   • Ví dụ 1: Dãy số \(\(p_n\)\) gồm các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\). Dãy này không dễ để tìm công thức số hạng tổng quát.
   • Ví dụ 2: Dãy số \(\(s_n\)\) là dãy các số chính phương: \(1, 4, 9, 16, 25, ...\). Ta có thể suy ra \(s_n = n^2\).

3. Cho bằng phương pháp truy hồi \(hay quy납\): Cách này cho một hoặc một vài số hạng đầu của dãy và một hệ thức biểu diễn số hạng \(u_n\) \(hoặc \(u_{n+1}\), \(u_{n+k}\)\) thông qua một hoặc nhiều số hạng đứng ngay trước nó \(và có thể cả \(n\)\).

   • Ví dụ 1: Cho dãy số \(\(u_n\)\) xác định bởi: [ \begin{cases} u_1 = 2 \ u_{n+1} = u_n + 3, \quad \forall n \ge 1 \end{cases} ] Ta có: \(u_1 = 2\) \(u_2 = u_1 + 3 = 2 + 3 = 5\) \(u_3 = u_2 + 3 = 5 + 3 = 8\) \(u_4 = u_3 + 3 = 8 + 3 = 11\) ... \(Dãy này chính là một cấp số cộng sẽ được tìm hiểu sau\).
   • Ví dụ 2: Cho dãy số Fibonacci \(\(F_n\)\) xác định bởi: [ \begin{cases} F_1 = 1, F_2 = 1 \ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n, \quad \forall n \ge 1 \end{cases} ] Ta có: \(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...\).
   • Ví dụ 3: Cho dãy số \(\(x_n\)\) xác định bởi: [ \begin{cases} x_1 = 3 \ x_{n+1} = 2x_n - n + 1, \quad \forall n \ge 1 \end{cases} ] \(x_1 = 3\) \(x_2 = 2x_1 - 1 + 1 = 2\(3\) = 6\) \(x_3 = 2x_2 - 2 + 1 = 2\(6\) - 1 = 11\) Việc tìm số hạng tổng quát từ công thức truy hồi thường phức tạp hơn.

Dãy số tăng, Dãy số giảm và Dãy số không đổi \(Dãy hằng\) – Khám phá xu hướng của dãy

Tính đơn điệu của dãy số cho biết "hướng đi" của các số hạng khi \(n\) tăng dần.

• Dãy số tăng: Một dãy số \(\(u_n\)\) được gọi là dãy số tăng nếu số hạng sau luôn lớn hơn số hạng trước nó. Tức là: \(u_{n+1} > u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\) \(hoặc \(u_{n+1} - u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\)\). Ví dụ: Dãy \(1, 2, 3, ..., n, ...\) là dãy tăng vì \(u_{n+1} - u_n = \(n+1\) - n = 1 > 0\).

• Dãy số giảm: Một dãy số \(\(u_n\)\) được gọi là dãy số giảm nếu số hạng sau luôn nhỏ hơn số hạng trước nó. Tức là: \(u_{n+1} < u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\) \(hoặc \(u_{n+1} - u_n < 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\)\). Ví dụ: Dãy \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ..., \frac{1}{n}, ...\) là dãy giảm vì \(u_n = \frac{1}{n}\), \(u_{n+1} = \frac{1}{n+1}\). Xét \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - \(n+1\)}{n\(n+1\)} = \frac{-1}{n\(n+1\)} < 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

• Dãy số không đổi \(Dãy hằng\): Một dãy số \(\(u_n\)\) được gọi là dãy số không đổi \(hay dãy hằng\) nếu tất cả các số hạng của nó đều bằng nhau. Tức là: \(u_{n+1} = u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Ví dụ: Dãy \(5, 5, 5, ..., 5, ...\) là dãy không đổi.

Phương pháp xét tính tăng, giảm của một dãy số:

1. Xét hiệu \(H = u_{n+1} - u_n\):

   • Nếu \(H > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\), dãy số tăng.
   • Nếu \(H < 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\), dãy số giảm.
   • Nếu \(H = 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\), dãy số không đổi.
   • Ví dụ: Xét tính tăng, giảm của dãy \(\(u_n\)\) với \(u_n = 2n - 5\). Ta có \(u_{n+1} = 2\(n+1\) - 5 = 2n + 2 - 5 = 2n - 3\). Xét hiệu \(H = u_{n+1} - u_n = \(2n-3\) - \(2n-5\) = 2n - 3 - 2n + 5 = 2\). Vì \(H = 2 > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\), nên dãy số \(\(u_n\)\) là dãy số tăng.

2. Xét tỷ số \(T = \frac{u_{n+1}}{u_n}\) \(chỉ áp dụng khi \(u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^\)\):*

   • Nếu \(T > 1, \forall n \in \mathbb{N}^*\), dãy số tăng.
   • Nếu \(0 < T < 1, \forall n \in \mathbb{N}^*\), dãy số giảm.
   • Nếu \(T = 1, \forall n \in \mathbb{N}^*\), dãy số không đổi.
   • Ví dụ: Xét tính tăng, giảm của dãy \(\(v_n\)\) với \(v_n = \frac{3^n}{n!}\). Ta thấy \(v_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Ta có \(v_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{\(n+1\)!}\). Xét tỷ số \(T = \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{\(n+1\)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} \cdot \frac{n!}{\(n+1\)!} = 3 \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{3}{n+1}\). Nếu \(n=1\), \(T = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2} > 1\). Nếu \(n=2\), \(T = \frac{3}{2+1} = 1\). Nếu \(n \ge 3\), \(n+1 \ge 4 \implies \frac{3}{n+1} < 1\). Vậy dãy này không tăng, không giảm. Cụ thể: \(v_1 = 3, v_2 = \frac{9}{2} = 4.5, v_3 = \frac{27}{6} = 4.5, v_4 = \frac{81}{24} = 3.375\). Dãy tăng từ \(u_1\) đến \(u_2\), không đổi từ \(u_2\) đến \(u_3\), rồi giảm. Lưu ý: Phương pháp này cần \(T\) giữ nguyên tính chất \(luôn lớn hơn 1, hoặc luôn nhỏ hơn 1\) với mọi \(n\) \(hoặc từ một \(n_0\) nào đó\).

3. Sử dụng đạo hàm \(khi \(u_n = f\(n\)\) và \(f\(x\)\) là hàm khả vi\): Nếu hàm số \(y=f\(x\)\) đồng biến trên \([1, +\infty\)\) thì dãy \(\(u_n\) = \(f\(n\)\)\) là dãy tăng. Nếu hàm số \(y=f\(x\)\) nghịch biến trên \([1, +\infty\)\) thì dãy \(\(u_n\) = \(f\(n\)\)\) là dãy giảm.

   • Ví dụ: Xét tính tăng, giảm của dãy \(\(w_n\)\) với \(w_n = \frac{n}{n+1}\). Xét hàm số \(f\(x\) = \frac{x}{x+1}\) với \(x \ge 1\). Ta có \(f'\(x\) = \frac{1\(x+1\) - 1\(x\)}{\(x+1\)^2} = \frac{1}{\(x+1\)^2}\). Vì \(f'\(x\) = \frac{1}{\(x+1\)^2} > 0, \forall x \ge 1\), nên hàm \(f\(x\)\) đồng biến trên \([1, +\infty\)\). Do đó, dãy số \(\(w_n\)\) là dãy số tăng.

Dãy số bị chặn – Giới hạn trong tầm tay

• Dãy số bị chặn trên: Một dãy số \(\(u_n\)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số thực \(M\) sao cho \(u_n \le M, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Ví dụ: Dãy \(\(u_n\)\) với \(u_n = 1 - n^2\). Ta có \(u_n \le 0\) \(khi \(n=1\), \(u_1=0\)\). Vậy dãy bị chặn trên bởi \(M=0\) \(hoặc \(M=1\), ...\).

• Dãy số bị chặn dưới: Một dãy số \(\(u_n\)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số thực \(m\) sao cho \(u_n \ge m, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Ví dụ: Dãy \(\(v_n\)\) với \(v_n = n^2+2n\). Vì \(n \ge 1\), \(n^2 \ge 1\), \(2n \ge 2\), nên \(v_n \ge 1+2 = 3\). Vậy dãy bị chặn dưới bởi \(m=3\) \(hoặc \(m=0\), ...\).

• Dãy số bị chặn: Một dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Tức là tồn tại \(m, M \in \mathbb{R}\) sao cho \(m \le u_n \le M, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Điều này tương đương với việc tồn tại một số dương \(K\) sao cho \(|u_n| \le K, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Ví dụ: Dãy \(\(w_n\)\) với \(w_n = \frac{\sin\(n\)}{n}\). Ta có \(|\sin\(n\)| \le 1\), và \(n \ge 1\). Vậy \(|w_n| = \left|\frac{\sin\(n\)}{n}\right| = \frac{|\sin\(n\)|}{n} \le \frac{1}{n} \le 1\). Do đó \(-1 \le w_n \le 1\). Dãy này bị chặn.

Phương pháp chứng minh dãy số bị chặn:

• Để chứng minh dãy \(\(u_n\)\) bị chặn trên bởi \(M\), ta cần chứng minh \(u_n \le M, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
• Để chứng minh dãy \(\(u_n\)\) bị chặn dưới bởi \(m\), ta cần chứng minh \(u_n \ge m, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
• Thường sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc, đánh giá biểu thức \(f\(n\)\).

Cấp số cộng \(CSC\) – Trọng tâm của Chuyên đề và bí quyết xác định số hạng tổng quát

Cấp số cộng là một dạng dãy số đặc biệt với quy luật rất rõ ràng, xuất hiện nhiều trong các bài toán và ứng dụng thực tế.

Định nghĩa Cấp số cộng – Quy luật của sự cách đều

Một dãy số \(vô hạn hoặc hữu hạn\) \(\(u_n\)\) được gọi là một cấp số cộng nếu kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\). [ \(u_n\) \text{ là cấp số cộng } \iff u_{n+1} = u_n + d, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* ] Số \(d\) được gọi là công sai \(common difference\) của cấp số cộng. Từ định nghĩa, ta suy ra: \(d = u_{n+1} - u_n\).

• Nếu \(d=0\), cấp số cộng là một dãy không đổi \(tất cả các số hạng bằng nhau\).

• Nếu \(d>0\), cấp số cộng là một dãy số tăng.

• Nếu \(d<0\), cấp số cộng là một dãy số giảm.

• Ví dụ 1: Dãy số \(2, 5, 8, 11, 14, ...\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 2\) và công sai \(d = 5-2 = 3\).

• Ví dụ 2: Dãy số \(10, 6, 2, -2, -6, ...\) là một cấp số cộng với \(u_1 = 10\) và công sai \(d = 6-10 = -4\).

• Ví dụ 3: Dãy số \(7, 7, 7, 7, ...\) là một cấp số cộng với \(u_1 = 7\) và công sai \(d = 7-7 = 0\).

Điều kiện để ba số \(a, b, c\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng: Ba số \(a, b, c\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi \(b-a = c-b\) \(công sai bằng nhau\). Điều này tương đương với: [ a+c = 2b ] Số \(b\) được gọi là trung bình cộng của \(a\) và \(c\).

• Ví dụ: Tìm \(x\) để ba số \(x-1, 2x+3, 5x-1\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Theo tính chất của cấp số cộng, ta có: \(\(x-1\) + \(5x-1\) = 2\(2x+3\)\) \(6x - 2 = 4x + 6\) \(6x - 4x = 6 + 2\) \(2x = 8\) \(x = 4\) Thử lại: Với \(x=4\), ba số là \(3, 11, 19\). Ta có \(11-3=8\) và \(19-11=8\). Vậy đây là CSC với \(d=8\).

Tính chất cơ bản của Cấp số cộng

Từ định nghĩa, ta có một tính chất quan trọng: Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng của cấp số cộng \(trừ số hạng cuối đối với CSC hữu hạn\) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy. Tức là: [ u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}, \quad \text{với } k \ge 2 ] Tính chất này chính là điều kiện \(a+c=2b\) đã nêu ở trên.

Số hạng tổng quát của Cấp số cộng – Công thức Vàng và Cách xây dựng

Đây là công cụ mạnh nhất để làm việc với cấp số cộng. Nó cho phép ta tìm bất kỳ số hạng nào của CSC nếu biết số hạng đầu và công sai.

Công thức số hạng tổng quát: Cho cấp số cộng \(\(u_n\)\) có số hạng đầu là \(u_1\) và công sai \(d\). Khi đó, số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định bởi công thức: [ u_n = u_1 + \(n-1\)d, \quad \text{với } n \ge 1 ]

• Chứng minh công thức \(bằng cách khai triển\): Theo định nghĩa cấp số cộng: \(u_2 = u_1 + d\) \(u_3 = u_2 + d = \(u_1 + d\) + d = u_1 + 2d\) \(u_4 = u_3 + d = \(u_1 + 2d\) + d = u_1 + 3d\) ... Dự đoán: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d\). \(Có thể chứng minh chặt chẽ bằng phương pháp quy nạp toán học\).

  • Với \(n=1\), \(u_1 = u_1 + \(1-1\)d = u_1\). Công thức đúng.
  • Giả sử công thức đúng với \(n=k \ge 1\), tức là \(u_k = u_1 + \(k-1\)d\).
  • Ta cần chứng minh công thức đúng với \(n=k+1\), tức là \(u_{k+1} = u_1 + kd\). Theo định nghĩa CSC, \(u_{k+1} = u_k + d\). Thay \(u_k = u_1 + \(k-1\)d\) vào, ta được: \(u_{k+1} = [u_1 + \(k-1\)d] + d = u_1 + \(k-1\)d + d = u_1 + kd\). Vậy công thức đúng với \(n=k+1\). Theo nguyên lý quy nạp, công thức \(u_n = u_1 + \(n-1\)d\) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).

• Ý nghĩa các thành phần trong công thức:

  • \(u_n\): Số hạng thứ \(n\) của cấp số cộng \(giá trị cần tìm hoặc đã biết\).
  • \(u_1\): Số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
  • \(n\): Vị trí \(thứ tự\) của số hạng \(u_n\) trong dãy. \(n\) phải là số nguyên dương.
  • \(d\): Công sai của cấp số cộng.

• Biến thể của công thức số hạng tổng quát: Nếu ta biết một số hạng \(u_k\) bất kỳ \(không nhất thiết là \(u_1\)\) và công sai \(d\), ta vẫn có thể tìm \(u_n\): [ u_n = u_k + \(n-k\)d, \quad \text{với } n \ge 1, k \ge 1 ] Chứng minh: Ta có \(u_n = u_1 + \(n-1\)d\) và \(u_k = u_1 + \(k-1\)d\). Trừ vế theo vế: \(u_n - u_k = \(u_1 + \(n-1\)d\) - \(u_1 + \(k-1\)d\) = \(n-1\)d - \(k-1\)d = \(n-1-k+1\)d = \(n-k\)d\). Vậy \(u_n = u_k + \(n-k\)d\). Công thức này rất hữu ích khi \(u_1\) không được cho trực tiếp.

• Ví dụ 1: Cho một CSC có \(u_1 = -2\) và \(d=5\). a\) Viết công thức số hạng tổng quát \(u_n\). b\) Tính \(u_{10}\). c\) Số 98 là số hạng thứ mấy của dãy? Giải: a\) Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = -2 + \(n-1\)5 = -2 + 5n - 5 = 5n - 7\). Vậy \(u_n = 5n - 7\). b\) Tính \(u_{10}\): Thay \(n=10\) vào công thức SHTQ: \(u_{10} = 5\(10\) - 7 = 50 - 7 = 43\). c\) Giả sử \(u_k = 98\) là số hạng thứ \(k\) của dãy. Ta có \(5k - 7 = 98\). \(5k = 98 + 7 = 105\). \(k = \frac{105}{5} = 21\). Vì \(k=21\) là số nguyên dương, vậy 98 là số hạng thứ 21 của cấp số cộng.

• Ví dụ 2: Một CSC có \(u_5 = 19\) và công sai \(d = 3\). Tìm \(u_{20}\). Cách 1: Tìm \(u_1\) trước. Ta có \(u_5 = u_1 + \(5-1\)d \implies 19 = u_1 + 4\(3\) \implies 19 = u_1 + 12 \implies u_1 = 7\). Vậy \(u_{20} = u_1 + \(20-1\)d = 7 + 19\(3\) = 7 + 57 = 64\). Cách 2: Dùng công thức \(u_n = u_k + \(n-k\)d\). Với \(n=20, k=5\): \(u_{20} = u_5 + \(20-5\)d = 19 + 15\(3\) = 19 + 45 = 64\). Cả hai cách đều cho kết quả \(u_{20}=64\).

Tổng \(n\) số hạng đầu tiên của Cấp số cộng – Công cụ tính toán hiệu quả

Thường ký hiệu \(S_n\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: \(S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n\).

Các công thức tính \(S_n\):

1. Nếu biết số hạng đầu \(u_1\) và số hạng thứ \(n\) là \(u_n\): [ S_n = \frac{n\(u_1 + u_n\)}{2} ]
2. Nếu biết số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\): [ S_n = \frac{n[2u_1 + \(n-1\)d]}{2} ]

• Chứng minh công thức 1: \(S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_{n-1} + u_n\) \(1\) Viết ngược lại: \(S_n = u_n + u_{n-1} + \dots + u_2 + u_1\) \(2\) Lưu ý rằng trong một CSC: \(u_1 + u_n = u_1 + [u_1 + \(n-1\)d] = 2u_1 + \(n-1\)d\) \(u_2 + u_{n-1} = [u_1+d] + [u_1+\(n-2\)d] = 2u_1 + \(n-1\)d\) ... Tổng quát: \(u_k + u_{n-k+1} = [u_1+\(k-1\)d] + [u_1+\(n-k\)d] = 2u_1 + \(n-1\)d = u_1+u_n\). Cộng \(1\) và \(2\) vế theo vế, ta có \(n\) cặp số hạng, mỗi cặp có tổng là \(u_1+u_n\): \(2S_n = \(u_1+u_n\) + \(u_2+u_{n-1}\) + \dots + \(u_n+u_1\)\) \(2S_n = n\(u_1+u_n\)\) Vậy \(S_n = \frac{n\(u_1+u_n\)}{2}\).

• Suy ra công thức 2 từ công thức 1: Thay \(u_n = u_1 + \(n-1\)d\) vào công thức 1: \(S_n = \frac{n\(u_1 + [u_1 + \(n-1\)d]\)}{2} = \frac{n[2u_1 + \(n-1\)d]}{2}\).

• Ví dụ 1: Tính tổng 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên. Dãy các số tự nhiên lẻ là \(1, 3, 5, ...\). Đây là CSC với \(u_1 = 1\) và \(d = 2\). Cần tính \(S_{100}\). Sử dụng công thức \(S_n = \frac{n[2u_1 + \(n-1\)d]}{2}\): \(S_{100} = \frac{100[2\(1\) + \(100-1\)2]}{2} = 50[2 + 99 \cdot 2] = 50[2 + 198] = 50[200] = 10000\). Cách khác: Số hạng thứ 100 là \(u_{100} = u_1 + \(100-1\)d = 1 + 99\(2\) = 1+198 = 199\). Sử dụng \(S_n = \frac{n\(u_1+u_n\)}{2}\): \(S_{100} = \frac{100\(1+199\)}{2} = \frac{100 \cdot 200}{2} = 10000\).

• Ví dụ 2: Một CSC có \(u_1 = 5\), công sai \(d=4\). a\) Tính tổng 15 số hạng đầu. b\) Tính tổng từ số hạng thứ 8 đến số hạng thứ 20. Giải: a\) \(S_{15} = \frac{15[2u_1 + \(15-1\)d]}{2} = \frac{15[2\(5\) + 14\(4\)]}{2} = \frac{15[10 + 56]}{2} = \frac{15 \cdot 66}{2} = 15 \cdot 33 = 495\). b\) Tổng từ \(u_8\) đến \(u_{20}\) là \(T = u_8 + u_9 + \dots + u_{20}\). Ta có thể tính \(T = S_{20} - S_7\). \(S_{20} = \frac{20[2\(5\) + \(20-1\)4]}{2} = 10[10 + 19 \cdot 4] = 10[10+76] = 10 \cdot 86 = 860\). \(S_7 = \frac{7[2\(5\) + \(7-1\)4]}{2} = \frac{7[10 + 6 \cdot 4]}{2} = \frac{7[10+24]}{2} = \frac{7 \cdot 34}{2} = 7 \cdot 17 = 119\). Vậy \(T = S_{20} - S_7 = 860 - 119 = 741\). Cách khác cho câu b: Coi dãy \(u_8, u_9, ..., u_{20}\) là một CSC mới có \(20-8+1 = 13\) số hạng. Số hạng đầu của CSC mới này là \(u'1 = u_8 = u_1 + 7d = 5 + 7\(4\) = 5+28 = 33\). Công sai vẫn là \(d=4\). Số hạng cuối là \(u'{13} = u_{20} = u_1 + 19d = 5 + 19\(4\) = 5+76 = 81\). Tổng \(T = S'_{13} = \frac{13\(u'1 + u'{13}\)}{2} = \frac{13\(33+81\)}{2} = \frac{13 \cdot 114}{2} = 13 \cdot 57 = 741\).

Mẹo và Phương pháp Xác định Số hạng tổng quát \(SHTQ\) của Cấp số cộng – Chìa khóa giải toán

Xác định số hạng tổng quát \(u_n = u_1 + \(n-1\)d\) là nhiệm vụ trung tâm khi làm việc với cấp số cộng. Để làm được điều này, chúng ta cần tìm ra \(u_1\) \(số hạng đầu\) và \(d\) \(công sai\) từ các thông tin đề bài cung cấp.

Dạng 1: Biết số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\)

Đây là dạng cơ bản nhất, thông tin đã đầy đủ để viết công thức SHTQ.

• Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức \(u_n = u_1 + \(n-1\)d\).
• Ví dụ 1: Viết SHTQ của CSC biết \(u_1 = -5\) và \(d=3\). Giải: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = -5 + \(n-1\)3 = -5 + 3n - 3 = 3n - 8\). Vậy \(u_n = 3n - 8\).
• Ví dụ 2: Viết SHTQ của CSC biết \(u_1 = 10\) và \(d=-2\). Giải: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = 10 + \(n-1\)\(-2\) = 10 - 2n + 2 = -2n + 12\). Vậy \(u_n = -2n + 12\).
• Ví dụ 3: Viết SHTQ của CSC biết \(u_1 = \frac{1}{2}\) và \(d=\frac{1}{4}\). Giải: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = \frac{1}{2} + \(n-1\)\frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{n-1}{4} = \frac{2+n-1}{4} = \frac{n+1}{4}\). Vậy \(u_n = \frac{n+1}{4}\).
• Bài tập tự luyện:
  1. CSC có \(u_1 = 0, d = 7\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = 7n-7\)\)
  2. CSC có \(u_1 = -1, d = -1\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = -n\)\)
  3. CSC có \(u_1 = 100, d = 0\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = 100\)\)

Dạng 2: Biết một số hạng bất kỳ \(u_k\) và công sai \(d\)

Khi không biết \(u_1\) nhưng biết một số hạng khác \(u_k\) và công sai \(d\).

• Phương pháp:

  • Cách 1: Tìm \(u_1\) rồi áp dụng công thức SHTQ. Từ \(u_k = u_1 + \(k-1\)d\), ta suy ra \(u_1 = u_k - \(k-1\)d\). Sau đó, \(u_n = u_1 + \(n-1\)d\).
  • Cách 2: Sử dụng trực tiếp công thức biến thể \(u_n = u_k + \(n-k\)d\). Công thức này thường nhanh hơn.

• Ví dụ 1: Viết SHTQ của CSC biết \(u_7 = 25\) và \(d=4\). Cách 1: \(u_7 = u_1 + \(7-1\)d \implies 25 = u_1 + 6\(4\) \implies 25 = u_1 + 24 \implies u_1 = 1\). SHTQ: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = 1 + \(n-1\)4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3\). Cách 2: \(u_n = u_7 + \(n-7\)d = 25 + \(n-7\)4 = 25 + 4n - 28 = 4n - 3\). Vậy \(u_n = 4n - 3\).

• Ví dụ 2: Cho CSC có \(u_{10} = -15\) và \(d=-2\). Tìm \(u_n\). Cách 1: \(u_{10} = u_1 + \(10-1\)d \implies -15 = u_1 + 9\(-2\) \implies -15 = u_1 - 18 \implies u_1 = 3\). SHTQ: \(u_n = 3 + \(n-1\)\(-2\) = 3 - 2n + 2 = -2n + 5\). Cách 2: \(u_n = u_{10} + \(n-10\)d = -15 + \(n-10\)\(-2\) = -15 - 2n + 20 = -2n + 5\). Vậy \(u_n = -2n + 5\).

• Bài tập tự luyện:

  1. CSC có \(u_4 = 12, d = 5\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = 5n - 8\)\)
  2. CSC có \(u_{15} = 0, d = -3\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = -3n + 45\)\)

Dạng 3: Biết hai số hạng bất kỳ \(u_k\) và \(u_m\) \(với \(k \ne m\)\)

Đây là dạng bài phổ biến, đòi hỏi giải một hệ phương trình hoặc sử dụng công thức nhanh để tìm \(d\).

• Phương pháp:

  • Cách 1: Lập hệ phương trình với ẩn \(u_1\) và \(d\). Ta có hệ: [ \begin{cases} u_k = u_1 + \(k-1\)d \ u_m = u_1 + \(m-1\)d \end{cases} ] Giải hệ này để tìm \(u_1\) và \(d\), từ đó viết công thức SHTQ.
  • Cách 2: Tính công sai \(d\) trước, rồi tìm \(u_1\). Từ \(u_m - u_k = \(m-k\)d\), ta có công thức tính nhanh công sai: [ d = \frac{u_m - u_k}{m-k} ] Sau khi có \(d\), ta tìm \(u_1\) bằng cách sử dụng \(u_k = u_1 + \(k-1\)d \implies u_1 = u_k - \(k-1\)d\). Rồi viết SHTQ.

• Ví dụ 1: Viết SHTQ của CSC biết \(u_3 = 8\) và \(u_8 = 23\). Cách 1: Lập hệ phương trình. [ \begin{cases} u_3 = u_1 + \(3-1\)d = u_1 + 2d = 8 \ u_8 = u_1 + \(8-1\)d = u_1 + 7d = 23 \end{cases} ] Trừ vế dưới cho vế trên: \(\(u_1+7d\) - \(u_1+2d\) = 23-8 \implies 5d = 15 \implies d=3\). Thay \(d=3\) vào phương trình \(u_1+2d=8\): \(u_1 + 2\(3\) = 8 \implies u_1 + 6 = 8 \implies u_1 = 2\). SHTQ: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = 2 + \(n-1\)3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1\). Cách 2: Tính \(d\) trước. \(d = \frac{u_8 - u_3}{8-3} = \frac{23-8}{5} = \frac{15}{5} = 3\). Tìm \(u_1\) từ \(u_3\): \(u_1 = u_3 - \(3-1\)d = 8 - 2\(3\) = 8 - 6 = 2\). SHTQ: \(u_n = 2 + \(n-1\)3 = 3n - 1\). Vậy \(u_n = 3n - 1\).

• Ví dụ 2: Cho CSC có \(u_5 = 20\) và \(u_{12} = -1\). Tìm \(u_n\). Cách 2 \(nhanh hơn\): \(d = \frac{u_{12} - u_5}{12-5} = \frac{-1 - 20}{7} = \frac{-21}{7} = -3\). Tìm \(u_1\) từ \(u_5\): \(u_1 = u_5 - \(5-1\)d = 20 - 4\(-3\) = 20 + 12 = 32\). SHTQ: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = 32 + \(n-1\)\(-3\) = 32 - 3n + 3 = -3n + 35\). Vậy \(u_n = -3n + 35\).

• Bài tập tự luyện:

  1. CSC có \(u_2 = 7, u_6 = 19\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = 3n+1\)\)
  2. CSC có \(u_4 = -10, u_{10} = -28\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = -3n+2\)\)
  3. CSC có \(u_7 = 5, u_{11} = 5\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = 5\)\)

Dạng 4: Biết một số hạng \(u_k\) và một biểu thức liên quan đến tổng \(S_m\)

Dạng này kết hợp thông tin về giá trị của một số hạng và tổng của một số số hạng đầu tiên.

• Phương pháp:

  1. Viết biểu thức cho \(u_k\) theo \(u_1\) và \(d\): \(u_k = u_1 + \(k-1\)d\).
  2. Viết biểu thức cho \(S_m\) theo \(u_1\) và \(d\): \(S_m = \frac{m[2u_1 + \(m-1\)d]}{2}\).
  3. Lập hệ phương trình với hai ẩn \(u_1, d\) từ hai biểu thức trên.
  4. Giải hệ tìm \(u_1, d\), rồi viết SHTQ.

• Ví dụ: Cho CSC \(\(u_n\)\) có \(u_4 = 10\) và \(S_6 = 42\). Tìm số hạng tổng quát \(u_n\). Giải: Ta có: \(u_4 = u_1 + 3d = 10\) \(1\) \(S_6 = \frac{6[2u_1 + \(6-1\)d]}{2} = 3\(2u_1 + 5d\) = 6u_1 + 15d = 42\). Chia cả hai vế cho 3: \(2u_1 + 5d = 14\) \(2\) Ta có hệ phương trình: [ \begin{cases} u_1 + 3d = 10 \ 2u_1 + 5d = 14 \end{cases} ] Từ \(1\) suy ra \(u_1 = 10 - 3d\). Thay vào \(2\): \(2\(10-3d\) + 5d = 14\) \(20 - 6d + 5d = 14\) \(20 - d = 14\) \(d = 20 - 14 = 6\). Thay \(d=6\) vào \(u_1 = 10-3d\): \(u_1 = 10 - 3\(6\) = 10 - 18 = -8\). Vậy \(u_1 = -8\) và \(d=6\). Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = -8 + \(n-1\)6 = -8 + 6n - 6 = 6n - 14\). Vậy \(u_n = 6n - 14\).

• Bài tập tự luyện:

  1. CSC có \(u_2 = 7\) và \(S_5 = 55\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = 4n-1\)\)
  2. CSC có \(u_5 = 0\) và \(S_{10} = -25\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = -n+5\)\)

Dạng 5: Biết hai biểu thức liên quan đến tổng \(S_k\) và \(S_m\)

Khi cả hai thông tin đề bài đều liên quan đến tổng các số hạng.

• Phương pháp:

  1. Viết biểu thức cho \(S_k\) theo \(u_1\) và \(d\): \(S_k = \frac{k[2u_1 + \(k-1\)d]}{2}\).
  2. Viết biểu thức cho \(S_m\) theo \(u_1\) và \(d\): \(S_m = \frac{m[2u_1 + \(m-1\)d]}{2}\).
  3. Lập hệ phương trình với hai ẩn \(u_1, d\) từ hai biểu thức trên.
  4. Giải hệ tìm \(u_1, d\), rồi viết SHTQ.

• Ví dụ: Cho CSC \(\(u_n\)\) thỏa mãn \(S_5 = 35\) và \(S_{10} = 120\). Tìm số hạng tổng quát \(u_n\). Giải: Ta có: \(S_5 = \frac{5[2u_1 + \(5-1\)d]}{2} = \frac{5\(2u_1 + 4d\)}{2} = 5\(u_1+2d\) = 5u_1 + 10d = 35\). Chia cho 5: \(u_1 + 2d = 7\) \(1\) \(S_{10} = \frac{10[2u_1 + \(10-1\)d]}{2} = 5\(2u_1 + 9d\) = 10u_1 + 45d = 120\). Chia cho 5: \(2u_1 + 9d = 24\) \(2\) Ta có hệ phương trình: [ \begin{cases} u_1 + 2d = 7 \ 2u_1 + 9d = 24 \end{cases} ] Từ \(1\) suy ra \(u_1 = 7 - 2d\). Thay vào \(2\): \(2\(7-2d\) + 9d = 24\) \(14 - 4d + 9d = 24\) \(14 + 5d = 24\) \(5d = 24 - 14 = 10\) \(d = 2\). Thay \(d=2\) vào \(u_1 = 7-2d\): \(u_1 = 7 - 2\(2\) = 7 - 4 = 3\). Vậy \(u_1 = 3\) và \(d=2\). Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = 3 + \(n-1\)2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1\). Vậy \(u_n = 2n + 1\).

• Bài tập tự luyện:

  1. CSC có \(S_3 = 12\) và \(S_7 = 70\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = 3n-1\)\)
  2. CSC có \(S_4 = 0\) và \(S_8 = -32\). Tìm \(u_n\). \(Đáp án: \(u_n = -2n+5\)\)

Dạng 6: Bài toán có lời văn dẫn đến việc tìm SHTQ của Cấp số cộng

Nhiều tình huống thực tế có thể được mô hình hóa bằng cấp số cộng.

• Phương pháp:

  1. Đọc kỹ đề bài: Xác định đại lượng nào thay đổi đều đặn theo từng "kỳ" \(năm, tháng, ngày, lần,...\).
  2. Xác định các yếu tố của CSC:
     • Số hạng đầu \(u_1\): Giá trị ban đầu hoặc giá trị ở kỳ đầu tiên.
     • Công sai \(d\): Lượng tăng/giảm đều đặn sau mỗi kỳ. Nếu tăng thì \(d>0\), nếu giảm thì \(d<0\).
     • Số thứ tự \(n\): Kỳ thứ mấy đang được xét.
  3. Chuyển bài toán thực tế thành bài toán CSC: Viết ra \(u_1, d\).
  4. Yêu cầu bài toán: Thường là tìm giá trị ở một kỳ nào đó \(tìm \(u_n\)\), hoặc tính tổng sau một số kỳ \(tìm \(S_n\)\).
  5. Áp dụng công thức SHTQ \(u_n = u_1 + \(n-1\)d\) hoặc công thức tổng \(S_n\) để giải.

• Ví dụ 1: Một người bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 7.000.000 đồng/tháng. Cứ sau mỗi năm làm việc, người đó được tăng lương thêm 500.000 đồng/tháng so với lương của năm trước đó. a\) Tính mức lương hàng tháng của người đó ở năm làm việc thứ 5. b\) Viết công thức tính mức lương \(L_n\) \(triệu đồng/tháng\) của người đó ở năm làm việc thứ \(n\). Giải: a\) Coi mức lương hàng tháng ở mỗi năm làm việc là các số hạng của một CSC. Năm thứ 1: \(u_1 = 7,000,000\) đồng. Công sai \(mức tăng hàng năm\): \(d = 500,000\) đồng. Mức lương ở năm làm việc thứ 5 là \(u_5\). \(u_5 = u_1 + \(5-1\)d = 7,000,000 + 4\(500,000\) = 7,000,000 + 2,000,000 = 9,000,000\) đồng/tháng. b\) Mức lương \(L_n\) ở năm làm việc thứ \(n\) chính là \(u_n\) của CSC này. Đổi đơn vị sang triệu đồng: \(u_1 = 7\) \(triệu đồng\), \(d = 0.5\) \(triệu đồng\). \(L_n = u_n = u_1 + \(n-1\)d = 7 + \(n-1\)\(0.5\) = 7 + 0.5n - 0.5 = 0.5n + 6.5\). Vậy công thức tính lương là \(L_n = 0.5n + 6.5\) \(triệu đồng/tháng\).

• Ví dụ 2: Một tháp được xây dựng bằng cách xếp các khối đá hình lập phương giống nhau. Tầng trệt cùng \(tầng 1\) có 100 khối. Mỗi tầng tiếp theo ở trên có ít hơn tầng ngay dưới nó 4 khối. Tầng trên cùng có 8 khối. a\) Viết công thức tính số khối đá \(u_n\) ở tầng thứ \(n\) \(tính từ dưới lên\). b\) Tháp có bao nhiêu tầng? Giải: a\) Số khối đá ở mỗi tầng lập thành một CSC với: Số hạng đầu \(tầng 1\): \(u_1 = 100\). Công sai \(lượng giảm đi ở mỗi tầng\): \(d = -4\). Số khối đá ở tầng thứ \(n\) là \(u_n\). \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = 100 + \(n-1\)\(-4\) = 100 - 4n + 4 = -4n + 104\). Vậy \(u_n = -4n + 104\). b\) Gọi \(k\) là số tầng của tháp. Tầng trên cùng \(tầng thứ \(k\)\) có \(u_k = 8\) khối. Ta có \(u_k = -4k + 104 = 8\). \(-4k = 8 - 104 = -96\). \(k = \frac{-96}{-4} = 24\). Vậy tháp có 24 tầng.

• Bài tập tự luyện:

  1. Một chiếc đồng hồ đánh chuông theo số giờ. Lúc 1 giờ đánh 1 tiếng, lúc 2 giờ đánh 2 tiếng, ..., lúc 12 giờ đánh 12 tiếng. Hỏi trong một ngày \(24 giờ, đồng hồ chạy 2 vòng 12 tiếng\) nó đánh tổng cộng bao nhiêu tiếng chuông? \(Đáp án: \(2 \times S_{12} = 2 \times \frac{12\(1+12\)}{2} = 156\) tiếng\)

Dạng 7: Xác định SHTQ khi biết tổng \(S_n\) dưới dạng một hàm của \(n\)

Đôi khi đề bài không cho thông tin về các số hạng riêng lẻ mà cho biểu thức của tổng \(n\) số hạng đầu tiên.

• Phương pháp: Sử dụng mối liên hệ quan trọng giữa \(u_n\) và \(S_n\): [ u_n = S_n - S_{n-1}, \quad \text{với } n \ge 2 ] Và số hạng đầu tiên: [ u_1 = S_1 ] Sau khi tìm được biểu thức cho \(u_n\), để khẳng định \(\(u_n\)\) là một cấp số cộng, ta cần kiểm tra xem hiệu \(u_{n+1} - u_n\) có phải là một hằng số \(không phụ thuộc vào \(n\)\) hay không.

• Ví dụ: Cho một dãy số \(\(u_n\)\) có tổng \(n\) số hạng đầu tiên là \(S_n = 2n^2 + 3n\). a\) Tìm số hạng tổng quát \(u_n\). b\) Chứng minh rằng \(\(u_n\)\) là một cấp số cộng. Nêu rõ \(u_1\) và công sai \(d\). Giải: a\) Tính \(u_1\): \(u_1 = S_1 = 2\(1\)^2 + 3\(1\) = 2+3 = 5\). Tính \(u_n\) với \(n \ge 2\): \(S_{n-1} = 2\(n-1\)^2 + 3\(n-1\) = 2\(n^2-2n+1\) + 3n-3 = 2n^2-4n+2+3n-3 = 2n^2-n-1\). \(u_n = S_n - S_{n-1} = \(2n^2+3n\) - \(2n^2-n-1\) = 2n^2+3n-2n^2+n+1 = 4n+1\). Công thức \(u_n = 4n+1\) này có đúng với \(n=1\) không? Thay \(n=1\) vào \(4n+1\), ta được \(4\(1\)+1 = 5\), đúng bằng \(u_1\) đã tính. Vậy số hạng tổng quát của dãy là \(u_n = 4n+1\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). b\) Chứng minh \(\(u_n\)\) là CSC: Xét hiệu \(u_{n+1} - u_n\). \(u_{n+1} = 4\(n+1\)+1 = 4n+4+1 = 4n+5\). \(u_{n+1} - u_n = \(4n+5\) - \(4n+1\) = 4\). Vì \(u_{n+1} - u_n = 4\) là một hằng số \(không đổi, không phụ thuộc vào \(n\)\), nên \(\(u_n\)\) là một cấp số cộng. Số hạng đầu \(u_1 = 5\). Công sai \(d=4\).

• Lưu ý quan trọng: Nếu \(S_n\) là một tam thức bậc hai của \(n\) có dạng \(S_n = An^2 + Bn\), thì dãy số \(\(u_n\)\) tương ứng sẽ là một cấp số cộng. Khi đó: \(u_1 = S_1 = A+B\). \(u_n = S_n - S_{n-1} = \(An^2+Bn\) - [A\(n-1\)^2 + B\(n-1\)]\) \(u_n = An^2+Bn - [A\(n^2-2n+1\) + Bn-B]\) \(u_n = An^2+Bn - An^2+2An-A - Bn+B = 2An - A + B\). Công sai \(d = u_{n+1}-u_n = [2A\(n+1\)-A+B] - [2An-A+B] = 2An+2A-A+B - 2An+A-B = 2A\). Vậy, nếu \(S_n = An^2+Bn\), thì \(\(u_n\)\) là CSC với \(u_1 = A+B\) và \(d=2A\). \(Nếu \(S_n\) có hằng số tự do, ví dụ \(S_n = An^2+Bn+C\) với \(C \ne 0\), thì \(u_1 = S_1 = A+B+C\), còn \(u_n = S_n-S_{n-1} = 2An-A+B\) với \(n \ge 2\). Trong trường hợp này, \(u_2-u_1 \ne u_3-u_2\) nếu \(C \ne 0\), nên dãy không phải CSC\). Dãy chỉ là CSC nếu hằng số tự do \(C=0\).

  Áp dụng vào ví dụ trên: \(S_n = 2n^2+3n\). Ta có \(A=2, B=3\). \(u_1 = A+B = 2+3 = 5\). \(d = 2A = 2\(2\) = 4\). SHTQ: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = 5 + \(n-1\)4 = 5+4n-4 = 4n+1\). Kết quả này khớp với cách tính dài ở trên, nhưng nhanh hơn rất nhiều.

• Bài tập tự luyện:

  1. Cho dãy \(\(u_n\)\) có \(S_n = n^2 - 4n\). Tìm \(u_n\) và chứng minh nó là CSC. \(Đáp án: \(u_n = 2n-5\), \(u_1=-3, d=2\)\)
  2. Cho dãy \(\(u_n\)\) có \(S_n = \frac{3n^2+n}{2}\). Tìm \(u_n\) và chứng minh nó là CSC. \(Đáp án: \(u_n = 3n-1\), \(u_1=2, d=3\)\)

Các dạng bài tập Nâng cao và Ứng dụng của Cấp số cộng

Ngoài các dạng toán cơ bản về tìm SHTQ và tổng, cấp số cộng còn có nhiều bài toán nâng cao và ứng dụng thú vị.

Tìm số số hạng của một Cấp số cộng hữu hạn

• Phương pháp: Nếu một CSC hữu hạn có số hạng đầu \(u_1\), số hạng cuối \(u_n\) \(giá trị cụ thể\) và công sai \(d\), ta có thể tìm số số hạng \(n\) của CSC đó bằng cách giải phương trình: [ u_n = u_1 + \(n-1\)d ] từ đó suy ra \(n-1 = \frac{u_n - u_1}{d}\), và \(n = \frac{u_n - u_1}{d} + 1\). Lưu ý rằng \(n\) phải là số nguyên dương.

• Ví dụ: Một cấp số cộng có số hạng đầu là 5, công sai là 3 và số hạng cuối là 62. Hỏi cấp số cộng này có bao nhiêu số hạng? Giải: Ta có \(u_1 = 5\), \(d=3\), \(u_n = 62\). Áp dụng công thức \(u_n = u_1 + \(n-1\)d\): \(62 = 5 + \(n-1\)3\) \(62 - 5 = \(n-1\)3\) \(57 = \(n-1\)3\) \(n-1 = \frac{57}{3} = 19\) \(n = 19 + 1 = 20\). Vậy cấp số cộng này có 20 số hạng.

Chèn \(k\) số vào giữa hai số \(a\) và \(b\) cho trước để tạo thành một Cấp số cộng

• Phương pháp: Khi chèn \(k\) số vào giữa hai số \(a\) và \(b\), ta sẽ tạo ra một CSC mới có \(k+2\) số hạng. Trong đó:

  • Số hạng đầu \(u_1 = a\).
  • Số hạng cuối \(u_{k+2} = b\).
  • Số số hạng là \(N = k+2\). Ta cần tìm công sai \(d\) của CSC mới này. Áp dụng công thức SHTQ: \(u_{k+2} = u_1 + \(k+2-1\)d \implies b = a + \(k+1\)d\). Từ đó, \(d = \frac{b-a}{k+1}\). Sau khi có \(d\), \(k\) số hạng cần chèn vào sẽ là: \(x_1 = u_2 = a+d\) \(x_2 = u_3 = a+2d\) ... \(x_k = u_{k+1} = a+kd\)

• Ví dụ: Chèn 4 số vào giữa hai số 3 và 23 để được một cấp số cộng. Tìm 4 số đó. Giải: Khi chèn 4 số vào giữa 3 và 23, ta được một CSC có \(4+2=6\) số hạng. Số hạng đầu \(u_1 = 3\). Số hạng thứ sáu \(u_6 = 23\). Công sai \(d = \frac{u_6 - u_1}{6-1} = \frac{23-3}{5} = \frac{20}{5} = 4\). Vậy 4 số cần chèn là: \(x_1 = u_2 = u_1+d = 3+4 = 7\) \(x_2 = u_3 = u_1+2d = 3+2\(4\) = 3+8 = 11\) \(x_3 = u_4 = u_1+3d = 3+3\(4\) = 3+12 = 15\) \(x_4 = u_5 = u_1+4d = 3+4\(4\) = 3+16 = 19\) Bốn số cần chèn là 7, 11, 15, 19. Dãy số hoàn chỉnh là \(3, 7, 11, 15, 19, 23\).

Chứng minh một dãy số là Cấp số cộng

• Phương pháp: Để chứng minh một dãy số \(\(u_n\)\) \(thường cho bởi công thức SHTQ hoặc công thức truy hồi\) là một CSC, ta cần chứng minh rằng hiệu giữa hai số hạng liên tiếp bất kỳ là một hằng số. Tức là, chứng minh: [ u_{n+1} - u_n = d \quad \(\text{với } d \text{ là hằng số, không phụ thuộc vào } n\) ] Với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). Nếu điều này đúng, thì \(\(u_n\)\) là CSC với công sai \(d\).

• Ví dụ 1: Chứng minh dãy số \(\(u_n\)\) với \(u_n = 7 - 3n\) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai. Giải: Ta xét hiệu \(u_{n+1} - u_n\). \(u_{n+1} = 7 - 3\(n+1\) = 7 - 3n - 3 = 4 - 3n\). \(u_{n+1} - u_n = \(4-3n\) - \(7-3n\) = 4 - 3n - 7 + 3n = -3\). Vì \(u_{n+1} - u_n = -3\) \(là một hằng số\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), nên dãy \(\(u_n\)\) là một cấp số cộng. Số hạng đầu \(u_1 = 7 - 3\(1\) = 4\). Công sai \(d = -3\).

• Ví dụ 2: Cho dãy số \(\(u_n\)\) xác định bởi \(u_1 = 2\) và \(u_{n+1} = u_n + n^2 - \(n-1\)^2 - 1\) với \(n \ge 1\). Hỏi \(\(u_n\)\) có phải là cấp số cộng không? Giải: Ta có \(u_{n+1} - u_n = n^2 - \(n-1\)^2 - 1\). \(u_{n+1} - u_n = n^2 - \(n^2 - 2n + 1\) - 1 = n^2 - n^2 + 2n - 1 - 1 = 2n - 2\). Vì hiệu \(u_{n+1} - u_n = 2n - 2\) phụ thuộc vào \(n\) \(không phải là hằng số\), nên dãy \(\(u_n\)\) không phải là cấp số cộng. Ví dụ: \(u_1 = 2\) \(u_2 = u_1 + 1^2 - \(1-1\)^2 - 1 = 2 + 1 - 0 - 1 = 2\). \(u_2-u_1 = 0\). \(u_3 = u_2 + 2^2 - \(2-1\)^2 - 1 = 2 + 4 - 1^2 - 1 = 2 + 4 - 1 - 1 = 4\). \(u_3-u_2 = 2\). Do \(0 \ne 2\), dãy không phải CSC.

Bài toán tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình đa thức lập thành Cấp số cộng

• Phương pháp:

  1. Giả sử phương trình có các nghiệm \(x_1, x_2, ..., x_k\).
  2. Nếu các nghiệm này lập thành một CSC, ta có thể đặt chúng dưới dạng: \(a-md, a-\(m-1\)d, ..., a, ..., a+md\) \(tùy thuộc vào số nghiệm chẵn hay lẻ và cách chọn số hạng trung tâm\).
     • Nếu có 3 nghiệm: \(x_0-d, x_0, x_0+d\).
     • Nếu có 4 nghiệm: \(x_0-\frac{3}{2}d, x_0-\frac{1}{2}d, x_0+\frac{1}{2}d, x_0+\frac{3}{2}d\), hoặc đơn giản hơn là \(a-3b, a-b, a+b, a+3b\) \(với công sai là \(2b\)\).
  3. Sử dụng Định lý Viète để thiết lập mối quan hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình.
  4. Kết hợp các mối quan hệ này với tính chất của CSC để tìm điều kiện cho tham số.

• Ví dụ: Tìm \(m\) để phương trình \(x^3 - 3x^2 - 9x + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Giải: Gọi ba nghiệm phân biệt của phương trình là \(x_1, x_2, x_3\). Vì ba nghiệm lập thành CSC, ta có thể đặt \(x_1 = a-d, x_2 = a, x_3 = a+d\). Theo Định lý Viète cho phương trình bậc ba \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\): \(x_1+x_2+x_3 = -\frac{B}{A}\) \(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 = \frac{C}{A}\) \(x_1x_2x_3 = -\frac{D}{A}\) Áp dụng vào phương trình đã cho \(\(A=1, B=-3, C=-9, D=m\)\):

  1. \( \(a-d\) + a + \(a+d\) = -\frac{-3}{1} \implies 3a = 3 \implies a=1 \). Vậy một nghiệm của phương trình là \(x_2=a=1\).
  2. Thay \(x=1\) vào phương trình: \(1^3 - 3\(1\)^2 - 9\(1\) + m = 0\) \(1 - 3 - 9 + m = 0\) \(-11 + m = 0 \implies m = 11\). Bây giờ ta cần kiểm tra với \(m=11\), phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSC không. Phương trình trở thành: \(x^3 - 3x^2 - 9x + 11 = 0\). Vì ta biết \(x=1\) là một nghiệm, ta có thể chia đa thức: \(\(x^3 - 3x^2 - 9x + 11\) : \(x-1\)\). Thực hiện phép chia, ta được: \(x^2 - 2x - 11\). Vậy phương trình tương đương: \(\(x-1\)\(x^2-2x-11\) = 0\). Một nghiệm là \(x_2=1\). Hai nghiệm còn lại là nghiệm của \(x^2-2x-11=0\). \(\Delta' = \(-1\)^2 - 1\(-11\) = 1+11 = 12 > 0\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x = \frac{-\(-1\) \pm \sqrt{12}}{1} = 1 \pm 2\sqrt{3}\). Vậy ba nghiệm là \(1-2\sqrt{3}\), \(1\), \(1+2\sqrt{3}\). Ba nghiệm này phân biệt. Kiểm tra xem có lập thành CSC: Công sai \(d_1 = 1 - \(1-2\sqrt{3}\) = 2\sqrt{3}\). Công sai \(d_2 = \(1+2\sqrt{3}\) - 1 = 2\sqrt{3}\). Vì \(d_1=d_2\), ba nghiệm này lập thành CSC với công sai \(d=2\sqrt{3}\) \(hoặc \(d\) trong cách đặt ban đầu của ta là \(2\sqrt{3}\), và \(a=1\)\). Vậy giá trị \(m=11\) là giá trị cần tìm.

Ứng dụng Cấp số cộng vào giải các bài toán thực tế \(Mở rộng và Tổng hợp\)

Cấp số cộng xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của đời sống như tài chính, vật lý, sản xuất, xây dựng,...

• Ví dụ 1: Mô hình tăng trưởng/suy giảm tuyến tính Một công ty có doanh thu năm 2020 là 5 tỷ đồng. Dự kiến trong những năm tiếp theo, do chiến lược kinh doanh mới, doanh thu mỗi năm sẽ tăng thêm 0.8 tỷ đồng so với năm trước. a\) Tính doanh thu của công ty vào năm 2025. b\) Vào năm nào thì doanh thu của công ty đạt 10.6 tỷ đồng? c\) Tính tổng doanh thu của công ty từ năm 2020 đến hết năm 2030. Giải: Doanh thu các năm lập thành một CSC. Coi năm 2020 là năm thứ 1 \(\(n=1\)\). Số hạng đầu \(u_1 = 5\) \(tỷ đồng\). Công sai \(d = 0.8\) \(tỷ đồng\). a\) Năm 2025 là năm thứ \(2025-2020+1 = 6\). Cần tính \(u_6\). \(u_6 = u_1 + \(6-1\)d = 5 + 5\(0.8\) = 5 + 4 = 9\) tỷ đồng. b\) Tìm \(n\) sao cho \(u_n = 10.6\). \(u_n = u_1 + \(n-1\)d \implies 10.6 = 5 + \(n-1\)\(0.8\)\) \(5.6 = \(n-1\)\(0.8\)\) \(n-1 = \frac{5.6}{0.8} = 7\) \(n = 8\). Năm thứ 8 là năm \(2020 + 8 - 1 = 2027\). Vậy vào năm 2027. c\) Từ năm 2020 đến hết năm 2030 là \(2030-2020+1 = 11\) năm. Cần tính \(S_{11}\). \(S_{11} = \frac{11[2u_1 + \(11-1\)d]}{2} = \frac{11[2\(5\) + 10\(0.8\)]}{2} = \frac{11[10 + 8]}{2} = \frac{11 \cdot 18}{2} = 11 \cdot 9 = 99\) tỷ đồng.

• Ví dụ 2: Tính số ghế trong một sân vận động Một khán đài của sân vận động có hàng ghế đầu tiên \(gần sân nhất\) gồm 30 ghế. Mỗi hàng ghế sau có nhiều hơn hàng ghế ngay trước nó 4 ghế. Hàng ghế cuối cùng có 110 ghế. a\) Tính số ghế ở hàng thứ 10. b\) Khán đài đó có bao nhiêu hàng ghế? c\) Tính tổng số ghế của toàn bộ khán đài đó. Giải: Số ghế ở mỗi hàng lập thành một CSC. Số hạng đầu \(u_1 = 30\). Công sai \(d = 4\). a\) Số ghế ở hàng thứ 10 là \(u_{10}\). \(u_{10} = u_1 + \(10-1\)d = 30 + 9\(4\) = 30 + 36 = 66\) ghế. b\) Gọi \(k\) là số hàng ghế. Hàng ghế cuối cùng \(hàng thứ \(k\)\) có \(u_k = 110\) ghế. \(u_k = u_1 + \(k-1\)d \implies 110 = 30 + \(k-1\)4\) \(80 = \(k-1\)4\) \(k-1 = \frac{80}{4} = 20\) \(k = 21\). Vậy khán đài có 21 hàng ghế. c\) Tổng số ghế là \(S_{21}\). \(S_{21} = \frac{21\(u_1 + u_{21}\)}{2} = \frac{21\(30 + 110\)}{2} = \frac{21 \cdot 140}{2} = 21 \cdot 70 = 1470\) ghế.

Sử dụng Máy tính cầm tay \(Casio fx-580VN X, Vinacal\) hỗ trợ giải toán Cấp số cộng

Máy tính cầm tay là công cụ hữu ích giúp học sinh giải nhanh các bài toán tính toán, giải hệ phương trình, kiểm tra kết quả trong chuyên đề cấp số cộng.

Tính giá trị số hạng \(u_n\)

Khi đã có công thức SHTQ, ví dụ \(u_n = 3n-1\). Để tính \(u_{50}\):

• Nhập biểu thức vào máy: 3X - 1 \(biến \(n\) được thay bằng \(X\)\).
• Nhấn CALC. Máy hỏi X?.
• Nhập 50, nhấn =. Kết quả: \(3 \times 50 - 1 = 149\). Điều này rất tiện khi cần tính nhiều giá trị hoặc giá trị với \(n\) lớn.

Tính tổng \(S_n\)

Khi đã có công thức tính tổng, ví dụ \(S_n = \frac{n\(2n+4\)}{2} = n\(n+2\)\). Để tính \(S_{30}\):

• Nhập biểu thức: X(X+2).
• Nhấn CALC. Máy hỏi X?.
• Nhập 30, nhấn =. Kết quả: \(30\(30+2\) = 30 \times 32 = 960\).

Sử dụng chức năng tính tổng Sigma \(\sum\):

Nếu bạn biết SHTQ \(u_n\), bạn có thể tính \(S_k = \sum_{n=1}^{k} u_n\).

• Ví dụ: Tính \(S_{20}\) của CSC có \(u_n = 5n+2\). Nhấn phím SHIFT rồi phím có ký hiệu \(\sum \(\)\) \(thường là phím log hoặc phím x^ tùy máy\). Màn hình hiển thị: \(\sum_{X=}^{ } \(\)\) Nhập biểu thức của \(u_X\): (5X+2) Nhập cận dưới \(X=\) 1 Nhập cận trên \(ô trống phía trên \(\sum\)\): 20 Nhấn =. Máy sẽ tính \(\sum_{X=1}^{20} \(5X+2\)\). Kết quả: 1110. Kiểm tra bằng công thức: \(u_1 = 7, u_{20} = 5\(20\)+2 = 102\). \(S_{20} = \frac{20\(7+102\)}{2} = 10 \cdot 109 = 1090\). Lỗi ở đâu? À, công thức SHTQ của tôi khi kiểm tra bằng tay đã sai: \(u_{20} = 5\(20\)+2 = 102\). \(S_{20} = \frac{20\(7+102\)}{2} = 10 \times 109 = 1090\). Khi tính bằng Sigma \( \sum_{X=1}^{20} \(5X+2\) \): \(5 \sum X + \sum 2 = 5 \frac{20 \times 21}{2} + 2 \times 20 = 5 \times 210 + 40 = 1050 + 40 = 1090\). Kết quả \(1090\) mới đúng. Việc kiểm tra lại là rất quan trọng!

Giải hệ phương trình tìm \(u_1, d\)

Khi gặp dạng toán biết hai số hạng \(u_k, u_m\) hoặc biết một số hạng và một tổng, hoặc biết hai tổng, ta thường phải giải hệ phương trình tuyến tính hai ẩn \(u_1\) và \(d\).

• Ví dụ: Hệ \(\begin{cases} u_1 + 2d = 8 \ u_1 + 7d = 23 \end{cases}\) Trên Casio fx-580VN X:
  1. Nhấn MODE.
  2. Chọn 9 \(Equation/Func\).
  3. Chọn 1 \(Simultaneous Equation - Hệ phương trình\).
  4. Chọn 2 \(Number of Unknowns - Số ẩn là 2\). Màn hình hiển thị ma trận để nhập hệ số: [ \begin{matrix} \square x + & \square y = & \square \ \square x + & \square y = & \square \end{matrix} ] Coi \(u_1\) là \(x\), \(d\) là \(y\). Nhập hệ số: Hàng 1: 1 = 2 = 8 = Hàng 2: 1 = 7 = 23 = Nhấn = một lần nữa. Kết quả: \(x = 2\) \(tức là \(u_1=2\)\) Nhấn = tiếp. Kết quả: \(y = 3\) \(tức là \(d=3\)\)

Kiểm tra một dãy số có phải CSC không \(với vài số hạng đầu\)

Nếu đề cho một dãy số tường minh vài số hạng đầu, ví dụ: \(2, 6, 10, 14, ...\) Bạn có thể nhanh chóng kiểm tra bằng cách tính hiệu: \(u_2-u_1 = 6-2 = 4\) \(u_3-u_2 = 10-6 = 4\) \(u_4-u_3 = 14-10 = 4\) Nếu các hiệu này bằng nhau, có khả năng cao đây là CSC. Tuy nhiên, để khẳng định chắc chắn \(nếu dãy cho bởi SHTQ\), bạn vẫn phải dùng phương pháp chứng minh \(u_{n+1}-u_n\) là hằng số.

Lưu ý quan trọng khi dùng MTCT:

• Hiểu bản chất: Máy tính chỉ là công cụ tính toán. Bạn phải hiểu rõ công thức, phương pháp giải, và khi nào thì dùng chức năng nào.
• Nhập liệu chính xác: Sai một số, một dấu ngoặc có thể dẫn đến kết quả sai hoàn toàn.
• Chế độ máy: Đảm bảo máy ở chế độ tính toán thông thường \(COMP\) hoặc chế độ giải phương trình \(EQN\) phù hợp.
• Kết hợp với giải tay: Đối với bài tự luận, phải trình bày các bước giải. MTCT dùng để kiểm tra hoặc tính nhanh các phép toán phức tạp. Không lạm dụng máy tính cho các bước tư duy.

Những sai lầm thường gặp khi giải toán Cấp số cộng và Cách khắc phục

Trong quá trình học và giải toán về cấp số cộng, học sinh thường mắc một số lỗi phổ biến. Việc nhận diện và khắc phục những sai lầm này là rất quan trọng để cải thiện kết quả.

1. Nhầm lẫn giữa Cấp số cộng \(CSC\) và Cấp số nhân \(CSN\):

   • Biểu hiện: Áp dụng sai công thức \(ví dụ dùng công thức công bội \(q\) cho CSC, hoặc công sai \(d\) cho CSN\).
   • Nguyên nhân: Chưa nắm vững định nghĩa cơ bản của từng loại.
   • Khắc phục:
     • Học thuộc và hiểu rõ định nghĩa: CSC là \(u_{n+1} = u_n + d\) \(cộng thêm hằng số\), CSN là \(u_{n+1} = u_n \cdot q\) \(nhân thêm hằng số\).
     • Khi đọc đề, gạch chân các từ khóa như "cộng thêm", "hơn kém nhau", "tăng đều một lượng" \(cho CSC\) hoặc "gấp lên", "bằng một phần mấy", "tăng theo tỷ lệ" \(cho CSN\).
     • Lập bảng so sánh công thức SHTQ, công thức tổng của CSC và CSN để dễ phân biệt.

2. Sai sót trong công thức Số hạng tổng quát \(SHTQ\):

   • Biểu hiện: Viết sai \(u_n = u_1 + nd\) thay vì \(u_n = u_1 + \(n-1\)d\). Hoặc nhầm lẫn khi dùng \(u_n = u_k + \(n-k\)d\).
   • Nguyên nhân: Thuộc công thức không kỹ, hoặc hiểu sai ý nghĩa của \(\(n-1\)\) là "số khoảng cách" từ \(u_1\) đến \(u_n\).
   • Khắc phục:
     • Viết lại công thức nhiều lần.
     • Hiểu rằng từ \(u_1\) đến \(u_n\) có \(n-1\) "bước nhảy" công sai \(d\).
     • Luôn kiểm tra lại công thức trước khi áp dụng. Ví dụ, thử với \(n=1\), \(u_1 = u_1 + \(1-1\)d = u_1\), đúng. Nếu là \(u_1+nd\), thì \(u_1 = u_1+d\), sai \(trừ khi \(d=0\)\).

3. Sai sót trong công thức tính tổng \(S_n\):

   • Biểu hiện: Nhầm lẫn giữa hai công thức \(S_n = \frac{n\(u_1+u_n\)}{2}\) và \(S_n = \frac{n[2u_1+\(n-1\)d]}{2}\). Quên chia 2, hoặc sai hệ số.
   • Nguyên nhân: Thuộc không chính xác.
   • Khắc phục:
     • Hiểu cách chứng minh công thức \(ví dụ cách Gauss cộng cặp\).
     • Công thức thứ hai suy ra từ công thức thứ nhất bằng cách thay \(u_n = u_1+\(n-1\)d\).
     • Luyện tập áp dụng cả hai công thức tùy theo dữ kiện bài toán cho.

4. Lỗi khi giải hệ phương trình tìm \(u_1, d\):

   • Biểu hiện: Tính toán sai trong quá trình thế hoặc cộng trừ vế, dẫn đến \(u_1\) hoặc \(d\) sai.
   • Nguyên nhân: Kỹ năng giải hệ phương trình chưa tốt, cẩu thả trong tính toán.
   • Khắc phục:
     • Ôn lại các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính hai ẩn.
     • Thực hiện các bước tính toán một cách cẩn thận, kiểm tra lại từng bước.
     • Sử dụng máy tính cầm tay để giải hệ \(MODE 9 -> 1 -> 2 trên Casio fx-580VN X\) để kiểm tra kết quả sau khi giải tay.

5. Không kiểm tra điều kiện của \(n\):

   • Biểu hiện: Khi tìm \(n\) \(ví dụ, số hạng thứ mấy, hoặc số số hạng\), ra kết quả \(n\) không phải là số nguyên dương.
   • Nguyên nhân: Quên rằng \(n\) là chỉ số thứ tự, phải là \(1, 2, 3, ...\).
   • Khắc phục:
     • Luôn nhớ điều kiện \(n \in \mathbb{N}^*\).
     • Nếu giải ra \(n\) không nguyên hoặc không dương, cần xem lại các bước giải hoặc kết luận là không tồn tại số hạng/giá trị đó trong dãy. Ví dụ, nếu hỏi số 9 có phải là số hạng của CSC \(u_n=2n\) không, giải \(2n=9 \implies n=4.5\), kết luận 9 không phải số hạng của dãy.

6. Lỗi tính toán số học cơ bản:

   • Biểu hiện: Cộng, trừ, nhân, chia sai, đặc biệt với số âm, phân số.
   • Nguyên nhân: Thiếu cẩn thận, kỹ năng tính nhẩm yếu.
   • Khắc phục:
     • Luyện tập tính toán cẩn thận.
     • Sử dụng máy tính để kiểm tra các phép tính phức tạp.
     • Ước lượng kết quả trước khi tính để phát hiện các sai sót lớn.

7. Mô hình hóa sai trong bài toán thực tế:

   • Biểu hiện: Xác định sai \(u_1\), \(d\), hoặc \(n\) từ dữ kiện bài toán.
   • Nguyên nhân: Đọc hiểu đề chưa kỹ, chưa chuyển đổi đúng các yếu tố thực tế thành các đại lượng của CSC.
   • Khắc phục:
     • Đọc kỹ đề, gạch chân các thông tin quan trọng liên quan đến giá trị ban đầu, sự thay đổi đều đặn, kỳ đang xét.
     • Tóm tắt bài toán, xác định rõ đâu là \(u_1\), đâu là \(d\). Nếu giá trị giảm đều thì \(d<0\).
     • Vẽ sơ đồ hoặc bảng biểu để trực quan hóa nếu cần.

8. Sai lầm khi sử dụng công thức \(u_n = S_n - S_{n-1}\):

   • Biểu hiện: Áp dụng công thức này cho cả \(n=1\) mà không để ý \(S_0\) không xác định. Hoặc sau khi tìm ra \(u_n\), không kiểm tra lại với \(u_1=S_1\).
   • Nguyên nhân: Chưa hiểu rõ điều kiện áp dụng của công thức.
   • Khắc phục:
     • Luôn nhớ \(u_1 = S_1\).
     • Công thức \(u_n = S_n - S_{n-1}\) chỉ đúng cho \(n \ge 2\).
     • Sau khi tìm được biểu thức \(u_n\) từ \(S_n - S_{n-1}\), phải kiểm tra xem nó có khớp với \(u_1=S_1\) không. Nếu khớp thì công thức \(u_n\) đó đúng cho mọi \(n \ge 1\). Nếu không, phải viết \(u_n\) riêng cho \(n=1\) và \(n \ge 2\). \(Tuy nhiên, trong các bài toán CSC điển hình, thường sẽ khớp\).

Bằng cách nhận biết sớm và chủ động sửa chữa những lỗi này, các em sẽ ngày càng hoàn thiện kỹ năng giải toán cấp số cộng của mình.

Bài tập tổng hợp và Đề thi thử chuyên đề Cấp số cộng \(Có lời giải chi tiết\)

Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng, chúng ta sẽ cùng nhau giải một số bài tập tổng hợp và thử sức với một đề thi mẫu.

\(A\) BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Cho cấp số cộng \(\(u_n\)\) có \(u_1 = -3\) và công sai \(d=2\). a\) Viết 5 số hạng đầu của cấp số cộng. b\) Viết số hạng tổng quát \(u_n\). c\) Tính \(u_{15}\). d\) Số 45 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng? e\) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên \(S_{20}\).

Lời giải: a\) 5 số hạng đầu: \(u_1 = -3\) \(u_2 = u_1 + d = -3 + 2 = -1\) \(u_3 = u_2 + d = -1 + 2 = 1\) \(u_4 = u_3 + d = 1 + 2 = 3\) \(u_5 = u_4 + d = 3 + 2 = 5\) Vậy 5 số hạng đầu là: \(-3, -1, 1, 3, 5\). b\) Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = -3 + \(n-1\)2 = -3 + 2n - 2 = 2n - 5\). c\) Tính \(u_{15}\): \(u_{15} = 2\(15\) - 5 = 30 - 5 = 25\). d\) Giả sử \(u_k = 45\). \(2k - 5 = 45 \implies 2k = 50 \implies k = 25\). Vậy số 45 là số hạng thứ 25. e\) Tính \(S_{20}\): \(S_{20} = \frac{20[2u_1 + \(20-1\)d]}{2} = 10[2\(-3\) + 19\(2\)] = 10[-6 + 38] = 10[32] = 320\). Hoặc \(u_{20} = 2\(20\)-5 = 35\). \(S_{20} = \frac{20\(u_1+u_{20}\)}{2} = \frac{20\(-3+35\)}{2} = \frac{20 \cdot 32}{2} = 320\).

Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\(u_n\)\) biết: a\) \(u_4 = 10\) và \(u_7 = 19\). b\) \(u_2 + u_5 = 42\) và \(u_3 + u_8 = 60\). c\) \(S_5 = 40\) và \(S_{12} = 186\).

Lời giải: a\) \(u_4 = 10, u_7 = 19\) \(d = \frac{u_7 - u_4}{7-4} = \frac{19-10}{3} = \frac{9}{3} = 3\). \(u_1 = u_4 - \(4-1\)d = 10 - 3\(3\) = 10 - 9 = 1\). SHTQ: \(u_n = u_1 + \(n-1\)d = 1 + \(n-1\)3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2\).

b\) \(u_2 + u_5 = 42 \implies \(u_1+d\) + \(u_1+4d\) = 42 \implies 2u_1 + 5d = 42\) \(1\) \(u_3 + u_8 = 60 \implies \(u_1+2d\) + \(u_1+7d\) = 60 \implies 2u_1 + 9d = 60\) \(2\) Lấy \(2\) trừ \(1\): \(\(2u_1+9d\) - \(2u_1+5d\) = 60-42 \implies 4d = 18 \implies d = \frac{18}{4} = 4.5\). Thay \(d=4.5\) vào \(1\): \(2u_1 + 5\(4.5\) = 42 \implies 2u_1 + 22.5 = 42 \implies 2u_1 = 19.5 \implies u_1 = 9.75\). SHTQ: \(u_n = 9.75 + \(n-1\)4.5 = 9.75 + 4.5n - 4.5 = 4.5n + 5.25\).

c\) \(S_5 = 40 \implies \frac{5[2u_1 + 4d]}{2} = 40 \implies 5\(u_1+2d\) = 40 \implies u_1+2d = 8\) \(1\) \(S_{12} = 186 \implies \frac{12[2u_1 + 11d]}{2} = 186 \implies 6\(2u_1+11d\) = 186 \implies 2u_1+11d = 31\) \(2\) Từ \(1\) \(u_1 = 8-2d\). Thay vào \(2\): \(2\(8-2d\) + 11d = 31 \implies 16-4d+11d=31 \implies 16+7d=31 \implies 7d=15 \implies d=\frac{15}{7}\). \(u_1 = 8 - 2\left\(\frac{15}{7}\right\) = 8 - \frac{30}{7} = \frac{56-30}{7} = \frac{26}{7}\). SHTQ: \(u_n = \frac{26}{7} + \(n-1\)\frac{15}{7} = \frac{26 + 15n - 15}{7} = \frac{15n+11}{7}\).

Bài 3 \(Bài toán thực tế\): Một người thợ khoan giếng phải khoan sâu xuống lòng đất. Giá tiền của mét khoan đầu tiên là 100.000 đồng. Kể từ mét khoan thứ hai, giá tiền của mỗi mét khoan tăng thêm 20.000 đồng so với giá tiền của mét khoan ngay trước đó. a\) Tính giá tiền của mét khoan thứ 15. b\) Người đó muốn khoan một giếng sâu 30m. Hỏi tổng chi phí khoan giếng là bao nhiêu?

Lời giải: Giá tiền mỗi mét khoan lập thành một CSC. \(u_1 = 100,000\) \(đồng\). \(d = 20,000\) \(đồng\). a\) Giá tiền mét khoan thứ 15 là \(u_{15}\). \(u_{15} = u_1 + \(15-1\)d = 100,000 + 14\(20,000\) = 100,000 + 280,000 = 380,000\) đồng. b\) Tổng chi phí khoan giếng sâu 30m là \(S_{30}\). \(S_{30} = \frac{30[2u_1 + \(30-1\)d]}{2} = 15[2\(100,000\) + 29\(20,000\)]\) \(S_{30} = 15[200,000 + 580,000] = 15[780,000] = 11,700,000\) đồng. Vậy tổng chi phí là 11.700.000 đồng.

\(B\) ĐỀ THI THỬ MẪU \(Phần Cấp số cộng - Thời gian: 15 phút\)

Câu 1 \(3 điểm\): Cho cấp số cộng \(\(u_n\)\) có \(u_1=4\) và \(u_6=19\). a\) Tìm công sai \(d\) của cấp số cộng. b\) Viết số hạng tổng quát \(u_n\). c\) Tính \(S_{10}\).

Câu 2 \(3 điểm\): Tìm \(x\) để ba số \(x-2, x+1, 3x-1\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

Câu 3 \(4 điểm\): Một hàng rào được làm bằng các cọc gỗ. Hàng cọc đầu tiên \(ngắn nhất\) có chiều cao 0.5m. Mỗi hàng cọc tiếp theo có chiều cao hơn hàng cọc ngay trước nó 0.1m. Hàng rào có tổng cộng 15 hàng cọc. a\) Tính chiều cao của hàng cọc thứ 15 \(cao nhất\). b\) Để làm toàn bộ hàng rào này, người ta cần tổng cộng bao nhiêu mét gỗ \(chỉ tính chiều dài các cọc, bỏ qua phần nối\)?

Lời giải đề thi thử: \(Sẽ có lời giải chi tiết cho từng câu, tương tự như các bài tập trên\)

Chiến lược ôn tập và Lời khuyên để chinh phục chuyên đề Dãy số - Cấp số cộng

Để nắm vững và đạt điểm cao trong chuyên đề Dãy số - Cấp số cộng, các em cần có một phương pháp học tập và ôn luyện khoa học.

1. Nắm vững lý thuyết cốt lõi:

   • Định nghĩa: Phân biệt rõ dãy số, cấp số cộng. Hiểu rõ \(u_1\) là gì, \(d\) là gì, \(n\) là gì.
   • Công thức: Ghi nhớ chính xác công thức SHTQ \(\(u_n = u_1 + \(n-1\)d\) và \(u_n = u_k + \(n-k\)d\)\) và hai công thức tính tổng \(S_n\). Hiểu cách các công thức này được xây dựng.
   • Tính chất: Ghi nhớ tính chất \(u_k = \frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) và điều kiện để ba số lập thành CSC.

2. Học đi đôi với hành – Luyện tập bài tập thường xuyên:

   • Theo dạng: Bắt đầu với các bài tập cơ bản cho từng dạng \(tìm \(u_n\) khi biết \(u_1, d\); biết \(u_k, d\); biết \(u_k, u_m\); ...\). Khi thành thạo từng dạng nhỏ, chuyển sang bài tập tổng hợp.
   • Đa dạng hóa: Tìm nhiều nguồn bài tập khác nhau \(SGK, SBT, đề thi các năm, sách tham khảo\) để làm quen với nhiều cách ra đề.
   • Tự giải trước khi xem đáp án: Cố gắng tự mình giải quyết vấn đề. Chỉ xem giải khi đã suy nghĩ kỹ mà không ra, hoặc để so sánh cách giải. Học từ lỗi sai của mình.

3. Xây dựng Sơ đồ tư duy \(Mindmap\):

   • Vẽ sơ đồ tổng hợp các kiến thức về CSC: định nghĩa, tính chất, các công thức, các dạng toán thường gặp, các bước giải cho từng dạng.
   • Sơ đồ tư duy giúp hệ thống hóa kiến thức một cách trực quan, dễ nhớ và dễ ôn tập.

4. Luyện giải đề thi thử:

   • Khi đã nắm vững kiến thức, hãy luyện giải các đề thi thử hoặc các đề kiểm tra của các trường, các năm trước.
   • Bấm giờ khi giải đề để rèn luyện tốc độ và khả năng chịu áp lực thời gian.
   • Phân tích kỹ lỗi sai sau mỗi đề, rút kinh nghiệm.

5. Chú trọng các "Mẹo" và Kỹ thuật giải nhanh:

   • Ví dụ: Mẹo tính nhanh \(d = \frac{u_m-u_k}{m-k}\).
   • Mẹo nhận biết CSC nếu \(S_n = An^2+Bn\) thì \(d=2A, u_1=A+B\).
   • Sử dụng thành thạo máy tính cầm tay cho các bước tính toán, giải hệ.

6. Học nhóm và Thảo luận:

   • Học cùng bạn bè có thể giúp giải đáp thắc mắc nhanh hơn, học hỏi được các cách giải khác nhau.
   • Giảng lại kiến thức cho bạn cũng là một cách rất tốt để củng cố kiến thức của chính mình.

7. Không bỏ qua bài toán thực tế:

   • Xu hướng ra đề hiện nay rất chú trọng bài toán ứng dụng. Hãy luyện tập cách phân tích đề bài thực tế, chuyển nó thành mô hình CSC.
   • Liên hệ kiến thức CSC với các tình huống trong đời sống \(tăng trưởng lương, tiết kiệm, tính quãng đường vật lý,...\).

8. Ôn tập định kỳ:

   • Đừng đợi đến gần kỳ thi mới ôn. Hãy dành thời gian ôn lại kiến thức sau mỗi tuần, mỗi tháng để kiến thức được ghi nhớ sâu hơn.
   • Trước kỳ thi, tập trung ôn lại các công thức quan trọng, các dạng bài hay sai, và giải lại các đề đã làm.

9. Giữ tinh thần thoải mái và tự tin:

   • Sự tự tin vào kiến thức và kỹ năng của mình là rất quan trọng.
   • Khi làm bài, đọc kỹ đề, cẩn thận trong tính toán, và kiểm tra lại kết quả nếu có thời gian.

Kết luận

Chuyên đề Dãy số và Cấp số cộng lớp 11 là một phần kiến thức nền tảng môn toán math 11, không chỉ quan trọng cho các kỳ thi mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Việc nắm vững các định nghĩa, công thức, tính chất, và đặc biệt là các phương pháp xác định số hạng tổng quát, sẽ giúp các em giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan.

Qua bài viết này, chúng tôi hy vọng đã cung cấp cho các em một hệ thống kiến thức đầy đủ, chi tiết cùng với những "bí kíp" và ví dụ minh họa trực quan để các em có thể tự tin chinh phục chuyên đề này. Hãy nhớ rằng, chìa khóa của thành công trong học Toán chính là sự hiểu biết sâu sắc bản chất vấn đề và sự kiên trì luyện tập. Đừng ngần ngại thực hành thật nhiều dạng bài, từ cơ bản đến nâng cao, để biến kiến thức lý thuyết thành kỹ năng thực thụ.

Chúc các em học tập thật tốt, đạt được nhiều thành tích cao và luôn tìm thấy niềm vui trong việc khám phá thế giới Toán học!